B. - 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用

) (

t

→

x

本章將證明此兩個條件其實是對等的，並將此條件用在 4.4 節，推廣到兩個不可穩定化之線性控制系統的控制律及穩定切換律之對照上。條件(C1)及(C3) 之差別在於：

․當條件(C1)之

A

₁ +β

A

₂為赫維茲矩陣則一定存在使之穩定的切換律，但我們無法得知當

A

₁ +β

A

₂不為赫維茲矩陣時，仍否存在使之穩定的切換律。

․當條件(C3) 之成立時，一定存在

使之穩定的切換律，然而我們並不能保證一定找到；甚至說，當我們找不到此大於零之

} 0 {

\ } 0 ) (

, 1

n i

T i T

i₌

x x A P

PA x

< =ℜ

P P

，亦不能保證此

P

不存在。

除了此兩個條件之外，我們也將提出條件(C2)：

(C2)

∃

> 0

，

P

>0使得

L

₁ + Lβ ₂ <0，當

L

: = A

_i^T

P + PA

_i，

i = 1 , 2

(4.3)

本章節之最終目的將要證明此三條件互為對等：(C1)⇔ (C2)⇔(C3)。

4.2 二階不穩定狀態系統

首先，我們先找出(C1)、(C2)兩個條件的相互關係，其討論如下：

輔助定理 1：條件(C1)、(C2)為等效的。

證明：詳見附錄 4.B

接下來，我們要證明條件(C1)⇒ 條件(C3) 輔助定理 2：條件(C1)⇒ 條件(C3)

證明：詳見附錄 4.B

特性下手，再以此特性來求證，因此我們定義出以下定理：

輔助定理 3：條件(C3)唯有在下列三個狀況(i)、(ii)、(iii)成立時才會成立：

(i) (

x

₁⁺)^T

L

₂

x

₁⁺ <0 (ii) (

x

₂⁺)^T

L

₁

x

₂⁺ <0

(iii)

∃

> 0

使得

( x

₁⁺

+

x

₂⁺

)

L

( x

₁⁺

+

x

₂⁺

) < 0

，其中

i = 1 , 2

證明：詳見附錄 4.B

為了要證明在此情況下條件(C3)⇒ (C2)成立，我們需要定義更多的敘述：

(4.5)

= ₂+ ₁ ₂ 1 : (

x

)^T

L x

= ₁+ ₂ ₁ 2: (

x

)^T

L x

δ (4.6)

=

₁+ ₂ 3

: ( x )

x

δ (4.7)

2 1 1 2 1 1

1:=( ) ( +β ) =λ +βδ

∆

x

⁺ ^T

L L x

⁺ ⁺ (4.8)

1 2 2 2 1 2

2:=( ) ( +β ) =βλ +δ

∆

x

⁺ ^T

L L x

⁺ ⁺ (4.9)

3 2 1

: = (

λ⁺

+

βλ⁺

)

∆

(4.10)

接下來，我們將介紹輔助定理 4：

輔助定理 4：假設條件(C3)成立時，則下列敘述為真：

(i)

x

₁⁺ ≠±

x

₂⁺

(ii) δ₁ <0，δ₂ <0且δ₃ ≥0

(iii) λ₁⁺λ₂⁺ <δ₁δ₂ 證明：詳見附錄 4.B

再來，我們將由條件(C2)的特性反推，當條件(C2)成立時，則

L

₁+ Lβ ₂ <0，此時表示當

x

₁⁺與

x

₂⁺時，

x

(

L

₁ +β

L

₂)

x

<0。亦即是指：

1 <0

∆ 與 ∆₂ <0 (4.11)

接下來我們運用公式(4.8)、(4.9)與(4.11)得到：

+ + < <−

−

2 1 2

λ β δ δ

λ (4.12)

這也就是說，任何超出公式(4.12)範圍的β 值將不會使

L

₁ + Lβ ₂ <0成立，

所以要證明條件(C2)成立時，接下來的敘述中我們皆須要求β 屬於公式(4.12) 的範圍內。

由於輔助定理 4 之(i)得知，因此和可組成空間的基底 (base)，因此可以找出

+ + ≠± ₂

x

x x

₁⁺

x

₂⁺

ℜ

2 ∈

1, k

k

使得每一個屬於空間的點可被寫成

，藉由直接的運算，我們直接令帶入中

得出：

ℜ

2 +

+ + ₂ ₂

x k x

k x

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺

x

^T(

L

₁+β

L

₂)

x

(4.13)

3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

) ( )( ) 2

( k x

⁺

+ k x

⁺ ^T

L +

L k x

⁺

+ k x

⁺

= k ∆ + k ∆ + k k ∆

很明顯的，如果條件(C2)成立，則可得出(

k

₁,

k

₂)≠(0,0)時，

。因此，我們可以完整的把(C2)成立的條件寫成輔助定理 5：

0 ) )(

( )

(

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺ ^T

L

₁+β

L

₂

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺ <

輔助定理 5：假設條件(C2)成立時，則下列敘述為充分與必要：

(i) ₊

+ < <−

−

2 1

λ β δ δ λ

(ii) 當(

k

₁,

k

₂)≠(0,0)時，(

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺)^T(

L

₁ +β

L

₂)(

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺)<0

證明：詳見附錄 4.B

因此當我們需要去證明系統是否符合條件(C2)時，可以藉由輔助定理 5 的 (i)、(ii)來求證。然而輔助定理 5 (ii)的條件需要去檢查所有空間的範圍，

這將會使求證過程非常麻煩。如果能夠簡化此條件，則在運用上會增加不少方便性。所以本篇論文把輔助定理 5 之(ii)簡化改寫成序列定理 1：

ℜ

序列定理 1：假設條件(C2)成立時，則下列敘述為充分與必要：

(i) 存在一β

> 0

，使得

∆ (

) : = ∆

₁

∆

₂

− ∆

²₃

> 0

成立

(ii)

) (

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 2 1

3 λ λ λ λ δδ λ δ λ δ

λ λ δ

δ ₊ ₊ ₊ δ₊ ⁺ ⁺ ₊ ₊

−

− +

< −

證明：詳見附錄 4.B 其中：

2 3 2

:

)

( = ∆ ∆ − ∆

∆

] ) ( [

] 2

[ ] ) (

[

λ⁺₂δ₂

−

λ₂⁺ δ₃² β²

+

λ₁⁺λ⁺₂

+

δ₁δ₂

−

λ₁⁺λ₂⁺δ₃² β

+

λ₁⁺δ₁

−

λ₁⁺ ²δ₃²

=

(4.14)

因此，由序列定理 1，我們注意到兩個很重要的值:β 與。此兩值一個出現在條件(C1)與(C2)中；而令一個值

δ2

δ3出現在公式(4.7)中：δ₃的定義為兩個正特徵值

x

₁⁺與

x

₂⁺之間小於或等於

90

^o的夾角。

證明到此，我們發現條件(C2)的成立，將會與β 和有關。那麼反過來說，

條件(C3)成立的與否，是否也會和

δ2

β 或是有關? 如果答案是肯的的話，那對於整個求證過程將會有很決定性的結果。另外，如果想完整的證明條件 (C3) (C2)，則必須要驗證條件(C2)中的

δ2

⇒

L

₁+β

L

₂符合(C3)的要求。也就是說，

我們可藉由檢查det(

L

₁+ Lβ ₂)>0與

trace

(

L

₁+ Lβ ₂)<0兩式是否成立來驗證。因此，經過驗證上述所提之幾個問題，我們可以證明出條件(C3)⇒ (C2)：

輔助定理 6：條件(C3)⇒ (C2) 證明：詳見附錄 4.B

最後我們得出如下之結論：

定理 1：

條件 (C1)⇔ (C2)⇔(C3)

證明：條件(C1)⇔ (C2)與條件(C1)⇒ (C3)的部分已經由前面輔助定理 1、2 證明完畢，因此在此只需要證明條件(C3) (C2)的部分即可。由輔助定理 6 得知

當(C3)成立時

⇒

) )(

(

2

2 2 1 1

2 1 2 1 2

1 2 2 1

δ3 ⁻ ⁻ ₊ ⁺ ⁺₋ ₊ ⁺ ₋⁺ ⁻ ⁻

−

< +

⇒

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ

λ ，時det(

L

₁ + Lβ ₂)>0且使得

| ) ( *>

∆ β _β₌_β ，也就是說最少會存在一個的點，而其值不只是滿足公式

(4.12)使得

β*

β = β^*

+ + < <−

−

2 1

λ β δ δ

λ 成立，也讓∆(β^*)>0。因此(C1)⇔ (C2) (C3)得

證 ▓

⇔

4.3 n 階不穩定狀態系統

上一小節我們探討了二階不穩定系統間是否存在可用里奧波諾夫法建構之穩定切換律的相關證明與討論，到了本節，我們希望能夠把上一小節適用的範圍由二階系統推廣到 n 階系統。

首先，我們再次把 4.2 節的條件(C1)、(C2)、(C3)敘述如下：

(C1)

∃

> 0

使得

A

₁ +β

A

₂為赫維茲矩陣 (4.15)

(C2)

∃

> 0

，

P

>0使得

L

₁+ Lβ ₂ <0，當

L

: = A

_i^T

P + PA

_i，

i = 1 , 2

(4.16)

(C3) ∃P>0使得U_i₌₁_,₂{

X

^T(

A

_i^T

P

PA

_i)

X

<0}=ℜⁿ \{0} (4.17)

由輔助定理 1 得知條件(C1)⇔ (C2)，及輔助定理 2 得知條件(C1)⇒ 條件 (C3)，在推廣到 n 階時，我們也很容易驗證條件(C1)⇔ (C2)與條件(C1)⇒ 條件 (C3)對 n 階系統也成立，因此我們只剩下證明條件(C3)⇒ 條件(C2)，則可以完整的判定不穩定系統間是否存在可用里奧波諾夫法建構之穩定切換律的充分與必要條件。

為了要完成條件(C3) 條件(C2)的證明，很直觀的，我們可以找出兩個求證的方向：第一步是由條件(C3)的特性著手，藉由分析條件(C3)的特性，來求證到條件(C2)。第二步是比較條件(C3)與(C2)的差別，我們可以一眼看出，條件(C2) 比(C3)多出了一個

⇒

β 值，因此我們必須建立條件(C3)與 β 值之間的關係。

所以接下來我們先由第一步開始證明，也就是由條件(C3)的特性開始著手。

為了分析條件(C3)，我們令

L

= A

_i^T

P + PA

_i，

i = 1 , 2

，因此定義出兩集合：

} 1 ,

{ < =

Ω_i

X X

L

X X

，且

i = 1 , 2

(4.18a)

Ω′_i ={

X

L

X

≥0,

X

=1}，且

i = 1 , 2

(4.18b)

接著我們對集合Ω′_i作一些分析，分析的結果我們定義出輔助定理 7 如下：

輔助定理 7：定義

i = 1 , 2

的兩個集合Ω′_i ={

X

L

X

≥0,

X

=1}，可得出：

(i) Ω′_i對稱(symmetric)於原點

(ii) 每一個Ω′_i為一個連通集合

∆

，或是由兩個非交集(disjoint)連通集合∆₁、∆₂所組成，由於∆ 、₁ ∆ 以原點為軸互相對稱，所以₂ ∆₁ =−∆₂， Ω′_i可以寫成Ω′_i =∆、或是Ω′i =∆₁U∆₂

(iii) 每一個對映於

L

_i的不穩定特徵值的單位特徵向量(unit eigen-

vectors)會包含於集合Ω′ 之中 _i

在文檔中兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用 (頁 53-60)