4.2 坎六冊分析
4.2.3 開立方
開立方術始見於《九章算術》＜少廣章＞。中國古代開立方法，儘管術語、
步驟有別，但始終遵循其原理。賈憲增乘開立方法於明季一度失傳，至清中葉方 復顯於世。14方氏此處所述開立方法當屬於《九章算術》開立方法。本節首先介 紹「珠算開立方法」和「筆算開立方法」，「籌算開立方法」前面已提，此處未再 贅述，在這之後則是一系列各類型的開立方法。
一、珠算開立方法
明代珠算開立方以王文素、朱載堉、程大位為代表，列式都沿用《張邱建算 經》（成書年代不詳）籌算開立方的「方、廉、隅、下法」等名稱，但型式內容 稍有不同。15《數度衍》承襲《算法統宗》，將珠算開立方法共分成「商除開立 方」和「歸除開立方」兩類，茲分別說明如下：
（一）商除開立方法
「商除開立方法」的步驟如下表 步
驟 商 實 下法 方法
（3a） 廉法【(a+b)b】 隅 (b3)
1 N
2 a1 N
a 1
3 a 1 N−a13 a 1 3a 1 4 a1 +a2 N−a13 a1 +a2 3a 1
5 a1 +a2 N−a13 a1 +a2 3a 1 (a1 +a2)a2 6 a1 +a2
1
2 2 1 1 3
1 3 ( )
N
a a a a a N
=
+
−
− a1 +a2 3a 1 (a1 +a2)a2
7 a1 +a2 N1 −a23 a1 +a2 3a 1 (a1 +a2)a2 a23 8 a1 +a2 N1 −a23 a1 +a2 3(a1+a2) (a1 +a2)a2 a23 9
3 2 1
a a a +
+ N1 −a23 = N2
3 2 1
a a a +
+ 3(a1+a2) (a1 +a2 +a3)a3 a23
1 0
3 2 1
a a a +
+
3 3 2 1
2 1 2
) (
) (
3
a a a a
a a N
+ +
+
−
3 2 1
a a a +
+ 3(a1+a2) (a1 +a2 +a3)a3 a33
14參照梅榮照、李兆華，《算法統宗校釋》，頁 546。
15參照勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 158。
1 1
3 2 1
a a a +
+
3 3
3 3 2 1
2 1 2
) (
) (
3
a
a a a a
a a N
−
+ +
+
−
3 2 1
a a a +
+ 3(a1+a2) (a1 +a2 +a3)a3 a 33
茲以下題為例，用現代的符號來說明珠算的「商除開立方法」。 式：積一百九十五萬三千一百二十五，問立方一面幾何？
原述文 運算
（1）置積盤中，約初商一百，別立下法，
亦置一百，以初商自乘再乘，得一百萬，
以減實，餘九十五萬三千一百二十五。
初商a ＝100， 1
1953125－100×100×100
＝1953125－1000000
＝953125
（2）以三乘下法一百，得三百為方法，列 右，次商二十，置下法一百之次，共一百 二十，又以次商乘之，得二千四百為廉法，
再以方法三百乘廉法，得七十二萬以減餘 實，尚餘二十三萬三千一百二十五。
方法3a ＝100×3＝300，次商1 a ＝2 20，
廉法(a1 +a2)×a2＝120×20＝2400，
方法×廉法＝720000，
餘實＝953125－720000
＝233125。
（3）又以次商自乘再乘，得八千為隅法，
以減餘實，尚餘二十二萬五千一百二十五。
隅法a23＝20×20×20＝8000，餘實＝
233125－8000＝225125。
（4）以三乘下法一百二十，得三百六十為 方法，列右，三商五，置下法一百二十之 次，共一百二十五，又以三商乘之，得六 百二十五為廉法，又以方法三百六十乘廉 法，得二十二萬五千以減餘實，尚餘一百 二十五。
方法3(a1+a2)＝120×3＝360，三商 a ＝5， 3
廉法(a1 +a2 +a3)×a3＝125×5＝
625，
方法×廉法＝225000，
餘實＝225125－225000＝125。
（5）又以三商自乘再乘，得一百二十五為 隅法，以減餘實，實盡，得面一百二十五。
隅法 ＝5×5×5＝125，實盡。
得面＝a1 +a2 +a3＝125。
（二）歸除開立方法
法此與前法的區別在於決定次商上。其次商a 是由餘實2 N −a13和3a12歸除 而得。這樣一來，既求岀了次商，又從實中減去了積3a12a2，再繼續減積
2 2 2 2
1 )
3
( aa +a a 。若有三商a 時，與求3 a 的方法一樣。2 16
「歸除開立方法」步驟如下表
16參考陳威男，《明代算書算法統宗內容分析》（台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士 論文，2002 年），頁 72。
步
102503232－400×400×400
＝102503232－64000000
＝38503232
（2）以三乘右下一十六萬，得四十八萬 為方法歸除之，曰：四三七餘二，實不 足除，曰起一還四，則次商不可用七，
止可用六也，乃呼六八除實四百八十 萬，餘實九百七十萬○三千二百三十二。
方法3a12＝3×400×400＝480000，約次 商a ＝60， 2
方法×次商＝3a12a2＝28800000，
餘實＝38503232－28800000＝
9703232。
（3）另以次商六十乘初商四百，得二萬
4536000，
餘實＝9703232－4536000＝5167232。
（4）以方法四十八萬，并入兩回廉法十 四萬四千，三回隅法一萬○八百，共得 六十三萬四千八百為方法歸除之，曰六 五八餘二，則三商為八也，乃呼三八除 實二十四萬，四八除實三萬二千，八八 除實六千四百，餘實八萬八千八百三十 二。
∵3(a1+a2)2 =3a12 +2×3a1a2 +3a22， 且方法3a12 =3×4002 =480000，兩回 廉法＝2×3a1a2＝2×3×400×60＝
144000，
三回隅法＝3a22＝ ＝10800。
∴共得 480000＋144000＋10800＝
634800 。
約三商a ＝8，3 3(a1 +a2)2a3＝634800×
8＝5078400，餘實＝5167232－
5078400＝88832。
（5）再置初次兩商共四百六十，以三商 八乘之，得三千六百八十，以三乘之，
得一萬一千○四十，并入三商自乘得六 十四，共一萬一千一百○四，却以三商 呼除之，一八除實八萬，一八除實八千，
一八除實八百，四八除實三十二，實盡，
得面四百六八。
3 2 3 3 2
1 ) ]
( 3
[ a +a a +a ×a
＝[3(400+60)×8+82]×8
＝[11040＋64]×8＝11104×8＝88832，
88832－88832＝0，實盡。
得面＝a1+a2 +a3＝468。
二、筆算開立方法
同李之藻的《同文算指》的筆算開立方法是用「帆船法」來進行開方。步驟 是求得初商後，用「3 倍初商」和「餘實」來決定次商。茲以下例說明之。
式：捌十叁億陸千伍百肆十貳萬柒千，問立方一面幾何？
原術文 運算
（1）自末位○下作點，隔二位一點，共四點，分 為四段，知商有四位也，尋原初商得二，乃以二 自乘再乘得八，減首位實捌，完首段。
初商＝2，
∵2×2×2＝8，∴8－8＝0 餘實＝365427000。
（2）次段實叁陸伍除點上之伍未用，且作叁十陸 開之，乃三倍初商二為六，作廉法另置右上，以 初商二，加○作二十，以乘六，得一百二十，當 以此數商除二段之實，而叁十陸反小，一百二十 反大，遇此，則商有○矣，竟於格右紀○當作次 商，完二段。
約次商，廉法＝3×2＝6，6×20
＝120，
∵120＞36，∴次商＝0 仍餘 365427000。
（3）三段實叁陸伍肆貳柒，除點上之柒未用，且 作叁萬陸千伍百肆十貳開之，亦三倍初次兩商之 二實為六十，置右上，亦以二○加○作二百，以 乘六十，得一萬二千，用此數於實內商之，三商 當是三，以廉六十乘三，得一百八十，并一萬二 千，共一萬二千一百八十，又以三乘之，得三萬 六千五百四十為廉另以三商三自乘再乘得二十七 為隅將廉隅減實，實盡，隅必註點下，故七在柒 下，二在貳下也，完三段。
約三商，3×20＝60，60×200
＝12000，得三商＝3，
60×3＝180，3×（12000＋180）
＝3×12180＝36540，
36542－36540＝2，餘 27000。
3×3×3＝27，27－27＝0。
（4）尚餘四段未開，於右加○作四商，得面二千
○三十。
約四商，四商＝0。
故立方一面＝2030。
如果是開方不盡的情形，便用「命分數」命為分數。並以
「 3 2 3 1
3 3
3
+ + +
≈ +
= a a
a r r a
N 」估算其近似值。
三、立方不等開法
此法即《算法統宗》卷六之開立方帶縱法，形如：(1)x2(x+ p)=q(p,q >0)， (2)x(x+ p)2 =q(p,q>0)，(3)x(x+ p)(x+q)=r(p,q,r >0)之三次方程稱為「立 方帶從」或「帶從立方」。17這裡只出現前兩種，茲各舉一例，以現代符號說明 如下：
（一）長闊相等高不等法
今解 式：積一千二百九十六，長闊數等，惟高
不及三，問高與長闊各幾何？曰：高九，
長闊皆十二。
設高為 x，長、闊均為 x＋3，則：
1296 )
3 (x+ 2 =
x ，即
1296 )
6 9
(x2 + + x =
x 。
原術文
列實，以高不及三，自乘得九，為縱方，
又以不及三倍作六，為縱廉，有二點，應 約初商一十，因有縱方，只商九，自乘得 八十一，并縱方九，得九十，又以所商九 乘縱廉六，得五十四，九十者，方法也，
五十四者，廉法也，相并得一百四十四，
列實下，呼所商九除實，一九除九百，四 九除三百六十，四九除三十六，實盡，得 高九，加不及三，得十二，為長闊數。
縱方＝32 =9，縱廉＝2×3＝6，得商 x＝9，
∴x2 +9+6x=92 +9+6×9＝81＋9
＋54＝
90＋54＝144。又 144×9＝1296，1296
－1296＝0，實盡，得高為 9，長、闊 均為 12。
（二）長闊高三不等法
方中通在本題的算法所求岀的解雖然正確，但只是巧合而已，並非正確的解法。
今解 式：積一百二十，闊多於高二，長又多於
闊三，問長闊高各幾何？曰：高三、闊五、
長八。
設高為 x，闊為 x＋2，長為 x＋2＋3，
則：
120 ) 3 2 )(
2
(x+ x+ + =
x ，即
1296 )
7 10
(x2 + + x =
x 。
原術文 （此題有誤）
17參照梅榮照、李兆華著《算法統宗校釋》，頁 550。
闊多於高二，高闊較也，長多於闊三，
長闊較也，列實，兩較各自乘，二自之為 四，三自之為九，相并得十三，為縱方，
兩較相乘得六，為縱廉，約商當是四，因 此有縱方，只商四，以三自乘得九，并縱 方十三，得二十二為方法，又以商三乘縱 廉六，得一十八為廉法，二法相并得四 十，列實下，呼商，三四除一百二十，實 盡，得高三，加二得闊五，又加三得長八。
縱方＝22 +32 =4+9=13， 縱廉＝2×3＝6，得商 x＝3，
∴32 +13=9+13=22，且 6×3＝18，
倂得 40
。又 40×3＝120，120－120＝0，實盡，
得高為 3，闊為 5，長為 8。
四、立方帶縱諸變
這裡共分成十種類型的開立方法，分別為「一帶縱負隅開立方法」、「二帶縱 廉開立方法」、「三帶縱減益廉開立方法」、「四縱廉減縱方翻法開立方法」、「五廉 減縱開立方法」、「六帶縱以廉益積開立方法」、「七負隅減縱以廉益縱開立方法」、
「八帶縱負隅以廉減縱開立方法」、「九帶縱負隅以廉減縱翻法開立方法」、「十帶 縱方廉開立方法」，不過僅是將上述方法作靈活運用，因篇幅有限故不贅述。