第三章 模型概述
3.1 橫場下的易辛模型
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
第 三 章 模型概述
本章節描述論文探討的模型：量子易辛模型，及概述其一些相變有關的已知結 果。易辛模型 (Ising model) 是探討相變的一典型模型，原用以描述具某一強易軸 (easy axis) 的磁性物質模型。我們稱一個「易辛自旋」(Ising spin) 為自由度為 2 的
「粒子」，就電子自旋而言，即 z 分量（易軸分量）的上自旋 (”up” spin) 及下自旋 (”down” spin)。因用以探討關聯性系統，易辛自旋間存在某連結關係，此關係使 相互連結的自旋選取對應能量低的自由度。
在所謂量子易辛模型上，自旋的狀態不再僅是兩個狀態，而是這兩個狀態的線 性疊加 (superposition)，也就是目前熱門的量子資訊術語中的「量子位元」(qubit)。
簡言之，量子易辛模型可視為一組具連結關係的量子位元。根據易辛模型的定義，
量子模型還是屬非均向性 (anisotropy) ，且具一強的、特殊的易軸（又稱易辛軸）。
3.1 橫場下的易辛模型
LiHoF4 絕緣體為實驗上常用來實現易辛鐵磁性模型及量子相變的磁性材料。
在這個絕緣體中每個 Ho3+ 離子提供一淨磁矩，此磁矩由電子自旋及軌道角動量 耦合而成，且沿一特定易軸指「上」或指「下」；Ho3+ 離子間的主要交互作用為 偶極耦合 (magnetic dipole interaction)，此交互作用促使 Ho 離子磁矩（易辛自旋）
趨於指向同一方向，低溫時當溫度造成的熱擾動不大時，LiHoF4 將具自發性的磁 性，也就是在無外加誘發磁場下大部分的自旋指向同一方向，為自發性對稱破缺 (spontaneously broken symmetry) 的一個例子，破壞的是所謂Z2對稱；當溫度升高 至某一特定值 Tc，溫度對自旋排列的效應遠大於自旋間交互作用力的有序效應，
指向兩相反方向的自旋數目趨於相等，此時材質的磁性消失。這種由溫度調控 的相變為古典連續相變的一個例子；臨界溫度 (critical temperature) Tc 界分一低溫 時自旋排列有序的相 (ordered phase) 及高溫時無序的「順磁相」(disordered phase, paramagnetic phase) 。將 LiHoF4 置於垂直於上述易辛軸的外加磁場（橫場）中，
橫場可引發 Ho 離子兩個自旋狀態間的量子穿隧效應 (quantum tunneling)，也就是 外加橫場如同溫度可翻轉自旋指向，造成自旋有序排列的干擾。加上橫場這個額 外的量子擾動因子，LiHoF4的有序－無序相變溫度 Tc勢將降低，且 Tc值將隨外
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Chapter 3. 模型概述
圖 3.1: LiHoF4 絕緣體在外加橫場的相圖。相邊界（紅點、藍方塊等）分界低溫 (T ≲ 1.5K) 弱場 (≲ 50 kOe) 區域的鐵磁相及高溫強場的順磁相。紅點為測量磁化 率得來的相變點 [27]，藍方塊資料由中子散射測量得出。此圖截取自 [28]（論文 正式出版於 [29]）。
加橫場變大而降低，理論上可降至零點（圖 3.1）。這個現象已由 Bitko, Rosenbaum 和 Aeppli 等人實驗觀察到 [27]。T = 0 時由橫場調控的相變是完全由量子擾動引 發的，故稱為量子相變。
上述置於橫場的易辛模型的哈密頓算符（Hamiltonian）可寫為：
HˆTFIM = ˆHzz+ ˆHx, (3.1) Hˆzz = J ∑
⟨i,j⟩
ˆ
σizσˆjz, (3.2) Hˆx =−hx∑
i
ˆ
σxi . (3.3)
其中的指標 i, j 用以表示模型晶格上的晶格點。ˆσiz和 ˆσxi 為描述晶格點 i 上自旋分 量的庖立矩陣（Pauli matrices）， ˆHzz 描述易辛交互作用，J 為自旋間的交互耦合 常數在此我們考慮只有相鄰的自旋間存在交互作用，∑⟨i,j⟩中的⟨i, j⟩ 代表相鄰的 一對自旋。交互耦合 J 的正負號決定系統的有序相是鐵磁性 (ferromagnetism) 或是 反鐵磁性 (antiferromagnetism)；明顯地，J < 0 屬鐵磁性耦合，J > 0 屬反鐵磁性 耦合。鐵磁性耦合引發相鄰自旋指向同一方向的趨勢（能量較低的狀態），反鐵磁 性耦合則促使相鄰自旋指向相反方向。 ˆHx為橫場項。當橫場為零時， ˆHTFIM中所 有算符均為 z 分量的庖立矩陣，故可將算符以其本徵值取代，模型即簡化成古典 的易辛模型。當橫場不為零，因 ˆHzz 和 ˆHx的不對易性 [ ˆHzz, ˆHx]̸= 0，此時浮現問 題的量子性質。
‧
圖 3.2: 方晶格屬具相鄰交互耦合的易辛模型之二分晶格 (bipartite lattice)。我們可 定義兩組交錯的子晶格，交互耦合只作用於位於不同子晶格的自旋。圖中藍晶格 軸的交錯磁化量 (staggered magnetization) ms：首先將兩組交錯的晶格點定義成兩 個子晶格，A 和 B，如此對任何晶格點來說，它和相鄰晶格點必分屬不同的子晶