N 階不穩定狀態系統

) )(

(

2

2 2 1 1

2 1 2 1 2

1 2 2 1

δ3 ^{− −} ₊ ^{+ +}_{− +} ⁺ ₋^{+ − −}

−

−

−

< +

⇒

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ

λ ，時det(

L

₁ + Lβ ₂)>0且使得

0

| ) ( *>

∆ β _β=β ，也就是說最少會存在一個 的點，而其 值不只是滿足公式

(4.12)使得

β*

β = β^*

+ + < <−

−

2 1

2 1

λ β δ δ

λ 成立，也讓∆(β^*)>0。因此(C1)⇔ (C2) (C3)得

證 ▓

⇔

4.3 n 階不穩定狀態系統

上一小節我們探討了二階不穩定系統間是否存在可用里奧波諾夫法建構之 穩定切換律的相關證明與討論，到了本節，我們希望能夠把上一小節適用的範圍 由二階系統推廣到 n 階系統。

首先，我們再次把 4.2 節的條件(C1)、(C2)、(C3)敘述如下：

(C1)

∃

β

> 0

使得

A

₁ +β

A

₂為赫維茲矩陣 (4.15)

(C2)

∃

β

> 0

，

P

>0使得

L

₁+ Lβ ₂ <0，當

L

_i

: = A

_i^T

P + PA

_i，

i = 1 , 2

(4.16)

(C3) ∃P>0使得U_i=1,2{

X

|

X

^T(

A

_i^T

P

+

PA

_i)

X

<0}=ℜⁿ \{0} (4.17)

由輔助定理 1 得知條件(C1)⇔ (C2)，及輔助定理 2 得知條件(C1)⇒ 條件 (C3)，在推廣到 n 階時，我們也很容易驗證條件(C1)⇔ (C2)與條件(C1)⇒ 條件 (C3)對 n 階系統也成立，因此我們只剩下證明條件(C3)⇒ 條件(C2)，則可以完 整的判定不穩定系統間是否存在可用里奧波諾夫法建構之穩定切換律的充分與 必要條件。

為了要完成條件(C3) 條件(C2)的證明，很直觀的，我們可以找出兩個求 證的方向：第一步是由條件(C3)的特性著手，藉由分析條件(C3)的特性，來求證 到條件(C2)。第二步是比較條件(C3)與(C2)的差別，我們可以一眼看出，條件(C2) 比(C3)多出了一個

⇒

β 值，因此我們必須建立條件(C3)與 β 值之間的關係。

所以接下來我們先由第一步開始證明，也就是由條件(C3)的特性開始著手。

為了分析條件(C3)，我們令

L

_i

= A

_i^T

P + PA

_i，

i = 1 , 2

，因此定義出兩集合：

} 1 ,

0

|

{ < =

=

Ω_i

X X

^T

L

_i

X X

，且

i = 1 , 2

(4.18a)

Ω′_i ={

X

|

X

^T

L

_i

X

≥0,

X

=1}，且

i = 1 , 2

(4.18b)

接著我們對集合Ω′_i作一些分析，分析的結果我們定義出輔助定理 7 如下：

輔助定理 7： 定義

i = 1 , 2

的兩個集合Ω′_i ={

X

|

X

^T

L

_i

X

≥0,

X

=1}，可得出：

(i) Ω′_i對稱(symmetric)於原點

(ii) 每一個Ω′_i為一個連通集合

∆

，或是由兩個非交集(disjoint)連通集 合∆₁、∆₂所組成，由於∆ 、₁ ∆ 以原點為軸互相對稱，所以₂ ∆₁ =−∆₂， Ω′_i可以寫成Ω′_i =∆、或是Ω′i =∆₁U∆₂

(iii) 每一個對映於

L

_i的不穩定特徵值的單位特徵向量(unit eigen-

vectors)會包含於集合Ω′ 之中 _i 證明： 詳見附錄 4.C

再來我們利用由輔助定理 7 中集合Ω′ 的特性與結果，可以推論出條件(C3)_i 成立時，以下三項條件亦將成立，因此定義出輔助定理 8：

輔助定理 8： 假設條件(C3)成立時，則下列敘述為真：

(i) Ω′₁IΩ′₂ =φ

(ii)

S

\{Ω′₁UΩ′₂}≠φ，且

S

={

X

|

X

=1}

證明： 詳見附錄 4.C

很明顯的，比較輔助定理 7(iii)所述與條件(C3)得知：對於每一個對映於

的不穩定特徵值的單位特徵向量 ，我們必須求證 ， ，否則

將無法達到條件(C3)的要求，即表示此不穩定狀態系統將不可以用里奧波諾夫法 建構切換律使系統達到穩定。推論到此，我們發現 4.2 節中的輔助定理 4 之定 義內容，即是目前我們推論所述。

L

i i

X

i⁺

∈ Ω′ X

_i⁺ ∈Ω_j

i

≠

j

為了求證方便與更嚴謹的要求，首先我們定義： 和 為兩個對應於 的 正特徵值 與負特徵值 的單位特徵向量；同樣的 和 為兩個對應於 的正特徵值 與負特徵值 的單位特徵向量。

+

X

₁i

X

₁⁻_i

L

₁

+ i

λ1 λ₁⁻_i

X

₂⁺_j

X

₂⁻_j

L

₂

+ j

λ2 λ⁻_2j

接下來重新改寫輔助定理 4 為輔助定理 9：

輔助定理 9： 假設條件(C3)成立時，則下列敘述為真：

(i)

X

₁⁺_i ≠±

X

₂⁺_j，且

i

≠

j

(ii) δ_1j :=(

X

₂⁺_j)^T

L

₁

X

₂⁺_j <0，^δ2i

^{: = ( X}

¹⁺ⁱ

⁾

^T

^L

²

^X

¹⁺ⁱ

^{< 0}

(iii) λ₁⁺_iλ⁺_2j <δ_1jδ_2i，且

i

≠

j

證明： 詳見附錄 4.C

由上述的輔助定理可得知，對於任何λ₁⁺_i、λ⁺_2j，且

i

≠ 時，其方程式

j

都必須成立。我們再把此輔助定理 9(iii)改寫為：

i j j

i 2 1 2

1λ δ δ

λ^{+ +} <

+ +

< −

−

j j i

i

2 1 2

1 δ λ

λ δ (4.19)

此即表示：當公式(4.19)成立時⇔

X

_i⁺ ∈Ω_j，

i

≠ 。接著我們把公式(4.19)

j

改寫得出以下式子：

⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧−

⎭<

⎬⎫

⎩⎨

⎧− ⁺ ₊

j j j i

i i

2 1 2

1 min

max δ λ

λ δ (4.20)

將輔助定理 9(iii)改寫為公式(4.20)最大的好處是，當我們需要求證輔助 定理 9(iii)時，可以不須逐次檢查每個 的不穩定特徵值的單位特徵向量

，直接取每個狀態系統的正特徵值之極值狀態來判斷即可。

L

i j

X

i⁺∈Ω

接著我們觀察條件(C2)：

L

₁ + Lβ ₂ <0，以及公式(4.20)。由於條件(C3)成

立 時 ， 任 何 正 特 徵 值 ， 必 須 符 合 與

，也就是 與 ，因此我們定義

出輔助定理 10。

+

X

₁i

X

₂⁺_j

( X

₁⁺_i

)

^T

( L

₁

+

β

L

₂

)( X

₁⁺_i

) < 0

0

) )(

( )

(

X

₂⁺_j ^T

L

₁+β

L

₂

X

₂⁺_j < λ₁⁺_i

+

βδ₂⁺_i

< 0

δ₁⁺_j +βλ₂⁺_j <0

輔助定理 10： 由λ₁⁺_iλ₂⁺_j <δ_1jδ_2i，且

i

≠ 得知，當條件(C3)成立時，則

j

β 必符

合下列範圍： ₂

2 1 2

1 : max λ1 δ β min δ λ :β

β =

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧−

<

⎭<

⎬⎫

⎩⎨

⎧−

= ⁺ ₊

j j j i

i i

證明： 詳見 附錄 4.C

我們把任何

L

₁、

L

₂的每個正特徵值相對應的特徵向量

X

₁⁺_i、

X

₂⁺_j為

X

的變 數，代入

X

^T(

L

₁+β

L

₂)

X

中皆會小於零。因此我們提出條件(C3)與β₁、β₂之間 的相互關係如下：

序列定理 2： 由 ₂

2 1 2

1: max λ1 δ β min δ λ :β

β =

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧−

<

⎭<

⎬⎫

⎩⎨

⎧−

= ⁺ ₊

j j j i

i i 得知，當條件(C3)

成立時：

(i) β₁為最小之β 值使得在任何 的特徵向量

L

₁

X

₁⁺_i代入

X

^T(

L

₁ +β

L

₂)

X

小於零

(ii)β₂為最大之β 值使得在任何 的特徵向量

L

₂

!

代入

X

^T(

L

₁+β

L

₂)

X

小於零 證明： 詳見附錄 4.C

然而輔助定理 10 只是單項成立條件，當條件(C3)成立⇒β₁ <β <β₂，再者 此定理並不保證β₁ <β <β₂ ⇒條件(C2)成立。

因此為了要證明條件(C3)⇒(C2)，我們必須要找出β 值與條件(C3)的關 係，使得條件(C3)成立 ⇒ 任何 帶入 皆小於零⇒ 條件(C2) 成立。故我們藉由輔助定理 8 的(i)、(iii)，提出另外一個方法。首先定義 和

，滿足：

X ∈ ℜ

n

X

^T(

L

₁+β

L

₂)

X

*

β1

*

β2

0 ) ( _{1 1}^* ₂

1 + =

Ω′

∈

X L L X

Sup

_x ^T β (4.21)

0 ) ( _{1 2}^* ₂

2 + =

Ω′

∈

X L L X

Sup

_x ^T β (4.22)

由此定義，我們可以得到下列結果：

序列定理 3： 當公式(4.21)、(4.22)成立時：

(i) 使

X

^T(

L

₁ +β₁^*

L

₂)

X

=0之點

X

為Ω′ 內部之點：₁

X

∈Ω′₁； 使

X

^T(

L

₁ +β₂^*

L

₂)

X

=0之點

X

為Ω′ 內部之點：₂

X

∈Ω′₂ (ii) β₁^*與β₂^*值一定存在

(iii) β₁ ≤β₁^*與β₂ ≥β₂^*成立 證明： 詳見附錄 4.C

而且很明顯的，β 值取 時，條件(C3)成立 成立。因為

當 時，對所有的 ，將符合 ；

* 2

*

1 β β

β < < ⇒β₁^* <β₂^*

*

β1

β >

X

∈Ω′₁

X

^T(

L

₁+β

L

₂)

X

<0

當β >β₂^*時，對所有的

X

∈Ω′₂，將符合

X

^T(

L

₁ +β

L

₂)

X

<0； 然而當β₁^* >β₂^*時，不論β 值如何取，我們皆可找到一點

1 1∈Ω′

X

使得

X

₁^T

( L

₁

+

β

L

₂

) X

₁

> 0

，和另一點

X

₂∈Ω′₂使得

X

₂^T

( L

₁

+

β

L

₂

) X

₂

> 0

，

然而由輔助定理 8 得知，此

X

₁和

X

₂將會屬於同一個集合Ω′ ，也就是說，條件_i (C3)不成立。

最後一個推論是，我們得證明β₁^* <β₂^*，否則(C2)會不成立：

輔助定理 11： 當條件(C2)成立⇔ β₁^* <β₂^*成立 證明： 詳見附錄 4.C

定理 2：

條件(C1) ⇔(C2) ⇔(C3)

證明： 由於很明顯的可看出輔助定理 1、2 可適用於 n 階系統，因此得出

(C1)⇔ (C2)與(C1)⇒ (C3)；由序列定理 3 得出， 和 成立時，且可由輔助定理 11 找出一

0 ) ( _{1 1}^* ₂

1 + =

Ω′

∈

X L L X

Sup

_x ^T β

0

2) (

L

₁+ ₂^*

L X

=

Sup

^T β

Ω′2

∈

X

x β 值使得

*

2，則(C3)

*

1 β β

β < < ⇒ β₁^* <β₂^*⇔ (C2)。因此(C1) ⇔ (C2) ⇔ (C3)得證 ▓

4.4 應用控制律於不穩定狀態系統

本節主要是在證明與推論出不穩定系統如果加入控制律 的情況下，系 統是否仍然可達到穩定，以及如何建構出切換律等等。

) ( x

u

考慮如下一個線性控制系統：

u b Ax

x

& = + _i ，

i

= 1,2 (4.23)

其中

A

∈ ℜ^n×n，

b

_i ∈ ℜ^n×1，且

i

= 1,2 ，且(

A

,

b

₁) 與(

A

,

b

₂) 皆為不可穩 定化(Unstabilizable)。即是說，不存在控制律

u

(

x

) =

k

_i

x

，

k

_i ∈ ℜ^1×n 且

，使得 2

,

= 1

i x

& = (

A

+

b

₁

k

₁)

x

與

x

& = (

A

+

b

₂

k

₂)

x

兩式達到穩定的要求。但 由於前面幾節已經指出，不穩定系統間仍然有可能存在一切換律使得系統達到穩 定，因此接下來我們將探討是否存在適當的控制律及切換律使系統能達到穩定。

在上一小節的 4.2.2 中提到的條件(C1)與條件(C2)得知：

(C1)

∃

β

> 0

使得

A

₁ +β

A

₂為赫維茲矩陣 (4.1)

(C2)

∃

β

> 0

，

P

>0使得

L

₁ + Lβ ₂ <0，當

L

_i

: = A

_i^T

P + PA

_i，

i = 1 , 2

(4.3)

而且由前述已經指出兩條件是充分與必要的。這也就是說，如果我們找出一

2

] ,

[

b

₁

b

₂

B

= β

，且

β > 0

(4.30)

> 0

C

(通常 C 取單位矩陣

C

=

I

) (4.31) 則公式(4.28)可化減為：

0

2 + =

−

+

P A P B B P C P

A

^{T T} (4.32)

在公式(4.32)中，如果(

A

,

B

) 為可穩定化(stabilizable)，則藉由大家所 熟知的 Riccati equation，可以找出一

P

值使得

P

∈

r

.

s

.

p

.

d

。

因此當(

A

,

B

) 為可穩定化(stabilizable)時，由公式(4.24)、(4.25)的控 制律

k ，

_i

i = 1 , 2

，使得

A

₁ = (1+ β )

A

+

b

₁

k

₁，與

A

₂ = (1+ β )

A

+ β

b

₂

k

₂

， 則可由公式(4.28)求得 、 出符合條件(C1)，且存在一值 ， 所以我們可以利用[14]所述之切換律使系統達到穩定。

A

1

A

₂

P

∈

r

.

s

.

p

.

d

最後我們證明當(

A

,

B

) 為可穩定化(stabilizable)，則(

A

,([

b

₁

b

₂]) 亦為 可穩定化。

輔助定理 12： 假設當(

A

,([

b

₁

b

₂]) 為可穩定化(stabilizable)，則(

A

,

B

) 亦 為可穩定化，且β

> 0

：

證明： (1)若(

A

,([

b

₁

b

₂]) 為可穩定化，則最少存在一組控制律

k

_i ∈ ℜ^1×n ，且

，讓 2 ,

= 1

i u

_i(

x

) =

k

_i

x

使得

x

& =

Ax

+

b

₁

u

₁ +

b

₂

u

₁ = (

A

+

b

₁

k

₁ +

b

₂

k

₂)

x

為 穩定。

(2)因此，對於(

A

,

B

) 的控制律

u

_i(

x

) =

k

_i

x

而言，取

k

₁ = (1+ β )

k

₁ ，

2 2

) 1

(

k

k

β

β

= + ；則

= +

+

=

Ax b

₁

u

₁

b

₂

u

₁

x

&

(( 1 ⁺

β

) A ⁺ b

1

k

1

⁺

x u b u b A x

k

b

_{2 2}) = (1+ β)( + _{1 1} + _{2 1})

β

，固由(1)知，

(

A

,

B

) 亦為可穩定化

▓

故由輔助定理 12 得知，如果(

A

,([

b

₁

b

₂]) 為可穩定化，則(

A

,

B

) 亦為可 穩定化，再經由公式(4.32)得知，藉由 Riccati equation，一定有符合條件之β 與

P

解。因此最後的總結如下：

一線性控制系統如公式(4.23)所述，當(

A

,([

b

₁

b

₂]) 為可穩定化，則選定 一β 值，再藉由輔助定理 12 與 Riccati equation 定理(4.32)求解

，再利用此

d

p s r

P

∈ . . . β 與 之解得出 、 ，則此 、 可藉由[14]

的建構切換律的方法建構出切換律使系統達到穩定。

P A

₁

A

₂

A

₁

A

₂

至於如何利用[14]所述之切換律來建構此不穩定系統間的切換律，我們將以 附錄 3.A 之切換律為基礎建構新的切換律，此部分我們放在本章節後面的附錄 4.A。

4.5 討論

在 4.2 節中得知(C1) ⇔ (C2) ⇔ (C3)，而在 4.3 節中亦得知(C1) ⇔ (C2) (C3)，因此不論是二階或者是推廣到 n 階，對於任何不穩定之矩陣 使得

⇔

A

_i

) ( )

(

t A x t

x

& = _i ，且

i

= 1,2，只要能用論文[14]之方法找到β

> 0

使得

L

₁+β

L

₂為 穩定矩陣，則必存在共通里奧波諾夫分析方法之

P

解，也就是條件(C1)成立，則 此時一定可用里奧波諾夫分析方法找出切換律，而在 4.4 節中，我們更進階的推 廣到對於包含有控制律的 n 階不穩定狀態系統

x

& =

Ax

+

b

_i

u

，

i

= 1,2 ，其中

) ,

(

A b

₁ 與(

A

,

b

₂)皆為不可穩定化(Unstabilizable)。我們提出一個尋找切換 律使得此包含有控制律的 n 階不穩定系統達到穩定的方法。

附錄 4.A

此附錄主要是在介紹增加控制律

u

(

x

) =

k

_i

x

，且

i

= 1,2 時，如何由附錄 3.A 的切換律來建構新的不穩定系統之切換律:

步驟 1： 已知一切換系統之狀態變數 A 、

b

₁、

b

₂ 。

檢查以下兩個條件： A 為不穩定，且(

A

,

b

₁) 與(

A

,

b

₂) 皆無法可穩定化 (Stabilizable)。

是： 接續到步驟 2

否： 可不經由此切換律而可使系統達到穩定，結束

步驟 2： 令

A

A

= (1+ β) (4.33)

] ,

[

b

₁

b

₂

B

= β (4.34)

d p s r

C

∈ . . . (通常 C 取單位矩陣

C

=

I

) (4.35) 以及選取任一β 值大於零，代入

A

^T

P

+

P A

− 2

P BB

^T

P

+

C

= 0 (4.36)

判斷是否有解

P

∈

r

.

s

.

p

.

d

?

附錄 4.B

證明 輔助定理 1：

當(C1)成立時

0 , 0 >

>

⇔

β

P

使得(

A

₁+β

A

₂)^T

P

+

P

(

A

₁+β

A

₂)=(

A

₁^T

P

+

PA

₁)+β(

A

₂^T

P

+

PA

₂)<0

0 , 0 >

>

⇔

β

P

使得

L

₁ + Lβ ₂ <0 ▓

證明 輔助定理 2：

由條件(C1)可知

A

₁ +β

A

₂為赫維茲矩陣

> 0

∀

⇒ Q

，∃P>0使得(

A

₁+β

A

₂)^T

P

+

P

(

A

₁+β

A

₂)=−

Q

<0

≠0

∀

⇒ x ，

x

^T[(

A

₁^T

P

+

PA

₁)+β(

A

₂^T

P

+

PA

₂)]

x

=−

x

^T

Qx

<0

≠0

∀

⇒ x ，且最少一個

x

^T

( A

_i^T

P + PA

_i

) x

，

i = 1 , 2

小於零

定理得證 ▓

證明 輔助定理 3： 此輔助定理由下面兩項(a)，(b)觀察得知：

(a) 因為

L

₁和

L

₂為對稱(symmetric)，所以可知

x

₁⁺ ⊥

x

₁⁻、

x

₂⁺ ⊥

x

₂⁻

(b) 對於接近單位特徵向量

x

_i⁺，且

i = 1 , 2

為向量方向軸的地方，必會

存在一範圍

{ x | x

^T

L

_i

x > 0 }

，且為等範圍對稱

x

_i⁺軸 ▓

證明 輔助定理 4：

證明(i)： 如果假使 ，則 ，藉由輔助定

理 2 得知條件(C3)不成立。

+ + =± ₂

1

x

x

(

x

₁⁺)^T

L

₂

x

₁⁺ =(

x

₂⁺)^T

L

₂

x

₂⁺ =λ₂⁺ ≥0

證明(ii)： 由前面的註釋(4.5)、(4.6)，以及輔助定理 3，得知δ₁ <0與δ₂ <0， 且選擇

x

₁⁺和

x

₂⁺之間的角度小於π/2，使得δ₃

: = ( x

₁⁺

)

^T

x

₂⁺

≥ 0

。

證明(iii)： 當條件(C3)成立時，由輔助定理 3 得知：

> 0

∃

⇒

γ 使得

( x

₁⁺

+

γ

x

₂⁺

)

^T

L

₁

( x

₁⁺

+

γ

x

₂⁺

) =

λ₁⁺

+

γ²δ₁

+ 2

λλ₁⁺δ₃

< 0

與

0 2

) (

)

( x

₁⁺

+

γ

x

₂^{+ T}

L

₂

x

₁⁺

+

γ

x

₂⁺

=

δ₂

+

γ²λ⁺₂

+

λλ₂⁺δ₃

<

3 1 2

1 1 2γδ

δ λ γ

− +

<

⇒ ⁺ 與

3 2

2

2 γ 2γδ

λ δ

− +

<

+

2 1 3

3 2 1

3 2

3 2 1 2 2

1 (1 2 )( 2 ) (1 2 )(1 2 / ) δ δ

γ δ γδ

δ δ γδ

γ γδ

δ δ λ γ

λ <

+

= + +

< +

⇒ ^{+ +} ▓

證明 輔助定理 5：

“⇒ ＂

當條件(C2)成立時(i)一定成立，否則最少會有一個∆₁ ≥0或 產生，

使得在 或 時，

2 ≥0

∆

=

x

₁+

x x

=

x

₂⁺

x

(

L

₁ +β

L

₂)

x

≥0。

很明顯的當

x

₁⁺ ≠±

x

₂⁺時，

x

₁⁺與

x

₂⁺可以作為

ℜ

²空間的基底(base)，因此我們

可以用(

k

₁

x

₁⁺ + x

k

_{2 2}⁺)來表示

ℜ

²空間內任何的點。因此(C2)成立時(ii)一定成立。

“⇐ ＂

很明顯的當(i)不成立時，（C2）在 或 時不成立；當(ii)不成立

時 ，在 的點(C2)不成立。

=

x

₁+

x x

=

x

₂⁺ 0

) )(

( )

(

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂^{+ T}

L

₁+β

L

₂

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺ > (

k

₁

x

₁⁺ + x

k

_{2 2}⁺)

▓

證明 序列定理 1：

由於皆是條件(C2)成立的充分必要條件，所以我們只需證明序列定理 1⇔ 輔助定理 5 即可達成證明，亦即是說，我們化減輔助定理 5(ii)的條件：

當(

k

₁,

k

₂)≠(0,0)時，(

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺)^T(

L

₁ +β

L

₂)(

k

₁

x

₁⁺ +

k

₂

x

₂⁺)<0 為序列定理 1 的條件即可。

綜合上述，簡化的方式是把公式(4.13)中的(

k

₁

x

₁⁺ + x

k

_{2 2}⁺)作更改，令 α

w

k

₁ = ，

k

₂ =

w ( 1 −

α

)

且0<α<1、

w

∈ℜ，則 可以表示為 與 之間的最小夾角內的任意點，因此公式(4.13)可以重新改寫成

，我們 可以直接把 提出來，得出：

) ) 1 (

(

x

₁⁺ + −

x

₂⁺

w

α α

x

₁⁺

+

x

2

3 2 1 2 2 2 1 2

1

∆ + k ∆ + 2 k k ∆

k = w

²

(

α²

∆

₁

+ ( 1 −

α

)

²

∆

₂

+ 2

α

( 1 −

α

) ∆

₃

) = w

²

F (

α

,

β

) w

2

(4.37)

3 2

2 1

2

( 1 ) 2 ( 1 )

: ) ,

(

α β

=

α

∆ + −

α

∆ +

α

−

α

∆ F

由於公式(4.13)必須要小於零。因此我們把此公式的條件改寫成對所有的 1

0<α< 的情況下，檢查是否最少有存在一個能滿足公式(4.12)的β 值，且使得

0

) , (

α β

<

F

。

同樣的，我們需要求出

F (

α

,

β

) < 0

，如果β 滿足公式(4.12)，以及公式(4.11)

1 <0

且很明顯的，

F (

α

,

β

)

之最大值

F

(α^∗,β)<0時，

F (

α

,

β

) < 0

以β 為變數的二階多項式(quadratic polynomial)，且其首項係數 可以很明顯的看出小於零，而

由公式(4.14)，我們定義 ， ，

0

如果公式(4.47)與λ₁⁺λ⁺₂ <λ₁⁻λ⁻₂成立時，我們最少將可以找出一個β 值的範 圍，使得落在此範圍內的β 值可以滿足公式(4.12)與

∆ (

β

) > 0

輔助定理 5(ii) ⇔

) (

4

) (

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 2 1

3 λ λ λ λ δδ λ δ λ δ

λ λ δ

δ _{+ + +} δ₊ ^{+ +} _{+ +}

−

− +

< −

因此我們歸納出：

證明(i)： (i)之

∆ (

β

)

為公式(4.41)的分子項，由於序列定理 3(ii)的結果得知 公式(4.41)<0，且其分母項∆₁+∆₂ −2∆₃很明顯的小於零，因此分子項

∆ (

β

)

一 定得大於零，且因為序列定理 3(i)、(ii)，輔助定理 5(ii)成立

證明(ii)： 由公式(4.50a)、(4.50b)與(4.51)得知，最少存在一點 滿足輔助

定理 5(i) ▓

β*

證明輔助定理 6：

(一)､首先我們定義公式(4.52)、(4.53)、

_K

、(4.58)：

cos

θ

=

δ₃

: = ( x

₁⁺

)

^T

x

₂⁺ (4.52)

在此我們令：θ₁為單位向量

x

₁⁻與

x

^T

L

₁

x

=0的夾角，θ₂為單位向量 與 的夾角。

−

x

2 2

x

=0

L x

^T

) (

tan

1 1 1

1 +

−

−

−

=

λ

θ λ (4.53)

) (

tan

2 1 2

2 +

−

−

−

=

λ

θ λ (4.54)

藉由

1 1

1 1

1

cos

) sin (

)

tan(

θ

θ λ

θ

= −

λ₊⁻

=

與cos²θ₁+sin²θ₁ =1，可以導出:

_{+ −}

=−cos(θ₁+θ₂)=−cosθ₁cosθ₂ +sinθ₁sinθ₂ 下面的公式(4.60)與(4.63)討論)，我們將公式(4.57)與(4.58)的 、 帶入於 (4.60)中：

2 + + >0

其次，我們將計算

L

₁ +β

L

₂的跡數(trace)如下：

附錄 4.C

因此由(一)、(二)得知， 對稱(symmetric)於原點

X

i

只有包含兩個連通子集合∆_i和−∆_i。而且不失一般性，假設∆ 是個連通集合，_i 則經過線性轉換後得出的 仍為一連通集合。因此公式(4.65)可以擴大到非對 角矩陣：

Ψ

T i

n p

p i

i

Q Q

L

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

− + + +

λ λ

λ λ

0

0

1 1

O O

，

i = 1 , 2

(4.65a)

證明(iii)： 由公式(4.65a)得知對映於 的不穩定特徵值的單位特徵向量為

，故 ，且

L

i +

+ 2 1

,

_i

i

X

X

,K,

X

_ip⁺

⁽

⁺

⁾

i iw⁺

^{≥ 0}

T

iw

L X

X w = 1 , 2 , K , p

，因此由公式(4.18b)可以

很明顯的看出，(iii)成立 ▓

證明 輔助定理 8： 證明(i): 如果Ω′₁IΩ′₂ ≠φ或成立，則必可找出一點 使

得 與 ，使得(C3)不成立。反之，如果(C3)成立時，

一定無法找出一點 使得 與 成立

X

α

0 )

( X

_α ^T

L

₁

X

_α

≥ ( X

_α

)

^T

L

₂

X

_α

≥ 0

X

α

( X

_α

)

^T

L

₁

X

_α

≥ 0 ( X

_α

)

^T

L

₂

X

_α

≥ 0

證明(ii): 如果

S

\{Ω′₁UΩ′₂}=φ，且

S

={

X

|

X

=1}成立，則一定找不到一點

使得 與 成立；亦即是說 可控，不需要用到

不穩定控制 ▓

X

α

( X

_α

)

^T

L

₁

X

_α

≥ 0 ( X

_α

)

^T

L

₂

X

_α

≥ 0 L

_i

證明 輔助定理 9： 證明(i): 如果存在 ，可得出

+ +_i =±

X

_j

X

_{1 2}

⎪⎩

+

證明(ii): (a)已知(

X

₂⁺_i)^T(

L

₁ +β

L

₂)

X

₂⁺_i =δ_1j +β₂λ⁺_2j成立

(二) 已知β₂可使任何

L

₂正特徵值

X

₂⁺符合(

X

₂⁺)^T(

L

₁+β₂

L

₂)

X

₂⁺ ≤0；

另外β₂^*可使任何

X

∈Ω′₂符合

X

^T(

L

₁+β₂^*

L

₂)

X

≤0，因此β₂ >β₂^* ▓

證明 輔助定理 11： 當β >β₁^*時，對所有的

X

∈Ω′₁，將符合

X

^T(

L

₁+β

L

₂)

X

<0； 當β >β₂^*時，對所有的

X

∈Ω′₂，將符合

X

^T(

L

₁ +β

L

₂)

X

<0；

另外對於

S

\{Ω′₁UΩ′₂}≠φ，且

S

={

X

|

X

=1}的部分，由於

X

∈Ω₁且

X

∈Ω₂

另外對於

S

\{Ω′₁UΩ′₂}≠φ，且

S

={

X

|

X

=1}的部分，由於

X

∈Ω₁且

X

∈Ω₂

在文檔中 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用 (頁 58-0)