里奧波諾夫法

*

) *

, ( )

(

u

u u

X t X f t S

S

_eq

∆

=

∆ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

⋅

(2.48)

如果我們選擇

^∆

^u

^{* =}

(

τ₁ ^sgn(

^s

₁⁾_Lτ_m ^sgn(

^s

_m⁾

)

^{T ,}τ_i ^{< 0}

，順滑條件為

0 )

( )

( ^⋅_i = _{i i} <

i

X s X s

s

τ

(2.49)

可滿足我們所需要的設計。

2.3 里奧波諾夫法(Lyapunov)

里奧波諾夫法是以 Lyapunov 原理為基礎，依能量收斂的觀點所提出的 VSC 設計技巧，在選擇順滑向量的方法中，可以簡單的設計出來。

為了利用 Lyapunov 原理，首先必須經由根值指定法先行求得狀態回饋矩陣

K 使得 A

−

BK 的特徵值都在複數平面的左半平面上，在選定控制輸入為

v ，則系統 Kx

u

= − +

^x

& ⁼

^Ax

⁺

^Bu

⁺

^d ( ) ^x

^,

^{t 可改寫成} ( ) ^{x t B d} ( ) ^{x t}

Bd Bv x A

x & =

_s

+ +

_m

, +

_{r r}

, (2.50)

其中 ，由於 的特徵值都在複數平面的左半面上，對於任意的對

稱正定義矩陣(positive-definite matrix) 而言，必然唯一存在一個對稱的

正定義矩陣 使得下面的關係式成立:

BK A

A

_s

= − A

_s

Q P

Q PA

P

A

_s^T + _s = −

(2.51)

上式即所謂的 Lyapunov 方程式。當根據(2.51)式計算出 以後，為了分析系 統的穩定性，通常選取底下之 Lyapunov 函數

P

( ) ^{x x Px}

V

= ^T (2.52)

對時間作一次微分後，利用(2.51)及(2.52)兩式可以得到

( ) x x Qx x PB ( v d ( ) x t ) x PB d ( ) x t

V

& = − ^T + 2 ^T + _m , + 2 ^T _{r r} , (2.53)

觀察此式，如果非匹配式雜訊

^d

_r

( ) ^x

^,

^t

^{不存在，則當}

B

^T

Px

= 0 ^{時，上式變成}

V

&

( ) x

= −

x

^T

Qx

≤ ⁰ (2.54) 且只有當

x

= 0 時，

V& ( ) x

= ⁰ 才成立，故

^V ( ) ^x

是一個 Lyapunov 函數，可以推 得

^x ( )

^{∞ → 0}，即系統是穩定的。因此

^d

_r

( ) ^x

^,

^t

不存在的情況下，只要選取順滑 向量為

(2.55)

Px B Cx s

= = ^T

一旦系統處在順滑模態 之下，則成為一個穩定的系統。根

據上述的描述，這裡歸納出里奧波諾夫法的設計如下:

= 0

=

=

Cx B Px

s

^T

1. 利用根值指定法求得

A

_s =

A

−

BK

，其特徵根史系統穩定。

2. 給定一對稱正定義矩陣

Q

，再由(2.51)式求得

P

。

3. 得到順滑向量

s

=

Cx

=

B

^T

Px

。

此方法的優點是十分簡單，但是卻較難以規劃順滑模態下的系統軌跡。其次，若 是非匹配式雜訊

^d

r

( ^x

,

^t )

存在，則在順滑模態下，(2.53)式變為

^V ( ) ^{x x Qx x PBd}

r

( ) ^{x t}

T

T + 2 ,

−

& = (2.56)

為了減仰非匹配式雜訊，可以使用[13, 14]的方法

P PB

_r

min (2.57)

此式中的矩陣

P

是決定自根值指定法所得的

K 和 Lyapunov 方程式中給定的

，因此在選擇

Q K 和

時，除了應該考量系統軌跡的要求外，還要考量減仰非

匹配式雜訊的影響。

Q

事實上，里奧波諾夫法可以不需要利用 Lyapunov 方程式，而改採 的左 特徵向量，其方法略述如下:

A

s

首先經由根值指定法求得狀態迴授矩陣 K 使得

A

_s =

A

−

BK

的 個特徵 值

n

λ1 、

_K

、λ_n 都在複數平面的左半面上且都不相同，可得

v

_i

A

_s = λ_i

v

_i

i

=1,2,K,

n

(2.58)

其中

v

_i ∈

R

^1×n 為相對於λ_i的左特徵向量，是一個列向量，此式可以進一步寫成

VA

_s = Λ

V

i

=1,2,K,

n

(2.59) 其中

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

v

n

v

V

M

1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= Λ

λn

λ

0

1 0 O

由於V 包括所有的左特徵向量，所以是非奇異的，因此選擇一個新的系統狀態 如下:

Vx

y

= (2.60) 並且選擇 Lyapunov 函數為

^V ( ) ^y

=

^y

^T

^y

(2.61)

則對時間為分後，利用(2.50)及(2.59)兩式得到

( ) y y y y VB ( v d ( ) x t ) y VB d ( ) x t

V

& = ^TΛ + 2 ^T + _m , + 2 ^T _{r r} , (2.62)

遵照原來(2.53)式的分析方式，這裡選擇順滑向量為

s

=

B

^T

V

^T

y

=

B

^T

V

^T

Vx

(2.63) 則當非匹配式雜訊

^d

_r

( ^x

^,

^t )

不存在時，在順滑模態下

s

=

B

^T

V

^T

y

= ⁰ ，(2.62) 式化為

V

&

( ) y

=

y

^TΛ

y

≤ ⁰ (2.64) 且只有當

y

= 0 時，

V& ( ) y

= ⁰ 才成立，故

^V ( ) ^y

是一個 Lyapunov 函數，因此

，也就是說

( )

^{∞ =}

^Vx ( )

^{∞ → 0}

y ^x ( )

^{∞ → 0} ，系統是穩定的。其次，若是存在

非匹配式雜訊

^d

r

( ) ^x

,

^t

，則(2.62)式變為

( ) ^{y y y VB d} ( ) ^{x t}

y

∞ = ^TΛ + 2 ^T _{r r} , (2.65) 同樣地，可以依據(2.57)式的準則來減仰非匹配式雜訊，只是此時

P

換成V ， 表示式如下:

P PB

_r

min (2.66)

此式中的矩陣V 是決定自根值指定法所得的 K ，因此在選擇時，除了考量系統 軌跡的要求外，還要兼顧到減仰非匹配式雜訊的影響。

CHAPTER 3

切換式轉換器系統

在本節中我們將介紹切換式轉換器。第一小節介紹切換式轉換器整在電力電 子整體的架構；第二小節介紹固定切換時間之切換式轉換器，第三小節將介紹非 固定切換時間之切換式轉換器；其中包括了穩定模組與非穩定模組之切換式轉換 器；最後一小節將討論目前對於切換式轉換器之研究的進展與方向，以及一些可 以再近一步去討論的地方。

3.1 切換式轉換器系統介紹與發展

3.1.1 系統描述

一般的電源供電方式，大多數是由交流輸入電壓經由變壓器升降城我們所希 望的電壓範圍，再經過整流、濾波與穩壓電路而轉換成直流電壓。在此我們不討 論整流之前的電路架構，單純的針對整流後的電路稱之為直流對直流轉換器。直 流對直流轉換器廣泛的被應用於調整型(regulated)之切換式直流供應器以及直 流馬達驅動器。典型的直流至直流轉換器系統之構造如圖 3.1 所示，其輸入通常

為由線電壓整流而得之非調整性的直流電壓，然後再利用切換式 DC/DC 轉換器將 此變動之直流電壓轉換成一調整之直流電壓。

圖 3.1 直流至直流轉換器系統

3.1.2 線性電源轉換器簡介

直流對直流轉換器可以簡單區分為線性電源與切換式電源轉換器。線性電源 轉換器是傳統電源轉換器的設計方式，由於功率開關工作於主動區(active region)故取其名，優點是電路架構簡單，如圖 3.2 所示為線性電源轉換器的方 塊圖與整流後的電壓範圍。

圖 3.2 線性電源轉換器的方塊圖與整流後的電壓範圍

輸出電壓 的調整是藉由參考電壓 與輸出電壓的誤差來調整功率開 關的基極電流，使得輸出電壓

V

O

V

_O,ref

)

(

V

_O =

V

_d −

V

_CE 等於 ，此時功率開關工作 於主動區，其集射極上存在一個電壓值，同時集極電流流經負載，功率開關的動 作就如同可變電組一樣，用來吸收整流後的濾波電壓 與輸出電壓 之間的電 壓差

ref

V

O_,

V

d

V

_O

)

(

V

_CE =

V

_d −

V

_O ，交流電源電壓經過整流與濾波而得的電壓值 是一個 變動的範圍值，因此，輸出端的低頻變壓器其匝數的選擇必須使得輸出電壓 低 於漣波電壓的最小值 。所以，線性電源轉換器的功率消耗很大，整個系統 需要很大的散熱片，導致效率無法提升，而低頻變壓器的體積與重量與線性電源 轉換器的輸出功率成正比，當輸出功率越大，變壓器與電感所需的體積與重量會 更加龐大。一般要求整流後的電壓漣波比較小時，而輸出濾波電容器的電容量與

V

d

V

O min

,

V

d

體積也相對增大。

3.1.3 切換式電源轉換器簡介

由 3.1.2 小節介紹的線性電源轉換器得之其運作方式與優缺點，因而在電力 電子運用上，提出了另一套可以取代線性電源轉換器的方法，也就是切換式電源 轉換器。

切換式電源轉換器之控制切換模式可區分為固定切換時間與非固定切換時 間兩種，在簡介中以固定切換時間之切換式電源轉換器為架構，如圖 3.3 所示來 作探討。其輸出端通常是由市電交流電壓整流而得之無調整性的直流電壓，再經 由直流對直流轉換器將此固定的直流輸出電壓轉換成一個可以控制的直流輸出 電壓。電路中使用功率開關如 BJT、MOSFET 或 IGBT 作為切換元件，例用功率開 關導通或截止的切換動作，將輸入的直流高壓切割成高頻方波的訊號，再經由輸 出端的低通濾波器濾除高頻訊號，而得到所需的直流輸出電壓。輸出電壓與輸入 電壓的關係由工作週期(duty cycle)來決定，將輸出電壓回售予設定電壓作比較 來控制功率元件的工作週期。因此控制器必須藉由調整工作周期的大小來穩定所 需的輸出電壓。

圖 3.3 切換式電源轉換器的方塊圖

線性電源轉換器的功率開關工作於主動區，其集射極上存在一個電壓值，也 就是說，功率開關會擋下一個不小的電壓。切換式電源轉換器的功率開關是處理 能量而不是訊號，主要工作在飽和區(saturation region)與截止區(cut-off region)，而避免停留在主動區。也就是說，功率開關經過主動區實為進行切換 瞬間，這是為了減少電力轉換實的功率損失。當功率開關導通時，集極電流流過 功率開關，集射極兩端僅有很小的電壓降。當功率開關截止時，集射極兩端存在 一個固定的電壓差，也就是功率開關本身所消耗的功率非常小，所以切換式電源 轉換器具有較高的能源轉換效率。

電源轉換器是各種儀器設備與應用產品中所必須的動力來源，為了符合現代 產品輕薄短小、優柔效省的需求，現實的方法就是採用切換式電源轉換器的設計 方式，藉由提高切換頻率來減少占有絕大多數體積與重量的變壓器與電感。切換 式電源轉換器一般工作在 20KHz 到 100KHz 之間，若配合零電壓切換(zero voltage switching)與零電流切換(zero current switching)的技術，工作頻率

可達 200MHz 以上，可有效地提高系統的功率密度。

3.2 固定時間切換式轉換器系統

3.2.1 脈波寬度調變法

固定時間切換式轉換器系統為切換式轉換器中最典型的調整方法，亦可說是 脈波寬度調變法(pulse-width modulation，PWM)，其切換周期 (亦稱 為工作週期 )為固定，由調整 之大小來改變之大小。目前電力電子方面最基 本 與 最 常 使 用 到 的 切 換 式 轉 換 器 系 統 為 降 壓 式 轉 換 器 (buct switch converter) 、 升 壓 式 轉 換 器 (boost switch converter) 、 升 降 壓 式 轉 換 器 (buct-boost switch converter)等幾個基本的切換式轉換器，以及針對某些特 性改善而形成之切換式轉換器，如[29, 30]等等。

) (

_{on off}

s

t t

T +

D t

_on

3.2.2 升壓式轉換器系統

以一個基本的升壓轉換器(boost converter)，適當的選取相關的電晶體、

二極體、電容、電感、電阻等零件，以及決定好輸入電壓與量測位節點後，我們 可以使用 Ispice 建構出升壓轉換器如圖 3.4 所示：

圖 3.4 升壓轉換器(boost converter)

藉由自行選取的 CMOS 電晶體 IRF1502 的 on、off 切換來產生兩電路，如圖 3.5 之(一)、(二)所示。

Vd L

Co

RL VOUT

Vd L

Co

RL VOUT

(一) Model1 : MOS ON

(二) Model2 : MOS OFF

圖 3.5 升壓轉換器之模組

在實際電路上，整體線路之電感與電容通常會參雜數值極小之組抗(不為純 電感或電容)，因此重新修改圖 3.4 之升壓轉換器為下圖 3.6。接下來以此升壓

轉換器，利用 KCL 與 KVL 的特性不難推出模組 1(model1)之數學公式(3.1)與模 組 2(model2)之數學公式(3.2)，在公式(3.1)與(3.2)中我們令變數 為電感 L 之電流，變數 為電容 Co 之電壓。

關係如圖 3.7。

圖 3.7 用 Ispice 模擬圖 3.6 之升壓式轉換器之輸出波形

3.2.3 平均方程式與相關切換式轉換器

接下來要提到固定切換式轉換器的研究中，一個很重要的理論，在 R. D.

Middlebrook 與 Slobodan Cuk 所寫之論文[16, 17]中提出一個平均方程式

(average equation)的理論。當輸入電壓 、工作週期 、與我們所希望達到 控制之變數

V

g

D

X

的不確定變動量

vˆ

_g、 、 極小時，可以如下表示：

dˆ xˆ

ˆ 1

<<

g g

V

v

， 1

ˆ <<

D

d ，

ˆ << 1

X

x

(3.3)

當整個切換式系統符合公式(3.3)之條件時，再經由決定工作週期 之值，

我們可以推出一個平均方程式(average equation)：

D

(3.4) 電感產生之電流與電壓的漣波(ripple)等等的研究。

D

用線性二次項調(Linear Quadratic regulator，簡稱 LQR)作為迴授控制的方

法，在[6, 7]中屬於其中的一些運用與例子。使用可變結構控制(Variable Structure control，簡稱 VSC)法或是共同里奧波諾夫函數(Common Lyapunov Function，簡稱 CLF)作為迴授控制的方法，在[2,6,7,10,11.13,14,18,20,23,19]

中皆是屬其中的一些運用例子與相關研究證明。

3.3.2 使用里奧波諾夫分析方式建構非穩定狀態系統之切換律(一)

在論文[14]中描述一對切換式線性系統穩定性問題，藉由一片段連續可微的 里奧波諾夫分析方式可以發展出其切換律。其模組為一對個別不穩定的線性切換 系統

{

，亦即是說每個 最少都會有一個以上的正特徵值

(eigenvalue)，一般常見的切換式轉換器系統之模組公式我們可以令為

(eigenvalue)，一般常見的切換式轉換器系統之模組公式我們可以令為

在文檔中 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用 (頁 30-0)