• 沒有找到結果。

兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用"

Copied!
107
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)國立交通大學 電機與控制工程學系 碩士論文. 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之 研究與應用 Study of Existence of the Stabilizing Switching Laws between Two Unstable Linear Systems and Its Applications. 研 究 生:譚煜寰 指導教授:梁耀文. 中 華 民 國. 博士. 九 十 三年 七 月.

(2) 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用 Study of Existence of Stabilizing Switching Laws between Two Unstable Linear Systems and Its Applications. 研 究 生:譚煜寰. Student:Yu-Huan Tan. 指導教授:梁耀文 博士. Advisor:Yew-Wen Liang. 國立交通大學電機與控制工程學系 碩 士 論 文. A Thesis Submitted to Department of Electrical and Control Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Electrical and Control Engineering July 2004 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十三年七月.

(3) 兩個不穩定線性系統存在穩定切換律之探討與應用. 研究生:譚煜寰. 指導教授:梁耀文 博士. 國立交通大學電機與控制工程學系 摘要 本論文主要是針對於二階與 n 階不穩定系統間是否存在利用里奧 波諾夫分析方法建構出切換律使不穩定狀態系統藉由切換達到穩定 之目的,並且證明已經存在的三個充分的條件是互相對等的;接著我 們把利用里奧波諾夫分析方法建構切換律的適用條件推廣到擁有輸 入的不可穩定狀態的控制系統中,並且提出一個尋找切換律使得此包 含有控制律的 n 階不穩定系統達到穩定的方法,以及建立出使用此方 法的演算法則;另外在切換律的運用上,我們探討切換時機的一些特 性與相關模擬討論。. I.

(4) Study of Existence of Stabilizing Switching Laws between Two Unstable Linear Systems and Its Applications. Student:Yu-Huan Tan. Advisor:Dr. Yew-Wen Liang. Department of Electrical and Control Engineering National Chiao Tung University ABSTRACT This thesis addresses the equivalence of three conditions for the existence of stabilizing switching laws between two unstable linear systems. One condition is used mainly for theoretical derivation, while the others are implementable and a class of stabilizing switching laws have been explicitly constructed by [14]. With the help of the equivalent relation, a condition for the existence of controllers and stabilizing switching laws between two unstabilizable linear control systems it then proposed. The controllers and stabilizing switching laws are also explicitly constructed through the use of an existed algorithm. II.

(5) 誌. 謝. 本篇論文的完成,實在要感謝太多人了,沒有你們的幫助,恐無法有所精進, 希望日後能繼續給予指教與鼓勵,必銘記在心! 首先,要感謝我的指導教授梁耀文博士在專業領域上的指導,使我這兩年的 的學習中受益良多,除此之外老師對於日常生活、人生處世以及做人的道理也不 吝提供幫助以及提供正確且良好的觀念,將對於往後的人生有所助益,也要感謝 系上曾給予協助的老師,同時,也要感謝口試委員廖德誠博士、鄭志中博士和宋 朝宗博士給予指正與寶貴的建議,使本論文更加完備。 接下來要感謝朱自強學長與吳秉儒學長在我遇到困難及心情低落時能給予 適時的幫助與鼓勵,再來要感謝實驗室的同學宏毅,在研究上給予支持與協助, 而學弟嘉良對我的論文研究助益良多,以及學弟信嘉,感謝你們對於我的幫助, 使我能夠更專心於研究,以及感謝其他的同學,你們曾給予我幫助,陪我度過這 兩年的日子,充實我的研究生活。 最後要感謝我的家人,感謝我的父親、母親、哥哥,從小到大陪我一路走來, 對我的包容,實在辛苦你們了!我將這論文獻給你們,謝謝你們對我的支持與鼓 勵,讓我可以無後顧之憂的在學業上勇往直前,進而完成研究所的學業,謝謝你 們!. III.

(6) 目 錄 頁次. 中文摘要. I. 英文摘要. II. 誌謝. III. 目錄. IV. 圖目錄. VII. Chapter 1、緒論….…………………………………………..…………………1 1.1 研究背景…..………………………………………………....1 1.2 研究動機……………………………………………………...3 1.3 論文架構……………………………………………………...4. Chapter 2、非線性可變結構控制……………………………..………………5 2.1 可變結構控制簡介...…………..……………………………………5 2.2 可變結構控制律之設計..…………………………………………...8 2.2.1 線性系統可變結構控制律之設計……..….…………………8 2.2.1.1 系統描述……………………………………..………8 2.2.1.2 順滑函數的選擇………………………………………9 2.2.1.3 控制法則之設計…………………………………….11 2.2.2 非線性系統之可變結構控制器之設計.….….……………14 2.2.2.1 系統描述……..……………………..……………….14 2.2.2.2 可變結構控制器之設計……………………..…..….16 2.3. 里奧波諾夫法..…………………………………………………...20. Chapter 3、切換式電源轉換器………………………………………………24. IV.

(7) 3.1切換式電源轉換器之介紹……………………………….………..24 3.1.1 系統描述……..……………………..………………....24 3.1.2 線性電源轉換器簡介 ……………..………………....25 3.1.2 切換式電源轉換器簡介 ……………..……………....27 3.2 固定時間切換轉換器系統……….….……………….….…..……29 3.2.1 脈波寬度調變法 …………………..………………....29 3.2.2 升壓式轉換器系統 …………………..……………....29 3.2.3 平均方程式與相關切換式轉換器…………………....32 3.3 非固定時間切換轉換器系統….………….………………….....…33 3.3.1非固定時間切換轉換器系統簡介…..………………....33 3.3.2使用里奧波諾夫分析方法建構非穩定狀態系統之切換 律(一)……... ………... …... ………... ………... ……....34 3.3.3使用里奧波諾夫分析方法建構非穩定狀態系統之切換 律(二)……... ………... …... ………... ………... ………37. 3.4討論….………….………….………….……….……….……..……37 附錄 3.A.………….………….………….………….……….……..……39. Chapter 4、兩個不穩定系統間穩定切換律之設計研究…..…………..……41 4.1 問題描述..…………..…………..………………………..………..42 4.2 二階不穩定狀態系統………………….…………………………..43 4.3 N 階不穩定狀態系統…………………..………………………...48 4.4 運用控制律於不穩定狀態系統………..……………………….54 4.5 討論…..……………..…………………..…………………...……..58 附錄 4.A. .……………..…………………..…………………...……..59 附錄 4.B. .……………..……………………..………………...……..61 V.

(8) 附錄 4.C. .……………..……………………..………………...……..73 Chapter5、模擬與討論……………………………………………………….80 5.1 兩個不穩定線性系統之穩定切換律設計………………………80 5.1.1 系統模擬……..……………………..………………....80 5.1.2 探討 ε 的特性…..……………………..……………....83 5.2 兩個不穩定線性控制系統之控制律及切換律設計….. ………..86. Chapter 6、結論與未來研究方向…………...……………………………..91 6.1 結論……………………………………….…………….……….91 6.2 未來研究方向……………………………………….……….…..92. 參考文獻…………………………………………………………………….94. VI.

(9) 圖 目 錄 圖 2.1順滑軌跡示意圖…...……….…………………………………………..6 圖 2.2 順滑層…..………….…………………………………………………...7 圖 2.3 順滑模態存在於兩順滑平面的交集.……………………………….. 15 圖 3.1 直流至直流轉換器系統.……………………………………...…….. 25 圖 3.2 線性電源轉換器的方塊圖與整流後的電壓範圍………………… 26 圖 3.3 切換式電源轉換器的方塊圖.……………………………………...28 圖 3.4 升壓轉換器(boost converter) .…………………………………30 圖 3.5 升壓轉換器之模組.……………………………………...…….. ….30 圖 3.6 修改圖 3.4 之升壓式轉換器.……………………………………...31 圖 3.7 用 Ispice 模擬圖 3.6 之升壓式轉換器之輸出波形…………….32 圖 4.1 穩定系統 A1 、 A 2 有可能因切換方法不同而產生不同的根軌跡…41 圖 5.1 時間取 0.4 秒時 (a) S 1 ( x ) 與 S 2 ( x ) 對時間的分佈圖;(b) x 1 與 x 2 對時間的分佈圖;(c) x 1 為橫軸、 x 2 為縱軸的分佈圖。……82. 圖 5.2 時間取 2 秒時 (a) S 1 ( x ) 與 S 2 ( x ) 對時間的分佈圖;(b) x 1 與 x 2 對時間的分佈圖;(c) x 1 為橫軸、 x 2 為縱軸的分佈圖。…………83 圖 5.3 ε 取 0.5,時間取 2 秒時 (a) x 1 與 x 2 對時間的分佈圖;(b) x 1 為 橫軸、 x 2 為縱軸的分佈圖。………………………………………84 圖 5.4 ε 取 0.1,時間取 2 秒時 (a) x 1 與 x 2 對時間的分佈圖;(b) x 1 為 橫軸、 x 2 為縱軸的分佈圖。………………………………………85 圖 5.5 ε 取 0.9,時間取 2 秒時(a) x 1 與 x 2 對時間的分佈圖;(b) x 1 為 橫軸、 x 2 為縱軸的分佈圖。………………………………………85 圖 5.6 ε 取 0.5,時間取 2 秒時 (a) S 1 ( x ) 與 S 2 ( x ) 對時間的分佈圖; (b) x 1 、 x 2 與 x 3 對時間的分佈圖。………………………………87 VII.

(10) 圖 5.7 ε 取 0.5,時間取 2 秒時 (a) S 1 ( x ) 與 S 2 ( x ) 對時間的分佈圖; (b) x 1 、 x 2 與 x 3 對時間的分佈圖。…………..…………………88 圖 5.8 ε 取 0.5,時間取 2 秒時 (a) S 1 ( x ) 與 S 2 ( x ) 對時間的分佈圖; (b) x 1 、 x 2 、 x 3 與 x 4 對時間的分佈圖。………………………90. VIII.

(11) CHAPTER 1 序論. 1.1 研究背景 電力電子是一門綜合性學科的學問,其最主要的目標就是運用相關的設計與 控制來達到節約能源的目的。而可以運用於大功率電力與小功率電子,其領域包 含有功率半導體元件、功率級電路、電機機械與傳動系統、電磁干擾防制技術、 積體電路設計、控制理論、微處理器的應用,類比與數位電子還電腦輔助設計技 術等應用知識的綜合技術[9, 32]。 其運用領域包含了工業、交通、商業、家電、電力系統、電腦資訊、航空到 軍事用途等領域,其使用項目涵蓋了電熱與感應加熱、照明系統、太陽能電力轉 換、變頻式家電、電子式安定器、交流與直流電源供應、不斷電電源系統、馬達 驅動與控制、焊接與切割、攻因數矯正與諧波補償等[32]。 切換式電源轉換器在電力電子中屬於直流對直流轉換器的電路架構,其廣泛 地使用在電腦相關產品與設備、通訊與網路系統、軍事與航太工業、醫療設備、 1.

(12) 工業與儀器用設備、高效率的電源供應器、直流馬達驅動、照明系統、消費性與 名聲用產品的運用上。典型的直流至直流轉換器其輸入端通常是由線電壓整流而 得之非調整性的直流電壓,然後再利用線性電源轉換器或是切換式 DC/DC 轉換器 將此變動之直流電壓轉換成一調整可控制的直流輸出電壓。電路中使用功率開關 如 BJT、MOSFET、或 IGBT 作為切換元件,利用功率開關導通或截止的切換動作, 將輸入的直流高壓切割成高頻方波的訊號,再經由輸出端的低通濾波器濾除高頻 訊號,而得到所需的直流輸出電壓。[9, 32] 輸入電壓與輸出電壓的關係由切換功率開關的切換元件(通常為電晶體或是 MOSFET)決定,而在選擇如何切換功率開關之研究方面,最典型的方式是採用脈 波寬度調變法(Pulse-Width modulation,PWM),其切換為工作週期(duty cycle TS = t on + t off )為固定,由調整 t on 之大小來改變 Vo 之大小的控制法(如. [16,17,29,30])。 除了此之外,目前文獻中有許多探討到非固定切換時間的切換方法,像是在 [10]中提出:對於一個線性系統 x& = A i x , i = 1, 2 , K , N ,如果矩陣 A i 為漸近 穩定(asymptotically stable)且互換(commute)時,則可使用共通二次的里奧波 諾夫函數(Common quadratic Lyapunov function,簡稱 CQL function)的形式. V ( x ) = x T Pi x ,再藉由 V& ( x ) = x T ( A iT Pi + Pi A i ) x = − x T Pi −1 x ,. i = 1, 2 , K , N ,使任何 A i 的線性系統 x& = A i x ,都可以藉由此里奧波諾夫函數 達到指數穩定,其中 Pi 為正定, i = 1, 2 , K , N 。此外,[10]中亦有提供一個尋 找 Pi 的方法。 接著在[18]中指出,[10]所提到建構切換律的適用範圍 - 矩陣 A i 必須符 合漸近穩定且互換的條件過於嚴苛,因此提出一個矩陣 A i 不需要符合互換 (commute)條件也可以找到 A i 相對應之共通里奧波諾夫方程式(Common. 2.

(13) Lyapunov equation)中 A iT Pi + Pi A i = − Q 的 P 之判斷條件。其他相關於探討 運用里奧波諾夫原理(Fundamentals of Lyapunov Theory)來解決穩定系統之切 換問題的文獻有[1,12,22-28]。 然而[18]中最大的問題在於,文中並沒有提到如何去找 P ,而且[10,18]中 的條件都需要 A i 為穩定矩陣。因此針對這兩點,在[14]中提到:對於一組線性 系統 x& = A i x , i = 1, 2 ,其中矩陣 A1 、 A 2 皆為不穩定,如果可以找到一 α 值 符合 0 < α < 1 ,使得 A eq (α ) = α A1 + (1 − α ) A 2 為穩定矩陣,則一定可以利 用里奧波諾夫分析方式,使不穩定狀態系統藉由切換達到穩定的判斷方法。同時 [8]中亦提供了一個用此里奧波諾夫分析方式去設計穩定切換律之演算法則。 其他亦還有許多探討運用里奧波諾夫原理來建構切換律以解決不穩狀態定 系統之切換的文章[12,19,20]。除了此之外,目前還有探討到使用里奧波諾夫分 析方式建構模糊切換系統的文章[5, 8],與使用 LQR 來解決不穩定系統之切換的 文章,像是[6, 7]。. 1.2 研究動機 在[14]中有兩個主要的貢獻,第一個貢獻是建構一個利用里奧波諾夫分析方 法找出切換律的演算法則,使不穩定系統藉由切換達到穩定的目的。另一個貢獻 為提出一套適用於不穩定狀態系統的判斷方法,當符合判斷條件時,則一定可以 藉由前一個貢獻所提之建構切換律的演算法則,找出切換律使不穩定系統達到穩 定的目的。 然而我們已知,同樣的系統,亦有可能運用不同的里奧波諾夫分析方式選取 出不同的控制律,或是切換律(例如在[31]的 4-19 頁提到,穩定系統中,可使用 左特徵向量等方式取代里奧波諾夫方程式)。因此對於[14]中所述,是否我們可 以運用不同於[14]中所描述的里奧波諾夫分析方法來建構切換律的演算法則,亦 3.

(14) 可達到相同之目的? 因此,我們以[14]中的內容為基礎加以深入探討。首先,我們提出一個直觀 上很明顯可看出來的不穩定系統可以藉由里奧波諾夫函數建構切換律達到穩定 的條件:. ∃P > 0 使得 U i =1, 2 {x | x T ( AiT P + PAi ) x < 0} = ℜ n \ {0}. (1.1). 再藉由比較(1.1)之條件與[14]中所提的兩個貢獻,我們將可以很有系統的 探討前述所提出之疑問。 到此我們把問題精簡扼要的整理如下:如何建構出一個使不穩定系統可以藉 由里奧波諾夫分析方式建構切換律達到穩定的充分條件、以及是否我們可以簡化 一些判斷的方法或是建立一些不同的判斷方法、又或者探討一些切換律的特性、 並且為了使其達到更寬廣有效的應用,我們可以加入控制律 u (x) 的部分…等等, 諸多的研究方向。. 1.3 論文架構 第二章針對線性,非線性系統以及切換式轉換器系統模組產生之非線性系統 的可變結構控制做介紹。第三章介紹切換式轉換器系統,包括系統介紹與發展, 以及現今不穩定狀態的切換系統之研究。第四章將介紹目前有關使用里奧波諾夫 分析方法建構不穩定狀態的切換律之研究成果,這部份的推論適用於二階,並且 可以推廣到 N 階都。並且在最後,我們把此建構切換律的方法,運用到包含控制 律 u (x) 之不穩定系統狀態。另外第五章則是系統的建構與模擬討論,包含了切換 時機的探討、與切換系統的模擬等等。. 4.

(15) CHAPTER 2 非線性可變結構控制. 由於可變結構控制器在設計上的容易性以及其高抗雜訊的能力,在本論文中 我們將採用可變結構來設計控制器。本章將簡述可變結構控制的基本概念、順滑 平面、線性及非線性可變結構控制器的設計方法、以及考慮輸入具有非線性限制 時之可變結構控制律之設計。最後一小節將介紹里奧波諾夫法,此法為本論文中 可變結構所採用的設計控制器設計方法。. 2.1 可變結構控制簡介 可變結構控制(variable structure control, 簡稱 VSC)是一種不連續的狀態回授 控制,是在 1960 年代初期由前蘇聯科學家們所發展出的一種非線性控制法則, 為俄國人 Filippov 所率先提出的。此種控制之特色為利用不連續的控制輸入, 使系統在所設定之轉換平面(Switching Plane)或稱之超平面(Hyperplane)上改 變結構,而獲得所謂之滑動模式控制(Sliding Mode Control) 。 5.

(16) 我們所採用的可變結構控制法則,由於設計方法較為容易,已成為最廣為人 使 用 的 控 制 方 法 之 一 。 由 於 VSC 是 一 種 高 速 切 換 的 回 授 控 制 (feedback control) ,其回授方式可以為狀態回授(state feedback)或輸出回授(output feedback) 。採用 VSC 可使系統具有較強的系統強健性(Robustness) ,因此對 於一些具有不確定因素(uncertainties)的系統而言,VSC 的高抗雜訊能力的確 是一種不錯的控制方法。 VSC 最 大 的 特 點 則 是 系 統 最 後 會 被 規 範 在 一 個 預 先 決 定 的 順 滑 平 面 (Sliding surface)上,而控制器的設計者則利用設計的控制法則將系統的狀態 軌跡控制在預先設計好的順滑平面上,如圖 2.1,在理論上當順滑函數為零時, 亦即系統上到了順滑平面上,而受控系統的行為則是由順滑平面來規範的,運動 軌跡不隨系統內部參數變動而變動,此種沿著順滑平面滑行的運動方式稱為滑動 模式(Sliding mode) ,因此,順滑平面的選取在 VSC 的設計上就顯得相當的重 要,對於一般線性的系統而言,順滑函數可以選取如下: S ( x) = Cx. (2.1). 其中, x 表示系統的狀態變數。 而要讓系統上順滑平面的條件便要使得所設計的控制器滿足下式: ⋅. S T S < −σ S , σ > 0. (2.2). (2.2)式又稱為"reaching condition" 。 高頻切換. x(0) s=0 x=0. 順滑平面(sliding surface). 圖 2.1 順滑軌跡示意圖 6.

(17) 上式條件,因它充分保證在任一 S 鄰域之狀態起點,其軌跡必定趨近到順滑平面 S,且沿此平面滑動。由上述可知,當系統進入滑動模式,系統動態反應受控於 順滑平面,因此,可適當選取轉換平面使降階系統具有穩定的特性。 但是,在滑行的過程中,狀態代表點因受到不連續控制之輸入影響,並非完 全在順滑平面( S ( x ) = 0 )上,而是在 S ( x ) = 0 的鄰域來回變動,使用 VSC 時有 一個最大的缺點就是控制器在高速作切換時會導致"切跳(Chattering)"的現 象產生。輕則會影響系統的最終狀態(steady state),嚴重則會激發出一些系 統潛在的未模式高頻部分(high frequency unmodeled parts),將影響到系統 整個控制的結果,導致系統的不穩定現象發生。因此,要在可變結構控制系統中, 切跳現象是無法避免的,而切跳的大小視控制輸入之不連續程度而定,要改善" 切跳(Chattering)"所導致的負面影響,可以引入順滑層(Sliding layer)的想 法[27],順滑層的簡單示意圖如下:. x(0). s>0 s=0. s<0. 圖 2.2 順滑層. 將原來的符號函數(Sign Function)用飽和函數(Saturation Function) 、磁滯 函 數 (Hysteresis Function) 或 磁 滯 - 飽 和 函 數 ( Hysteresis Saturation Function)等方式取代,經證實,這些方法可應用於實際的系統中,對系統之切 跳行為可獲得明顯有效的改善。. 7.

(18) 總括而言,在設計可變結構控制器有兩個主要步驟: ¾. 步驟一:選取適當的順滑平面 S (x ) ,使得系統軌跡在順滑模態時能滑向控制 目標點。. ¾. 步驟二:設計適當的控制器,使得系統軌跡在有限時間內接觸到順滑平面產 生順滑模態。. 2.2 可變結構控制律之設計 2.2.1 線性系統可變結構控制律設計 2.2.1.1 系統描述 假設系統動態方式如下: ⋅. x1 = x 2 ⋅. x 2 = x3. (2.3). M ⋅. x n −1 = x n ⋅. x n = a1 x1 + a 2 x 2 + L + a n x n + u + d ( x, t ). 其中 x = [x1. x 2 L x n ] 是系統狀態且所有的狀態變數都是可以量測的,u 為控 T. 制輸入, d ( x, t ) 是系統雜訊且為一匹配式雜訊(matched noise),在不失一般性 的情況下,假設雜訊的大小都有上界. d ( x, t ) ≤ δ ( x, t ). (2.4). 其中 δ ( x, t ) 為一已知的上限函數,此有雜訊干擾的系統,我們的主要的目的是將. 8.

(19) 系統的軌跡準確的控制到原點 x = 0 ,以下將利用可變結構控制來完成所要的目 標。 依據可變結構控制的理論,選定順滑函數(sliding function) S (x ) 後,系 統之狀態空間會被順滑平面 S ( x ) = 0 分隔成 S ( x ) > 0 及 S ( x ) < 0 的兩個子空間,再 利用迫近及順滑條件來迫使系統在有限時間內接觸到順滑面,並且經由切換,使 系統在順滑面上產生順滑模態(sliding mode),在順滑模態上的軌跡最後必須逼 近目標點 x = 0 ,方能達到控制的目標。. 2.2.1.2 順滑函數的選擇 在此步驟中,首先假設系統已成功的被控制在順滑模態下,其餘的主要工作 就是選擇順滑函數 S (x ) ,也就是選擇一適當的順滑面 S ( x ) = 0 ,讓系統經由不斷 的切換滑向目標。 由於順滑模態下的系統軌跡會朝向目標點逼近,所以選取的順滑面必須包含 此目標點,也就是說必須符合 S ( x ) x =0 = 0 ,在一般情況下,通常順滑函數設定為 S ( x) = CX = c1 x1 + c 2 x 2 + L + c n x n 其中 C = [c1. (2.5). c 2 L c n ] ,C 之選取將於稍後在作說明,根據以上的敘述必須假. 設系統已經處於順滑模態下,亦即滿足 S ( x) = c1 x1 + c 2 x 2 + L + c n x n = 0 ,事實 上,向量中的 n 個係數只要是彼此間的比例關係不變的話,都是代表同一個順滑 面,假設 c n = 1 ,亦即選取順滑函數為 S ( x) = CX = c1 x1 + c 2 x 2 + L + c n −1 x n −1 + x n 其中 C = [c1. (2.6). c 2 L c n −1 1] 。. 為了使順滑模態 S ( x ) = 0 具有不變(invariant)的特性,我們必須加入以下 條件. 9.

(20) ⋅. ⋅. S (x ) u =ueq. ⋅. ⋅. ⋅. = c1 x1 + c2 x2 + L + cn −1 x n −1 + x n = 0. (2.7). 利用(2.3)式可得 ⋅. = a1 x1 + (a 2 + c1 ) x2 + L + (a n + cn −1 ) x n + u eq + d ( x, t ) = 0. S ( x) u =ueq. (2.8). 在(2.8)式可看出順滑函數經過一次微分後會產生控制輸入 u 項,因此可取等效 控制如下 u eq = − a1 x1 − ( a 2 + c1 ) x 2 − L − ( a n + c n −1 ) x n. (2.9). 代回(2.3)式後成為 ⋅. x1 = x 2 ⋅. x2 = x3. (2.10). M ⋅. x n −1 = x n ⋅. S (x) = 0 ⋅. 根據等效控制的觀點,系統在順滑模態下( S ( x ) = 0 且 S ( x) = 0 )只需考慮前面的 n-1 條方程式,亦即 ⋅. x1 = x 2 ⋅. x 2 = x3. (2.11). M ⋅. x n −1 = −c1 x1 − c 2 x 2 − L − c n −1 x n −1 其中最後一式已經利用 S ( x) = c1 x1 + c 2 x 2 + L + x n = 0 的關係把 x n 改為. 10.

(21) x n = −c1 x1 − c 2 x 2 − L − c n −1 x n −1. (2.12). 由(2.11)中可以看出次數降為 n-1 次,所以順滑模態比原系統少了一階。 為了使(2.11)式的系統穩定,必須選取適當的係數 ci , i = 1,2, L , n − 1 ,首 先,令 x K = z ( K −1) , K = 2,L , n − 1,其中 Z ( K −1) 表示 z 對於時間 t 的 K-1 次微分, 再代回(2.11)式的最後一個等式後,可得(n-1)次的微分方程如下: ⋅. z ( n −1) + c n −1 z ( n − 2 ) + L + c 2 z + c1 z = 0. (2.13). λ( n −1) + c n −1λ( n − 2 ) + L + c 2 λ + c1 = 0. (2.14). 故特徵方程式為. 只要選取的係數 ci , i = 1,2, L , n − 1 ,能夠使特徵方程式的(n-1)個根都具有 負實部,亦即 RE (λ ) < 0 ,其中 λ 為特徵方程式的特徵根,因此,當 t → ∞ 時, 對所有!i = 1,2,L , n − 1 !, xi → 0 ,經由(2.12)式可得!x n → 0 ,即可達到控制的 目標。一旦決定出適合的順滑函數後,便可開始進行控制法則的設計。. 2.2.1.3 控制法則之設計 控制法則的設計是利用迫近及順滑兩種條件為基礎,迫使系統在有限時間內 產生順滑模態,在此利用(2.2)式的迫近順滑條件,表示如下: ⋅. S T S < −σ S , σ > 0, 當s ≠ 0. (2.15). 以保證系統在有限時間內進入順滑模態,並滑向控制目標。由(2.3)及(2.6) 式計算順滑函數的一次微分式可得 ⋅. s = a1 x1 + ( a 2 + c1 ) x 2 + L + (a n + c n −1 ) x n + u + d ( x, t ). 為了符合迫近順滑條件,令控制法則如下:. 11. (2.16).

(22) u = − a1 x1 − (a 2 + c1 ) x 2 − L − (a n + c n −1 ) x n − (δ ( x, t ) + σ ) sign( s ). (2.17). 代回(2.16)式後變為 ⋅. s = −(δ ( x, t ) + σ ) sign( s ) + d ( x, t ). (2.18). 兩邊同乘 s 後整理為 ⋅. s s = −δ ( x, t ) s − σ s + d ( x, t ) s ⎛ d ( x, t ) s = −σ s − δ ( x, t ) s ⎜⎜1 − ⎝ δ ( x, t ) s. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (2.19). ≤ −σ s. 由(2.19)式,可知所設計的控制法則(2.17)式,可以保證迫近條件(2.15)式成 立,所以能使系統在有限時間內產生順滑模態。 在真實的情況中,在(2.17)式中 sign(s)是一理想的切換函數,這個函數必 須借助無窮大的切換頻率才可能達成,但此種切換頻率在現實的系統裡是無法實 現的,因此一般都只是利用極高速的切換元件來取代,這樣系統的軌跡必定會在 順滑模態 s=0 兩側的極小空間中不斷的跳動,造成了不當的高頻雜訊,也就是說 會有切跳的現象產生,目前已經有許多改進切跳現象的方法被提出[27],其中以 Slotine 在 1983 所提出的順滑層概念最為簡單,亦被廣泛的使用於實際的系統 控制中,將 sign(s)修正為 s >ε. 1 sat ( s, ε ) =. s. s ≤ε. ε. −1. s < −ε. sign( s ). s >ε. s /ε. s ≤ε. =. 12. (2.20).

(23) 可由(2.20)式可看出系統空間被分為 s > ε 、 s ≤ ε 、 s < −ε ,其中包含順滑面 s=0 的中間地帶 s ≤ ε 就是所謂的順滑層,該層的厚度為 ε ,為了方便表示,也將包 夾順滑層的兩個區域 s > ε 、 s < −ε ,進一步表示為 s > ε ,故我們以 sat ( s, ε ) 取 代 sign(s) ,所以將(2.17)式修正為 u = −a1 x1 − (a 2 + c1 ) x 2 − L − (a n + c n −1 ) x n − (δ ( x, t ) + σ ) sat ( s, ε ). (2.21). 在未進入順滑層前,也就是當 s > ε 時, sat ( s, ε ) =sign(s) ,修正前後的控制法 則是完全相同的,故系統依舊向著順滑面 s=0 逼近,由於順滑面包含在順滑層 內,所以系統軌跡朝著順滑層 s ≤ ε 逼近,系統會在有限時間內進入順滑層,一 旦進入順滑層後,控制法則(2.21)式變成 u = − a1 x1 − ( a 2 + c1 ) x 2 − L − ( a n + c n −1 ) x n − (δ ( x, t ) + σ ). 由於. s. ε. s. ε. (2.22). 的值通常都小於 1,因此控制輸入 u 的增益值在順滑層終將明顯降低,而. (2.18)式也同樣被修正為 ⋅. s = −(δ ( x, t ) + σ ). s. ε. + d ( x, t ). (2.23). 由(2.23)式可以清楚的看到 S 會受到雜訊 d(x,t)的影響,也就是說在順滑層中 只要雜訊 d(x,t)存在,系統很難維持順滑模態,亦即 s 不恆為 0,此時(2.12) 式必須重寫為 x n = −c1 x1 − c 2 x 2 − L − c n −1 x n −1 + s 同樣地(2.11)式變成. 13. (2.24).

(24) ⋅. x1 = x 2 ⋅. x 2 = x3. (2.25). M ⋅. x n −1 = −c1 x1 − c 2 x 2 − L − c n −1 x n −1 + s 由於在順滑層 s ≤ ε 中,s 可視為一個有限量的值,因此不影響(2.25)式的的穩 定性,先前所選取之向量 C 仍然適用,可是卻因為 S 的存在將無法讓所有的狀態 變數趨近於 0,換句話說系統軌跡將不再逼近原點,而只在原點的附近遊動,這 樣雖降低了控制的精準度,這也是利用順滑層概念所必須付出的代價,但這樣的 代價是值得的,因為具備順滑層的控制器可以利用實際元件製作出來,並且只要 順滑層的厚度夠寬,就不會激發出高頻雜訊或產生不希望的切跳現象,此外控制 輸入由於使用了比率項. s. ε. ,其增益直也跟著降低。. 2.2.2 非線性系統之可變結構控制器之設計 2.2.2.1 系統描述 我們先前已經介紹 VSC 的簡介以及簡單的設計,在此我們要介紹的是非線性 系統的 VSC 控制器的設計。 考慮一非線性系統如下: ⋅. X = f (t , X ) + B (t , X )u (t ). (2.26). 狀態變數 X (t ) ∈ ℜ n ,控制輸入 u (t ) ∈ ℜ m , f (t , X ) ∈ ℜ n 且 B(t , X ) ∈ ℜ n×m ,假設 f (t , X ) 及 B (t , X ) 為連續的,定義切換平面為. S ( X ) = ( s 1 ( X ) L s m ( X )) T 控制律 u (t ) ∈ ℜ m 由 u i (t ) 所組成, u i (t ) 的形式如下: 14. (2.27).

(25) u i+ (t , X ), for s i ( X ) > 0 u i (t , X ) =. (2.28). u i− (t , X ), for s i ( X ) < 0 i = 1,2, L , m. 切換平面可能是線性或非線性的,但普遍來說大多是線性的,我們所選取的線性 切換平面(switching surface)為 ~. S ( X ) = C X (t ) = 0 (2.29) ~. C 為一 m × n 矩陣,為了證明順滑模態的存在,系統的狀態軌跡必須滿足以下 的順滑條件 ⋅. si si < 0,. for. i≤ m. (2.30). 使得鄰近切換平面,狀態向量的微分會直接朝向此平面靠近,在這 VSC 系統,狀 態軌跡總是被強迫抵達切換平面,且停留在切換平面上。對於多變數系統而言, 順滑模態或許不會分別存在於 s i ( X ) = 0 ,但只會在交集處如圖. (x0,t0). s1=0 s=0 (xf,tf). s2=0. 圖 2.3 順滑模態存在於兩順滑平面的交集. 15.

(26) 至於控制器的設計將於下一節探討。. 2.2.2.2 可變結構控制器之設計 設計可變結構控制器與之前所提到的相同,可分為兩個部分,一為順滑模態 另一則可視迫近條件。然而有許多的方法可用來設計多變數非線性系統的 VSC 控制律,一種設計多輸入系統順滑控制律較直接的方法為等效控制(equivalent control)的方法。 等效控制的方法是一種將系統動態限制在切換平面 S ( X ) = 0 的方法,假設 在 t 0 ,系統的狀態軌跡,(2.26)式,到達切換平面並存在順滑模態,這也暗示 ⋅. ⋅. 了(i) S ( X ) = 0 ,(ii) S ( X ) = 0 對於 t > t 0 。將(2.26)式代進 S ( X ) = 0 得 到. [. ]. ⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S ⎞ ⋅ ⎟ f ( t , X ) + B ( t , X ) u eq = 0 ⎟X =⎜ ⎜ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠. 在上式中, u eq 稱為等效控制,假設矩陣乘積,. (2.31). ∂S B ( t , X ) ,對於所有的 t 及 ∂X. x 為非奇異矩陣,可得到. u eq. ⎡⎛ ∂S ⎞ = − ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠. ⎤ )⎥ ⎦. −1. ⎛ ∂S ⎞ ⎜ ⎟ f (t , X ) ⎝ ∂X ⎠ (2.32). 將在(2.32)式所得到的 u eq 代入(2.26)式,系統的動態變成 −1 ⎧⎪ ⎡⎛ ∂S ⎞ ⎤ ∂S X = ⎨ I − B (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ) ⎥ ⎪⎩ ⎣⎝ ∂X ⎠ ⎦ ∂X ⋅. 16. ⎫⎪ ⎬ f (t , X ) ⎪⎭. (2.33).

(27) ~. 對於一線性的切換平面 S ( X ) = C X ( t ) 且. ~ ∂S = C ,(2.33)成為 ∂X. −1 ⋅ ⎧⎪ ⎡~ ⎤ ~ ⎫⎪ X = ⎨ I − B (t , X ) ⎢C B (t , X ) ⎥ C ⎬ f (t , X ) ⎪⎩ ⎪⎭ ⎣ ⎦. (2.34). (2.34)式說明了系統的行為被切換平面(switching surface)限制了,而(2.33) 式有著 S ( X ) = 0 的限制,決定了系統在切換平面上的動態。 控制器設計的另一個目標是維持著順滑條件,第一種對角化的方法是將控制 律對角化,此方法為將原來的控制律藉由一非奇異矩陣的轉換,建構出一新的控 制向量,(2.28)式說明了原來控制律 u 的每個組成單元。 定義利用非奇異矩陣轉換如下:. ⎛ ∂S ⎞ u * ( t ) = Q −1 ( t , X ) ⎜ ⎟ B (t , X )u (t ) ⎝ ∂X ⎠. (2.35). 其中 Q ( t , X ) 是一任意 m × m 對角矩陣,且由 q i ( t , X ) ( i = 1, L , m ) 所組成, 使得 f q i ( t , X ) > 0 對於所有的 t ≥ 0 與所有的 X ,將(2.35)式代入(2.26)式. 則動態方程式變成. ⎡⎛ ∂ S ⎞ X (t ) = f (t , X ) + B (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠ ⋅. ⎤ )⎥ ⎦. −1. Q (t , X )u * (t ). (2.36). 且 ⋅ ⎛ ∂S ⎞ * S (t ) = ⎜ ⎟ f (t , X ) + Q (t , X )u (t ) ∂ X ⎝ ⎠. 為了滿足順滑條件,(2.30)式,其所組成的單元可選擇以滿足 17. (2.37).

(28) +. q i ( t , X ) u i* < −∇ s i ( X ) f ( t , X ) n. ~. = − ∑ C ij f j ( t , X ), when j =1. q i (t , X )u. * − i. (2.38a). si ( X ) > 0. < −∇ s i ( X ) f ( t , X ) n. = −∑ C. ~ ij. f. j. ( t , X ),. when. s i (X ) < 0. j = 1. (2.38b) ~. 其中 C ij 是 ∇ s i ( X ) 的 j 個單元,且 ∇ s i ( X ) 是. ∂S 的 i 個列向量,在得到新的 ∂X. 控制律 u * 之後,實際上的控制律 u 為. ⎡⎛ ∂S ⎞ u (t ) = ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠. ⎤ )⎥ ⎦. −1. Q (t , X )u * (t ). (2.39). 第二種對角化的方法是利用一非奇異矩陣轉換將原來的切換平面轉換為新 的切換平面,定義如下: S * (t , X ) = Ω (t , X ) S ( X ) = 0. (2.40). ⎛ ∂S ⎞ 選擇 Ω ( t , X ) 使得 Ω ( t , X ) ⎜ ⎟ B ( t , X ) 成為對角矩陣,例如: ⎝ ∂X ⎠. ⎡⎛ ∂ S ⎞ Q (t , X ) = Ω (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠. ⎤ )⎥ ⎦. (2.41). Q ( t , X ) 是由有界(bounded)的單元所組成的對角矩陣,然而. ⎡⎛ ∂ S ⎞ S (t , X ) = Q (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂X ⎠ ⋅. *. ⎤ )⎥ ⎦. −1. ⎛ ∂S ⎞ ⎟ f (t , X ) ⎜ ⎝ ∂X ⎠. ⋅. + Q ( t , X ) u + Ω ( t , X ) Ω −1 ( t , X ) S * ⋅. ≡ S (t , X ) + Q (t , X )u + S Ω (t , X ) 18. (2.42).

(29) 順滑條件變成 ⋅. s i* s i* < 0. (2.43). 直接選擇控制律 u ,其所組成的單元可選擇以滿足 ⋅. q i ( t , X ) u i+ < − s i (t , X ) − s i Ω (t , X ),. for. s i* > 0. (2.44a). for. s i* < 0. (2.44b). ⋅. q i ( t , X ) u i− < − s i (t , X ) − s i Ω (t , X ),. 另一種不同於對角化的方法為層列式控制法,在此則不詳細描述。 前面所介紹的三種典型的 VSC 的設計方法,由於控制律對角化的方法較直接 且容易,是廣被使用的方法 首先,假設 Q = I , I ∈ ℜ n × n 為一單位矩陣,然而,非奇異轉換矩陣為. ⎛ ∂S ⎞ ⎜ ⎟ B ( t , X ) ,(2.28)式可以為任意結構 ⎝ ∂X ⎠. u i = u ieq + ∆ u i. (2.45). u ieq 為等效控制的第 i 個單元且為連續的, ∆ u i 為不連續的部分或者是(2.28) 式切換的部分,因此,新的控制律為. ⎛ ∂S ⎞ u* = ⎜ ⎟ B ( t , X ) (u eq + ∆ u ) ⎝ ∂X ⎠ =u. * eq. + ∆u. (2.46). *. 並且(2.36)式變成. ⎡⎛ ∂S ⎞ X (t ) = f (t , X ) + B (t , X ) ⎢⎜ ⎟ B (t , X ⎣⎝ ∂ X ⎠ ⋅. 19. ⎤ )⎥ ⎦. −1. (u. * eq. + ∆u. ). (2.47).

(30) 然而. ⋅ ⎛ ∂S ⎞ * * S (t ) = ⎜ ⎟ f ( t , X ) + u eq + ∆ u X ∂ ⎝ ⎠. (2.48). = ∆u * 如果我們選擇 ∆ u * = (τ 1 sgn( s 1 ) L τ m sgn( s m ) ) , τ i < 0 ,順滑條件為 T. ⋅. si ( X ) si ( X ) = τ i si < 0. (2.49). 可滿足我們所需要的設計。. 2.3 里奧波諾夫法(Lyapunov). 里奧波諾夫法是以 Lyapunov 原理為基礎,依能量收斂的觀點所提出的 VSC 設計技巧,在選擇順滑向量的方法中,可以簡單的設計出來。 為了利用 Lyapunov 原理,首先必須經由根值指定法先行求得狀態回饋矩陣. K 使得 A − BK 的特徵值都在複數平面的左半平面上,在選定控制輸入為 u = − Kx + v ,則系統 x& = Ax + Bu + d ( x , t ) 可改寫成 x& = A s x + Bv + Bd. m. (x , t ) +. B r d r (x , t ). (2.50). 其中 A s = A − BK ,由於 A s 的特徵值都在複數平面的左半面上,對於任意的對 稱正定義矩陣(positive-definite matrix) Q 而言,必然唯一存在一個對稱的 正定義矩陣 P 使得下面的關係式成立:. A sT P + PA s = − Q. 20. (2.51).

(31) 上式即所謂的 Lyapunov 方程式。當根據(2.51)式計算出 P 以後,為了分析系 統的穩定性,通常選取底下之 Lyapunov 函數 V ( x ) = x T Px. (2.52). 對時間作一次微分後,利用(2.51)及(2.52)兩式可以得到. V& ( x ) = − x T Qx + 2 x T PB (v + d m ( x , t )) + 2 x T PB r d r ( x , t ). (2.53). 觀察此式,如果非匹配式雜訊 d r ( x , t ) 不存在,則當 B T Px = 0 時,上式變成 V& ( x ) = − x T Qx ≤ 0. (2.54). 且只有當 x = 0 時,V& ( x ) = 0 才成立,故 V ( x ) 是一個 Lyapunov 函數,可以推 得 x (∞ ) → 0 ,即系統是穩定的。因此 d r ( x , t ) 不存在的情況下,只要選取順滑 向量為. s = Cx = B T Px. (2.55). 一旦系統處在順滑模態 s = Cx = B T Px = 0 之下,則成為一個穩定的系統。根 據上述的描述,這裡歸納出里奧波諾夫法的設計如下: 1.. 利用根值指定法求得 A s = A − BK ,其特徵根史系統穩定。. 2. 給定一對稱正定義矩陣 Q ,再由(2.51)式求得 P 。 3.. 得到順滑向量 s = Cx = B T Px 。. 此方法的優點是十分簡單,但是卻較難以規劃順滑模態下的系統軌跡。其次,若 是非匹配式雜訊 d r ( x , t ) 存在,則在順滑模態下,(2.53)式變為 V& ( x ) = − x T Qx + 2 x T PBd 為了減仰非匹配式雜訊,可以使用[13, 14]的方法. 21. r. (x , t ). (2.56).

(32) min. PB r P. (2.57). 此式中的矩陣 P 是決定自根值指定法所得的 K 和 Lyapunov 方程式中給定的. Q ,因此在選擇 K 和 Q 時,除了應該考量系統軌跡的要求外,還要考量減仰非 匹配式雜訊的影響。 事實上,里奧波諾夫法可以不需要利用 Lyapunov 方程式,而改採 A s 的左 特徵向量,其方法略述如下: 首先經由根值指定法求得狀態迴授矩陣 K 使得 A s = A − BK 的 n 個特徵 值 λ 1 、 K 、 λ n 都在複數平面的左半面上且都不相同,可得 vi As = λ ivi. i = 1, 2 , K , n. (2.58). 其中 v i ∈ R 1× n 為相對於 λ i 的左特徵向量,是一個列向量,此式可以進一步寫成. i = 1, 2 , K , n. VA s = Λ V. (2.59). 其中. ⎡ v1 ⎤ V = ⎢⎢ M ⎥⎥ ⎢⎣ v n ⎥⎦. ⎡ λ1 Λ = ⎢⎢ ⎢⎣ 0. O. 0 ⎤ ⎥ ⎥ λ n ⎥⎦. 由於 V 包括所有的左特徵向量,所以是非奇異的,因此選擇一個新的系統狀態 如下:. y = Vx. (2.60). V (y ) = y T y. (2.61). 並且選擇 Lyapunov 函數為. 22.

(33) 則對時間為分後,利用(2.50)及(2.59)兩式得到. V& ( y ) = y T Λ y + 2 y T VB (v + d m ( x , t )) + 2 y T VB r d r ( x , t ). (2.62). 遵照原來(2.53)式的分析方式,這裡選擇順滑向量為 s = B TV. T. y = B T V T Vx. 則當非匹配式雜訊 d r ( x , t ) 不存在時,在順滑模態下 s = B T V. (2.63) T. y = 0 ,(2.62). 式化為 V& ( y ) = y T Λ y ≤ 0. (2.64). 且只有當 y = 0 時, V& ( y ) = 0 才成立,故 V ( y ) 是一個 Lyapunov 函數,因此. y (∞ ) = Vx (∞ ) → 0 ,也就是說 x (∞ ) → 0 ,系統是穩定的。其次,若是存在 非匹配式雜訊 d r ( x , t ) ,則(2.62)式變為 y (∞ ) = y T Λ y + 2 y T VB r d r ( x , t ). (2.65). 同樣地,可以依據(2.57)式的準則來減仰非匹配式雜訊,只是此時 P 換成 V , 表示式如下:. min. PB r P. (2.66). 此式中的矩陣 V 是決定自根值指定法所得的 K ,因此在選擇時,除了考量系統 軌跡的要求外,還要兼顧到減仰非匹配式雜訊的影響。. CHAPTER 3 23.

(34) 切換式轉換器系統. 在本節中我們將介紹切換式轉換器。第一小節介紹切換式轉換器整在電力電 子整體的架構;第二小節介紹固定切換時間之切換式轉換器,第三小節將介紹非 固定切換時間之切換式轉換器;其中包括了穩定模組與非穩定模組之切換式轉換 器;最後一小節將討論目前對於切換式轉換器之研究的進展與方向,以及一些可 以再近一步去討論的地方。. 3.1 切換式轉換器系統介紹與發展. 3.1.1 系統描述 一般的電源供電方式,大多數是由交流輸入電壓經由變壓器升降城我們所希 望的電壓範圍,再經過整流、濾波與穩壓電路而轉換成直流電壓。在此我們不討 論整流之前的電路架構,單純的針對整流後的電路稱之為直流對直流轉換器。直 流對直流轉換器廣泛的被應用於調整型(regulated)之切換式直流供應器以及直 流馬達驅動器。典型的直流至直流轉換器系統之構造如圖 3.1 所示,其輸入通常 24.

(35) 為由線電壓整流而得之非調整性的直流電壓,然後再利用切換式 DC/DC 轉換器將 此變動之直流電壓轉換成一調整之直流電壓。. 圖 3.1 直流至直流轉換器系統. 3.1.2 線性電源轉換器簡介 直流對直流轉換器可以簡單區分為線性電源與切換式電源轉換器。線性電源 轉換器是傳統電源轉換器的設計方式,由於功率開關工作於主動區(active region)故取其名,優點是電路架構簡單,如圖 3.2 所示為線性電源轉換器的方 塊圖與整流後的電壓範圍。. 25.

(36) 圖 3.2. 線性電源轉換器的方塊圖與整流後的電壓範圍. 輸出電壓 V O 的調整是藉由參考電壓 V O , ref 與輸出電壓的誤差來調整功率開 關的基極電流,使得輸出電壓 (V O = V d − V CE ) 等於 V O , ref ,此時功率開關工作 於主動區,其集射極上存在一個電壓值,同時集極電流流經負載,功率開關的動 作就如同可變電組一樣,用來吸收整流後的濾波電壓 V d 與輸出電壓 V O 之間的電 壓差 (V CE = V d − V O ) ,交流電源電壓經過整流與濾波而得的電壓值 V d 是一個 變動的範圍值,因此,輸出端的低頻變壓器其匝數的選擇必須使得輸出電壓 V O 低 於漣波電壓的最小值 V d , min 。所以,線性電源轉換器的功率消耗很大,整個系統 需要很大的散熱片,導致效率無法提升,而低頻變壓器的體積與重量與線性電源 轉換器的輸出功率成正比,當輸出功率越大,變壓器與電感所需的體積與重量會 更加龐大。一般要求整流後的電壓漣波比較小時,而輸出濾波電容器的電容量與 26.

(37) 體積也相對增大。. 3.1.3 切換式電源轉換器簡介 由 3.1.2 小節介紹的線性電源轉換器得之其運作方式與優缺點,因而在電力 電子運用上,提出了另一套可以取代線性電源轉換器的方法,也就是切換式電源 轉換器。 切換式電源轉換器之控制切換模式可區分為固定切換時間與非固定切換時 間兩種,在簡介中以固定切換時間之切換式電源轉換器為架構,如圖 3.3 所示來 作探討。其輸出端通常是由市電交流電壓整流而得之無調整性的直流電壓,再經 由直流對直流轉換器將此固定的直流輸出電壓轉換成一個可以控制的直流輸出 電壓。電路中使用功率開關如 BJT、MOSFET 或 IGBT 作為切換元件,例用功率開 關導通或截止的切換動作,將輸入的直流高壓切割成高頻方波的訊號,再經由輸 出端的低通濾波器濾除高頻訊號,而得到所需的直流輸出電壓。輸出電壓與輸入 電壓的關係由工作週期(duty cycle)來決定,將輸出電壓回售予設定電壓作比較 來控制功率元件的工作週期。因此控制器必須藉由調整工作周期的大小來穩定所 需的輸出電壓。. 27.

(38) 圖 3.3. 切換式電源轉換器的方塊圖. 線性電源轉換器的功率開關工作於主動區,其集射極上存在一個電壓值,也 就是說,功率開關會擋下一個不小的電壓。切換式電源轉換器的功率開關是處理 能量而不是訊號,主要工作在飽和區(saturation region)與截止區(cut-off region),而避免停留在主動區。也就是說,功率開關經過主動區實為進行切換 瞬間,這是為了減少電力轉換實的功率損失。當功率開關導通時,集極電流流過 功率開關,集射極兩端僅有很小的電壓降。當功率開關截止時,集射極兩端存在 一個固定的電壓差,也就是功率開關本身所消耗的功率非常小,所以切換式電源 轉換器具有較高的能源轉換效率。 電源轉換器是各種儀器設備與應用產品中所必須的動力來源,為了符合現代 產品輕薄短小、優柔效省的需求,現實的方法就是採用切換式電源轉換器的設計 方式,藉由提高切換頻率來減少占有絕大多數體積與重量的變壓器與電感。切換 式電源轉換器一般工作在 20KHz 到 100KHz 之間,若配合零電壓切換(zero voltage switching)與零電流切換(zero current switching)的技術,工作頻率 28.

(39) 可達 200MHz 以上,可有效地提高系統的功率密度。. 3.2 固定時間切換式轉換器系統 3.2.1 脈波寬度調變法 固定時間切換式轉換器系統為切換式轉換器中最典型的調整方法,亦可說是 脈波寬度調變法(pulse-width modulation,PWM),其切換周期. Ts (t on + t off ). (亦稱. 為工作週期 D )為固定,由調整 t on 之大小來改變之大小。目前電力電子方面最基 本 與 最 常 使 用 到 的 切 換 式 轉 換 器 系 統 為 降 壓 式 轉 換 器 (buct switch converter) 、 升 壓 式 轉 換 器 (boost switch converter) 、 升 降 壓 式 轉 換 器 (buct-boost switch converter)等幾個基本的切換式轉換器,以及針對某些特 性改善而形成之切換式轉換器,如[29, 30]等等。. 3.2.2 升壓式轉換器系統 以一個基本的升壓轉換器(boost converter),適當的選取相關的電晶體、 二極體、電容、電感、電阻等零件,以及決定好輸入電壓與量測位節點後,我們 可以使用 Ispice 建構出升壓轉換器如圖 3.4 所示:. 29.

(40) 圖 3.4. 升壓轉換器(boost converter). 藉由自行選取的 CMOS 電晶體 IRF1502 的 on、off 切換來產生兩電路,如圖 3.5 之(一)、(二)所示。. (一) Model1 : MOS ON L. Co Vd. RL. VOUT. (二) Model2 : MOS OFF L. Co Vd. 圖 3.5. RL. VOUT. 升壓轉換器之模組. 在實際電路上,整體線路之電感與電容通常會參雜數值極小之組抗(不為純 電感或電容),因此重新修改圖 3.4 之升壓轉換器為下圖 3.6。接下來以此升壓 30.

(41) 轉換器,利用 KCL 與 KVL 的特性不難推出模組 1(model1)之數學公式(3.1)與模 組 2(model2)之數學公式(3.2),在公式(3.1)與(3.2)中我們令變數 X 1 為電感 L 之電流,變數 X 2 為電容 Co 之電壓。 R − in & ⎛ X1 ⎞ ⎜ ⎟ = Lin ⎜ X& ⎟ ⎝ 2⎠ 0. 0 1 − (RL + RC )C. RL (RC + R L ) Lin RL (R L + RC )C. Rin + RC ⎛ X& 1 ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ X& ⎟ = ⎝ 2⎠. 圖 3.6. ⎛ X 1 ⎞ ⎛⎜ 1 L ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + in V g ⎝ X 2 ⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠. RL ⎛ X 1 ⎞ ⎛⎜ 1 L ⎞⎟ ⎟+ in V g Lin (R L + RC ) ⎜⎜ X 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ 1 − (R L + RC )C. −. (3.1). (3.2). 修改圖 3.4 之升壓式轉換器. 在固定時間切換式轉換器系統中,亦即是脈波寬度調變法中,當整個元件與 參數設定好後,決定最後輸出電壓與電流還有個最重要的值-工作週期(Duty ratio)需要決定。其定義為:功率開關導通的時間佔整個切換周期的比率稱為工 作週期 D ,工作週期越大表示儲能時間越長,且 0 < D < 1。在 Ispice 中取圖 3.6 之模組,且取 D = 0.35 跑出之電感 L 之電流 X 1 直與電容 Co 之電壓 X 2 對時間的. 31.

(42) 關係如圖 3.7。. 圖 3.7. 用 Ispice 模擬圖 3.6 之升壓式轉換器之輸出波形. 3.2.3 平均方程式與相關切換式轉換器 接下來要提到固定切換式轉換器的研究中,一個很重要的理論,在 R. D. Middlebrook 與 Slobodan Cuk 所寫之論文[16, 17]中提出一個平均方程式 (average equation)的理論。當輸入電壓. Vg. 、工作週期 D 、與我們所希望達到. 控制之變數 X 的不確定變動量 vˆ g 、 dˆ 、 xˆ 極小時,可以如下表示:. vˆ g Vg. << 1 ,. xˆ dˆ << 1 << 1 , X D. (3.3). 當整個切換式系統符合公式(3.3)之條件時,再經由決定工作週期 D 之值, 我們可以推出一個平均方程式(average equation): 32.

(43) X& = A eq X + BV. (3.4). g. 其平均方程式所推導出之變數 X 值會相近於實際因電晶體切換而產生的兩個模 組的變數 X 值。因此在決定好工作週期 D 後,由公式(3.1)與(3.2)可以推出平 均方程式如下:. ⎛ X& 1 ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ X& ⎟ = ⎝ 2⎠. Rin + (1 − D ). RC R L (R C + R L ). Lin (1 − D )R L (R L + RC )C. − −. (1 − D )R L ⎛ X ⎞ ⎛ 1 ⎟+⎜ Lin (R L + RC ) ⎜⎜ X ⎟ ⎜ 1. ⎞ Lin ⎟V g ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎟⎠ 1. (3.5). (R L + RC )C. 其相關的證明與推導可以參考論文[16, 17],裡面有詳細之論述。 另外還有許多各種不同的固定切換式轉換器系統,種類繁多不及備載,所以 在此只稍微概述一下,在[29, 30]中屬於其中的一些運用與例子,其方法是在改 良切, 換式系統以及工作週期 D 以達到改進一些像是因開關切換而在電容或是 電感產生之電流與電壓的漣波(ripple)等等的研究。. 3.3 非固定時間切換轉換器系統 3.3.1 非固定時間切換轉換器系統簡介 非固定時間切換式轉換系統有別於固定時間切換式轉換系統,最主要的差別 是在於,固定時間切換式轉換系統的電晶體 on、off 的切換時機固定,也就是所 謂的工作週期 D 。而非固定時間切換式轉換系統會隨著輸出變數 X 的變化,再 經由迴授來控制電晶體 on、off 的切換時機,而仍然可以達到穩定的輸出變數 X ,亦即是切換式轉換器系統之 DC-DC 穩定電壓與電流的功能。而在迴授控制. 的選取上,目前已經有許多的相關研究與論文在探討,在此先約略細分如下:使 用線性二次項調(Linear Quadratic regulator,簡稱 LQR)作為迴授控制的方 33.

(44) 法,在[6, 7]中屬於其中的一些運用與例子。使用可變結構控制(Variable Structure control,簡稱 VSC)法或是共同里奧波諾夫函數(Common Lyapunov Function,簡稱 CLF)作為迴授控制的方法,在[2,6,7,10,11.13,14,18,20,23,19] 中皆是屬其中的一些運用例子與相關研究證明。. 3.3.2 使用里奧波諾夫分析方式建構非穩定狀態系統之切換律(一) 在論文[14]中描述一對切換式線性系統穩定性問題,藉由一片段連續可微的 里奧波諾夫分析方式可以發展出其切換律。其模組為一對個別不穩定的線性切換 系統 {Ai , i = 1,2} ,亦即是說每個 Ai 最少都會有一個以上的正特徵值 (eigenvalue),一般常見的切換式轉換器系統之模組公式我們可以令為 x& (t ) = Ai x(t ) + Bi u (t ) ,而 u (t ) 在此模組公式代表輸入電壓 V g 而且假設為定值。所 以因為不失一般性,在論文[14]中可以進一步令 V g = 0 ,因此可以把模組公式重 新改寫如下: x& ( t ) = A i x ( t ) , for. i = 1, 2. (3.6). 此論文[14]中最主要的貢獻有三,第一個是建構出個別不穩定的線性切換系 統 {Ai , i = 1,2} 的平均系統(average system)方程式:. A eq (α ) = α A1 + (1 − α ) A 2. (3.7). 且使此平均系統(average system)方程式 Aeq 為穩定矩陣(stability matrix), 則可以透過適當的選取切換時機來用里奧波諾夫控制法來建構出穩定的切換 律。另外,第二個主要的貢獻是如何選取切換時機的判斷方法(switch rule)。 最後一個主要貢獻是提出一個可變結構控制(VSC)的改善方法(可參見附錄 3.A 公式(3.9))來減少一般使用 VSC 控制時,發生"pass through"的現象。 在此我們必須要釐清幾個問題:第一個是如何選取平均系統(average 34.

(45) system)方程式 Aeq ;第二個是如何決定切換時機的判斷方法(switching rule); 最後是需要證明使用此方法讓此系統可以達到穩定控制與介紹 VSC 的改善方法。 最後的證明與 VSC 的改善方法相同於第二個問題,因此放入到第二個問題中。. 3.3.2.1 如何選取平均系統(average system)方程式 在公式(3.7)中,給定 β = (1 − α ) / α > 0 ,則此式可改寫如下:. A eq (α ) / α = A1 + β A 2. (3.8). 而 β 之範圍為 0 < β < ∞ ,因此如何確保平均系統(average system)方程式 Aeq 是 穩定的以及找出 β 之範圍是這一小節主要的內容。在論文[14]中有提出一個找 Aeq 的方法,但是除了此法之外,其他論文([20])中普遍提到使用羅斯-赫維茲穩. 定準則(Routh-Hurwitz Stability Criterion)來檢定矩陣方程式是否穩定則是 常見的方式,在第五章節的例子中,我們將會使用羅斯-赫維茲穩定準則來做判 斷方式,而且羅斯-赫維茲穩定準則已經是一個非常備受肯定之求穩定解的方式。 因此我們比較使用論文[14]中所舉出的兩個例子(Example 5.1.和 5.2.)之 解 Aeq 與找 β 之範圍的方法,與使用羅斯-赫維茲穩定準則計算此兩例子來比較, 使用電腦與 Matlab 輔助羅斯-赫維茲穩定準則計算出來的結果,實際算法可參見 第五章 Example 5.1.的步驟 1,Example 5.1.的 β 值落在 0.3 < β < 1.75 ;而 Example 5.2.之 β 值落在 1.735 < β < 4.165 ,與論文[14]中之解 Aeq 與找 β 之範 圍的方法所求出之值相同(註:論文[14]中 Example 5.2.之 β 有筆誤,其 β 值範 圍與 α 完全相同,依照 Aeq 之選取,其 α 不變,而 β 應該改為 1.735 < β < 4.163 )。. 3.3.2.2 如何建構切換時機 另一個主要的問題是如何建構切換時機,也就是切換法則(switch rule)的 35.

(46) 問題,在論文[14]中(4.3)式提出一個可變結構的線性切換平面(switching surfaces)選取的方法:. s1 ( x ) = x T ( Q 1 − ε Q 2 ) x s 2 ( x ) = x T (Q 2 − ε Q1 ) x. (3.9). 而 ε 為任何可以滿足 0 < ε < 1 的值。且決定 Qi = −( AiT Peq + Peq Ai ) ,再比照在 [14]中 Proposition 4.1. 所定義的 Ω i+ = {x : x T Qi x > 0} 與 Ω i0 = {x : x T Qi x = 0} , 因此定出的切換法則(switch rule)如下: (i). 當時間在一開始,也就是初始值 t 0 的時間在動態系統 Ai0 且使. x(t 0 ) ∈ Ω i+0 時,需要切換到另一系統 A j ,且使 j ≠ i (ii). 當 s1 ( x) ≤ 0 , x ∈ Ω1+ ∩ Ω +2 ,而此時系統在 A1 ,切換到系統 A2. (iii) 當 s 2 ( x) ≤ 0 , x ∈ Ω1+ ∩ Ω +2 ,而此時系統在 A2 ,切換到系統 A1 由於之後我們還會用到此切換法則(switch rule)來處理一些不穩定系統間 的切換律,因此我們有必要把論文[14]所述做一個整理,此部分放在本章節最後 的附錄 3.A。 除此之外,必須要保證切換選取的時機不會使系統發散,否則系統在錯誤的 切換運作之下,一定無法保證其最後會收斂。然而很明顯的,除了一開始的初始 值 t 0 的動態系統 Ai0 有可能會發散外,接下來跳到(ii)與(iii)皆會使系統收斂, 因此一定可以保證其穩定。. 3.3.3 使用里奧波諾夫建構非穩定切換式系統(二) 在論文[20]中提出另外一個使用里奧波諾夫建構 VSC 切換系統的相關文章,. 36.

(47) 此篇主要是在討論:只要控制里奧波諾夫函數(control Lyapunov function,簡 稱 CLF)存在,則系統一定可控制到達穩定。也就是說對於系統 {Ai , i = 1,2},只要 找的到某一不穩定切換系統的共通 CLF 的 P 解,則可以確定此系統可以達到穩定 控制。 另外兩篇相關的論文([10, 18]),皆是使用共同里奧波諾夫函數(Common Lyapunov Function,簡稱 CLF)作為迴授控制的方法,但是其先決條件是,對於 每一個建構的系統矩陣 {Ai , i = 1,K, n} 是需要穩定的,也就是說 A1 , A2 , K , An 皆是 穩定的矩陣。論文[10]中提出一個方法,來去找兩個變換(commute)且穩定的矩 陣 {Ai , i = 1,2} 的共同里奧波諾夫函數(Common Lyapunov Function)解來達到穩定 控制。論文[18]中舉出,當不滿足變換(commute)的兩個穩定矩陣 {Ai , i = 1,2} , 在 其 所 述 的 判 斷 成立 時 , 將 會 存 在 共 同 里 奧 波 諾 夫 函 數 (Common Lyapunov Function)解來達到穩定控制。. 3.4 討論 在第三節所提及之相關研究中發現,在不穩定狀態系統下,仍然有可能利用 里奧波諾夫分析方法找出切換律的演算法則,使此不穩定系統藉由切換達到穩定 的目的。這部分在[14,20]皆有很顯著的研究成果,並且[14]中也提出一個非穩 定系統的穩定切換律是否可用里奧波諾夫分析方法建構出來的判斷方法。 然而就目前相關於使不穩定系統可以藉由里奧波諾夫分析方式建構切換律 達到穩定的研究結果而言,仍然還有許多需要加以探討與研究的地方,比如簡化 一些對於是否存在穩定切換律的判斷方法或是建立其他不同的判斷方法等等。再 者,為了使其達到更寬廣有效的應用,將需要討論到利用里奧波諾夫分析方式建 構穩定切換律存在的充分條件,而這個部分也是本論文主要的研究方向。. 37.

(48) 附錄 3.A 38.

(49) 此附錄主要是要整理論文[14]中所提到的公式(3.6)的 x& ( t ) = A i x ( t ) 的切 換式系統之切換律(switch rule)建構法則。 如果一不穩定系統間的切換條件符合論文[14]所述之要求,則可使用下列設 計法則來判斷與設計出穩定控制:. 步驟 1: 決定是否存在 β ∈ ( 0 , ∞ ) 使得 A eq = A1 + β A 2 且 A eq 為一個穩定矩 陣: 我們可以由羅斯-赫維茲穩定準則(Routh-Hurwitz Stability Criterion) 來檢定矩陣方程式是否穩,或者是由論文[14]中所述之方法來做檢定。 如果使 A eq 為一個穩定矩陣的 β 存在,則接下來到步驟 2,否則我們將無法 使用里奧波諾夫分析方法建構出可變結構控制(VSC)的切換律。 步驟 2: 選定 β 值使得 A eq 為一個穩定矩陣,再由里奧波諾夫法解出方程式 (2.51)中 A eqT P + PA eq = − Q 的 P 值,而 Q 值必須為 r.s.p.d,我們通常選定 Q 值為單位矩陣(identity matrix)。 步驟 3: 定義 Q i = − ( A iT P + PA i ) ,且 i = 1, 2 。選定一 ε 使得 0 < ε < 1 , 定義出:. ⎧ S 1 ( x ) = x T (Q1 − ε Q 2 ) x ⎨ T ⎩ S 2 ( x ) = x (Q 2 − ε Q1 ) x. 39. (3.9).

(50) ⎧ Ω i+ ( x ) = { x : x T Q i x > 0 } ,且 i = 1, 2 ⎨ 0 T ⎩ Ω i ( x ) = { x : x Q i x = 0}. (3.10). 步驟 4: 穩定的切換律之切換時機可以建構如下:. (i). (初始狀態下)在一開始 t o 時,動態系統選擇 A i 0 使得 x ( t 0 ) ∈ Ω i+0. (ii) 如果 S 1 ( x ) ≤ 0 , x ∈ Ω 1+ I Ω +2 ,而且動態在系統 A1 時,則切換到 系統 A 2 (iii) 如果 S 2 ( x ) ≤ 0 , x ∈ Ω 1+ I Ω +2 ,而且動態在系統 A 2 時,則切換 到系統 A1. 40.

(51) CHAPTER 4 兩個不穩定系統間穩定切換律之設 計研究. 兩個穩定系統間的切換,也有可能造成不穩定,在[4,12]中有很完整的整理 與討論到此問題,我們把[12]中的 Fig. 2.表示為圖 4.1:. 圖 4.1 穩定系統 A1 、 A 2 有可能因切換方法不同而產生不同的根軌跡 41.

(52) 雖然圖 4.1 的 A1 、 A 2 皆為穩定系統,但我們可以很明顯的看出,圖 4.1(c) 所示的切換方法一將會使系統穩定;圖 4.1(d)所示的切換方法二將會使系統發 散。 因此許多文獻都在探討這些相關穩定系統間的切換法則,然而兩個不穩定系 統間的切換,亦有可能會造成穩定,如[8], [9]所述,皆是兩個不穩定系統藉由 適當的切換,來達到系統的穩定。 ․本章將強調兩個不穩定系統穩定切換律之存在性及設計問題 ․本章結構: 4.1 節:列出在第四章中所要探討的問題與關之基本公式 4.2 節:針對在二階不穩定系統 4.3 節:針對在 n 階不穩定系統 4.4 節:加入控制律 u ( x) 的情況下 4.5 節:討論. 4.1 問題描述 考慮公式(3.6)所述的兩個線性系統: x& ( t ) = A i x ( t ) , 且. i = 1, 2. (3.6). 其中 x ( t ) ∈ ℜ n ,且我們假設 A1 及 A 2 皆為不穩定矩陣。 本章將針對此兩不穩定系統研究是否可使用里奧波諾夫函數建構穩定之切 換律,並將此切換律具體實現,也就希望達成 x ( t ) → 0 之目的。 首先,在[8]中提出一個具有可用里奧波諾夫函數建構穩定切換律之充分條 件: (C1) ∃β > 0 使得 A1 + βA2 為赫維茲矩陣. (4.1). 同時也提出如何去實現此切換律具體可行的方法。 此外,若存在 P = P T > 0 使得: (C3) ∃P > 0 使得 U i =1, 2 {x | x T ( AiT P + PAi ) x < 0} = ℜ n \ {0}. (4.2). 則很容易證明經由是當的切換可使 V& < 0 ,其中 V = X T PX ,也就是說 42.

(53) 可達成 x ( t ) → 0 之目的。因此,條件(C3)也是存在利用里奧波諾夫函數建構穩 定切換律的一個充分條件。 本章將證明此兩個條件其實是對等的,並將此條件用在 4.4 節,推廣到兩個 不可穩定化之線性控制系統的控制律及穩定切換律之對照上。條件(C1)及(C3) 之差別在於: ․當條件(C1)之 A1 + βA2 為赫維茲矩陣則一定存在使之穩定的切換律,但我 們無法得知當 A1 + βA2 不為赫維茲矩陣時,仍否存在使之穩定的切換律。 ․當條件(C3) 之 U i =1, 2 {x | x T ( AiT P + PAi ) x < 0} = ℜ n \ {0} 成立時,一定存在 使之穩定的切換律,然而我們並不能保證一定找到 P > 0 ;甚至說,當我們找不 到此大於零之 P ,亦不能保證此 P 不存在。 除了此兩個條件之外,我們也將提出條件(C2): (C2) ∃β > 0 , P > 0 使得 L1 + βL2 < 0 ,當 Li := AiT P + PAi , i = 1,2. (4.3). 本章節之最終目的將要證明此三條件互為對等:(C1) ⇔ (C2) ⇔ (C3)。. 4.2 二階不穩定狀態系統. 首先,我們先找出(C1)、(C2)兩個條件的相互關係,其討論如下: 輔助定理 1: 條件(C1)、(C2)為等效的。 證明:. 詳見附錄 4.B. 接下來,我們要證明條件(C1) ⇒ 條件(C3) 輔助定理 2:條件(C1) ⇒ 條件(C3). 43.

(54) 證明:. 詳見附錄 4.B. 由輔助定理 1、2,我們已知條件(C1) ⇔ (C2)以及條件(C1) ⇒ (C3)成立,接 下來只要找出條件(C3) ⇒ (C1)或是(C3) ⇒ (C2)的條件成立,即可證明出整個關 係式如下:(C1) ⇔ (C2) ⇔ (C3)。所以本節之後的部分都將目標放在證明條件 (C3) ⇒ (C2)。 在證明條件(C3) ⇒ (C2)之前,為了證明上的需要,我們必須先把前面所述 之公式先加以整理歸納,因此我們定義: Li := AiT P + PAi , i = 1,2. (4.4). 假設 x1+ 和 x1− 為兩個對應於 L1 的正特徵值 λ1+ 與負特徵值 λ1− 的單位特徵向量; 同樣的 x 2+ 和 x 2− 為兩個對應於 L2 的正特徵值 λ+2 與負特徵值 λ−2 的單位特徵向量。. ⎛ λ+ 接下來我們可將 L1 與 L2 表示成 L1 = P⎜⎜ 1 ⎝0 ⎛ cos θ L1 其中 P = ⎜⎜ ⎝ sin θ L1. − sin θ L1 ⎞ ⎛ cos θ L 2 ⎟⎟ 、 Q = ⎜⎜ cos θ L1 ⎠ ⎝ sin θ L 2. ⎛ λ+2 0⎞ T ⎟ ⎜ P L = Q 、 2 ⎜0 λ1− ⎟⎠ ⎝. 0⎞ T ⎟Q λ−2 ⎟⎠. − sin θ L 2 ⎞ ⎟ cos θ L 2 ⎟⎠. ⎛ cosθ L1 ⎞ ⎛ − sin θ L1 ⎞ ⎟⎟ 、 x1+ = ⎜⎜ ⎟⎟ x1+ = ⎜⎜ ⎝ sin θ L1 ⎠ ⎝ cos θ L1 ⎠ ⎛ cos θ L 2 ⎞ ⎛ − sin θ L 2 ⎞ ⎟⎟ 、 x 2− = ⎜⎜ ⎟⎟ x 2− = ⎜⎜ sin θ cos θ L2 ⎠ L2 ⎠ ⎝ ⎝ + T + 最後我們選擇 ( x1 ) x 2 ≥ 0. 想要證明條件(C3) ⇒ (C2)成立,一個最直覺的方法就是先從探討條件(C3) 44.

(55) 特性下手,再以此特性來求證,因此我們定義出以下定理: 輔助定理 3:條件(C3)唯有在下列三個狀況(i)、(ii)、(iii)成立時才會成立: (i). ( x1+ ) T L2 x1+ < 0. (ii) ( x 2+ ) T L1 x 2+ < 0 (iii) ∃γ > 0 使得 ( x1+ + γx 2+ ) T Li ( x1+ + γx 2+ ) < 0 ,其中 i = 1,2 證明:. 詳見附錄 4.B. 為了要證明在此情況下條件(C3) ⇒ (C2)成立,我們需要定義更多的敘述:. δ 1 := ( x 2+ ) T L1 x 2+. (4.5). δ 2 := ( x1+ ) T L2 x1+. (4.6). δ 3 := ( x1+ ) T x 2+. (4.7). ∆ 1 := ( x1+ ) T ( L1 + βL2 ) x1+ = λ1+ + βδ 2. (4.8). ∆ 2 := ( x 2+ ) T ( L1 + βL2 ) x 2+ = βλ +2 + δ 1. (4.9). ∆ 3 := (λ1+ + βλ +2 )δ 3. 接下來,我們將介紹輔助定理 4: 輔助定理 4: 假設條件(C3)成立時,則下列敘述為真: (i). x1+ ≠ ± x 2+. (ii). δ1 < 0 , δ 2 < 0 且 δ 3 ≥ 0. 45. (4.10).

(56) (iii) λ1+ λ+2 < δ 1δ 2 證明:. 詳見附錄 4.B. 再來,我們將由條件(C2)的特性反推,當條件(C2)成立時,則 L1 + βL2 < 0 , 此時表示當 x = x1+ 與 x = x 2+ 時, x( L1 + βL2 ) x < 0 。亦即是指:. ∆1 < 0 與 ∆ 2 < 0. (4.11). 接下來我們運用公式(4.8)、(4.9)與(4.11)得到: −. λ1+ δ < β < − +1 δ2 λ2. (4.12). 這也就是說,任何超出公式(4.12)範圍的 β 值將不會使 L1 + βL2 < 0 成立, 所以要證明條件(C2)成立時,接下來的敘述中我們皆須要求 β 屬於公式(4.12) 的範圍內。 由於輔助定理 4 之(i)得知 x1+ ≠ ± x 2+ ,因此 x1+ 和 x 2+ 可組成 ℜ 2 空間的基底 (base),因此可以找出 k1 , k 2 ∈ ℜ 使得每一個屬於 ℜ 2 空間的點可被寫成 k1 x1+ + k 2 x 2+ ,藉由直接的運算,我們直接令 x = k1 x1+ + k 2 x 2+ 帶入 x T ( L1 + β L2 ) x 中 得出: ( k1 x1+ + k 2 x 2+ ) T ( L1 + β L2 )( k1 x1+ + k 2 x 2+ ) = k12 ∆ 1 + k 22 ∆ 2 + 2k1 k 2 ∆ 3. (4.13). 很明顯的,如果條件(C2)成立,則可得出 (k1 , k 2 ) ≠ (0,0) 時, (k1 x1+ + k 2 x 2+ ) T ( L1 + βL2 )(k1 x1+ + k 2 x 2+ ) < 0 。因此,我們可以完整的把(C2)成立的 條件寫成輔助定理 5: 輔助定理 5: 假設條件(C2)成立時,則下列敘述為充分與必要:. λ1+ δ < β < − +1 δ2 λ2. (i). −. (ii). 當 (k1 , k 2 ) ≠ (0,0) 時, (k1 x1+ + k 2 x 2+ ) T ( L1 + βL2 )(k1 x1+ + k 2 x 2+ ) < 0 46.

數據

圖 3.3  切換式電源轉換器的方塊圖 線性電源轉換器的功率開關工作於主動區,其集射極上存在一個電壓值,也 就是說,功率開關會擋下一個不小的電壓。切換式電源轉換器的功率開關是處理 能量而不是訊號,主要工作在飽和區(saturation region)與截止區(cut-off  region),而避免停留在主動區。也就是說,功率開關經過主動區實為進行切換 瞬間,這是為了減少電力轉換實的功率損失。當功率開關導通時,集極電流流過 功率開關,集射極兩端僅有很小的電壓降。當功率開關截止時,集射極兩端存在 一個固定的電
圖 3.7  用 Ispice 模擬圖 3.6 之升壓式轉換器之輸出波形
圖 5.8  ε 取 0.5,時間取 2 秒時  (a)  S 1 ( x ) 與 S 2 ( x ) 對時間的分佈圖;  (b)  x 1 、 x 2 、 x 3 與 x 4 對時間的分佈圖。

參考文獻

相關文件

Keywords Second-order cone · Variational inequality · Fischer-Burmeister function · Neural network · Lyapunov stable · Projection function.. Sun is also affiliated with Department

Numerical results are reported for some convex second-order cone programs (SOCPs) by solving the unconstrained minimization reformulation of the KKT optimality conditions,

Numerical results are reported for some convex second-order cone programs (SOCPs) by solving the unconstrained minimization reformulation of the KKT optimality conditions,

Numerical experiments are done for a class of quasi-convex optimization problems where the function f (x) is a composition of a quadratic convex function from IR n to IR and

Numerical results are reported for some convex second-order cone programs (SOCPs) by solving the unconstrained minimization reformulation of the KKT optimality conditions,

Abstract Based on a class of smoothing approximations to projection function onto second-order cone, an approximate lower order penalty approach for solving second-order cone

Based on a class of smoothing approximations to projection function onto second-order cone, an approximate lower order penalty approach for solving second-order cone

Chen, Conditions for error bounds and bounded level sets of some merit func- tions for the second-order cone complementarity problem, Journal of Optimization Theory and