代數證明與幾何證明的區分

然而魯米斯在這本書中，區分代數與幾何的標準並不明確，似乎是根據以下 兩種證明方式做大方向的區分：「代數」證明方式主要是藉由代數運算，推論方 向是顯示a²b²  （看成是純粹的代數表示式），以及延伸至直角三角形三邊c² 上的相似形面積比關係能滿足兩股平方和等於斜邊長的平方；「幾何」證明則是 如同畢達哥拉斯理解的，透過圖形間割補重組的操作，比較直角三角形斜邊上的 正方形面積和另外兩股為邊的正方形面積。

為了能夠較明顯的分辨「代數」與「幾何」的差異，以下舉兩個例子，方便 大家理解：第一個例子是在魯米斯《勾股定理》這本書中的「代數」A050 及「幾 何」G233 的證明，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：

【作輔助圖】

1. 將BC延長至D點，使得CDAC。

2. 從D點作AB^{的垂線，交}AB^於E點，交AC於F 點。

3. 連接AD及BF。

BCF ACD ABD ABF

BC CF AC CD AB DE AB FE

即

即

2 2 2

c a b .

從上面「幾何」的證明方式為透過不同的切割法計算圖形的面積來證明。

接下來第二個例子的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明，

在魯米斯《勾股定理》這本書中，分別是「代數」A034 及「幾何」G225 的證明，

首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向內作正方形ABDE_。

2. ^在正方形ABDE裡取一點F，使得DF  AC且EF BC_。 3. ^將BC延長，交 DF 於G點，將 EF 延長，交AC於H_點。

A B

C

D E

F H G

圖3.2.4 婆什迦羅的證明圖

接下來的A034 求證過程，是利用上圖並使用「代數」的證明方法來說明：

【A034 的求證過程】

1. 首先證明三角形ABC與三角形DEF、三角形EAH、三角形BDG皆全等：

因為DF  AC, EF BC又 AB DE ，所以可推得 DEF ABC

   (SSS 全等).

又因為EAH    90 BAC ABC_, AEH 90 DEF EDF BAC

         ，且 EA AB，所以可推得 EAH ABC

   (ASA 全等).

同理，可推得BDG ABC，由此可知：

2. 說明四邊形CGFH為正方形：

ABDE AEH BDG DEF ABC CGFH

c ABC AC AH

同步

將三角形A

步驟，再將

AEH 固定A

圖

將三角形 DE

A點旋轉，

圖3.2.6 將

EF 固定 D

圖3.2.7

並將 AE 與

將三角形AE 點旋轉，並

將三角形

與 AB 重合(

EH旋轉 並將DE與

形DEF 旋轉

(圖 3.2.6)：

DB重合(圖

轉

圖3.2.7)：

3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形：

延長 FH 作輔助線 HI ，如下圖 3.2.8：

圖3.2.8 拼湊出來的圖形

因為ABC  ABH' BDG BDF'，所以矩形ACBH'與矩形BGDF' 的長與寬皆為AC與BC，因為FG



BI



AC



BC，推得

 

'

AH



IH



AC



AC



BC



BC，所以

四邊形AHIH

'

是邊長為BC的正方形；

同理，因為^DF

^

^IF

^{' }

^BC

^ 

^AC

^

^BC

 ^

^AC，所以

四邊形DFIF

'

是邊長為AC的正方形。

4. 最後整理第 3 點的結果，來推出勾股定理的相關式：

因為正方形ABDE是邊長為

AB

的正方形，經過拼湊後會拼湊成正方形

'

AHIH 與正方形AFIF

'

，所以整理得

2 2 2

' '

C + ,

ABDE AHIH DFIF

AB B AC

 



  

即

2 2 2.

c a b

從上面的例子可以發現，「代數的」證明就是利用已知的條件，來證明

2 2 2

a b  這個等式，而「幾何的」證明則是要證明兩股為邊形成的正方形c 面積，會等於斜邊上的正方形面積。

在文檔中 勾股定理證明在中學教材的初探 (頁 16-23)