二維古典易辛反磁鐵之臨界現象

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第 五 章 易辛反鐵磁的量子蒙地卡羅 計算

本章節呈現並討論我們的量子蒙地卡羅計算計算結果。我們將分節敘述一維均 質量子模型及一維無序量子模型的結果，也將與古典的易辛模型做比對。探討的 模型概述於第三章，具體的一維哈密頓算符如下：

H =ˆ

∑L i=1

J_iσˆ_i^zσˆ_i+1^z −^∑L

i=1

h^z_iσˆ_i^z−^∑L

i=1

h^x_iσˆ_i^x, (5.1)

其中 J_i > 0, h^z_i > 0, h^x_i > 0。所使用的量子蒙地卡羅計算方法建立在非連續虛數 時間的古典模型（見第 4.1 節）。

為了比較古典相變與量子相變，我們將首先從二維古典縱場易辛反磁鐵模型的 臨界現象出發，包含無序效應的探討。接著依次談論一維量子模型的量子相變，

及量子相變的無序效應。

5.1 二維古典易辛反磁鐵之臨界現象

本節探討的二維古典反鐵磁建立於方晶格上，其哈密頓函數定義如下：

H_cl= ^∑

⟨i,j⟩

J_ijs_is_j−^∑

i

h^z_is_i, s_i =±1 , (5.2)

其中 J_ij > 0 為相鄰自旋的反鐵磁性交互耦合。模型的方晶格尺度為 L× L，另外 我們在 x 及 y 方向各引入週期性邊界條件。注意式 (5.2) 描述的模型正是無橫場的 易辛模型（見第 3.2 節），而 s_i 即為自旋算符 ˆσ^z_i 的本徵值。

我們首先考慮「均質」(homogeneous) 系統，也就是自旋交互耦合及場強度均 與晶格位置無關，即 J_ij ≡ J, h^zi ≡ h^z,∀i。在不影響普適性，我們取 J = 1。在給 定場強度 h^z 下，我們探討由溫度 T 變動引發的相變；注意這個相變並不存在於 外場下的易辛鐵磁性模型（對應 Jij < 0） [32,33]。我們以平行回火處理蒙地卡羅

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Chapter 5. 易辛反鐵磁的量子蒙地卡羅計算

計算方法（參考第 4.3.1 節）找出溫度 T 對場強 h^z 的平面相圖。進行平行調整溫 度計算時，我們利用 MPI （Message Passing Interface，訊息傳遞介面）函式庫將 C 語言程式平行化，於電腦叢集系統不同計算單元上執行對應不同溫度複製系統的 Metropilis 演算，然後藉與其他計算單元的訊息傳遞做自旋組態交換動作；如此，

我們不僅可加速蒙地卡羅計算達到系統平衡態，也同時得到對應不同溫度值的結 果。

多體系統相變現象只發生於熱力學極限下，也就是當系統的自旋數無窮大時 L = ∞。若無法直接計算無窮大系統，探討相變問題面臨一重要的課題在於藉

「有限尺寸分析」(finite size analysis) 將觀察量推至熱力學極限 [52,53]。如第二章 敘述，在熱力學極限下，關聯長度 ξ 發散於臨界點：

ξ ∼ |δ|^−ν, (5.3)

這裡，δ 指至臨界溫度 T_c的距離，定為：

δ = T − Tc

T_c . (5.4)

多數觀察量 O 在臨界點附近也呈現冪次方發散的行為，

O ∼ |δ|^−κ, (5.5)

定義了對應的臨界指數 κ；結合式 (5.3)，我們可寫

O∼ ξ^κ/ν (5.6)

但當系統尺度有限時，關聯長度 ξ 最大值受制於系統尺度 L，所以當 ξ → L 時，

O 達其有限的最大值 O_max，且 O_max與系統尺度 L 呈以下關係

O_max(L)∼ L^κ/ν. (5.7) 最大值 O_max發生的溫度 T_L^∗，稱為贗臨界點 (pseudocritical point)，也與系統尺寸 L 有關：

|δL| ∼ L^−1/ν. (5.8) 簡言之，隨著系統變有限，熱力學極限下的觀察量發散值也將變有限值，且贗臨 界點 T_L^∗ 將偏離熱力學極限下的真實臨界點 T_c。根據標度化理論 [52,53]，這個現 象可更廣義地寫成

O(δ, L) = L^κ/νO(δL˜ ^1/ν) . (5.9)

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磁化量 m_s）的二階矩 (second-order moment) 與四階矩 (fourth-order moment) 組合，

又稱 Binder 比值 (Binder ratio, Binder cumulant) [54,55]：

g = 1 化量的分佈傾向呈以零為中心的高斯型 (Gaussian form)，所以

⟨m⁴s⟩ = 3⟨m²s⟩², 也就是 g = 0 ; (5.13)

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