第三章 模型概述
3.2 橫場及縱場下的易辛模型
的量子易辛模型，我們可用路徑積分 (path integral) 的概念，將系統對應到多一維 度的古典模型；多出的維度稱虛數時間軸，該方向的長度為溫度的倒數。以 D 維
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3.2. 橫場及縱場下的易辛模型
圖 3.3: 零點時 T = 0，具橫場及縱場的一維反鐵磁易辛模型之相圖。
在縱場下，易辛自旋不僅因反鐵磁交互耦合而呈現相鄰自旋相反指向的趨勢，也 同時具共同朝向縱場方向的趨勢，這兩個互相競爭的趨勢導致與鐵磁性系統不同 的相變屬性。例如，在縱場中易辛鐵磁的量子相變消失，但易辛反鐵磁的量子相 變仍存在。
除了上節討論的橫場易辛模型 ˆHTFIM = ˆHzz + ˆHx 外，式 (3.9) 中無橫場的古典 反鐵磁易辛模型 ˆHcl ≡ ˆHzz + ˆHz 也是一研究相變問題的有趣模型。沒有橫場時，
量子擾動項消失，故 ˆHcl為一「古典」易辛模型。在古典的情形，一維具短程交 互耦合的模型不具有由熱擾動引起的相變，因為在熱力學極限下破壞長程序 (long range order) 的磁疇壁 (domain wall) 之產生降低了自由能，任何有限溫度下一維系 統均處於順磁態。無場時，多維度古典易辛反鐵磁與鐵磁的臨界點及普適類完全 相同，但加縱場時，鐵磁的相變被破壞 [32,33]，反鐵磁的相變卻仍存在 [34,35]。
關聯性多體模型的精確解析解常僅止於一維度的系統，但具橫場及縱場的一 維反鐵磁易辛模型 (3.9) 卻至今無解析解；根據精確對角化計算 (exact diagonal-ization) [36] 及密度函數重正規化群方法 (density matrix renormalization group) 演 算結果 [37] 顯示，T = 0 時此系統存在一 (hx/J, hz/J ) ≡ (λx, λz) 相圖平面上的 一臨界線 (critical line) (圖 3.3)，分界一弱場時的反鐵磁態及強場時的順磁態。在 (λx = 1, λz = 0)，對應的相變點即為上節描述的橫場易辛模型的量子臨界點。另 一極端的點為 (λx = 0, λz = 2)，此為無量子擾動的古典一維橫場易辛模型，這裡 縱場的改變引起一階不連續的相變。雖無精確解，目前的數值計算結果 [36,37] 顯 示從 (λx = 1, λz = 0) 到 (λx = 0, λz = 2) 的臨界線屬二維古典易辛的相變普適類。
本節描述的量子自旋系統不僅在相變理論上是有趣值得被研究的模型，它也 是近年實驗上受矚目的模型。磁性材料 BaCo2V2O8 近來被發現得以實現具橫場及 縱場的近似一維易辛反鐵磁 [38,39]。有趣的是，此模型也可由冷原子系統實現。
Jonathan Simon 等人利用冷原子技術 [40]，以被侷限在「傾斜」的光晶格 (optical lattice) 之中的零自旋（spinless）超冷 Rb 原子來模擬莫特絕緣體（Mott insulator）
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Chapter 3. 模型概述
圖 3.4: 光陷阱的位能井能差及原子排斥位能的示意圖。
圖 3.5: 利用冷原子實作橫場易辛模型之原理。圖出自於 [45]。
[41–44] ，及對應成一維反鐵磁量子易辛模型 [40]。所謂光晶格是由雷射光形成的 週期位能。在 Simon 等人的冷原子系統系統中，每個原子感受兩種位能：兩個原 子共存於同一位能井的排斥位能 U 及相鄰位能井的位能差 E （見圖 3.4）。量子效 應使原子有穿隧至相鄰位能井的機率，此穿隧率以 t 表示。對應易辛自旋的兩個 狀態分別為：未穿隧原子狀態對應易辛自旋的上自旋，穿隧原子狀態對應易辛自 旋的下自旋。定義 ∆≡ E − U 為原子穿隧至相鄰位能井的所需能量。當 ∆ < 0 且 U ≫ t 時，每個位能井束縛一原子，即莫特絕緣態，或對應易辛自旋模型的順磁 態；當 ∆≳ 0 時，原子可穿隧到相鄰位能井，若位能井雙重佔據及空缺狀態交錯 出現，系統處於完美的反鐵磁態。冷原子系統系統與自旋系統的對應釋於圖 3.5。
對應大致如下：自旋間的作用 J 相當於排斥位能 U，縱場 hz 與光晶格「傾斜」程 度有關，而橫場 hx則由穿隧率來對應。
本論文除以量子蒙地卡羅的方法探討具橫場及縱場的一維反鐵磁易辛模型的 基態相變行為，也探討無序對其之影響。值得注意的是，已知無序交換耦合對 (λx = 1, λz = 0) 量子臨界點有巨大影響，導致無窮大的動力學指數，但無序對 hz ̸= 0 臨界線的影響至今尚無有系統的探討文獻，這也正是本論文將探討的問
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3.2. 橫場及縱場下的易辛模型 題。
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Chapter 3. 模型概述
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為正則系綜 (canonical ensemble) 的密度矩陣（density matrix）；Z 為正則配分函數 (canonical partition function)：Z = Tr e−β ˆH. (4.3) 所謂量子蒙地卡羅方法是以隨機的方式根據 (4.2) 的機率分佈選擇系統的狀態來求 平均。
我們使用的量子蒙地卡羅方法是建立在所謂「世界線」路徑積分 (worldline path integral) 的表示法上，在這種表示法上，量子易辛模型將對應到多一個維度的古