結論

本論文主要是提供了一個對於二階與 n 階不穩定系統間是否存在切換律使 系統達到穩定的三個充分條件的對等性，以及把此方法運用到擁有輸入的不可穩 定的控制系統中；以及在切換律的運用上，我們探討切換時機的特性，並且由附 錄 3.A 為例，提出一個使不穩定狀態系統藉由切換達到穩定的切換律建構方 法。接下來我精簡扼要的把本文中貢獻描述如下：

1､在二個皆為不穩定的二階系統

x

&(

t

) =

A

_i

x

(

t

)，

i = 1 , 2

中，我們首利用[14]

所提出使用里奧波諾夫分析方法建構不穩定二階系統之切換律，且使此 系統藉由此切換律達到穩定的充分條件，以及另外兩個很明顯成立的充 分條件，並且經由證明後得出，此三個條件是互相對等。

2､相同於 1､所述，我們接下來證明在 n 階不穩定系統時，此三個條件亦 是互相對等。

3､藉由 1､2､的結果，我們更進階的推廣到對於包含有控制律的 n 階不穩 定狀態系統

x

& =

Ax

+

b

_i

u

，

i

= 1,2 ，其中(

A

,

b

₁) 與(

A

,

b

₂) 皆為不可 穩定化(Unstabilizable)。我們提出一個尋找切換律使得此包含有控制 律的 n 階不穩定系統達到穩定的方法。

4､接著我們把 3､所述之條件，並且參照由[14]中尋找切換律的方法(也就 是附錄 3.A)，寫出建構切換律的步驟。

5､我們也探討一個出現在公式(3.9)的控制參數ε，由 5.1.2 節的模擬得 出，我們改變ε值的大小，當ε的值越大時，在初始值為 的系統 狀態被推上順滑面(sliding surface)的時間越快，而且上到順滑面後，

系 統 判 斷 切 換 的 時 間 也 越 短 ， 也 就 是 說 ， 提 高

) ( ₀

0

t x

ε 值 可 以 消 減 (eliminate)＂切跳(Chattering)＂的現象；而當ε的值越小時，在初始 值為 的系統狀態被推上順滑面(sliding surface)的時間越慢，

且系統判斷切換的時間越長，也就是＂切跳(Chattering)＂的現象會隨 )

( ₀

0

t x

ε的值越小而增加，即是此時系統軌跡對於平衡點的擺幅將會變大。

6.2 未來研究的方向

在前一小節已經列舉出目前研究的相關結果。然而事實上還有許多可以讓我 們深入研究的地方：

首先，一個很明顯能夠看出來的方向：本篇論文中主要研究的兩個狀態系統 為

x

&(

t

) =

A

_i

x

(

t

)與

x

& =

Ax

+

b

_i

u

，

i

= 1,2 。我們可以把不穩定系統的數目增 加，也就是當

i

=1,2,K,

m

，

m

> 2 時，再依照第四章所提出的三個充分條件

來建構出使此系統穩定之切換律的充分條件。

另外我們得知，在[26]中提出的兩個不穩定狀態系統，並不符合[8]中所述 的尋找切換律條件，但是仍然可以藉由切換來達到穩定。因此能否建構出整個不 穩定狀態系統切換律的充分與必要條件將會是未來我們所要研究的一個主要方 向之一。

其次，在 4.4 節探討擁有控制律 的不穩定系統間是否存在有切換律使 系統達到穩定的部分，本篇論文只有提出一個尋找切換律的方法，以及提供一個 建構切換律的步驟。然而離此研究的最終目的：建構出整個藉由切換律使系統達 到穩定的充分與必要條件還有一段距離，這也是未來我們需要加以研究討論的地 方。

) ( x

u

最後我們可以把此建構切換律的方法運用到實作上，比如電子電路上的切換 器系統等等，並且可以與一般傳統的控制方法作比較，來探討其優缺點、適用的 範圍與實用性。

參考文獻

[1] M. Akar and K. S. Narendra,“On the existence of a common quadratic Lyapunov function for two stable second order LTI discrete-time systems,＂ Proceedings of the 2001 American Control Conference, Arlington, VA Volume: 4, 25-27. June 2001 pp.2572 - 2577

[2] D. Cheng, “Stabilization of planar switched systems,＂Systems & Control Letters 51 (2004) 79-88

[3] C. M. Dorling, and A. S. I. Zinober,“Two approaches to hyperplane design in multivariable variable structure systems,＂Int. J. Control, Vol. 44, pp. 65-82 1986.

[4] E. Feron,“Quadratic stabilizability of switched systems via state and output feedback,＂technical report CICS-P-468, MIT, 1996.

[5] G. Feng, “Controller synthesis of Fuzzy dynamic systems based on piecewise Lyapunov functions and bilinear matrix inequalities,” Fuzzy Systems,

2003. FUZZ '03. The 12th IEEE International Conference on , Volume: 2 , 25-28 May 2003 pp. 1327- 1332

[6] H. F. L. Frank, K. S. T. Peter, C. K. Li,“The control of switching dc-dc converters – A general LQR problem,＂ IEEE Transactions on Industrial Electronics.. VOL.38, NO. 1.

February 1991 pp.413 - 418

[7] H. F. L. Frank, K. S. T. Peter, C. K. Li, “An improved LQR-based controller for switching dc-dc converters,＂ IEEE Transactions on Industrial Electronics.. VOL.40, NO.

5. October 1993 pp.521 - 528

[8] M. Johansson, A. Rantzer, and K-E. Arzen, “Piecewise quadratic stability of fuzzy systems,＂IEEE Transactions on Fuzzy Systems, VOL. 7, NO. 6, DECEMBER 1999 pp.713 - 722

[9] H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall, second edition, 1996.

[10] K. S. Narendra and J. Balakrishnan, “A common lyapunov function for stable LTI systems with commuting A-Matrices,＂ IEEE Transactions on Automatic Control, VOL.

39, NO. 12, December 1994 pp.2469 - 2471

[11] Y. J. Kautsky, N. K. Nichols, and P. Van Doorn, “Robust pole assignment in linear state feedback,＂ Int. J. Control, Vol. 41, pp. 1129-1155, 1985.

[12] D. Liberzon and A. S. Morse,“Basic problems in stability and design of switched systems,＂ IEEE Control Systems, Volume: 19 , Issue: 5, October 1999 pp.59 - 70 [13] Y-F Liu, P. C. Sen,“A novel Method to achieve Zero-Voltage regulation in buck converter,＂ IEEE Transactions on Power Electronics. VOL. 10, NO. 3. May 1995 pp.292 - 301

[14] M. A. Wicks, P. Peleties and R. A. DeCarlo,“Construction of piecewise lyapunov functions for stabilizing switched systems,＂ Proceedings of the 33rd IEEE Conference on Decision and Control , Lake, Buena Vista, FL - December 1994 pp.3492 – 3497 vol.4

r

[15] N. Mohan, T. M. Undeland, W. P. Robbins, 江炫樟編譯, 電力電子學, 全華科技 圖書股份有限公司, 2002.

[16] R. D. Middlebrook & S. Cuk,“A general unfied approach to modeling switching-converter power stages,＂ 1976 IEEE. Reprinted, with permission, from Proceedings of the IEEE Power Electronics Specialists Conference, June 8 – 10, 1976, Cleveland, OH.

[17] R. D. Middlebrook. & S. Cuk,“A general unfied approach to modeling switching DC-TO-DC converters in discontinuous conduction mode,＂ 1977 IEEE. Reprinted, with permission, from Proceedings of the IEEE Power Electronics Specialists Conference, June 14 – 16, 1977, Ralo Alto, CA.

[18] T. Ooba and T. Funahashi, “Two conditions concerning common quadratic lyapunov function for linear systems,＂ IEEE Transactions on Automatic Control, VOL. 42, NO. 5, May 1997 pp.719 - 722

[19] P. Peleties, R. DeCarlo, “Asymptotic stability of m-switched systems using

lyapunov-like functions,＂ Proceedings of the 31st IEEE Confe ence on , 16-18 Dec. 1992 pp.3438 - 3439 vol.4

[20] H. Sun, J. Zhao, “Control lyapunov functions for switched control systems,＂

Proceedings of the American Control Conference, Arlington, VA June 25-27, 2001.

pp.1890 - 1891 vol.3

[21] J.-J. E. Slotine, and W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1991.

[22] S. R. Sanders and G. C. Verghese,“Lyapunov-based control for switched power converters,＂ IEEE Transactions on Power Electronics. VOL. 7, NO. 1. January 1992 pp.17 – 24

[23] R. N. Shorten and K. S. Narendra, “On common quadratic Lyapunov functions for pairs of stable LTI systems whose system matrices are in companion form,＂ IEEE Transactions on Automatic Control, VOL. 48, NO. 4, April 2003 pp.618 - 621

[24] R. N. Shorten and K. S. Narendra, “On the stability and existence of common Lyapunov function for stable linear switching systems,＂Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision & Control , Tampa, Florida USA. December 1998 pp.3723 - 3724 vol.4

[25] R. N. Shorten and K. S. Narendra, “A sufficient condition for the existence of a common Lyapunov function for two second order linear systems,＂Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision & Control, San Diego, California USA. December 1997 pp.3521 - 3522 vol.4

[26] R. N. Shorten and K. S. Narendra, “Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov Function for two stable second order linear time-invariant systems,＂Proceedings of the American Control Conference, San Diego, California. June 1999. pp.1410 - 1414 vol.2

[27] R. N. Shorten and K. S. Narendra, “Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov Function for M stable second order linear time-invariant systems,＂Proceedings of the American Control Conference, Chicago, lllinois. June 2000 pp.359 - 363 vol.1

[28] R. N. Shorten and K. S. Narendra, and O. Mason, “A result on common quadratic Lyapunov functions,＂ IEEE Transactions on Automatic Control, VOL. 48, NO. 1.

Janurary 2003 pp.110 - 113

[29] T. Suetsugu, “Novel PWM control Method of switched capacitor DC_DC

converter,＂Circuits and Systems, 1998. ISCAS '98. Proceedings of the 1998 IEEE

International Symposium on, Volume: 6 , 31 May-3 June 1998

pp.454 - 457 vol.6

[30] T. Umeno, K .Takahashi, I. Oota, F. Ueno, T. Inoue,“New switched-capacitor DC-DC converter with low input current ripple and its hybridization,＂ Circuits and Systems, 1990., Proceedings of the 33rd Midwest Symposium on , 12-14 Aug. 1990 pp.1091 - 1094 vol.2

[31] 陳永平, 可變結構控制, 全華科技圖書, 1999.

[32] 鄭培璿, 電力電子分析與模擬, 全華科技圖書股份有限公司, 2002.

在文檔中 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用 (頁 101-0)