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第 六 章 總結與展望
本論文以蒙地卡羅的方法探討在橫場及縱場下的易辛反鐵磁模型之相變行為。
我們主要就以下三重點作討論：
(1) 橫場消失時，模型為純古典（非量子）性質。就我們討論的短序交互耦合系 統而言，臨界點僅存在於二維及多維度情形。我們探討二維模型由熱擾動所 引發的臨界現象，並找出溫度 (T ) －縱場 (hz) 平面圖的臨界線。此臨界線連 結 (T = 2/ ln(1 +√
2), hz = 0) 與 (T = 0, hz = 4) 兩點，在 hz = 0 附近，臨 界溫度與縱場平方成正比下降：∆Tc ∝ −(hz)2；在 T = 0 附近，臨界場隨 溫度的上升呈線性下降：∆hzc ∝ −T 。縱場 0 < hz < 4 區間的的臨界線均與 hz = 0 時的臨界行為相同，屬同一相變普適類。
(2) 橫場對自旋排列而言，如同溫度一般傾向破壞長程有序的反鐵磁性，可引發 反鐵磁態－順磁態間的相變。但橫場屬量子擾動，亦可引發絕對零度時基 態的相變，即量子相變。我們探討在橫場及縱場下的一維模型之量子相變，
找出橫場 (hx) －縱場 (hz) 平面相圖連結 (hx = 1, hz = 0) 與 (hx = 0, hz = 2) 兩點的量子臨界線。我們亦發現 hz = 0 附近，臨界橫場與縱場平方成正比 下降；而在 hx = 0 附近，臨界橫場隨縱場的上升呈線性下降。雖然對應的 (1 + 1) 維度古典帶縱場易辛模型沿 x 方向（實空間方向）的自旋交換耦合屬 反鐵磁性，而沿 y 方向（虛數時間方向）的自旋交換耦合屬鐵磁性，但在臨 界線上因為無窮大發散的關聯長度，使得交換耦合的非同向性顯得不重要，
系統確實具時空同向性：
ξτ ∼ ξ (6.1)
對應的動力學臨界指數為 z = 1。且 0 ≤ hx < 2 區間量子臨界行為應同屬 (1) 的二維易辛相變普適類；我們的計算結果符合這預期。
(3) 我們亦探討無序效應對 (1)、(2) 點所提的臨界行為之影響。我們藉無序隨 機的交互耦合及無序橫場來產生系統的非均質性。Harris 不等式 (2.7,2.8) 提 供一判斷無序效應是否影響臨界行為的基礎。依據 Harris 準則，無序對二 維古典易辛模型臨界行為之影響屬不確定的邊緣情形 (Dν = 2)，我們的數
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Chapter 6. 總結與展望
值計算結果也發現，無序臨界點並無明顯偏離均質臨界現象，只改變臨界 線的位置。一維量子易辛模型的臨界點則屬 Harris 準則中易受無序影響的 例子 (Dν = 1 < 2)；hz = 0 時我們確實觀察到無窮發散的動力學臨界指數 z = ∞，當 hz > 0 時無序量子臨界點似變模糊 (smeared phase transition)；但 對於 hz > 0 情形，我們仍需更可靠的數值結果。
本論文探討的量子模型雖看似簡單，卻具非常豐富的相變行為，至今也僅存有 少數已知的精確解及零星的數值計算結果。針對這個系統未知的部份，建議幾個 深入探討的方向：（一）針對無序效應部份，可應用無 Trotter 誤差的量子蒙地卡 羅方法（如連續時間量子蒙地卡羅方法 [66]，或 Stochastic Series Expansion (SSE) 量子蒙地卡羅法 [67]）進行更精確的計算，或輔以有效率的圖形處理單元 (GPU) 加速運算；(二）針對均質系統臨界線，尤其靠近零橫場處 hx = 0，值得計算其他 物理量來驗證一系列的臨界指數及標度修正，甚至可探討同樣具普適性質的量子 糾纏熵 (entanglement entropy)。
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參考文獻
[1] P. W. Anderson, Science 177, 393 (1972).
[2] J. P. Sethna, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters and Complexity, Oxford University Press, 2006.
[3] N. D. Mermin, Phys. Rev. Lett. 26, 957 (1971).
[4] M. Le Bellac, Equilibrium and non-equilibrium statistical thermodynamics, Cam-bridge University Press, 2004.
[5] T. Senthil, A. Vishwanath, L. Balents, S. Sachdev, and M. P. A. Fisher, Science 303, 1490 (2004).
[6] A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007).
[7] K. G. Wilson, Phys. Rev. B 4, 3174 (1971).
[8] K. G. Wilson, Phys. Rev. B 4, 3184 (1971).
[9] S. Sachdev, Quantum Phase Transitions, Cambridge University Press, second edi-tion, 2011, Cambridge Books Online.
[10] R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, 367 (1948).
[11] A. R. H. Richard P. Feynman, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill Companies, 1965.
[12] A. B. Harris, Journal of Physics C: Solid State Physics 7, 1671 (1974).
[13] R. B. Griffiths, Phys. Rev. Lett. 23, 17 (1969).
[14] B. M. McCoy, Phys. Rev. Lett. 23, 383 (1969).
[15] B. M. McCoy and T. T. Wu, Phys. Rev. 176, 631 (1968).
‧ 國
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l C h engchi U ni ve rs it y
參考文獻
[16] M. Thill and D. Huse, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 214, 321 (1995).
[17] D. S. Fisher, Phys. Rev. Lett. 69, 534 (1992).
[18] D. S. Fisher, Phys. Rev. B 51, 6411 (1995).
[19] H. Rieger and A. P. Young, Phys. Rev. B 54, 3328 (1996).
[20] S. Guo et al., Phys. Rev. Lett. 100, 017209 (2008).
[21] T. Westerkamp et al., Phys. Rev. Lett. 102, 206404 (2009).
[22] S. Ubaid-Kassis, T. Vojta, and A. Schroeder, Phys. Rev. Lett. 104, 066402 (2010).
[23] C. Pich, A. P. Young, H. Rieger, and N. Kawashima, Phys. Rev. Lett. 81, 5916 (1998).
[24] O. Motrunich, S.-C. Mau, D. A. Huse, and D. S. Fisher, Phys. Rev. B 61, 1160 (2000).
[25] Y.-C. Lin, F. Iglói, and H. Rieger, Phys. Rev. Lett. 99, 147202 (2007).
[26] I. A. Kovács and F. Iglói, Journal of Physics: Condensed Matter 23, 404204 (2011).
[27] D. Bitko, T. F. Rosenbaum, and G. Aeppli, Phys. Rev. Lett. 77, 940 (1996).
[28] H. M. Rønnow et al., arXiv preprint cond-mat/0505064 (2005).
[29] H. M. Rønnow et al., Science 308, 389 (2005).
[30] P. Jordan and E. Wigner, Z. Phys. 47, 631 (1928).
[31] P. Pfeuty, Annals of Physics 57, 79 (1970).
[32] C. N. Yang and T. D. Lee, Phys. Rev. 87, 404 (1952).
[33] T. D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev. 87, 410 (1952).
[34] R. Dobrushin, J. Kolafa, and S. Shlosman, Communications in Mathematical Physics 102, 89 (1985).
[35] X. Wu and F. Wu, Physics Letters A 144, 123 (1990).
[36] P. Sen, Phys. Rev. E 63, 016112 (2000).
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
參考文獻
[37] A. A. Ovchinnikov, D. V. Dmitriev, V. Y. Krivnov, and V. O. Cheranovskii, Phys.
Rev. B 68, 214406 (2003).
[38] S. K. Niesen et al., Phys. Rev. B 87, 224413 (2013).
[39] S. Kimura et al., Journal of Physics: Conference Series 51, 99 (2006).
[40] J. Simon et al., Nature 472, 307 (2011).
[41] M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hänsch, and I. Bloch, Nature 415, 39 (2002).
[42] M. P. Fisher, P. B. Weichman, G. Grinstein, and D. S. Fisher, Phys. Rev. B 40, 546 (1989).
[43] D. Jaksch, C. Bruder, J. I. Cirac, C. W. Gardiner, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 81, 3108 (1998).
[44] S. Sachdev, K. Sengupta, and S. Girvin, Phys. Rev. B 66, 075128 (2002).
[45] J. Simon et al., arXiv preprint 1103.1372 (2011).
[46] H. F. Trotter, Proc. Am. Math. Soc. 10, 545 (1959).
[47] M. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 56, 1454 (1976).
[48] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller, J.
Chem. Phys. 21, 1087 (1953).
[49] M. P. Nightingale and H. W. J. Blöte, Phys. Rev. B 62, 1089 (2000).
[50] K. Hukushima and K. Nemoto, Journal of the Physical Society of Japan 65, 1604 (1996).
[51] D. J. Earl and M. W. Deem, Phys. Chem. Chem. Phys. 7, 3910 (2005).
[52] V. Privman, Finite-size scaling theory, volume 1, Singapore: World Scientific, 1990.
[53] J. Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics, Cambridge University Press, 1996.
[54] K. Binder, Phys. Rev. Lett. 47, 693 (1981).
[55] K. Binder, Zeitschrift für Physik B Condensed Matter 43, 119 (1981).
‧ 國
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‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
參考文獻
[56] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).
[57] V. S. Dotsenko and V. S. Dotsenko, Advances in Physics 32, 129 (1983).
[58] B. Shalaev, Physics Reports 237, 129 (1994).
[59] R. Shankar and G. Murthy, Phys. Rev. B 36, 536 (1987).
[60] M. Guo, R. N. Bhatt, and D. A. Huse, Phys. Rev. Lett. 72, 4137 (1994).
[61] H. Rieger and A. P. Young, Phys. Rev. Lett. 72, 4141 (1994).
[62] P. Pfeuty, Phys. Lett. A 72, 245 (1979).
[63] E. Lieb, T. Schultz, and D. Mattis, Annals of Physics 16, 407 (1961).
[64] T. Vojta, Phys. Rev. Lett. 90, 107202 (2003).
[65] T. Vojta, Journal of Physics A: Mathematical and General 39, R143 (2006).
[66] H. Rieger and N. Kawashima, Eur. Phys. J. B 9, 233 (1900).
[67] A. W. Sandvik, Phys. Rev. E 68, 056701 (2003).