代數證明與幾何證明分類

魯米斯在《勾股定理》這本書中，除了前述四大分類外，又將109 個「代數」

的證明進一步分成七種類型，256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類 型，以下我們分別介紹魯米斯《勾股定理》中的「代數」證明與「幾何」證明：

代數證明的分類，有以下七種類型：

1. 相似的直角三角形：

這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係，藉由對應邊成比例性質 來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角 形才能推出的證明，而最有代表性的是歐幾里得的《幾何原本》第六卷命題 31 ，伴隨著這個定理的附圖 3.3.1 顯示了三個相似的長方形，事實上圖形中 的長方形可以替換成任意相似的圖形，說明了勾股定理的一般性，而其證明 方式與《勾股定理》的A001 相同。

圖3.3.1 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖

2. 比例中項原理：

此類證明是第一種類型的特殊型，同樣是利用相似形「對應邊成比例」

的性質，而推導出比例中項的等式，再利用這些等式，推出勾股定理的關係 式。這類的證明中，為了運用到比例中項的關係式，大部分會藉由作直角三 角形斜邊上的高來推得等式關係。

3. 面積的比例關係：

這類的證明是根據相似形證明的，與幾何原本第六卷命題31 概念有關，

此命題提到：在直角三角形中，斜邊上的圖形等於包含兩股邊上的相似及與 斜邊上類似畫出的圖形，這結論幾乎跟第一卷命題47 相同，只是用「圖形」

取代了「正方形」，所以它不必是正方形，甚至不必是多邊形，只要是任意類 似建構的圖形就可以，在這種意義下，相較第一卷命題47，第六卷命題 31 是勾股定理的一個更一般的形式。所以這類的證明是會在直角三角形的各個 邊上，形成其他相似的圖形，先求出各圖形的比例關係，進而推出勾股定理 的關係式。

4. 圓與直角三角形的結合：

這類的證明是利用圓的弦、割線、切線與直角三角形，或是有相似關係 的直角三角形結合，利用圓的弦、割線與切線的性質，來推出勾股定理的關 係式，而這類型裡較為特別的是包含了最長的證明《勾股定理》A090。

5. 極限定理：

這類的證明是先在等腰直角三角形的三邊上作正方形，先說明斜邊上的 正方形會與兩股的正方形和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時再 利用極限的想法，說明兩股的正方形和依舊會與斜邊上的正方形相同，推出 勾股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法 理解。

6. 代數與幾何結合：

這類的證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數 的方式推論，比較圖形面積時是用幾何的方式討論的，推出勾股定理的關係 式，所以是結合代數與幾何的證明，這邊大部分的內容國中就已經學過，只 有一些少部分的是要到高中才有辦法理解，譬如《勾股定理》的A105 使用 Pappus 定理，及 A107 使用海龍定理。

7. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形：

這類的證明與前一類的證明類似，差別在直角三角形的三邊上作出向外 延伸的多邊形，並利用相似多邊形來討論，推出勾股定理的關係式，也是國 中或高中就能理解的，譬如《勾股定理》的A106、A108。

幾何證明的分類(依圖形劃分)，有以下十種類型：

從魯米斯《勾股定理》這本書中我們發現，在「幾何」的證明中魯米斯依據 圖形的繪製方法不同，可將「幾何」的證明分為以下十種類型：

類型 圖形說明 示意圖形

類型1

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，且正方形的位置皆以直角三角形為中心向 外側延伸。

類型2

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中 心外側，斜邊上的正方形則是朝向內側。

類型3

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外 側。

類型4

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外 側。與類型三的差異在於兩股上的正方形朝向位 置相反。

類型5

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內 側。

類型 圖形說明 示意圖形

類型6

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 形

形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的 中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。

類型7

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中心 內側，斜邊上的正方形朝向外側。

類型8

此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 形，三個正方形位置皆朝向直角三角形的中心內 側。

類型9

此種類圖形以直角三角形的三邊為邊長作正方 形，其中正方形的位置並非全部都與直角三角形的 邊作齊，右圖形僅為示意，證明的圖形中只要正方 形的位置為前8 類作轉移，皆蒐集在此分類。

類型10

此種類證明的圖形並沒有作出三個以直角三角形 的三邊為邊長的正方形，在此分類下又可細分兩 類：

1.圖形以正方形為主軸的證明 2.圖形以三角形為主軸的證明 3.圖形利用圓的性質的作證明

以上分類中，可知證明的圖形雖有所差異，但證明方向都是以兩股為邊長的 兩個正方形面積和相當於斜為邊長的正方形面積，儘管如此，這其中的證明手法 仍有所不同，大致又分為以下五種方式：

1. 運用圖形之間的全等關係，將圖形作切、割、移、補的動作：

亦即可將圖形分割後運用拼圖方式進行填補，找出三個正方形面積關係，此 分類方法訴諸直觀的操作。在此分類下又可依據拼圖程序細分為3 種類型：

(1) 圖形的各分割部位均移動一次即可作拼圖填補。

(2) 圖形的有些分割部位需移動兩次，作二次拆解才可完成填補。

(3) 圖形的分割部位在進行填補動作時有重疊部分，在實際操作上可能較不 容易。

2. 比較兩種面積表示法：

運用圖形之間的全等性質，將相同的圖形面積以兩種不同的圖形分割來表示，

比較兩種面積表示法，可發現三個正方形的面積關係。

3. 透過代數運算：

無法直觀及無法完全運用圖形的全等關係作圖形的割補，必須輔以少量的代 數運算，去找出三個正方形的面積關係。另外，這裡其中也包含了利用圓的 性質與三角形性質得到關係式藉由代數運算來證明。

4. 面積證法：

運用矩形、正方形、平行四邊形或是三角形面積之間的等底同高關係，去計 算面積，可得到三個正方形的面積關係，此分類證明精髓與歐幾里得《幾何 原本》卷一命題47 的證明相同，也就是俗稱的「面積證法」。

5. 輔助圖不從三個正方形角度出發：

因為此類型證明大多沒有作出三個正方形，所以證明的方式並沒有去比較三 個正方形面積的關係，而過程可能是透過割補、圖形重組、計算面積去得到 結果。在此類證明之下，大多直接看到直角三角形的三個邊長關係，而過程 中看不見三個正方形的面積關係。