第二章 文獻探討
第三節 魯米斯的著作－《勾股定理》
(The Pythagorean Proposition)
由魯米斯所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)搜集且分類了 勾股定理的371 種證明，此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可供下 載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元1940 年做了修改後出版。
魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自歐洲中世紀時期，學 生想要獲得數學碩士學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明，所以勾股 定理在當時就有著大量的證明，但都較為零散，直到魯米斯將當時所有的證明整 理成書。
《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西 (Leonardo da Vinci )、托勒密( Claudius Ptolemaeus )、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz )、荷 蘭物理學家惠更斯( Huygens )的證明、美國總統所提供的梯形證法，還有盲眼女 孩庫力茲( E. A. Coolidge )，及 16 歲的高中女生安 康地( Ann Condit ) … 等經典 的證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能 已無法考據。這本書也穿插了12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、笛卡兒、哥白 尼、伽利略、牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，簡言之，這是數學史上名聲顯赫 之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。
而這本書在出版之後，又有許多的新證明被提出，至今關於勾股定理的證明 已有400 多個，而且持續增加中。另外伯果摩爾尼( Alexander Bogomolny )在他 所建立的網站「勾股定理和它許多證明」( http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ) 收集了許多精彩的證明，他不只收集了魯米斯書中美妙的證明，也有許多被新提 出勾股定理證明。
三個
版本
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第三章 勾股定理的證明分類
在悠久的數學史裡，至目前為止，勾股定理已是數學定理中證明方法最多的 定理之一，儘管如此仍有許多人努力探究是否還有其它方式可以證明，而這些所 有的證明引發我們的深思，關於勾股定理的證明已相當完整且豐富，因此勾股定 理的分類一般而言可以分為三種：
1. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47 (附圖 3.0.1)，收錄在魯米斯《勾 股定理》的G033，主要由面積相等的概念來證明。
(魯米斯《勾股定理》這本書中以代號 A 表證明歸類於代數證明，G 表證明 歸類於幾何證明。)
圖3.0.1 第一卷命題 47 的證明
2. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31 (附圖 3.3.2)，運用了 相似三角形的成比例性質，證明方式傾向代數操作，亦收錄在《勾股定理》
的A001。
圖3.0.2 第六卷命題 31 的證明
3. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之 為「出入相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》A034 及 G127，在印度 則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII)為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》A034 及G225。
在 14 世紀至 17 世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發展，除了 算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的產生，及 在研究力學的過程中微積分的發展等，從歷史的脈絡我們可知，數學從古至今便 一直不斷地延展，甚至在與科學的相互作用下，數學工具如雨後春筍般蓬勃發展，
此時勾股定理的證明方法也隨之延伸發展，關於勾股定理的證明，一直到此時此 刻可能都還不斷地發現中，因此有別於文藝復興前，我們以現代的數學工具（或 領域）將數百個勾股定理證明分類如下：
1. 代數證明(包含前述比例證法)
2. 幾何證明(包含前述的「面積證法」與「弦圖證法」) 3. 向量證明
4. 數列與級數的證明 5. 三角證明
6. 動態證明(使用物理知識證明) 7. 微積分證明
其中上述第1 到第 5 種證明分類，皆屬於目前我們國家的中學生學習範圍內。
第一節 魯米斯《勾股定理》的證明分類
在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了371 個關於勾股定理不同的證明，
並粗略的將勾股定理分成四個種類的證明，如下：
1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。
2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎，意味著空間的概念。
3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。
4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。
由於第3 種及第 4 種證明是從「幾何」的證明所分出來的，而且裡面內容 較少，所以這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明，而書中也特別 提到，因為三角函數的基本公式是根據勾股定理的真實性，即cos2xsin2x 1 這個等式是由勾股定理而來，是先有勾股定理才有三角函數的，因此為了避免循 環論證，所以在此不會有與三角函數有關的證明(Trigonometric proof)。
第二節 代數證明與幾何證明的區分
然而魯米斯在這本書中，區分代數與幾何的標準並不明確，似乎是根據以下 兩種證明方式做大方向的區分：「代數」證明方式主要是藉由代數運算，推論方 向是顯示a2b2 （看成是純粹的代數表示式），以及延伸至直角三角形三邊c2 上的相似形面積比關係能滿足兩股平方和等於斜邊長的平方；「幾何」證明則是 如同畢達哥拉斯理解的，透過圖形間割補重組的操作，比較直角三角形斜邊上的 正方形面積和另外兩股為邊的正方形面積。
為了能夠較明顯的分辨「代數」與「幾何」的差異，以下舉兩個例子，方便 大家理解：第一個例子是在魯米斯《勾股定理》這本書中的「代數」A050 及「幾 何」G233 的證明，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：
【作輔助圖】
1. 將BC延長至D點，使得CDAC。
2. 從D點作AB的垂線，交AB於E點，交AC於F 點。
3. 連接AD及BF。
BCF ACD ABD ABF
BC CF AC CD AB DE AB FE
即
即
2 2 2
c a b .
從上面「幾何」的證明方式為透過不同的切割法計算圖形的面積來證明。
接下來第二個例子的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明，
在魯米斯《勾股定理》這本書中，分別是「代數」A034 及「幾何」G225 的證明，
首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊長向內作正方形ABDE。
2. 在正方形ABDE裡取一點F，使得DF AC且EF BC。 3. 將BC延長，交 DF 於G點，將 EF 延長，交AC於H點。
A B
C
D E
F H G
圖3.2.4 婆什迦羅的證明圖
接下來的A034 求證過程，是利用上圖並使用「代數」的證明方法來說明：
【A034 的求證過程】
1. 首先證明三角形ABC與三角形DEF、三角形EAH、三角形BDG皆全等：
因為DF AC, EF BC又 AB DE ，所以可推得 DEF ABC
(SSS 全等).
又因為EAH 90 BAC ABC, AEH 90 DEF EDF BAC
，且 EA AB，所以可推得 EAH ABC
(ASA 全等).
同理，可推得BDG ABC，由此可知：
2. 說明四邊形CGFH為正方形：
ABDE AEH BDG DEF ABC CGFH
c ABC AC AH
同步
將三角形A
步驟，再將
AEH 固定A
圖
將三角形 DE
A點旋轉，
圖3.2.6 將
EF 固定 D
圖3.2.7
並將 AE 與
將三角形AE 點旋轉，並
將三角形
與 AB 重合(
EH旋轉 並將DE與
形DEF 旋轉
(圖 3.2.6)：
DB重合(圖
轉
圖3.2.7)：
3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形：
延長 FH 作輔助線 HI ，如下圖 3.2.8：
圖3.2.8 拼湊出來的圖形
因為ABC ABH' BDG BDF'，所以矩形ACBH'與矩形BGDF' 的長與寬皆為AC與BC，因為FG
BI
AC
BC，推得
'
AH
IH
AC
AC
BC
BC，所以四邊形AHIH
'
是邊長為BC的正方形；同理，因為DF
IF'
BC
AC
BC
AC，所以四邊形DFIF
'
是邊長為AC的正方形。4. 最後整理第 3 點的結果，來推出勾股定理的相關式：
因為正方形ABDE是邊長為
AB
的正方形，經過拼湊後會拼湊成正方形'
AHIH 與正方形AFIF
'
，所以整理得2 2 2
' '
C + ,
ABDE AHIH DFIFAB B AC
即
2 2 2.
c a b
從上面的例子可以發現，「代數的」證明就是利用已知的條件，來證明
2 2 2
a b 這個等式，而「幾何的」證明則是要證明兩股為邊形成的正方形c 面積，會等於斜邊上的正方形面積。
第三節 代數證明與幾何證明分類
魯米斯在《勾股定理》這本書中，除了前述四大分類外，又將109 個「代數」
的證明進一步分成七種類型，256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類 型，以下我們分別介紹魯米斯《勾股定理》中的「代數」證明與「幾何」證明：
代數證明的分類，有以下七種類型：
1. 相似的直角三角形：
這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係，藉由對應邊成比例性質 來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角 形才能推出的證明，而最有代表性的是歐幾里得的《幾何原本》第六卷命題 31 ，伴隨著這個定理的附圖 3.3.1 顯示了三個相似的長方形，事實上圖形中 的長方形可以替換成任意相似的圖形，說明了勾股定理的一般性，而其證明 方式與《勾股定理》的A001 相同。
圖3.3.1 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖
2. 比例中項原理：
此類證明是第一種類型的特殊型，同樣是利用相似形「對應邊成比例」
的性質，而推導出比例中項的等式，再利用這些等式，推出勾股定理的關係 式。這類的證明中，為了運用到比例中項的關係式，大部分會藉由作直角三 角形斜邊上的高來推得等式關係。
3. 面積的比例關係：
這類的證明是根據相似形證明的，與幾何原本第六卷命題31 概念有關，
此命題提到：在直角三角形中，斜邊上的圖形等於包含兩股邊上的相似及與 斜邊上類似畫出的圖形，這結論幾乎跟第一卷命題47 相同，只是用「圖形」
取代了「正方形」，所以它不必是正方形，甚至不必是多邊形，只要是任意類 似建構的圖形就可以，在這種意義下，相較第一卷命題47，第六卷命題 31 是勾股定理的一個更一般的形式。所以這類的證明是會在直角三角形的各個 邊上，形成其他相似的圖形，先求出各圖形的比例關係，進而推出勾股定理 的關係式。
4. 圓與直角三角形的結合：
這類的證明是利用圓的弦、割線、切線與直角三角形，或是有相似關係 的直角三角形結合，利用圓的弦、割線與切線的性質，來推出勾股定理的關 係式，而這類型裡較為特別的是包含了最長的證明《勾股定理》A090。
5. 極限定理：
這類的證明是先在等腰直角三角形的三邊上作正方形，先說明斜邊上的 正方形會與兩股的正方形和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時再 利用極限的想法，說明兩股的正方形和依舊會與斜邊上的正方形相同，推出 勾股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法 理解。
6. 代數與幾何結合：
這類的證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數
這類的證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數