4.3 艮七冊分析
4.3.3 差分章
1 (n+
n ＝ ( 1)( 2)
6
1n n+ n+ 。
（九）三角半堆式：利用兩次“三角尖堆式”相減。設上闊 m，底闊 n，
則積＝ n n (m 1)m 2
) 1 1 2 (
1 + − − 。
（十）磚堆式：設長 a ，高b，入深 c ，磚長a ，磚闊0 b ，磚厚0 c 。 0 則積＝(a÷a0)×(b÷b0)×(c÷c0)。
茲舉一例並用現代符號說明如下：
四面半堆式：上長二十五，闊十二，
下長三十，闊十七，中高六，問積若干？
曰：二千四百一十。
術：倍上長得五十，加下長得八十，乘上 闊得九百六十，倍下長得六十，加上長得 八十五，乘下闊得一千四百四十五，并兩 乘數，共二千四百○五，以下長減上長餘 五并之，得二千四百一十，乘高，得一萬 四千四百六十為實，以六為法，除實即 得。
今解：設上長 a，上闊b，下長 c，下闊d， 中高h。則半堆積＝
h a c d a c b c
a+ ) +(2 + ) +( − )]× 2
6[(
1 ＝
)]
25 30 ( 17 ) 25 60 ( 12 ) 30 50 6[(
1 + × + + × + − ×
＝ [960 1445 5] 6 6
1 + + ×
＝ 2410 6 6
1× × ＝2410。
二、量捆法
本卷給岀三種木捆求和的經驗算法。設有木徑 5 寸，長 15 尺，垛深h尺，
垛闊 a 尺，垛長b尺，總數S，茲用現代符號整理如下：
（一）一封書式： )
1 10 15 (
4 h
abh
S = + 。
（二）方捆式： )
1 100 15 (
4 a
abh
S = + 。
（三）荒排式： )
1 30 45 (
4 h
abh
S = + 。
4.3.3 差分章
差分即衰分，「衰」者按比例也，「分」者分配也。意指按其爵位之大小、能
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
和「和率差」四個部分。而傳統衰分章內的等差級數、等比級數之計算公式，則 放在第十一卷之遞加、倍加，這裡並未贅述。本卷的主要內容出自《算法統宗》
卷之五差分和《同文算指》通編卷之二、三。
4.3.3.1 兩分差
分成「四六差分」、「三七差分」、「二八差分」三類，與《算法統宗》一致，但 算題主要出自《同文算指》，這三類差分共同的特性是相鄰兩衰之比例均不變。
一、四六差分法
四六差分即相鄰兩衰之比為六比四之衰分問題，故可用六乘四除得出後衰。
又六比四之值為 1.5，還可用加五法得出後衰。如五位裒：戊裒四、丁裒六、丙 裒九、乙裒十三裒五分、甲裒二十裒二分五釐。本法的例題有「二等戶式」和「四 等戶式」兩式，此兩式均出自《同文算指》，茲舉一式說明如下：
二等戶式：派糧三百八十五石五斗二升，甲乙二 等戶，甲六分，乙四分，辦納，甲二十六戶，乙四 十戶，問各一戶各共戶若干？曰：甲一戶納七石三 斗二升，共納一百九十石○三斗二升；乙一戶納四 石八斗八升，共納一百九十五石二斗。術：甲裒六，
乙裒四，以六乘甲戶，得一百五十六，以四乘乙戶，
得一百六十，并得三百一十六為首率，以總糧為次 率，以甲裒六，乙裒四，為各三率，以甲三率六乘 次率，以首率除得甲一戶之數，以甲戶乘得共數，
以乙三率四乘次率，以首率除得乙一戶之數，以乙 戶乘得共數。
今解：
∵甲裒 6，乙裒 4。
∴首率＝26×6＋40×4＝156
＋160＝316，又總糧 38552。
∴甲一戶納
316 6 38552×
＝ 732，共納 732×26＝19032；
乙一戶納 316 4 38552×
＝488，
共納 488×40＝19520。
二、三七差分法
三七差分即相鄰兩衰之比為七比三之衰分問題，故可用七乘三除得出後衰。
如三位裒：丙裒九、乙裒二十一、甲裒四十九。本法的例題有「三等戶式」和「五 等戶式」兩式，此兩式均出自《同文算指》，茲舉一式說明如下：
三等戶式：派糧二百六十一石，甲乙丙 三等戶，甲七分，乙三分，乙七分，丙三 分，辦納，甲二十一戶，乙三十二戶，丙 四十三戶，問各一戶各共戶若干？曰：甲 一戶六石一斗二升五合，共一百二十八石 六十二升五合；乙一戶二石六斗二升五 合，共八十四石；丙一戶一石一斗二升五
今解：
∵甲裒 49，乙裒 21，丙裒 9。
∴首率＝21×49＋32×21＋43×9＝1029
＋672＋387＝2088，又總糧 261。
∴甲一戶納
2088 261×49
＝6.125，共納 6.125×21＝128.625；乙一戶納
清代算學家方中通及其算學研究
甲戶，得一千○二十九，乙裒乘乙戶，得 六百七十二，丙裒乘丙戶，得三百八十七，
相并得二千○八十八為首率，總糧為次 率，各裒為各一戶之三率。
2088
84；丙一戶納 2088 261×9
＝1.125，共納 1.125×43＝48.375。
三、二八差分法
二八差分即相鄰兩衰之比為八比二之衰分問題。八比二之值為四，故可用乘 四得出後衰。如五位裒：戊裒二、丁裒八、丙裒三十二、乙裒一百二十八、甲裒 五百一十二。本法的例題有「四等戶式」和「五等戶式」兩式，其中「四等戶式」
出自《同文算指》，茲說明如下：
四等戶式：派銀二千六百三十五兩，
甲乙丙丁四等戶，甲八分，乙二分，乙 八分，丙二分，丙八分，丁二分，辦納，
問各若干？曰：甲一千九百八十四兩；
乙四百九十六兩；丙一百二十四兩；丁 三十一兩。
術：丁裒二，丙裒八，乙裒三十二，
甲裒一百二十八，并得一百七十為首 率，總銀為次率，各裒為各三率。
今解：
∵甲裒 128，乙裒 32，丙裒 8，丁裒 2。
∴首率＝128＋32＋8＋2＝170，又總銀 2635。
∴甲戶納 170 128 2635×
＝1984，乙戶納
170 32 2635×
＝496，丙戶納 170
8 2635×
＝124，
丁戶納 170 2 2635×
＝31。
4.3.3.2 遞分差
分成「遞減差分法」、「隔位遞減差分法」、「互和減半差分法」三類。
一、遞減差分法
遞減差分即各衰成等差數列之衰分問題。如二位者：甲裒二、乙裒一；三位 者：甲裒三、乙裒二、丙裒一。本法的例題有「四位式」、「五位式」和「又式」
三式，茲舉一式說明如下：
四位式：銀九十二兩，甲乙丙丁四人 遞減分之，問各若干？曰：甲三十六兩 八錢，乙二十七兩六錢，丙十八兩四 錢，丁九兩二錢。
術：甲裒四，乙裒三，丙裒二，丁裒一，
并得一十為首率，總銀為次率，各裒為 各三率。
今解：
∵甲裒 4，乙裒 3，丙裒 2，丁裒 1。
∴首率＝4＋3＋2＋1＝10，又總銀 92。
∴甲得 10 4 92×
＝36.8，乙得 10
3 92×
＝ 27.6，丙得 ＝18.4，丁得
10 1 92×
＝9.2。
二、隔位遞減差分法
隔位遞減差分即各衰成等比數列之衰分問題。如（1）減六者：甲裒一百、
乙裒六十、丙裒三十六；（2）七減者：甲裒一百、乙裒七十、丙裒四十九。本法
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
用六減式：派絹四百七十丈○一尺八 寸四分，甲乙丙三等戶，以一十分之六 遞減辦納，甲二十五戶，乙三十戶，丙 四十八戶，問各一戶各共戶若干？曰：
甲一戶七丈八尺，共一百九十五丈；乙 一戶四丈六尺八寸，共一百四十丈○四 寸（應為尺）；丙一戶二丈八尺○八分，
共一百三十四丈七尺八寸四分。
術：甲裒一百，乘甲戶得二千五百；乙 裒六十，乘乙戶得一千八百；丙裒三十 六，乘丙戶得一千七百二十八，并得六 千○二十八為首率，總絹為次率，各裒 為各一戶之三率。
今解：
∵甲裒 100，乙裒 60，丙裒 36。
∴首率＝25×100＋30×60＋48×36＝2500
＋1800＋1728＝6028，又總絹 470.184。
∴甲一戶納
6028 100 184 . 470 ×
＝7.8，共納 7.8×25＝195；乙一戶納
6028 60 184 . 470 ×
＝ 4.68，共納 4.68×30＝140.4；丙一戶納
6028 36 184 . 470 ×
＝2.808，共納 2.808×48＝
134.784。
三、互和減半差分法
如文中所言「三位者，曰三，曰五，曰七，并一十五為裒；四位者，曰二，
曰四，曰六，曰八，并二十為裒，五位者，曰一，曰三，曰五，曰七，曰九，并 二十五為裒，奇用奇，偶用偶也。」互和減半差分法的例題有「三位式」、「四位 式」 和「五位式」三式，茲舉一式說明如下：
三位式：糧一百八十石，給甲乙丙 三人，云甲多丙三十六石，令互和減 半分之，問各若干？曰：甲七十八石，
乙六十石，丙四十二石。
術：以糧數為實，以三位并裒一五（一 十五作一五）為法，除實得一百二十，
乃甲丙二人首尾和數內減甲多三十 六，餘八十四，折半得丙數，加甲多 三十六得甲數，和甲丙二數得一百二 十，折半得乙數。
今解：
∵甲裒 7，乙裒 5，丙裒 3，并裒 15，且 甲－丙＝36，總糧 180。
∴甲＋丙＝ 120 15
10 180× =
， 丙得 (120 36)
2
1× − ＝ 84
21 × ＝42，
甲得 42＋36＝78，
乙得 ( ) 2
1× b +•¸ ＝ 120
21 × ＝60。
4.3.3.3 倍分差
倍分差內容完全出自《同文算指》通編卷之二，但只有「倍減差分法」一類。
「倍減差分法」其比例分配成一等比數列，且其公比＝2，如（1）二位者：甲裒 二，乙裒一；（2）三位者：甲裒四，乙裒二，丙裒一。本法的例題有「三位式」
和「五位式」兩式，此兩式均出自《同文算指》，茲舉一式說明如下：
三位式：銀一萬八千○八十八兩，甲 乙丙三人倍減分之，問各若干？曰：甲 一萬○三百三十六兩，乙五千一百六十
今解：
∵甲裒 4，乙裒 2，丙裒 1。
∴首率＝4＋2＋1＝7，又總銀 18088。
清代算學家方中通及其算學研究
為首率，總銀為次率，各裒為各三率。
7 7
＝5168，丙得 7
1 18088×
＝2584。
4.3.3.4 子母差
子母差共分成「求分子法」、「求原母法」、「求岀時法」、「和求法」四類，茲 分述如下。
一、求分子法
本法分成「共子各母求各子式」、「共子各母各時求各子式」和「共時共子各母 各時加減求各子式」三式，此三式均出自《同文算指》，茲舉一式說明如下：
共子各母求各子式：四商共販得 子銀六千兩，甲母六十，乙母一 百，丙母一百二十，丁母二百，問 各分子銀若干？曰：甲七百五十 兩，乙一千二百五十兩，丙一千五 百兩，丁二千五百兩。
術：四母相并，得四百八十兩為首 率，共子為次率，各母為各三率。
今解：
∵甲母 60，乙母 100，丙母 120，丁母 200。
∴首率＝60＋100＋120＋200＝480，又共銀 6000。
∴甲得 480 60 6000×
＝750，乙得
480 100 6000×
＝ 1250，丙得
480 120 6000×
＝1500，丁得
480 200 6000×
＝2500。
二、求原母法
本法分成「共母共子及各子求各母式」、「共子各子及出母率求各母式」和「共 時各時及甲母均分子求乙丙式」三式，此三式均出自《同文算指》，茲舉一式說 明如下：
共母共子及各子求各母式：三商共母 一千五百二十兩，得子一千九十兩，甲 分一百二十兩，乙分四十兩，丙分三十 兩，問各母若干？曰：甲九百六十兩，
乙三百二十兩，丙二百四十兩。
術：共子為首率，共母為次率，各分 子為各三率。
今解：
∵首率＝共子＝190，次率＝共母＝
1520。
∴甲得 190 120 1520×
＝960，
乙得 190 40 1520×
＝320，丙得 190
30 1520×
＝ 240。
三、求出時法
本法只有「共子各母各子及甲時求乙丙時式」一式，也是出自《同文算指》， 說明如下。
共子各母各子及甲時求乙丙時式：三 商共販得子銀一千兩，甲母三百兩，係 滿十月，乙母七百兩，丙母八百兩，俱
今解：
(1)∵首率＝甲子＝500，次率＝甲月×
甲母
第四章、《數度衍》的內容分析（二）
乙二月及七分月之四，丙一月又二分月 之一。
術：以甲為準，以甲子五百為首率，以 甲月乘甲母，得三千為次率，以乙丙各 子為各三率，如法次三兩率相乘，首率 除得四率，乙得一千八百，為乙母乘乙 月之數，丙得一千二百，為丙母乘丙月 之數，再以乙母除乙四率，得乙月數，
丙母除丙四率，得丙月數。
∴乙月×乙母＝
500 ， 得乙月×700＝1800，乙月＝
7 24 18 =7 ； (2)同上，首率＝500，次率＝3000，三
率＝丙子＝200。
∴丙月×丙母＝
500 200 3000×
， 得丙月×800＝1200，丙月＝
2 11 12 =8 。 四、和求法
和求法共分成七式，其中包括兩個附式，其中有四式出自《同文算指》。附式 的題目相當於今之計息的問題，茲舉一式說明如下：
共子各子甲母與時及乙母丙時求乙 時丙母式：三商共得子銀一百三十八 兩，甲母二百兩，經十二月，乙母二百 四十兩，不知月，丙經十月，不知母，
其子銀則甲分六十，乙分四十八，丙分 三十，問乙時丙母若干？曰：乙時八 月，丙母一百二十兩。
術：以甲子為首率，甲母乘甲月，得
術：以甲子為首率，甲母乘甲月，得