二、小君的數學知識及相關想法

小君的「數學知識」，以及「對自我與他人之認識」等相關想法分別描述如

下：

（一）小君的數學知識

小君有關「旋轉角」的知識具「無法有效解決『大於 360 度的旋轉角製作』

的問題」之性質；有關「小數加減」的知識則包括「將 0.001 的積木意義視為 0.01

（一格）的一半」以及「不了解小數直式算則中『進 1』的積木意義」此二項性 質。以下將逐一描述之。

無法有效解決「大於 360 度的旋轉角製作」的問題

小君無法有效解決「大於 360 度的旋轉角製作」的問題。例如其將 495 度視 為「旋轉 360 度（一圈），再轉 95 度」，而 95 度是「90 度再多一點點」。以下分 別以原案 51 和原案 52 作為例證。

原案 51

04065. 君：先講 495 的，495 比 360 大，那就先繞一圈，那 95 就是像剛剛 那樣 135，就畫那樣（指角的兩邊）

04066. 研：你這條線是怎麼出來的？你的三角板呢？

04067. 穎：先拿我的好了，何必跑那麼遠

04068. 君：這個角（指三角板的 45 度角）等於 45 度嘛，45 再加 45 等於 90 嘛，然後再多一點點就是 5，就是 45 加 45 不是 90 嗎？因為它（指 三角板）沒辦法測 5 嘛，所以加一點點就變成 5

04069. 研：誰有做 495？

04070. （小豪舉手）

04071. 研：小豪，小君和你的一樣嗎？

04072. 豪：我畫繞一圈再一些些 04073. 君：我也是繞一圈再一些些 04074. 研：一些些是怎麼畫出來的？

04075. 豪：用猜測的 04076. 瑄：我是用減的。

04077. 豪：我有用三角板啦 04078. 研：那 690 呢？

04079. 君：就是先繞一圈再多一點。一樣是 45 加 45 等於 90，再加 45。一圈…

04080. 君：小穎你幫我來解說好不好 04081. 穎：不關我的事。

04082. 研：一圈是 360，你這條線是怎麼畫出來的？

04083. 君：應該是這樣，我畫錯了 04084. 研：要畫直的？

04085. 君：對 04086. 研：為什麼？

04087. 君：因為它這個是 90 度（指 690 的 90），又 360，就應該再轉一圈

在行 04064 之前，我請小君以三角板為工具做 495 及 690 度的旋轉角。由行 04065 及 04068 可推知，小君將 495 度視為「旋轉 360 度（一圈），再轉 95 度」，

而 95 度是「90 度再多一點點」；另外，由小君在行 04079 至 04089 的解釋內容 可推知，小君在白板上所做 690 度角可能源於對小穎做法之模仿，其本身應是將 690 度視為「旋轉 90 度，再轉 360 度（一圈）」。特別地，由下述原案可進一步 看出小君對於做 690 度旋轉角確實有困難。

原案 52

04113. 穎：我就畫錯了啊 04114. 君：你（指豪）再講一遍 04115. 研：快一點，她叫妳再講一遍

04116. 豪：就是 360 加 360 等於 720，再減 30 就好了 04117. 君：為什麼要減 30？你跟我講啊

04118. 豪：減 30 等於 690 啊

04119. 君：ㄟ，小穎，690 的借我，690 的借我

在行 04116，當小豪向小君解釋 690 度就是「360 加 360 等於 720，再減 30 就好了」時，小君以「為什麼要減 30？你跟我講啊」作為回應，由此可知，小 君對小豪此一做法並不了解，換言之，小君對於做 690 度旋轉角確實有困難。

將 0.001 的積木意義視為 0.01（一格）的一半

對小君而言，當將一張百格纸視為 1，一條視為 0.1，一個小格子視為 0.01，

則 0.001 的積木意義是一格的一半。以下以原案 47 作為例證。

原案 47

06380. 研：你們老師說一張百格板是 1，一條是 0.1，然後一個小格子是？

06381. 眾：0.01

06382. 研：好，那 0.001 在哪裡？

06383. 穎、君：小格的一半

06384. 豪：小格的九分之一，咦，好像是小格的十分之一 06385. 研：小丞你覺得呢？0.001 是小格的什麼？

06386. 丞：千分之一嗎？應該是千分之一吧 06387. 研：千分之一？

06388. 穎：咦，不是一格的一半，是十分之一，一格把它分成十份，然後它的一小塊

當檢視組成員對 1、0.1、0.01 的積木意義有所了解後，我在行 06382 繼續問 及 0.001 的積木意義，小君則在行 06383 以「小格的一半」作為回應。

不了解小數直式算則中「進 1」的積木意義

對小君而言，其雖能以直式算則解小數加減的問題，但對於小數加法直式算

則中「進 1」的積木意義卻是不清楚的。以下以原案 53 作為例證。

原案 53

07243. 研：好。小君，你剛剛在做 1.84 加 2.37 時，你說 8 上面那個小 1 是指什麼？

07244. 君：（將 11 個積木組合成一條）這樣是 11，這個不是多出來的嗎（從一條 11 個的積 木中取出一個積木）？那我們就這樣子（將一條積木置於 8 上面的小 1，一個積 木置於 7 下面的 1）

07245. 研：所以這個小 1 是指一條是不是？

07246. 君：對對對。那 12 也是啊，這 10 也就是這樣一條一條的（拿出一條積木），十跟二（分 別將一條積木置於 1 上面的小 1，兩個積木置於 3 下面的 2），你看

07247. 研：所以你說 1 跟 2 上面這個小 1 是指一條，而 8 和 3 上面的小 1 也是指一條，是不 是？

07248. 君：對對對，因為你看十一、十二（分別指 8 上面的小 1 與 7 下面的 1，以及 1 上面 的小 1 與 3 下面的 2），記號很明顯的提醒你不要忘記

07249. 研：那 2.37 這個 2 是指什麼？

07250. 君：（拿出兩個百格板）是指這二個 07251. 研：（指 1 上面的小 1）然後這個小 1 是指 07252. 君：一條

在行 07243 之前，小君曾主動表示自己不會用積木解釋「1.84+2.37」此一直 式算則；且在我的詢問下，小君亦曾指出「8 上面的小 1 代表 1 個積木」，而「1 上面的小 1 代表 1 條積木」。雖然如此，我在行 07243 至 07252 仍再度針對

「1.84+2.37」此一直式算則的積木意義對小君進行提問。由行 07244 及 07246 可知，此次小君將「8 上面的小 1」及「1 上面的小 1」皆視為「1 條積木」；之 後，甚至在指出「2.37 的 2」是「2 個百格板」的同時，仍再次確認「1 上面的 小 1」是「1 條積木」。由此可知，小君對小數加法直式算則中「進 1」的積木意 義是不清楚的。

（二）小君對自我與他人之認識

本部分將從「數學能力」以及「數學溝通」兩方面來描述小君對自我與他人 之認識。

(A)小君對自我與他人數學能力之認識

小君對自我與他人數學能力之認識：(1)將自己的數學能力歸在「中上」的 位置；(2)將檢視組成員數學能力作如下排序─小穎、小丞、小君、小豪、小瑄。

以下逐一描述之：

小君將自己的數學能力歸在「中上」的位置

小君以習作解法之品質作為數學能力的判定標準，且將自己的數學能力歸 在「中上」的位置。以下以研究者與小君間的非正式對話作為例證。

當我問小君「妳覺得班上哪些人的數學能力比妳好？」，小君回答「小安、小穎、小霖、然 後小丞吧」。接著，當我問「誰跟妳差不多？」，小君表示「我也不知道，像小桓、小熠、然後小 思、然後還有小惠，那些啊」。之後，當我問：「誰的數學能力比妳差？」，小君指出「小培、小 邦、小瑄，然後還有小建、小媛，很多啊」。最後當我問「妳是用什麼來區分數學能力的好壞？」，

小君表示「我都會去看他們寫的習作，參考他們的答案、做法、解法這樣子」，當我進一步向小 君確認「妳是根據成績來分嗎？」，小君明白表示「不是」。

檢視組成員數學能力排序―小穎、小丞、小君、小豪、小瑄

小君指出，組內成員的數學能力依序為小穎、小丞、小君、小豪、小瑄。

即使在某次課後晤談中小君見識到小豪的好表現，此一整體排序亦未改變。以下 以研究者與小君間的非正式對話作為例證。

當我請小君為組內五個人的數學能力進行排序，小君做出如下排序「第一個小穎、第二個 小丞、第三個我吧、然後第四個就小豪、第五個小瑄吧」。接著我進一步問小君「妳覺得小丞比 妳好？」，小君表示「對呀」，「因為像那個他不會的地方，老師只要講一講他就會了啊，搞不好 老師講了很多遍我還不會那種」。

其後，當我指出小豪在旋轉角單元某次課後晤談中的好表現，小君指出「不一定啊，他有 一些單元就很爛、有一些單元很好啊」。最後當我進一步確認「所以一般而言妳覺得他是比小瑄 好而已？」，小君表示「對」。

由上述對話可知，小君雖承認小豪在特定問題上的好表現，但此僅限於某些 單元，但整體而言，小君有關數學能力所做排序是固定的。此外，小君是由理解 的快慢來區分自己及小丞的數學能力。

(B)小君對自我與他人數學溝通之認識

對小君而言，檢視組內的數學溝通具有下列特性：組內討論是由小穎和小君 負責；小君以小瑄的督促者自居；小瑄會發呆，小丞與小豪喜聊天。以下逐一描 述之：

小組討論主要由小穎和小君負責

對小君而言，檢視組的討論主要由自己及小穎負責，而造成小組此一互動類

型的原因在於「小豪和小丞不主動參與」，以及「小瑄怕被小穎和小君罵」。此外，

如前所述，當小穎與小君答案不同時，兩人會聽從該單元較優者的意見。以下以 原案 54，以及研究者與小君間的非正式對話作為例證。

原案 54

02101. 眾：不一定

02102. 君：不過他們兩個常常不合作

02103. 丞：你才不合作好不好，你們兩個一直討論

02104. 君：你們男生跟我們女生討論當然會覺得怪怪的，不過畢竟都還是要討論呀 02105. 丞：是你們自己要那個的

02106. 瑄：哪有

02107. 穎：他們都沒注意到我們要討論 02108. 君：對啊

02109. 研：所以就是女生覺得男生沒討論，男生又覺得女生沒叫男生討論是嗎？

02110. 君：自己本來就要看狀況，老師說要討論自己還在那邊

在行 02100，我問檢視組成員是否常利用投票的方式來決定小組的代表性解 答，眾生表示不一定後，小君接著表示小豪與小丞常常不合作。此時小丞立即予 以反擊指出問題在於小君與小穎兩個自顧自的討論，之後，小君又再度將問題歸 因於小豪與小丞的不主動參與，例如小君在行 02104 表示男生與女生討論雖然感 覺怪怪的，但畢竟還是得參與討論；以及在行 02110 指出當老師說小組討論開 始，小豪與小丞彷彿無事人般未參與討論。

此外，當我問小君「妳覺得為什麼小瑄不能加進來？」，小君表示「我們也沒有說不能加進 來啊！她可能…」，我以為小君又要歸因於小瑄的不主動參與而接腔「自己不討論？」。小君立即 澄清「也不是說自己不討論，她可能怕她自己的答案會被我們罵，所以就不敢…」。最後我再次 向小君確認「所以怕被罵就對了」，小君表示「對對對」。

由上述原案及對話可看出，小君將小組互動類型的成型歸因於「小豪和小丞 不主動參與」，以及「小瑄怕被小穎和小君罵」。

小君以小瑄的督促者自居

對小君而言，自己是小瑄在數學課堂上的督促者。此一關係可能與小君對 小瑄之認識有關，包括小瑄是其好朋友，以及小瑄的數學能力較差。以下以原案

對小君而言，自己是小瑄在數學課堂上的督促者。此一關係可能與小君對 小瑄之認識有關，包括小瑄是其好朋友，以及小瑄的數學能力較差。以下以原案