工作單內容

以下工作單我們將介紹 45 個幾何分類中的勾股定理證明，如第一節所述，

每一個證明皆包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，本研究的 45 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發教學 動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗。

我們將介紹下述 45 個勾股定理證明：

A051、A052、A053、A054、A055、A086、A087、A088、A089、A090、A091、

A092、A093、A094、A095、A096、A097、A100、A101、A102、A103、A105、

A106、A107、A108、G043、G068、G069、G102、G103、G104、G105、G106、

G209、G213、G216、G217、G218、G231、G232、G233、G234、G235、G244、

勾股定理證明-A051

【作輔助圖】

1. 以BC為邊長，向外作一正方形CBDE；以AC為邊長，向內作一正方形ACFG。 2. 從A點作AB的垂線，交 GF 於H 點，且連接HB。

3. 從B點作AB的垂線，交DE的延長線於I 點，且連接IA。

4. 以 BC 為對稱軸，作一正方形CBD E^{' '}為正方形CBDE的對稱圖形，且交AB於K 點。

【求證過程】

在直角三角形 ABC 外作輔助線，先證明圖中部分的三角形全等，以求得與正方形 面積相等的四邊形，利用面積相等性質以不同的面積表示式改寫兩股邊上的正方形面 積式，試圖將兩股的平方相加，即可推得勾股定理的關係式。

1. 首先證明正方形ACFG面積與四邊形 AHFB 面積相等：

先證明三角形AHG與三角形 ABC 全等：

因為AG AC,AGH  ACB90 , GH BC，所以 AHG ABC

   ( SAS 全等),

由圖一可知四邊形HACF為正方形ACFG與四邊形 AHFB 重疊的部分，所以 AGFC AHG AHFC ABC AHFC AHFB.



^{四邊形 四邊形 四邊形}

又因為



AGFC面積AC²，所以四邊形AHFB面積AC².

2. 將四邊形 AHFB 視為兩塊三角形的面積和：

由圖二可知

四邊形 AHFB HAB HFB, 其中，因為HAB 90 ，由第1 點可知AH  AB，所以

^{1 1 2}

2 2

HAB AB AH AB

     ,

^{HFB 1}₂ ^{HFFB 1}₂



^GFGH

 

^{ CFBC}



^{ 1}₂



^ACBC

 

^{ ACBC}



^,

且由第1 點結論可知：四邊形 AHFB 面積AC²，因此將上述面積表示式代入，

故可得

四邊形 AHFB HAB HFB

^{AC2 1}₂^{AB2 1}₂



^ACBC

 

^{ ACBC}



^.

3. 接著證明三角形IBD與三角形 ABC 全等，並推得邊長與角度關係：

因為 DI AC IDAC,IDB ACB 90 ,BDBC，所以 IBD ABC

   ( SAS 全等), 故可得

, ,

IB AB DIB CAB IBD  ABC.

4. 證明正方形CBD E^{' '}面積與四邊形E KBJ^' 面積相等：

先證明三角形KD B^' 與三角形JCB全等：

由上述第3 點結論IBD ABC，則

' '

D BK D BC ABC CBD IBD CBJ

           ，又因為KD B^'  JCB 90, D B' BC，所以

KD B' JCB

   ( ASA 全等),

由圖三可知四邊形E KBC^' 為正方形CBD E^{' '}與四邊形E KBJ^' 重疊的部分，所以

' ' ' '

' ' .

CBD E  KD B BKE C JCB BKE C E KBJ



^{四邊形 四邊形 四邊形}

又因為正方形CBD E^{' '}為正方形CBDE的對稱圖形，所以面積為BC²， 則四邊形E KBJ^' 面積BC².

5. 接著先證明三角形AE K^' 與與三角形IEJ全等：

由第3 點可知E AK^'  CAB DIB EIJ ，又因為AE^' AC CE ^'ID ED IE,

' 90

AE K IEJ

    ，所以

AE K' IEJ

   ( ASA 全等).

6. 將三角形IBA扣除兩塊三角形而得到四邊形E KBJ^' 的面積：

由圖四可知

四邊形E KBJ^'  IBA AIJ AE K^' , 其中由第5 點可知，三角形AE K^' 與三角形IEJ全等，所以

四邊形E KBJ^'  IBA AIJ AE K^'



+



, IBA AIJ IEJ IBA AIE

Versluys, J. (1876). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 67). Amsterdam: A.

Versluys.

勾股定理證明-A052

【作輔助圖】

1. 從B點作 AC 的平行線，並在此平行線上取一點D，使得BD2BC。 2. 從D點作AB的垂線，交AB於E點，如圖一。

3. 另外，取AH 為AB和AE的比例中項：

在圖二中，將AB延長至F點，使得AF AE，以BF為直徑，O為BF之中點畫圓，

從A點作BF 的垂線，交圓 O 於H點，則AH  ABAF  ABAE。 4. 回到圖一中，在 AC 上取一點G ，使得 AG AH ，並連接 GE 、 GB 。

H

F B

O

D

A G

E B

C

A

[ ] [ ]

【求證過程】

在直角三角形 ABC 外作輔助線，分別利用「圓的外冪性質」及相似三角形的「對 應邊成比例」性質，推得

EB

邊長的兩種不同表示式，最後將等式整理，推出勾股定 理關係式。

1. 首先利用AG為

AB

和

AE

的比例中項，而推得AG,

EB

邊長表示式：

因為三角形BDE為直角三角形，所以外心為斜邊之中點，則以BD為直徑，Q為BD 之中點畫圓，如下圖。由於AG AB AE AG²  AB AE ，滿足「圓的外冪性

質」，則 AG 為圓的切線，G 為切點。

即

勾股定理證明-A053

【作輔助圖】

1. 將BC延長，在延長線上取BDBE AB。 2. 連接AD、AE。

3. 以B為圓心、AB為半徑畫圓。

A

B C D

E

【求證過程】

在圓內接直角三角形裡面形成兩個直角三角形，先證明三角形相似，在利用相似 形「對應邊成比例」的性質推得邊長關係，由半徑相等性質，改寫等式，即可推得勾 股定理。

1. 首先證明三角形 ACD 與三角形 ECA相似，推得AC為 CE 和 CD 的比例中項：

因為 1 1

180 90

2 2

EAD ED

      ，所以DAC EAD EAC    90 EAC

 AEC且ACD ECA  ，可推得 90

~

ACD ECA

  (AA 相似).

故可知：CD AC

: 

AC CE

:

，整理成

2 .

AC CE CD

2. 由半徑相等性質，改寫上述等式，即可推得勾股定理：

Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 61). Amsterdam: A.

Versluys. 為萊布尼茲（G.W. Leibniz）想出來的。

2. 心得：原證明過程因有誤，故以上述證明呈現，利用以B為圓心、AB為半徑畫圓，

勾股定理證明-A054

【作輔助圖】

從 C 點作

AB

的垂線，交

AB

於D點，如圖所示。

【求證過程】

在直角三角形 ABC 內作輔助線，先說明圖中所有的三角形皆相似，利用相似形「對 應邊成比例」的性質推得邊長關係，再利用CD為

AD

和

BD

的比例中項，將圖中兩個 直角三角形各兩股邊長的平方相加得到等式關係，再相加並整理而推得勾股定理。

1. 首先證明三角形 ACD 、三角形CBD 與三角形 ABC 皆相似：

因為ADC  ACB  且 DAC90   CAB，可推得ACD~ABC(AA 相似)，

同理，CDB ACB  且 CBD90   ABC，可推得 CBD ABC，所以

~ ~ .

ACD CBD ABC

  

2. 由上述的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由三角形 ACD 與三角形 CBD 相似可知：AD CD: CD BD: ，整理得

2 .

CD  AD BD

再由三角形 ACD 與三角形 ABC 相似可知：AC AD:  AB AC: ，整理得

2 .

AC AD AB

再由三角形 CBD 與三角形 ABC 相似可知：BC BD:  AB BC: ，整理得

2 .

BC BD AB

3. 利用CD為

AD

和

BD

的比例中項，試圖將圖中的兩個直角三角形各兩股邊長的平

勾股定理證明-A055

【作輔助圖】

從 C 點作

AB

的垂線，交

AB

於D點，如圖所示。

【求證過程】

在直角三角形 ABC 內作輔助線，先說明圖中所有的三角形皆相似，利用相似形「對 應邊成比例」的性質推得邊長關係，再利用CD為

AD

和

BD

的比例中項，將圖中兩個 直角三角形各兩股邊長的平方相加得到等式關係，再相加並整理而推得勾股定理。

1. 首先證明三角形 ACD 、三角形CBD 與三角形 ABC 皆相似：

因為ADC  ACB  且 DAC90   CAB，可推得ACD~ABC(AA 相似)，

同理，CDB ACB  且 CBD90   ABC，可推得 CBD ABC，所以

~ ~ .

ACD CBD ABC

  

2. 由上述的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由三角形 ACD 與三角形 ABC 相似可知：AC AD:  AB AC: ，整理得

2 .

AC AD AB

由三角形 CBD 與三角形 ABC 相似可知：BC BD:  AB BC: ，整理得

2 .

BC BD AB

3. 將上述兩等式相加，並整理等式，即可推得勾股定理的關係式：

 

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 65-66.

Legendre A. M. (1858). Elements of geometry and trigonometry (pp. 111-112).

New York: A. S. Barnes.

Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 86). Amsterdam: A.

Versluys.

George C. Edwards (1896). Elements of geometry (p. 157). New York:

Macmillan.

勾股定理證明-A086

【作輔助圖】

1. 分別作角A與角B的角平分線，設兩角平分線之交點為 O，即為三角形 ABC 之內 心。

2. 從O點作BC的垂線，交BC於E點。

3. 連接OE，以OE為半徑畫圓交

AB

於D點，交AC於F點，且連接OF。

【求證過程】

在直角三角形 ABC 內作內切圓，利用內心的性質推得邊長關係式，在假設條件下 推得圓半徑與邊長的表示式，由內心到三邊等距計算出三角形面積，故推得假設式成 立，最後推出勾股定理成立。

1. 首先利用內心的性質，推得直角三角形 ABC 兩股邊長相加的等式關係：

因為圓O為直角三角形 ABC 的內切圓，OE為其半徑，且設OE



r，可知D E F 為, , 分別為三邊之切點，則在三角形 AOF 與三角形 AOD 中，因為AFO ADO 90 ,

,

OF



OD AO



AO，所以

AOF AOD

   (RHS 全等), 推得

AF



AD

，同理，可推得BD



BE CE

, 

CF

.

CE



CF



OE



r

.

2 2 2 2

ABC AOB BOC AOC ab cr ar br

ab cr ar br

      

  

  

故第2 點等式

cr ra rb    ab

成立。

4. 由於假設式

4 cr  4 r

²

 2 ab

成立，推出勾股定理的關係式：

因為第2 點可知：

c

²

 4 cr  4 r

²

 a

²

 2 ab b 

²，又因為

cr ra rb    ab

成立，

則假設式

4 cr  4 r

²

 2 ab

亦成立。所以

2 2 2.

c

 

a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1901 年 12 月 13 日想到的。除此之外，以下期刊及書籍也有類似的證明：

F. L. Sawyer (1901). The Pythagorean Theorem, Mathematical Monthly, 8(12), 258.

E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p.94). Paris: Vuibert et Nony.

2. 心得：此證明以及其它紀載的類似證明都建立在三角形的內心到三邊的距離等距 且垂直的性質上，原證明先設立假設，再驗證假設成立，是因透過另一個角 度來證明比較容易，是一個方法，但此證明若善用一些代數技巧，其實可以 更快推得勾股定理，譬如：因為a b c

   2

r，等式兩邊同乘上

 ^{a b c}

^{ }



， 則

 a b c a b c

 



  

  a b c

 



²

r

 ²

ABC

面積

 a b





²  

c

^{2 2}

ab

整理得

c

² 

a

²

b

²，即可推得。鼓勵學生閱讀此證明後嘗試用不同的角度來 推論此證明。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

● ● ●

4. 補充：為何利用角平分線的交點來求三角形的內心?

依角平分線性質「在角平分線上的任何點到該角的兩邊等距離」，而三角 形的內切圓必滿足三角形的三邊恰與圓相切，故內心到三角形的三邊的距 離就是內切圓的半徑(圓的半徑等長)。

因此「內心的性質」為：

因為三角形的內心就是內切圓的圓心，所以內心到三邊的距離就是三角形 內切圓的半徑，故內心到三邊的距離均相等。

勾股定理證明-A087

【作輔助圖】

1. 分別從A點作CB的平行線，從B點作CA的平行線，且兩平行線交於 D 點。

2. 分別作角A與角B的角平分線，且兩角平分線之交點為 O，即為三角形 ABC 之內 心。

3. 從O點作AB的垂線，交AB於G點，並以 OG 為半徑畫圓，分別交 AC 於E點，交 BC 於F點。

4. 連接OE且延長，分別交AB於H點，交BD於I 點。

5. 連接OF且延長，分別交AB於J 點，交AD於K點。

【求證過程】

在直角三角形 ABC 內作內切圓，由內心的性質推得圓外一點對圓作切線的兩切線 段等長，將大矩形ADBC拆成面積相等的兩部分，利用面積相等及代數運算，推得勾 股定理的關係式：

1. 首先利用內心的性質，推得圓外一點對圓作切線的兩切線段等長：

因為圓O是直角三角形 ABC 的內切圓，且E F G, , 為切點，則在三角形 AOE 與三角

形 AOG 中，因為AEO AGO 90 ,OE



OG

,

AO



AO，所以

AKOE CEOF OIBF ADBC OKDI

故可得

勾股定理證明-A088

【作輔助圖】

1. 以AC為直徑畫圓，且交

AB

於D點；接著以BC為直徑畫圓。

2. 連接CD。

【求證過程】

以直角三角形 ABC 兩股為直徑畫圓，連接交點後使得裡面形成兩個直角三角形，

先說明圖中所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾 股定理的關係式。

1. 首先說明CD垂直於

AB

，使得三角形 ACD 與三角形 CBD 分別為圓內接直角三角 形：

因為AC為直徑，所以 1 1 2 1802 90 ADC AC  

     ，即CD



AB。 (於註與心得：第 4 點補充，提供另一種證明。)

因為CDB ，故以90 BC為直徑畫圓，則必過D點，故三角形 CBD 為圓O₂內接 直角三角形。

2. 證明三角形 ACD 、三角形CBD 與三角形 ABC 皆相似：

2. 證明三角形 ACD 、三角形CBD 與三角形 ABC 皆相似：

在文檔中 勾股定理證明在中學教材的初探 (頁 29-178)