古典模型的情況

將遇到所謂的「臨界遲滯」(critical slowing down) 的行為，而使計算效率變差。所 謂臨界遲滯是系統（在熱力學極限下 N → ∞ ）達到平衡態所需的時間尺度－即 鬆弛時間 (relaxation time) －在臨界點變成無限大的現象。在蒙地卡羅演算法中，

動力學行為或時間的概念雖是以蒙地卡羅步驟為單位來計算，非真實時間的系統 動力學現象，但式 (4.37) 以蒙地卡羅步驟為單位定義的關聯時間也有臨界慢化現 象。上節描述的 Metropolis 演算法以單一自旋的改變來進行系統組態的更新，兩 組相隔一單位時間的組態相關性不小，以二維古典易辛模型為例，在臨界點關聯 時間 τint隨系統尺度 L 呈

τ_int ∝ L^zMetropolis, z_Metropolis ≈ 2.1667 (4.38)

成長 [49]。除了臨界慢化現象，模擬無序模型時，關聯時間也會因「崎嶇」的自由 能樣貌而變長。為達到較短的關聯時間及較佳的計算效益，常見取代 Metropolis 單一自旋更新方法的是所謂「群集更新」(cluster update) 方法；常使用的群集更新 方法包含 Swendsen-Wang 演算法、Wolff 演算法等。加了縱場的古典及量子易辛 模型因為不存在Z2(易辛) 對稱，群集更新方法並不適用。

本節描述一建立在特殊系綜的方法 (extended ensemble method)：複製系統交 換 演 算 法 (method of replica exchange) [50]，常 稱 平 行 回 火 處 理 演 算 法 (parallel tempering algorithm) （又譯為平行調整演算法）[51]。這裡平行調整的是可擾動系 統的因子，如產生熱擾動的溫度，或控制引發量子相變的橫場。以下分述古典系 固定溫度系統進行上節討論的 Metropolis 式的單一自旋更新外，也隨機交換處於 相鄰兩組溫度 β，β^′ 的自旋組態 c 與 c^′。我們以 W (c, β; c^′, β^′) 表示處於溫度 β 系

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

Chapter 4. 量子蒙地卡羅模擬方法

圖 4.2: 不同溫度對應系統自由能之樣貌

統的組態 c 與處於溫度 β^′ 系統的組態 c^′ 的交換機率。為了系統能達到（或保持 於）平橫態，組態交換更新的機率亦須滿足如上節所討論的細緻平衡條件（參 見 (4.31)），故要求

W (c, β; c^′, β^′)

W (c^′, β; c, β^′) = P^∗(· · · ; c^′, β; c, β^′;· · · ) P^∗(· · · ; c, β; c^′, β^′;· · · )

= e^−βEc′e^−β′Ec e^−βEce^{−β′Ec′}

= e^{−(β′−β)(Ec′−Ec)}.

(4.41)

為滿足式 (4.41)，我們可以類似 Metropolis 方法選擇

W (c, β; c^′, β^′) = min^[1, e^{−(β′−β)(Ec′−Ec)]} (4.42) 為 c 和 c^′ 兩組自旋組態的交換機率。

低溫系統的自由能常呈現難以逃脫的局域最低點。不同溫度的組態交換的效應 在於：使系統可以在組態空間有效率地移動，尤其使處於低溫擁有自由能相對低 點的系統有機會輕易越過自由能障壁，而快速達到平衡態（見圖 4.2），如此我們 也可有效率地計算平橫態時的物理量。圖 4.3 及圖 4.4 以二維古典易辛模型為例，

顯示磁化量隨蒙地卡羅步數 M 的演化。低溫時，系統具磁化量，又因自旋反轉的 Z2對稱性，磁化量分佈於 m_s=±1 附近呈雙峰；因雙峰間的能量障壁很大，以單 一自旋方法更新組態的 Metropolis 方法無法有效率地使系統從對應 m_s =−1 的組 態越過能量障壁到對應 m_s = 1 的組態。同樣低溫下，平行回火處理演算法可藉不 同溫度的組態交換，使系統有輕易地隨蒙地卡羅時間演化在兩個對應 ms =±1 的

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平行調整橫場演算法確實如上節討論的平行調整溫度法，能使系統有效率地在組 態空間移動，而快速達到平衡態。