4.2 坎六冊分析
4.2.1 開平方
開平方法始見於《九章算術》＜少廣章＞。這一方法為歷代算家所遵用。雖 其中名稱術語有所改變而其原理並無不同。在《九章算術》開平方術的基礎上，
十一世紀賈憲曾給岀一種增乘開平方法，比《九章算術》開平方術簡便，但在明 代一度失傳，直至清代中葉古算復興之後才重顯於世。9方氏此處所述開平方當 屬於《九章算術》開平方術範圍。本節首先介紹「珠算開平方法」和「筆算開平 方法」，「籌算開平方法」前面已提，此處未再贅述，在這之後則是一系列各類型 的開平方法。
一、珠算開平方法
明代用珠算開平方，起初用商除開平方法，即源於籌算的開平方法，計算方 法與籌算基本一致。以後發展為歸除開平方法，王文素是著述珠算開方的第一 人。10《數度衍》承襲《算法統宗》，兩種算法都有介紹，茲說明如下。
（一）商除開平方法：以方法約餘實決定次商及以下各商，如下題。
式：橫叁百貳十肆，問平方一面幾何？
如圖 4.9，其步驟為
（1）先將實數（被開方數）置入盤中，約初商為 10，列實數左，並在實右置 10 作為方法。
（2）以初商和方法相乘，從實中減去，餘實 324
－10×10＝224
（3）準備約商：用 2 乘方法得 20，作為廉法。
（4）約次商 8，置初商右位，並將 8 置廉法之次，稱為隅法。廉隅二法共為 28。
（5）用次商和廉隅法相乘減實，得 224－8×28＝0。故所商為 18，即為方面。
（二）歸除開平方法：其步驟是先求得初商後，用「倍方法」除餘實，並以「歸 除法」決定次商，如下題。
式：積五萬四千七百五十六，問平方一面幾何？
步驟 商、實 法 原術文
1 54756 置實盤中
9參照梅榮照、李兆華著《算法統宗校釋》，頁 534。
10參照勞漢生著，王渝生、劉鈍主編《中國數學史大系—珠算與實用算術》，頁 299。
子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申
二 六 方 一 八 參 貳 肆 一 初 次 二 八 商 商 廉 隅
圖 4.9
2 2、54756 200 初商二百，置實首左位。
3 2、14756 400 另置二百於右，左右相呼曰二二如四，除實四萬，
餘實一萬四千七百五十六。
4 22、6756 400 以右二百倍作四百為法歸除之，呼曰四一二餘二。
5 23、2756 430 逢四進一十，得三十為次商。置右四百之下，呼曰 三三如九。
6 23、1856 460 除實九百，餘實一千八百五十六。
7 232、1056 460 又以右下三十倍作六十，共四百六十為法歸除之，
呼曰四一二餘二。
8 234、256 460 逢八進二十，得四為三商。
9 234、16 464 置右六十之下，呼曰四六二十四，除實二百四十。
10 234、0 464 呼曰四四一十六，除實十六，實盡，變為二百三十 四，即方面也。
二、筆算開平方法
同李之藻的《同文算指》的筆算開平方法，是用「帆船法」（galley method）
來進行開方。算法如下題說明：
（一）式：積貳千壹百壹十柒萬捌千肆百○肆，問平方一面幾何？
算式（帆船法） 原術文 運算
（1）
五
貳壹壹柒捌肆○肆 11（四 四
列實八位，從末位肆下作點，隔 位一點，共四點，知有四回商數也，
實首點在次位，以貳壹相連，作二 十一者然也，應用自乘有幾十幾數 者為商，今初商用四，註初點下，
亦紀格右，相呼四四一十六，於實 貳千壹百內，除一千六百，抹去貳，
壹變伍，完首段矣，餘實伍百壹十 柒萬捌千肆百○肆。
∵4×4＝16
∴21－16＝
5 餘
5178404。
（2）
五三一
貳壹壹柒捌肆○肆（四六 四八六
第二段實至次點止，曰伍壹柒，
先立廉法，倍初商四為八，註實壹 下，空次點一位以待隅法，乃商伍 十壹內有六回，即用六為次商，紀 初商四右，亦註六於次點下為隅 法，如八十六者然也，乃與次商相 呼，先呼六八，除實四百八十，抹 去伍，壹變叁，又呼六六，除實三 十六萬，抹去叁，柒變壹，完第二 段矣，餘實壹萬捌千肆百○肆。
∵8×6＝48
∴51－48＝
3
又 6×6＝36
∴37－36＝
1
餘 18404。
（3）
五三一
貳壹壹柒捌肆○肆（四六○
第三段實至三點止，曰壹捌肆，其 格右四六，倍作九十二為廉法，註 九於實壹下，二於實捌下，空三點
∵460×2＝
920
而 920×0＝
11框起來為定位數。
四八六
（三）奇零開平方式
c bx
ax2 + = （其中a + b ≠0,c>0），a、b、c 一般分別稱為廉（長或隅）、從法、
實。當 a＞0，b＞0 時，a、b 一般稱為常法、從；當 a＜0，b＜0 時，a 一般稱為 虛常法，b 一般稱為益從或虛從。茲各舉一例，以現代符號說明如下：
（一）帶縱開平方法
式：直積捌百陸十肆，闊不及長壹十貳，問闊幾何？曰：二十四。
今解 二 二
列實 捌 陸 肆（二 四
商廉 二 四 四 帶縱 壹 貳 三 壹 貳 五 六
設長方形長為 x，闊為 y
=
−
= 12 864 y x
xy ，消去 x，
得到y(y+12)=864。 原術文
（1）列實定點，以帶縱壹十貳，隨實首 列之，初商二，紀格右，亦列首點下，并 縱首壹為三，抹二壹而註三，相呼二三除 實六，首位實捌變二，又呼二貳除實四，
次位實陸變二，完首段，餘實二百二十 肆。
即□○（□○＋12）＝864，
得初商□＝2，（20＋○）（20＋○＋
12）＝864 倂得：（20＋○）（30＋○
＋2）＝864，∵20×30＝600，∴864
－600＝264；又 20×2＝40，故 264－
40＝224。餘 2×20×○＋10×○＋○2＋ 2×○＝224。
（2）倍初商二為四作廉法，列次位實下，
此退位列也，亦退位列帶縱，以廉四并縱 壹為五，抹四壹而註五，次商四，紀格右，
亦註末點下為隅法，以偶四并縱貳為六，
抹四貳而註六，相呼五四除實二十，抹首 位餘實二，又呼四六除實二十四，次位餘 實二，三位實肆，皆抹去，實盡，所商二 四，即闊二十四也。
倂：40×○＋10×○＋○2＋2×○＝224 得：50×○＋○2＋2×○＝224，
即○×（50＋○＋2）＝224；
得次商○＝4，4×50＝200，224－200
＝24，4×（4＋2）＝24，24－24＝0，
實盡。即闊□○＝24。
（二）減積開平方法
式：直積捌百陸十肆，闊不及長壹十貳，問闊幾何？曰：二十四。
今解 一
一 七 二 八 六 二 六
捌 陸 肆（二 四 二 四 四
初乘 貳 肆
次乘 肆 捌
設長方形長為 x，闊為 y
=
−
= 12 864 y x
xy ，消去 x，
得到y(y+12)=864。 原術文
商數商數 第四章、《數度衍》的內容分析（二）
註首點下，乘減積得貳十肆，隨位列之，
相對減原積，首位實捌，減貳餘六，次位 實陸，減肆餘二，餘實六百二十肆，然後 以初商呼除，二二除四，首位餘實六變 二，完首段，餘實二百二十肆。
（20＋○）（20＋○＋12）＝864 20×20＝400，864－400＝464；又 20×12＝240，464－240＝224。餘 20×○＋20×○＋12×○＋○2＝224。
（2）倍初商二得四為廉，註次位實下，
次商四，紀右，註末點下為隅，以隅乘減 積，得肆十捌，亦隨位列之，相對減餘實，
首次兩位餘實二十二，減肆，首位二變 一，次位二變八，次三兩位餘實八十肆，
減捌，次位捌變七，三位肆變六，共餘實 一百七十六，然後以次商與廉隅呼除，四 四除一十六，抹首位餘實一，次位七變 一，又呼四四除一十六，抹次位一，三位 六，實盡，得闊二十四。
倂得：40×○＋12×○＋○2＝224，
即○×（40＋○＋12）＝224。
得次商○＝4，4×12＝48，224－48＝
176； 且 40×4＝160，176－160＝16；
又 4×4＝16，16－16＝0，實盡。
即闊□○＝24。
四、平方積較求長
「平方積較求長」的解法有二，一為「負縱益積開平方」，二為「帶減縱開平方」， 茲各舉一例，以現代符號說明如下：
（一）負縱益積開平方法
式：直積捌百陸十肆，闊不及長壹十貳，問長幾何？曰：三十六。
今解 三 負縱壹貳
三 九 初乘參陸 一 二 二 六 次乘柒貳 捌 陸 肆（三 六 負隅一 三 六 六
參 陸
柒 貳
設長方形長為 x，闊為 y
=
−
= 12 864 y x
xy ，消去 y，
得到x(x−12)=864。 原術文
（1）列實點位，另列不及壹十貳為負縱，而 初商則約所增負縱之乘，乃商三，紀右，註 首位下為方法，而以乘負縱，得叁十陸，註 叁於首位，陸於次位，以并原積捌陸（作八 十六），得一二二（作一百二十二），次位陸 變二，首位捌變二，進位置一（實首左位）， 益積得一千二百二十肆。
即□○（□○－12）＝864，
得初商□＝3，
（30＋○）（30＋○）＝864＋12×
（30＋○），
∵12×30＝360，∴864＋360＝
1224。
（2）乃以方法呼除，三三除九，完首段，餘 實三百二十肆，倍三作六為廉，註次位，次 商六，紀右，以乘負縱，得柒十貳，退位列 之（退初乘位），以并餘積三二肆（作三百二 十四），得三百九十六，末位肆變六，次位二
∵30×30＝900，1224－900＝324，
∴餘 60×○＋○2＝324＋12×○，
得次商○＝6，
∵324＋72＝396，且 60×6＝360，
又 6×6＝36。
變九，另置一算為負隅，以次商六乘之，仍 得六為隅法，乃以次商呼除，六六除三十六，
又呼六六除三十六，實盡，得長三十六。
∴396－360－36＝0，實盡。
即長□○＝36。
（二）帶減縱開平方法
式：直積捌百陸十肆，闊不及長壹十貳，問長幾何？曰：三十六。
三 負縱壹貳 今解 六 二 初商三○
捌 陸 肆 （三 六 一 八 六 四 八
五 四
設長方形長為 x，闊為 y
=
−
= 12 864 y x
xy ，消去 y，
得到x(x−12)=864。 原術文
（1）列實，另列不及壹十貳為負縱，初商 三（三十），紀右，以負縱減之，餘一十八，
挨註首點下為方法，先呼三八餘二十四，
八上陸變二，進位捌變六，後呼一三除三，
一上六變三（先呼一三亦可），餘實三百二 十肆。
即□○（□○－12）＝864，
得初商□＝3，
（30＋○）（30＋○－12）＝864，
（30＋○）（18＋○）＝864，
∵30×18＝540，∴864－540＝324。
餘 30×○＋18×○＋○2＝324。
（2）乃於另列初商三右加○（作三十）， 以并方法，得四十八為廉，註次位，次商 六，紀右，註末點下為隅，而并入廉內，
得五十四，六八并改四，進位四改五，乃 呼次商，五六除三十，四六除二十四，實 盡，得長三十六，若商數減後，首位多於 實首，亦照例退位。
倂得 48×○＋○2＝324，即
○×（48＋○）＝324。
得次商○＝6，
∵48+6＝54，且 54×6＝324。
∴324－324＝0，實盡。
即長□○＝36。
上述之「負縱益積開平方法」和「帶減縱開平方法」，所用的方法就是楊輝《田 畝比類乘除捷法》中引劉益《議古根源》的術曰：「若不益積，便用減縱，或有 不可益積者，須用減縱之術」。其中「益積術」又稱「益隅術」，也就是當二次方 程ax2 +bx=c中的 a，b 為一正一負時，可以將一次項移至常數項，可使「實」
增加，就是「益積法」；如果不將一次項移至常數項，而直接運算得解，就是「減 縱法」。13
五、平方積和求闊
「平方積和求闊」的解法有二，一為「帶縱益隅開平方」，二為「帶縱負隅減 縱開平方」。茲各舉一例，以現代符號說明如下：
（一）帶縱益隅開平方法式：直積捌百陸十肆，長闊和陸十，問闊幾何？曰：二 十四。
13參考陳敏晧，《同文算指之內容分析》（台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，
2002 年），頁 116。
二 四 帶縱陸 今解
○
一 二 二 ○ 初商乘 一二
捌 陸 肆 （二 四 二 四 四 四
一 六
一 六
設長方形長為 x，闊為 y
= +
= 60 864 y x
xy ，消去 x，
得到y(60− y)=864。
原術文
（1）列實，以和為帶縱，初商二（二十），
紀右，註首點下，自乘得四百為負隅，以 益積，共加得實一千二百陸十肆。乃以初 商呼帶縱，曰二陸除實一千二百，餘實陸 十肆。
即□○（60－□○）＝864，
得初商□＝2，（20＋○）×60－（20
＋○）2＝864，（20＋○）×60－（2×
20×○＋○2）＝864＋20×20，而 864
＋400＝1264；又 20×60＝1200，∴
餘實 1264－1200＝64。
（2）倍方得四為廉，註次位，次商四，紀 右，註尾點為隅，以次商乘廉四十，得一 百六十，又以次商乘隅四，得一十六，皆 并入餘實，共加得餘實二百四十，乃以次 商呼帶縱，曰四陸除實二百四十，實盡，
得闊二十四。
倂得 60×○－（40×○＋○2）＝64，
即 60×○＝64＋（40×○＋○2）。 得次商○＝4，∵40×4＝160，且 4×4
＝16。∴ 64＋160＋16＝240。又 60
×4＝240，240－240＝0，實盡。即闊
□○＝24。
（二）帶縱負隅減縱開平方法
式：直積捌百陸十肆，長闊和陸十，問闊幾何？曰：二十四。
二 原縱 今解 陸○
捌 陸 肆（二 四 負隅一 二 四 四
四 ○ 二 ○
一 六
設長方形長為 x，闊為 y
= +
= 60 864 y x
xy ，消去 x，
得到y(60− y)=864。 原術文
（1）列實點位，置和為縱方，初商二，
紀右，註首點下，以乘負隅一，仍得二 為方法，以減縱陸○，餘四○，隨首位 註之，呼初商二四除八，抹捌，餘實陸
紀右，註首點下，以乘負隅一，仍得二 為方法，以減縱陸○，餘四○，隨首位 註之，呼初商二四除八，抹捌，餘實陸