4.4 坤八冊分析
4.4.4 九章外法
16 6 ( ) 5 16 2 (
+
×
×
× +
×
＝ 130 96 37×
≒27.32 兩≒1 斤 11 兩 3 錢。
4.4.3.4 互求
分成「度求量法」、「度求衡法」、「量求度法」、「量求衡法」、「衡求度法」、「衡 求量法」、和「就物抽分法」七部份，由於篇幅有限，茲簡略介紹如下：
一、度求量法：以「斛法二尺五寸，乃長闊 皆一尺，高二尺五寸，容積一石也。」
作為容積單位換算成石的標準，主要內容是計算日常生活中實體體積，諸 如：方倉、圓倉、方窖、圓窖、平地尖堆、倚壁、內角、外角、船等，並用 斛法將體積化為石的單位。而每一個實體都有計算體積的經驗公式。
二、度求衡法：以「立方一寸，為金率十六兩，銀率十二兩，玉率十兩不等，鉛 率九兩五錢銅率七兩五錢，鐵率六兩，青石率三兩不等。」作為礦物將其體 積換算成重量的比率。
三、量求度法：此即度求量之還原也。
四、量求衡法：以「百二十斤為石法，然物亦不等，率亦不等。」作為一般物體 容積（單位：石）轉換成重量（單位：斤）的依據。
五、衡求度法：此即度求衡之還原也。
六、衡求量法：此即量求衡之還原也。
七、就物抽分法：指的是主人就貨物中，抽取一定比例的貨物作為勞動者酬勞的 計算方法。
4.4.4 九章外法
九章外法乃九章之外所收錄的算法。分成「約分法」、「通分法」、「異乘同除 法」、「同乘異除法」、「異乘同乘法」、「異除同除法」、「同乘同除法」、「雜收」和
「附錄」九個部分，經筆者比對後發現，其主要內容出自《算法統宗》卷之二和
《同文算指》通編卷之一。而這些名稱應出自《算法統宗》，茲說明如下。
一、約分法
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
式：四十二數，在九十八數內，得幾分之幾？曰：七分之三。
術：約以分子也，數多為母，數少為子，今 以四十二為子，九十八為母，視母數內，滿 幾回子數盡減去，今減兩回四十二，餘母十 四，又於子數內減餘母，今減兩回十四，餘 子十四，此謂之子母同餘，如不同餘，則不 可約矣，以同餘之十四為法，除母得七，除 子得三，乃知四十二在九十八內，為七分中 之三分也。（引自《算法統宗》）
今解：
如題先求 98 和 42 的最大公因 數：
∵98－42－42＝14，42－14－14
＝14。
∴(98，42)＝14。
故 7
3 14 98
14 42 98
42 =
÷
= ÷ 。
二、通分法
此法相當於筆算下所介紹之「奇零乘法」，如下題所述：
式：物四十件，每件價三分兩之二，該銀若干？曰：三十兩。
術：通以分母也，以三之二，命三為母，二 為子，乃以子二乘四十五，得九十兩為實，
以母三為法除之，得三十兩。（引自《算法統宗》）
今解：
3 30 90 3
2 45 3
45×2 = × = = 。
三、異乘同除法
此法在《九章算術》稱為「今有術」，楊輝《詳解九章算法》稱之為互換，《同 文算指》易名為「三率法」，22如下題所述：
式：錢四貫，得貸十二斤，今錢二十貫，該貨若干？曰：六十斤。
術：此即三率準測法也，又各三纍，先定三 率之位，以四貫為一率，以十二斤為二率，
以二十貫為三率，乃以二率三率相乘，得二 百四十，以一率除之，得六十為第四率。（引 自《同文算指》）
今解：
設貨重 a 斤，則 4：12＝20： a ，
得 60
4 240 4
20
12× = =
=
a 。
方中通並且強調此法「二率三率，可以相換，一率則不可易矣。」。而討論 此算法的「定位諸式」共有八式，經筆者比對後發現，它們全部抄錄自《同文算 指》。
四、同乘異除法
此法在《同文算指》謂之「三率變測法」，即今之反比例。也可以轉成「異 乘同除法」來算，如下題所述。
式：借布長四丈，闊二尺，今還布止闊一尺八寸，該長若干？曰：四丈四尺四寸 零。
術：此變測法也，如一率多於三率，而二率 反少於四率，或一率少於三率，而二率反多
今解：
設今布長 a 寸，則
22參見梅榮照、李兆華著《算法統宗校釋》，頁 222。
清代算學家方中通及其算學研究
以原闊二尺為一率，以長四丈為二率，以今 闊一尺八寸為三率，若用異乘同除法，則移 三率為一率，移一率為二率，移二率為三率 亦可。（引自《同文算指》）
18 444.4 寸。若用「異乘同除法」，則 為 18：20＝400： a 。
五、異乘同乘法
此法屬於《同文算指》之「三率重準測法」。也可以用并法轉成「異乘同除 法」來算，或用「重準測法」來解，茲以下題為例說明之。
式：每人每月織絹六疋，若八人四年，該織幾何？曰：二千三百○四疋。
術：以四年化作四十八月，乘八人得三百八 十四，又以六疋乘之，即得。又術：用并法，
以一人乘一月，得一為首率，以六疋為次率，
以八人乘四十八月，得三百八十四為三率。
又術：用重準測法，又名夾三纍，先以入數 測絹數，以一人為首率，六疋為次率，八人 為三率，求得四率四十八疋，又以月數測絹 數，以一月為首率，以前四率為次率，四十 八月為三率。（引自《同文算指》）
今解：
(1)【異乘同除法】48×8×6＝2304 疋；
(2)【用并法】1×1：6＝8×48：織布 數；
(3)【重準測法】以 1：6＝8： a ， 求得a=48。再以 1：48＝48：b， 求得b。
另外，討論「用并法」的「用并諸式」共有四式，其中有兩式出自《同文算 指》。而討論「重準測法」的「重測諸式」共有十七式，有十四式出自《同文算 指》，一式出自《算法統宗》。
六、異除同除法
此法屬於《同文算指》之「三率重準測法」，茲以下題為例說明之。
式：十五客，十二日，用米三石六斗，一客一日，用米若干？曰：二升。
術：用米為實，以十二日為法除之，得每日 米三斗，又以十五客為法除三斗，得每人二 升。（引自《算法統宗》）
今解：
360÷12＝30（每日斗數）， 30÷15＝2（每人每日斗數）。
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
翅算法」23，茲以下題為例說明之。
式：鵝八，換雞二十，雞三十，換鴨九十，鴨六十，換羊二，今有五羊，換鵝若 干？曰：二十。
術：以鵝八乘雞三十，得二百四十，又乘鴨 六十，得一萬四千四百，又乘羊五，得七萬 二千為實，以換雞二十，乘換鴨九十，得一 千八百，又乘換羊二，得三千六百為法，以 法除實，得換鵝數。（引自《算法統宗》）
今解：
換鵝數＝ 20
8 90 30 2
5×60× × ＝
2 90 20
5 60 30 8
×
×
×
×
× ＝
3600 72000
＝20。
八、雜收
雜收的題目內容豐富而多樣，共有八題。有不定方程、孫子定理、組合學、
整數論等方面的題目，其中值得一提的是式五，如下所述：
「環二十子，內有二黑子相連，以九數之，止處即除一子，除畢，二黑不動，宜 從何起，通曰？五為九之中，左右各四，雕黑子四位起可也，大凡以九數者，不 拘多寡，中必有相連二子不動，七亦如之，惟起處當臨時測耳。」
這一題是屬於約瑟夫斯問題，這是目前所知中國古算書中唯一的一題有關的 題目。而方中通是從哪裡獲得和「約瑟夫問題」有關的信息的？在我國文獻紀錄 中，還沒有發現和這個題目有關的線索。根據方中通的經歷來看，他可能是通過 波蘭傳教士穆尼閣那裡接觸到有關的內容。方氏曾跟隨穆尼閣學習過數學，很可 能後者向他提到這種遊戲。因為 15、16 世紀的西方算術和遊戲書中，「約瑟夫斯 問題」常被提到，穆氏對此當然不能不知。24
23參見梅榮照、李兆華著《算法統宗校釋》，頁 223。
24參見郭世榮＜方中通《數度衍》中所見的約瑟夫斯問題＞（自然科學史研究第 21 卷 第 1 期 2002 年 1 月），頁 49-55。