第二章 簡述臨界現象與量子相變
2.3 無序效應
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Chapter 2. 簡述臨界現象與量子相變
而言，隨著量子臨界點 λc的逼近，基態漲落的特徵能量尺度 ∆ 也呈冪次型的消 失：
∆∼ |λ − λc|zν, (2.2) 定義另一臨界指數 z，稱為動力學指數 (dynamic exponent)；這裡指的特徵能量尺 度可為最低激發態至基態間的能隙，或連續能量譜從最低頻至最高頻的變化指 標。綜合式 (2.1) 及 (2.2) 得
∆∼ ξ−z. (2.3)
考慮特徵時間 ξτ ∼ ∆−1，上式建立了量子相變問題時間上及空間上關聯長度的關 係：
ξτ ∼ ξz. (2.4) 由此我們也看出在量子相變問題空間及時間的關聯性是不可分的，這也是量子相 變與古典相變最大不同處之一。
一般而言，處理量子多體系統及其可能的相變行為較古典多體系統問題來得棘 手，其主要原因在於描述量子多體系統哈密頓算符 ( ˆH) 內稟的不對易項使得一些 解析或計算方法不適用或無法直接應用於此。但當我們將溫度 T 於時間 t 作下列 轉換時
1
kBT ↔ i
ℏt , (2.5)
（kB為波茲曼常數 (Boltzmann’s constant)；ℏ 為 (Planck’s constant)），我們可將量子 統計力學的波茲曼機率與時間演進算符作對比：
e−β ˆH ↔ e−it ˆH (2.6)
這裡及本論文引入 β ≡ 1/kBT ，並為方便我們設常數ℏ = 1 , kB = 1。如此許多 量子統計力學問題可藉虛數時間的 Feynman 路徑積分方法 [10,11] 處理。D 維度 量子多體系統配分函數 (partition function) Z = Tre−β ˆH 在虛數時間－空間路徑積 分表象中，則可表示為 D + 1 維度古典對應系統的配分函數，其中多出的維度為 長度 β 的虛數時間。如此許多處理古典相變的方法亦可藉上述量子－古典對應 (quantum-classical mapping) 在 β→ ∞ 極限下應用於量子相變問題；這個路徑積分 表象也有助我們理解空間與時間在量子相變問題是緊密不可分的。
2.3 無序效應
任何真實物質內總不免含有雜質或缺陷。一般而言，不均質性使物質傾向處於 無序態，在有些情況下，甚至完全破壞有序態；若無序態 – 有序態相變仍存在，
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2.3. 無序效應
無序效應也可能會改變臨界行為的普適類。這裡我們只關注與時間無關的雜質或 缺陷，也聚焦於無序交互耦合的效應。
判斷無序交互耦合是否對均質臨界點具影響的一重要準則為 Harris 準則 (the Harris criterion) [12]；根據這準則，若對應均質臨界點的關聯長度指數 ν 滿足下列 不等式，則無序效應的影響在大尺度範圍可被忽略
Dν > 2 , (2.7)
其中 D 為系統的維度；也就是，當不等式 (2.7) 成立時，無序系統與未加雜質的 均質系統的臨界行為將相等，同屬一相變普適類。反之，若
Dν < 2 , (2.8)
微量的無序將偏離均質系統的臨界行為。當 Dν = 2，則屬不確定的邊緣情況。
上述的 Harris 準則解釋如下：假設一 D 維度的無序系統處於非臨界點，處於 溫度 T (> Tc)。我們將系統劃分成數個區域，每區域的線性長度為關聯長度 ξ，體 積為 ξD。因為無序性質，每區域有其所屬的局域臨界溫度，局域臨界溫度與整體 系統的臨界溫度不一定相等。從中央極限定理 (central limit theorem)，我們可得出 局域溫度的均偏差
δ′ ∼ ξD/2/ξD ∼ ξ−D/2. (2.9) 另一方面，由關聯長度與臨界點距離 (δ = T − Tc) 的關係得
δ∼ ξ−1/ν. (2.10) 我們比較局域臨界溫度均偏差 δ′與系統溫度至臨界點的距離 δ，若
δ′ < δ , (2.11)
則區域性的擾動不顯著，系統整體趨向均質，也就是，存在的不均質不會改變純 淨系統的臨界行為。可看出，為滿足式 (2.11) 條件，不等式 (2.7) 必成立。
Harris 準則也適用於量子臨界點。值得注意的是，在這裡不等式中的維度 D 指 的是量子系統的維度，而非所對應的古典模型的 D + 1 維度，因為不等式中的維 度來自考慮無序自由度所用的中心極限定理，而在對應的 D + 1 古典模型，雜質 整體完全地延伸至虛數時間軸方向，並不造成多一維度的無序。另一方面，虛數 時間軸上的完全關聯性，也造成無序效應對量子系統的影響常比對古典系統的影 響更顯著；以下我們就無序對量子相變的影響作描述。
在均質系統，熱力學量只於相變點發生奇點，偏離相變點這些奇點將消失；但
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Chapter 2. 簡述臨界現象與量子相變
(a) (b)
圖 2.2: 無序鐵磁性物質順磁相 Griffiths 奇點現象機制之示意圖。在無序的順磁相 內因非均值性仍存在一局域呈鐵磁相的區塊，這些區塊發生機率不高，但可造成 如磁化率等物理量在臨界點外區間亦產生奇點。(a) 白色區域示意在二維古典系統 中順磁相內局域鐵磁相的區塊；(b) 在二維量子系統中，空間上的局域鐵磁相的區 塊延伸至虛數時間方向，故可造成比在古典系統更明顯的 Griffiths 奇點現象。
在非均質系統，情形可能不同。1969 年 R. B. Griffiths [13] 首先以無序的古典單 軸鐵磁性物質模型為例，提出非相變點區域奇點發生的可能性，背後原因在於非 均質系統的順磁相內亦隨機存有局域有序鐵磁性的區塊，這些區塊產生的機率很 小，但它們卻可使磁化率 (magnetic susceptibility) 及其他物理量產生奇點，這個現 象被稱為 Griffiths singularities。雖然理論上 Griffiths 奇點現象可被預期，但在古 典系統並不顯著，實驗上也難以被證實。同樣的概念在量子相變點附近卻可非常 顯著，因為上述那些局域鐵磁性的區塊並不隨時間改變，它們將在對應的 D + 1 古典模型中形成一多一維度的區塊，進而造成更顯著的影響 [14–16]。簡單地說，
上述稀少 D + 1 維區塊對應極長的鬆弛時間，也造成無序量子系統的動力學指數 z（式 (2.4)）將較均質系統的 z 值大 [17–19]。量子 Griffiths 奇點現象已在實驗上 被驗證出 [20–22]。
一般來說，在無序量子相變點附近，上述不尋常的動力學指數 z 將隨至臨 界點距離縮小而持續增大，在量子臨界點的動力學指數甚至可達無窮大 z =
∞ [17,18]。無 窮 大 的 動 力 學 臨 界 指 數 已 知 發 生 於 本 文 將 探 討 的 量 子 無 序 易 辛模型，一維系統的解是由一針對無序系統設計的重正規化群方法精確求得 的 [17,18]，多維度系統雖缺乏解析解，但其具有的無窮大動力學臨界指數也於一 系列的數值計算得出 [23–26]。