第四章、《數度衍》的內容分析（二）

第四章、《數度衍》的內容分析（二）

4.1 巽五冊分析

本冊共有三卷，分別為九卷的（方圓、弦矢弧） ，十卷的較容和十一卷的遞 加、外包、倍加，內容是屬於＜少廣＞的部分。 「少」多少也， 「廣」寬廣也。少 廣者討論從平面圖形面積、立體體積反算其邊長、周長和直徑等問題。而開平方、

開平圓、開立方、開立圓等問題則放在坎六冊。本冊大致上是以《算法統宗》 （程 大位著，1592 年）、《圜容較義》（利瑪竇授，李之藻演，1608 年）以及《同文 算指》 （李之藻著，1613 年）為底本而編寫成的，茲分析如下：

4.1.1 方圓

方圓的內容主要出自於《算法統宗》卷三方田章和卷七，少部分出自《圜容 較義》 ，首列「諸率」和「方內容圓圓內容方率說」 ，在這之後則是一系列方圓的 問題，共分為二十一類。以下列舉方圓的問題共二十一名目，這些問題應出自於

《算法統宗》和《圜容較義》 。為了便於分析，茲以現代的符號表示如下：

（一）方內容圓法

【方面求圓積庇積式】設方面（邊）為 a ，則：圓積＝

， 庇積＝

；或庇積＝

(4

4× a

，圓積＝

(4 4 a

a − ×

。

（二）圓內容方法

【圓徑求方積冪積式】設圓徑（直徑）為

，則： （1）方積＝

)2

7

( d5

； （2）冪積＝圓積－方積＝

3d − d

。

（三）立方內容立圓法

【立方面求立圓積立庇積式】設立方面（邊）為 a ，則：（1）

立圓積＝

9 a

； （2）立庇積＝立方積－立圓積＝

9 a

a −

。

（四）立圓內容立方法

【立圓徑求立方積立冪積式】設立圓徑（直徑）為

，則： （1）

立圓積＝

9 d

； （2）立方積＝

( d5

； （3）立庇積＝立方積－

立圓積＝

(5d − d

。

冪

冪

冪 圓徑 冪

立方立 圓 方面 庇 庇

庇 庇

（五）平方求積法 （1）【徑求積式】設方徑為 a ，則方積＝

。

（2）【周求積式】設方周為

，則方積＝

。

（六）平圓求積法

（1）【徑求積式】設圓徑（直徑）為

，則圓積＝

。

（2）【周求積式】設圓周為 c ，則圓積＝

12

。

（3）【周徑求積式】設圓周為 c ，圓徑（直徑）為

，則圓積＝

4 cd

。

（4）【半周求積式】設半周為

c

，則圓積＝

。

（5）【半徑求積式】設半徑為

d

，則圓積＝

。

（6）【半周半徑求積式】設半周為

c

，半徑為

d

，則圓積＝

2 2

c ×d

。

（七）立方求積法

【徑求積式】設立方徑為 a ，則方積＝

。

（八）立圓求積法

（1）【徑求積式】設立圓徑（直徑）為

，則立圓積＝

9 d

。

（2）【周求積式】設立圓周為 c ，則立圓積＝

48

。

（九）方環求積式【

】

【外方內方求環積式】設外方甲乙為

則：庚壬丙甲環積＝

或 [ ]

( 2 ) (

2 _{1 2} a¹ a² a

a −

×

+ 。

（十）圓環求積式

(1)【外周內周求環積式】設外周甲戊乙己為

庚丁辛為

12 12

2 2 2

1 l

l −

或利用「環 闊×通環之長」求環積。 （

）

(2) 【內周外周求環徑式】 （

）

甲 乙 庚

癸 壬

丙 辛

丁 己

甲

乙 己 戊

丙

丁 辛 庚

子 丑

寅 丁

甲

丙 乙

戊 己

庚 外角二 內角一 環闊四

設外周甲戊乙己為

2

1 l

l −

。

(3)【內周環徑求外周式】設內周丙庚丁辛為

，則外周＝

+ 6

。 (4)【外周環徑求內周式】設外周甲戊乙己為

，則內周＝

− 6

。

（十一）四破合環法

【四破之一求去內外角成環式】

∵乙丙＝5，由「方五斜七」可知，乙丁＝7，又乙 戊＝（內周÷3）÷2。

∴內角乙己＝乙戊＝（6÷3）÷2＝1；

外角庚丁＝乙丁－乙己－己庚(即戊丙)＝7－1－4＝

2。

（十二）二破至九破率說

以四破為率，即以四分之一圓為準，所以二破即二分之一圓，相當於

個四

破，增加

2

個四破。三破即三分之一圓，相當於

4

個四破，增加

1

個四破。…九

破即九分之一圓，相當於

4

個四破，減少

5

個四破。

（十三）合破成立圓法

如右圖，通曰： 「以圓周剖之，周大則剖多，周小則 剖少，以剖後之一破，腰無圓形而止也。如以子丑圓周，

剖為三十二破，一破如丙丁甲乙形，甲乙平而不圓矣。又 以丙丁甲乙剖為二，如丙甲乙、甲乙丁兩形，而兩形必等，

則三十二其丙丁甲乙形而成立圓，六十四其丙甲乙形，亦 成立圓也，蓋丙至丁，半周也，十六其甲乙，亦半周也」。

（十四）方內容弧矢六角八角法

（1）【直方內容弧矢形式】

設方長（即弦）＝ c，方闊（即矢）＝ v，則：弧內積＝

2 ) (c+v v

， 二角餘積＝全積－弧內積＝

2 ) (c v v cv− +

。

（2）【直方內容六角形式】

由 5

+ 9

= 106 ≠ 10 可知，直方所容的六角形並非正六角形，其中

子

丑 甲 乙

丙

丁

弧 矢 形

角角 十四

六角形面積＝18×(20－

21 ×

)＝18×15＝270，四角餘積＝4×

9 2 5

1× ×

＝90。

（3）【方內容八角形式】

由 5

+ 5

= 50 ≠ 7 可知，方內所容的八角形並非正八角 形，其中全積＝(2×5＋7)

＝17

＝289，四角積＝2×5

＝50，八 角形面積＝全積－四角積＝289－50＝239。

（十五）方內容小圓法【

】 設半方面為 x ，則圓徑為

，由「圓積＋餘積＝方積」

可知：

3 x− + = x

，推得

，利 用「帶從開平方法」 （詳見開平方）求得 x ＝30，所以方面＝

x

2

＝60， 圓徑＝

＝40。

（十六）圓內容小方法

（1）設半徑為 x ，則方面為

，由「方積＋餘積＝圓 積」可知：

4 72 3 ) 6 2

( x− + = x

，推得

，我 們可利用「帶縱開平方法」 （詳見開平方）求得 x ＝6，所以 方面＝

＝6，圓徑＝

＝12。【

】

（2）設圓徑為

，離邊為 v ，由「弦矢求徑術」

v v c

d

= +

)

2 ( 1

可知：

)

( 2 2 ) ( 2

2

v dv

c

= − = − − ，

然後，利用「弧矢法」可得大弧積

1 +

=

，內方積

＝ (

− 2

)

。又直方闊＝ [

]

2

1 c− d− v

，所以，直方積＝

[

]

2

1 c− d − v d − v

。而小弧弦＝

，小弧勾＝

) 2(

1 d−c

，利用「弧矢法」可得小弧積＝

六 角

角 角

角 角

十

五 九

五 九

八 角

角 角

角 角

五 七 五

方內圓外為餘積

方面六十

圓徑四

十

十

圓內方外為餘積

圓徑十二 三

三

方面六

左

上

下

右

直方

內方

直方 大弧

小弧 小弧

四 十 二

十四

2 ) 2 (

) 2 2 (

1 d c d c

v

d −



 −

+

−

，並且大圓積可利用「大圓積＝2×大弧積＋2×直方積

＋2×小弧積＋內方積」求得。 【

】

（十七）圓內容錠形法【

】 設圓徑為

，由「方五斜七」可知：圓內容方邊＝

7 5d

，

所以，錠內積＝容方積＝

，兩欖積＝4 個弧積＝

) 7 7 7 (5 2 ) (

2 d d d

v v

c+ = + ×

。而以「全圓積＝錠內積＋兩欖積」

求得的圓面積會比以「圓徑求積

S =

」來得多，其原因 是因為以「斜求方」算得的容方邊較大。

（十八）大平方內容小平圓求積圓法

設大方面為小圓徑

的三倍，所以大平方可容 9 個小平方，

積圓 9 個，庇積 9 個。又由「方內容圓法」圓積＝

3d

，庇

積＝

1d

知：3 個庇積相當 1 個圓積，所以 9 個庇積相當 3 個圓積，故言「積空成圓三也」再加「積圓九」 ，又言「共積 圓十二也」 。

（十九）大立方內容小立圓求積圓法

設大立方面為小立圓徑

的三倍，所以大立方可容 27 個小立方，積立圓 27 個，立庇積 27 個。又由「立圓求積 法」立圓積＝

16

9 d ，

立庇積＝

7 d

知：9 個庇積相當 7 個圓積，所以 27 個立庇積相當 21 個立圓積，故言「積空

成圓二十一也」再加「積圓二十七」 ，又言「共積圓四十八也」 。

（二十）大平圓內容小平圓求積圓法

設大圓徑為小圓徑

的三倍，由「平圓求積法」可知：

全圓實＝

3 d = d

，容積圓七＝

7×3d = d

，所

以隅空＝

6d = × d

，故言「積空成圓二也」再加「容

四十二

四十二

十四

大圓徑十二

四

戊

乙 丙

欖

丁 甲

欖

錠 形

積圓七」 ，又言「共積圓九也」 。

（二十一）大立圓內容小立圓求積圓法

本題設大立圓徑為小立圓徑

的三倍，由「立圓求積法」

可知：全圓實＝

9 d = d

，容積立圓十五＝

2 3

16 135 16

15× 9 d = d

，所以隅空＝

108d = × d

，故言

「積空成立圓十二」再加「容積圓十五」 ，又言「共積立圓 二十七也」 。

4.1.2 弧矢弦

弧矢弦的內容主要出自於《算法統宗》卷七。首列「弧矢解」 ，在這之後則 是一系列弧矢弦的問題，共分為五類。為了便於分析這五類題型，茲以現代的符 號說明如下：

（一）圓徑截積求弦矢法

式：圓徑十三，截積三十二，問矢弦各幾何？曰：矢 四，弦十二。

今解：設矢長為 v ，已知截積為 32，則弦長＝

v v²

64 −

，半

弦長＝

2 64 −

，又圓徑為 13，由「弦矢求徑術」

c

d

= +

)

2 ( 1

可知：

2

2 ) ( 64 ) 13

(

v v

v

−

=

− ，推得

其中 4096 為實，

128 為上廉，52 為下廉，－5 為隅。用「開三乘方法」 （見十四卷）可得

， 所以矢長＝4，弦長＝

v −

64

＝12。

（二）弧積離徑求矢弦弧背圓徑半徑法

式：弧積一百二十八，離徑五，問矢、弦、背、圓徑

、半徑各幾何？曰：矢八弦二十四，弧背二十九零

，圓徑二十六，半徑十三。

今解：蓋本題設數，截弦為矢的三倍，即

，於 是弓形面積

2 ) 1 2(

1 + = − 2 = −

=

，推得

容小圓十五

大圓徑十二

截弦十二 矢四

圓 徑 三 十

半 徑 十 三 圓 徑 二 十 六

弦 二 十 四

弧背二十九零

離徑五矢八

全徑十 勾三 弧弦六矢一

弦五

股四

S v

c

− = 2 ，

S S v c v S

= 2

= − 。 《增刪算法統宗》卷六賈步緯補註： 「步緯考此弧 矢算法為偶合，不能移馭他形。」所言極是。

由原文中已知

，所以 8 16 128 2 = =

=

v S

，

=

+ 2

= 8 + 16 = 24 。

設弧背為 a ， 《算法統宗》中所用求弧背的公式為「

d c v a

2

+

= 」 ，而原文中的弧

背是利用「

c c v a

2

+

= 」求得，其中的「半弦背差

」是錯誤的，因此，算得 的弧背二十九零不同於《算法統宗》中的弧背二十八零。

而圓徑則是利用「弦矢求徑術」

c

d

= +

)

2 ( 1

求得的。由原文中已知

=24

c

，

，所以圓徑 8 18 8 26 8

) 12 2

( 1

= +

= +

= +

=

v c

d

。

（三）弧矢內股弦求勾法

式：圓徑十，矢一，為勾幾何？弧弦幾何？曰：勾三，

弧弦六。

今解：已知圓徑為

，矢長為 v ，則弦長＝

2

2

)

( 2 2 ) (

2

−

− 或

。

（四）弧矢內勾弦求股法

式：圓徑十，弧弦六，為股幾何？弧矢幾何？曰：股 四，弧矢一。

今解：已知圓徑為

，弦長為 c ，則矢長＝

2

2

)

( 2 2 ) 2 (

c d

d

− − 。

（五）圓徑直方闊求兩弧矢積法

式：圓徑七十四，直方闊二十四，為兩弧積各幾何？直方積幾何？曰：弧積各一 千一百八十七五，直方積一千七百三十二。

全徑十

勾三

弧弦六 矢一 弦五 股四

今解：已知圓徑為

，直方闊為 w ，則全積＝

3d

，矢長

＝

，利用「徑矢求弧弦法」可得弦長＝

2 ) 2 )(

(

2

w d

d

−

− −

，又用「弦矢求弧積法」

1 +

=

可求得兩弧積，而直方積可由「直方積＝全積－兩弧積」

求得。

4.1.3 較容

較容的內容是以利瑪竇和李之藻合譯（1608 年）的《圜容較義》一書為底 本增刪修改而成的。共分成五各部分，分別是「同周異容」 、 「同容異周」 、 「倍大」 、

「變形同容」 、 「相似」 。每個主題都分別列出一些定理。方中通除了抄錄該書「論 曰」的證明外，有些題目則在「通曰」中引用中國傳統的「以盈補虛」

的方法 證明。可見方氏在介紹西法的同時也不忘融入中算的方法。

一、同周異容

通曰： 「周不可以論容，故方田不以周步為率，同周者形必異，形異，容故 異耳。」即周長相同的幾何圖形，其形狀是不固定的，面積當然也隨之不確定。

以下是本主題的九個式子：

（式一）同周多邊形容 積，大於少邊形容積。

（式二）同周四直角形，

等邊容積，大於不等邊容 積。

（式三）同周等邊四角 形，直角容積，大於斜 角容積。

（式四）同周有法形，

多邊容積，大於少邊容 積。

（式五）同周等底三角 形，等邊容積，大於不等 邊容積。

（式六）同周多邊形，

等邊容積，大於不等邊 容積。

（式七）同周多邊等邊 形，等角容積，大於不 等角容積。

（式八）同周圓形容積，

大於有法形容積。

（式九）同周渾圓形容 積，大於長圓形容積。

茲舉一例分析如下：

同周等邊四角形，直角容積大於斜角容積。

直角如甲乙丙丁四角形，每邊五，

共周二十；斜角如戊己丙丁四角形，

每邊五，共周二十。

以斜角截戊庚丁三角形，補己辛丙三 角形，適足。是庚辛丙丁形，與戊己 丙丁形之容等矣。以直角截庚辛丙丁

今解：

本題是用「以盈補虛」的原理解題，

將直角三角形「戊庚丁」補至「己辛 丙」 ，面積不變。即平行四邊形戊己丙 丁面積＝矩形庚辛丙丁面積，所以，

矩形甲乙丙丁多平行四邊形戊己丙丁

1出入相補，又稱以盈補虛，是中國古代解決面積、體積問題的主要方法。

直方

弧弦七 圓中徑

七十四

二十四 矢二十五

戊 己

丁 丙

乙

甲

甲

乙 丁 丙

戊 己

辛 庚

戊 己

甲 乙

丁 丙

外，尚餘甲乙庚辛形，乃多於斜角者 也。

一塊小矩形甲乙庚辛。

在國一數學（康軒版）第二冊有類似上題 的命題：底邊固定的平行四邊形中以長方形的 面積最大。一般的證法是從面積公式下手，以 高去判斷兩者的面積大小。本題的解法可以提 供給學生另一條思考的方向。另外，文本中四 邊形的命名似乎沒有定法，有時按照順時針排 列，有時候又按某一橫向或縱向排列。

二、同容異周

通曰： 「有積於此，可方可圓，可斜可直，周之不一，其積實同。周既不可 以論容，容亦不可以論周也。」此外，他又認為「此與同周異容相反，同周以少 邊為小，言容之小也。同容以少邊為大，言周之大也。舉一可以類推。」同樣地，

面積相同的幾何圖形，其形狀是不固定的，周長當然也隨之不確定。所以，這部 分文中只舉一式說明。茲分析如下：

同容少邊形周，大於多邊形 周式：少邊如甲乙丙形，多邊 如甲己丙丁形，以甲乙丙形分 為二，得甲丁丙、甲丁乙兩 形。以甲己丙丁形分為二，得 甲己丙、甲丁丙兩形。相較皆 等容，而甲丙長於己丙，甲乙 長於甲丁，是以少邊者為大 也。

今解：

少邊如△甲乙丙，多邊如矩 形甲己丙丁，兩者面積相等，

如圖都是由兩塊全等的直角 三角形組合成的。△甲乙丙的 底邊乙丙＝乙丁＋丁丙＝甲 己＋丁丙，但甲丙＞己丙，且 甲乙＞甲丁，所以，少邊者△

甲乙丙周長較大。

三、倍大

所謂的「倍大」指的是幾何圖形的面積多一倍的意思。這裡分成兩式，分別 是「同底倍大容積式」和「不同底倍大容積式」 ，茲舉一式說明如下：

同底倍大容積式：乙丙 底，甲乙丙形，得戊乙己 丙形之半。作甲丁線，甲 丁乙形，與甲戊乙形等。

甲丁丙形，與甲己丙形等 故也。

通曰：下同乙丙底，上 切甲點，作與乙丙平行 線，得長方形始可。

今解：

＜作圖＞過△甲乙丙的頂點甲作 底邊乙丙的平行線戊己，再分別從 乙、丙兩點作平行線戊己的垂線，

則所構成的長方形戊乙丙己即為 所求。

＜證明＞過甲點作△甲乙丙底邊

垂線甲丁，則△甲丁乙

△乙戊

甲，△甲丁丙

△丙己甲，故

長方形戊乙丙己和△甲乙丙同

底，且面積為後者的兩倍。

寅

辛 庚 己

戊 丁

丙

乙 甲

壬 癸

丑 子

丁

丙

乙 甲

戊 乙

丁

庚 己

辛

四、變形同容

所謂的「變形同容」指的是幾何圖形的形狀改變而面積不變。這裡分成六式，

分別是「六角變四角式」 、 「六角變三角式」 、 「圓形變四角三角式」 、 「銳觚形變直 角立方形式」 、 「斜角能含圓形變直角立方形式」 、 「渾圓變直角立方形式」 ，茲舉 兩式說明如下：

今解：

正六邊形甲乙丙丁戊己的面積＝6 倍△甲乙庚的面積＝

6×b‰³ ×2Mh

＝

Mh b‰³ ×

×

3

＝

Mh b‰³•¸’šü ×

，

又壬癸＝庚辛，且癸子＝甲乙丙丁 線。

故長方形壬癸子丑面積＝正六邊形甲 乙丙丁戊己的面積。

（一）六角變四角式：六角如甲乙丙 丁戊己有法形，欲變為四角形。視六角 之心於庚，自庚至甲乙，作直角線庚 辛，另作壬癸線與庚辛線等，作癸子與 甲乙丙丁線等，則壬癸子丑四角形與甲 乙丙丁戊己六角形之所容等也。

論曰：自庚到各角，皆作直線，皆分 作三角形，皆相等。其甲乙庚三角形，

與甲辛、辛庚二線所作矩內直角形等。

若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線，以 與壬癸線共作矩內直角形，即與有法全 形等，蓋此半邊三其三角形，照甲乙庚 形，作分中垂線，其矩內直角形，具倍 本三角形故也。

通曰：半徑線作橫線，半周線作直 線，兩形之容相等。則以六角形之全徑 全周作四角形，其容四倍矣。然六角之 徑，必須兩角中分之辛寅相對為徑，非 角對角之甲丁為徑。

（二）圓形變四角三角式：圓形如甲乙丙形，先變為四角形，視圓心於丁，

得半徑丁乙線，另作丁乙線相等，作乙戊線，與甲乙丙半周線等，則丁乙戊己 四角形，與甲乙丙圓形之所容等也，次變為三角形，倍乙戊線為乙庚線，與甲 乙丙全周等，又作丁庚線，則丁乙庚三角，與甲乙丙圓形之所容等也。

通曰：截丁己辛形為辛戊庚形，則丁乙戊己形內虛丁己辛地，與丁乙戊己形 外盈辛戊庚地相等，則等圓形之四角變為三角，等四角之三角，自等於圓形也。

此題「通曰」中引用中國傳統的「以盈補虛」的方法證明，可見方中通在 介紹西法的同時也不忘融入中算的方法。

五、相似

通曰： 「形相似而大小不同也，相似者，可比例也，不相似者，非比例也。」

這裡的「相似」和現今的意義是一樣的。共有「并線并形求與并線形同容式」 、 「兩

壬 辛 庚

戊 己 丁

乙 丙 甲

形互并求同周式」和「兩形互并較容式」三式，茲舉一式說明如下：

并線并形求與并線形同容式：有甲乙 丙及丁戊己三角形二，兩形相似，因并 甲丙、丁己為丁辛一直線，於上作直角 方形，又并甲乙、丁戊為丁庚，乙丙、

戊己為庚辛，乃并此二線上所作兩方 形，與丁辛線上方形之所容等也。

論曰：引長丁戊至庚，令戊庚與甲乙 同度，從庚作線與戊己平行，又引丁己 長之，令相遇於辛，從己作己壬線於戊 庚平行，則己壬辛之角形，與丁戊己相 似，而丁戊己與甲乙丙相似矣。何者？

己壬辛角與庚角等，庚角與丁戊己等，

己（應為戊）角又與乙角等，而辛角與 丁己戊角及兩角俱等，壬己辛角與甲角 亦等，又己壬邊與戊庚相等，則亦與甲 乙相等，而壬辛與乙丙，己辛與甲丙，

俱相等，故丁辛線，兼丁己甲丙之度；

丁庚線，兼丁戊甲乙之度；庚辛線，兼 戊己乙丙之度。庚壬，即戊己也，然則 丁辛上直角方形，於丁庚及庚辛上兩直 角方形并，自相等矣。

通曰：此與勾股求弦相通也。丁庚上方 形，股冪也；庚辛上方形，勾冪也；丁 辛上方形，弦冪也。弦冪之內，應有勾 股二冪也。

今解：

＜作圖＞

以△丁戊己為基本圖形，延長丁戊至 庚，且戊庚＝甲乙；過庚作庚辛線平行 戊己，且交丁己的延長線於辛，構成直 角三角形丁庚辛。

＜證明＞

(1)∵壬角＝庚角，庚角＝丁戊己角，

丁戊己角＝乙角。∴壬角＝乙角。

(2)∵辛角＝丁己戊角，丁己戊角＝丙 角。∴辛角＝丙角。

(3)又戊庚＝甲乙，∴△己壬辛

△甲 乙丙。故戊庚＝己壬＝甲乙，壬辛＝乙 丙， 己辛＝甲丙。又庚壬＝戊乙，故 直角三角形丁庚辛滿足三邊分別是這 兩相似對應邊的和，自然此三角形的三 邊會滿足「勾股弦定理」 。

《數度衍》第十一卷主要是以《同文算指》卷五和《算法統宗》卷六為底本編 寫而成的，其內容有「遞加」 、 「外包」 、 「倍加」 ，

茲分析如下。

4.1.4 遞加

遞加即等差，等差數列是人類發現最早的數列。在中國數學史上，關於等差 數列的記載，最早見於《周髀算經》 ，但問題和算法均很簡單，僅限於以公差逐 項累加。 《九章算術》涉及等差數列問題雖有 8 題，但僅＜均輸章＞第 19 問給出 了推算公差的公式，而《張丘建算經》中的等差數列問題，無論從題目的數量、

內容的豐富以及算法的完備上來說，都是最為突出的。

《算法統宗》也有一題 談論到「七人等差分錢」的問題。而本節的主要內容應是出自《同文算指》卷五 之遞加法，不過方中通所寫的遞加比較為完整。

2遞加法即等差，有時也稱隔母法；外包即包方、包圓、包三角、包立方立圓立三角的問題；倍 加法即等比。

3參考王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系－南北朝隋唐數學》（石家庄：河北科學技術出版社，

2000 年），頁 118。

首先給出「循次順加」 、 「超二位加」等五個數列如下：

（1）循次順加（公差為 1）：1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10，11。

（2）超二位加（公差為 2）：1，3，5，7，9，11，13（奇數超加）；

2，4，6，8，10，12，14（偶數超加） 。

（3）超三位加（公差為 3）：1，4，7，10，13，16，19。

（4）超四位加（公差為 4）：1，5，9，13，17，21。

（5）超五位加（公差為 5）：1，6，11，16，21，26。

而遞加數列的公式共有十四個，為了便於說明，茲以現代符號表示如下：

編

號 類別 以現今符號表示

1 截三位較 設 a

（i=1,2,…,n,…）代表遞加數列的一般項，則 a

＋a

＝ 2a

。

2 截四位較 設 a

（i=1,2,…,n,…）代表遞加數列的一般項，則 a

＋a

＝a

＋a

。 3

截四位遞 加遞減較

設 a

（i=1,2,…,n,…）代表遞加數列的一般項，則 a

＝a

＋ a

－a

，a

前數，a

後數也。同理，a

＝a

＋a

－a

。

4

超加求積 法

設

一位，

∑ ∑ ( )

= =

× + +

= +

n =

i

n

i

n i

i

n a a a

a a

a

0 1

1 0

0 2

。

5

順加求積 法

即公差和首項均為 1 的等差級數的求和公式，

( )

n n n n

i i

n

i n

i

× +

= − +

∑ ∑

=

−

= 2

1

1 1

1

或 ( )

2 +1 n

n

。

6

順加異首 求積法

即公差為 1 但首項不為 1 的等差級數的求和公式，

( )( )

2 +1

−

= +

∑

a n n i a

n

a i

。

7

四面順加 求積法

即正方形堆垛的求和公式，

2) )( 1 1 3 (

1 6

) 1 2 )(

1 (

1

2 + + = + +

∑

=

n n n n

n i n

n

i

。

8

長闊順加 求積法

即長方形堆垛求和的公式，

6

) 15 1 2 )(

1 (

2 ) 1 ( 5 6

) 1 2 )(

1 ) (

5 ( ) 5 (

1 2

1

+ +

= +

+ + +

= + +

= + ∑

∑

n n

n

n n n

n i n i i

i

n

i n

i

＝

) 2 / 1 2 / 5 5 )(

1

(n+ n+ + +

n

。

9 奇偶超加 奇數超加求積式

即首項為 1 公差為 2 的等差級數，

2

1 2

) 1 1 2 ) ( 1 2

( n n n

i

n

i

+ =

= −

∑

=

。 偶數超加求積式

求積法

即首項公差均為 2 的等差級數，

) 1 2 (

) 2 2 2 (

1

+ + =

∑

=

n n n

i n

n

i

。 超加求尾數式

即一個等差級數已知首項 a、公差 d、項數 n，求其末項的方 法，a

＝a＋(n-1)d。

超加求首數式

10

超加求首 尾數法

即一個等差級數已知首項 a、公差 d、項數 n，求其首項的方 法，a＝a

－(n-1)d。

11

積和求位 數及首尾 二位數法

設此等差級數的和為 S

、首項 a、公差 d、末項 a

，則：

2 )

( _n

n

a a

S = n +

， 



 



÷  +

= 2

n n

a S a

n

；若

+

=

，

−

=

， 可得

q a_n = p+

，

2 q a= p−

。

12

積較求首 尾二位數 法

設此等差級數的和為 S

、首項 a、公差 d、末項 a

，則：

2 )

( _n

n

a a

S n +

=

，

+

= 2

÷

；若

−

=

，可得

2 ) 2

( S n q

a_n = ⁿ ÷ +

，

=

+

。

13

超加求逐 位細數法

設此等差級數的和為 S

、首項 a、公差 d，則：

∵

[ ] [ ]

2 ) 1 ) (

1 ( 2

1 )

1 (

1

d n na n d n na

d i a S

n

i n

+ −

=

− + + + +

=

− +

=

∑

=

Λ

，

∴

 − −

= 2

) 1 (

1 n n d

n S

a _n

，再利用

=

+ (

− 1 )

求出每一項。

14

超加求超 母及逐位 細數法

就是一個等差級數已知項數、前幾項總和與後幾項總和，求 其公差及每一項的方法。

4.1.5 外包

本節的主要內容應是出自於《算法統宗》卷六之方圓三稜和附束法，不過方 中通所寫的遞加還介紹「包立方立圓立三角」 。外包可分為四類，分別為包方、

包圓、包三角、包立方立圓立三角。如果中心不算，包方、包圓、包三角三者每

一種層數都會形成一等差數列，其公差分別為 8、6、9，茲以現代符號說明如下。

一、包方法

（一）外周求積式

「外周三十二，問總積幾何？曰：八十一。術：除中心一在外，以二層八，與外 周三十二相并，得四十，又以四十與外周三十二相乘，得一千二百八十為實，以 三層十六為法除之，得八十，加中心一，得八十一為總積。」

今解：已知外周＝32，∵總積＝1＋8＋16＋24＋32＝

1+(8＋32)＋(16＋24)＝1＋2(8＋32)；∴總積＝

16 81 ) 32 8 (

1+32 + =

。又設外周＝ x ，則總積＝

16 ) 8

1+ x( +x

。

（二）積求外周式

「總積八十一，問外周幾何？曰：三十二。術：去中心一在外，餘八十，以三層 十六乘之，得一千二百八十為實，以二層八（即超母）為縱，用帶縱開平方法除 之（詳十二卷） ，得三十二為外周。」

今解：已知總積＝81，由總積＝

16 ) 8

1+ x( +x

可知，

＝

，推得

2 + x8 =

x

，利用「帶縱開平方法」 （詳見開方法）可求得

。

（三）外周求層式

「外周三十二，問層幾何？曰：除心四層，連心五層。術：以超母八，除外周三 十二，得四，即除心之層數也。加心一層，共五層。」

今解：設外周為

= n 8 ( − 1 ) ，則

，所以，除心之層數＝

4 8 32 1= ÷ =

−

n

，加心一層，即

。

（四）外周及層數求積式

「外周三十二，除心四層，問總積幾何？曰：八十一。術：除中心一在外，以二 層八并外周三十二，得四十，以四層乘之，得一百六十，減半得八十，加中心一，

得八十一為總積。」

今解：已知外周＝32，除心層數＝4，所以，總積＝1＋8＋16＋24＋32＝1+(8＋

32)＋(16＋24)＝1＋2(8＋32)；所以，總積＝

) 32 8 (

1+ 4 + =

。

二、包圓法

（一）外周求積式

「外周三十六，問總積幾何？曰：一百二十七。術：除中心一在 外，以二層六與外周三十六相并，得四十二，又以四十二與外周 三十六相乘，得一千五百一十二為實，以三層十二為法除之，得 一百二十六，加中心一，得一百二十七為總積。」

十外一方 二周五八 三層包 丁 丙 乙

甲

今解：已知外周＝36，∵總積＝1＋6＋12＋18＋24＋30＋36＝1+(6＋36)＋(12＋

30)＋(18＋24)＝1＋3(6＋36)，∴總積＝

) 36 6 (

1+36 + =

。又設外周＝ x ，則

總積＝

+

＝

12 12

2

+ x 6 +

x

。

（二）積求外周式

「總積一百二十七，問外周幾何？曰：三十六。術：去中心一在外，餘一百二十 六，以三層十二乘之，得一千五百一十二為實，以超母六（即二層）為縱，用帶 縱開平方法除之，得三十六為外周。」

今解：已知總積＝127，由總積＝

12 ) 6

1+ x( +x

可知，

＝

，推 得

，利用「帶縱開平方法」 （詳見開方法）可求得

。

（三）外周求層式

「外周三十六，問層幾何？曰：除心六層，連心七層。術：以超母六，除外周三 十六，得六，即除心之層數也。加心一層，共七層。」

今解：設外周為

= n 6 ( − 1 ) ，則

，所以，除心之層數＝

6 6 36 1= ÷ =

−

n

，加心一層，即

。

（四）外周及層數求積式

「外周三十六，除心六層，問總積幾何？曰：一百二十七。術：除中心一在外，

以二層六并外周三十六，得四十二，以六層乘之，得二百五十二，減半得一百二 十六，加中心一，得一百二十七為總積。」

今解：已知外周＝36，除心層數＝6，所以，總積＝1＋6＋12＋18＋24＋30＋36

＝1+(6＋36)＋(12＋30)＋(18＋24)＝1＋3(6＋36)；所以，總積＝

2 127 ) 36 6 (

1+6 + =

。

三、包三角法

（一）外周求積式

「外周三十六，問總積幾何？曰：九十一。術：除中心一在外，以二層九與外周 三十六相并，得四十五，又以四十五與外周三十六相乘，得一千六五百二十為實，

以三層十八為法除之，得九十，加中心一，得九十一為總積。」

今解：已知外周＝36，因為，總積＝1＋9＋18＋27＋36＝1+(9

＋36)＋(18＋27)＝1＋2(9＋36)；所以，總積＝

18 91 ) 36 9 (

1+36 + =

。又設外周＝ x ，則總積＝

18 ) 9

1+ x( +x

。

（二）積求外周式

「總積九十一，問外周幾何？曰：三十六。術：除中心一在外，餘九十，以三層 十八乘之，得一千六百二十為實，以超母九為縱，用帶縱開平方法除之，得三十 六為外周。」

今解：已知總積＝91，由總積＝

18 ) 9

1+ x( +x

可知，

＝

，推得

2 + x9 =

x

，利用「帶縱開平方法」 （詳見開方法）可求得

。

（三）外周求層式

「外周三十六，問層幾何？曰：除心四層，連心五層。術：以超母九，除外周 三十六，得四，即除心之層數也。加心一層，共五層。」

今解：設外周為

= n 9 ( − 1 ) ，則

，所以，除心之層數＝

4 9 36 1= ÷ =

−

n

，加心一層，即

。

（四）外周及層數求積式

「外周三十六，除心四層，問總積幾何？曰：九十一。術：除中心一在外，以二 層九并外周三十六，得四十五，以四層乘之，得一百八十，減半得九十，加中心 一，得九十一為總積。」

今解：已知外周＝36，除心層數＝4，所以，總積＝1＋9＋18＋27＋36＝1+(9＋

36)＋(18＋27)＝1＋2(9＋36)；所以，總積＝

) 36 9 (

1+ 4 + =

。

四、包立方、立圓、立三角法

這裡所謂的立方、立圓、立三角，分別指的是正立方體、正六角柱、正四面 體。而包立方、立圓、立三角不像包方、包圓、包三角可以形成等差數列，茲以 現代符號說明如下。

（一）包立方法

（1）立方面求層式

「立方面九，問層幾何？曰：除心四層，連心五層。術：通曰，以面九，去中心 一，存八，折半得四，即除心之層數也。加心一五層，每層一面加二，故二數為 一層也。」今解：設面為

= 1 + 2

，則

，所以，除心之層數＝

4 2 ) 1 9

( − ÷ =

=

n

，加心一層，故連心五層。

（2）立方層求面式

「立方除心四層，問面幾何？曰：九。術：通曰：以四層倍之為八，加中心一，

得九，即方面。」今解：設面為

= 1 + 2

，則底

= 1 + 2 × 4 = 9 。

（3）立方面求外包式