4.3 艮七冊分析
4.3.1 方田章
方田章的內容主要是探討各種田畝面積的計算公式，諸如方形、圭形（三角 形）、梯形、勾股形（直角三角形）、圓形以及弧矢形等，其中大多數是精確的，
有一些則是近似的。共分成「丈量」和「田形」兩部分。而傳統方田章內的分數 之加、減、乘、除四則運算與約分，則已出現在第三卷筆算下，這裡並未贅述。
4.3.1.1 丈量
首列「定畝」、「積步求畝法」和「珠算飛歸法」，在這之後則是一系列「求 畝」、「還原」與「步帶奇零」的問題，並介紹「諸率」、「九則折畝率」。 一、定畝
畝法二百四十步自秦至清歷代遵用，除此還有其它定畝的方法，如圖 4.10，
茲以現代符號說明如下：
（1）1 畝＝1 步×240 步＝1 丈×60 丈；
（2）1 弓＝1 步＝5 尺＝10 分，1 分＝5 寸，1 釐＝5 分；
（3）1 弓冪＝1 弓2＝25 尺2；
（4）1 畝＝240 步2（弓冪）＝60×4×25 尺2＝6000 尺2
＝60 丈2。 二、積步求畝法
積步求畝法可分成「用二十四除式」和「折廣式」兩種，茲舉例並以現代符 號說明如下：
（一）用二十四除式
術：直田一坵，長四十弓，廣十四弓四分，
相乘得五百七十六步。用二十四除之得二 畝四分。
今解：40 弓×
10
14 4 弓＝576 步2＝ 240 576
畝＝2.4 畝（1 弓2＝1 步2）
（二）折廣式
術：長四十弓。四廣，一曰十三弓，一曰 十九弓四尺，一曰十二弓一尺，一曰十二 弓三尺，先并諸廣，得五十六弓八尺。每 尺作二分，歸整得五十七弓六分。四廣當 用四除折之，折得十四弓四分。始與長弓
今解：40 弓× (13 19.8 12.2 12.6) 4
1 + + +
弓
＝40 弓× 57.6
41 × 弓＝40 弓×14.4 弓 五 尺 十
分
一步
一弓 清代算學家方中通及其算學研究
圖 4.10
珠算飛歸法是指以「二十四除之」的捷 法，主要是為了方便於積步化畝，其口訣如
下：「一加三隔四；二加六隔八； 進一除二四，一曰二十四子一方歸；進二除四 八，一曰四十八子進二枚； 進三除七二，一曰七十二子進三枚； 進四除九六，
一曰九十六子進四枚； 獨三進一位二五；獨九進三位七五； 一二身作五，一曰 見一作五下除二； 一四四作六；一六八作七；一九二作八； 一八作七五；三六 作一五；二一六作九。」
三、積尺求畝法
積尺求畝法可分成「用六除式」和「用倍尺又二十四除式」兩種，茲舉例並 以現代符號說明如下：
（一）用六除式
術：直八十尺，廣七十五尺，相乘得六 千尺，用六除之得一畝。
今解：80 尺×75 尺＝6000 尺2＝1 畝
（可視為 6÷6）。
（二）用倍尺又二十四除式
術：直八十尺，倍為一百六十尺。廣七 十五尺，倍為一百五十尺。然後相乘得 二萬四千尺，再用二十四除見畝。
今解： 80 尺×75 尺＝（160 尺×150 尺）÷4＝（24000 尺2）÷4＝6000 尺
2＝1 畝（可視為 24÷24）。
四、合積求畝法
合積求畝法可分成「化尺式」和「化步式」兩種，茲舉例並以現代符號說明 如下：
（一）化尺式（化尺為步）
術：直十六步，廣七十五尺，以二因廣 尺，得一百五十尺，作十五弓。然後相乘，
得二百四十為積步。如法見畝。
今解：16 步×75 尺＝16 步×
5
75步＝16 步×15 步＝240 步2＝1 畝
（二）化步式（化步為尺）
術：直十六步，廣七十五尺，以五因 直步，得八十尺，然後相乘，得六千尺 為積尺。如法見畝。
今解：16 步×75 尺＝（16×5）尺×75 尺
＝80 尺×75 尺＝6000 尺2＝1 畝。
五、不積求畝式
不積求畝式需用到用如下的「諸率」求畝，可分成「主直式」和「主廣式」
兩種。
【諸率】
（1）二弓折半六而一（而一者歸也）；三弓用八歸；
（2）四弓用六歸；五弓用六八歸（或先六後八或先八後六者皆可）；
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
（5）十五弓用二八歸；十六弓用三歸又加倍；
（6）十八弓折半又五因；二十四弓十為畝（見十弓為一畝也）；
（7）二十五弓折半又六八歸；三十二弓四因又三歸；
（8）三十六弓用五因；三十七弓半用八八歸（兩次八歸也）；
（9）四十八弓加一倍；六十四弓三歸又八因；
（10）七十二弓加倍又五因；七十五弓用四八歸；
（11）九十六弓用四因 茲舉例並以現代符號說明如下：
（一）主直式
術：如以直為主者，直或二弓，或 二十弓，或二百弓，則以廣弓之數在 位，折半餘用六歸見畝。
今解：240=20×12，
6 2 œA‹|”VÉ 12
œA‹|”VÉ
= × 。
（二）主廣式
術：如以廣為主者，廣或十五弓，
或一百五十弓，則以直弓之數在位，
先用二歸，後用八歸見畝。
今解：240=15×16，
8 2 16 = 直弓之數×
直弓之數 。
六、步帶奇零法
步帶奇零法可分成「單分母子式」和「雙分母子式」兩種，其算法是屬於「奇 零乘法」的範疇，茲以現代符號說明如下：
（一）單分母子式： 57
25 1425 5
19 5 75 5 15 19 5 34
15× = × = × = = 。
（二）雙分母子式： 240
980 235200 20
49 49 4800 20
2 9 49
9747× = × = = 。
七、還原法
還原法共分成下列「反畝為步式」、「反步為直廣式」、「倍直半廣式」、「半直 倍廣式」和「直田積反求直廣式」五式，即求畝法的還原。除此之外還附列「飛 歸還原」和「九則折畝率」如下：
（一）飛歸還原：退一加二四；退二加四八；退三加七二；退四加九六；五留一 二；六留一四四；七留一六八；八留一九二；九留二一六。
（二）九則折畝率
（1）上上則：三畝折一畝三分，乃二畝三分三釐零折一畝也。毛畝上定身 三因三歸。
（2）上中則：三畝折一畝二分五釐，乃二畝四分折一畝也。毛畝上用飛歸。
（3）上下則：三畝折一畝二分，乃二畝五分折一畝也。毛畝上用四因，或 積步上用六歸。
清代算學家方中通及其算學研究
（5）中中則：三畝折一畝，毛畝上用三歸。
（6）中下則：三畝折九分，乃三畝三分三釐零折一畝也。毛畝上用三因。
（7）下上則：三畝折八分，乃三畝七分五釐折一畝也。毛畝上用八因三歸，
或積步上用九歸。
（8）下中則：三畝折七分五釐，乃四畝折一畝也。毛畝上用四歸。
（9）下下則：三畝折七分，乃四畝二分八釐零折一畝也。毛畝上七因三歸。
塘或六畝一分四釐折一畝。
此外，為了方便記憶，本卷還附有口訣如下：「毛田上上定三因，因後三歸 實即真，只有上中飛又用，若逢上下四因成，定身中上先加一，得數三歸即便清，
獨是中中來折實，三歸一徧即分明，毛當中下三因得，下上三歸又八因，若遇下 中歸用四，三歸下下七先因，或從積步來求實，九則中間兩則行，上下六歸下上 九，不須毛畝快如神。」
4.3.1.2 田形
田形是關於平面圖形的面積算法，在明清之際有不少的算書都有提及，如吳 敬《九章算法比類大全》（1450 年）、王文素《算學寶鑑》（1522 年）、柯尚遷《數 學通軌》（1578 年）、徐心魯《盤珠算法》（1573 年）、程大位《算法統宗》（1592 年）等。而本節內容主要是出自《算法統宗》卷之三方田，以下共分成「諸形量 法」和「減并截量法」兩個部分。
一、諸形量法
共有二十八個圖形，其中有一個圖形未給名稱，其中只有十四個圖形《算法 統宗》出現過。這些圖形的面積公式中，有些只是近似而已，但在不要求十分精 準的情況下，仍有其實用性。茲將其圖形以及面積公式，以現代數學符號表示如
【附錄五】。
此外，以下七種圖形的面積算法也和【附錄五】的「三廣形」一樣。
鼓 形
六 角 形
箭 頭 形
箭 翎 形
錠 形
象 限 形
鎖 形
W M E
a N
S M a
W
a
M E W
a M E
a N
S M
b1 b2
b3
a W
a M E
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
如圖 4.11，減并截量法乃是將一個不規則圖形減并成一些基本圖形後，然後 再利用這些基本圖形的面積作加減，如通曰：「先增虛形以求，後減虛形以得，
此亦變法也。」而這些基本圖形包括方形、長形、圭形、梯形、勾股形、弧矢形、
牛角形。圖 4.11 中除了「牛角減圭」和「角減弧矢」之外，其餘都岀自《算法 統宗》。