勾股定理證明在中學教材的初探
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(2) 摘 要 勾股定理不但是幾何學的核心更可應用到相當廣泛的領域，而推理與證明是 數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，鑑於填補目 前中學數學教科書對勾股定理證明的單一性，本研究以延伸數學證明內容，利用 魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》（The Pythagorean Proposition） 書中所蒐集整理的證明當作題材，將勾股定理做分類及介紹，選取其中 45 個證 明去探究，並修補《勾股定理》證明的不完整，以提升中學生的數學證明學習層 面為出發點，並與數位教材團隊合作開發互動數位教材，不論是透過書面嚴密的 邏輯證明或是多媒體的呈現，目的是為了促進學生的邏輯思考，培養推理能力， 也藉此供給中學數學內容更豐富的參考，期望讓學生具體的感受數學之美，更進 一步透過網路分享，提升國人的數學素養。. 關鍵字：勾股定理、魯米斯(Elisha Scott Loomis)、代數證明、幾何證明、 中學數學.
(3) 目 錄 摘要 第一章 緒論................................................................................................................ 1 第一節 研究背景與動機.................................................................................... 1 第二節 研究目的................................................................................................ 2 第三節 研究範圍與後續.................................................................................... 2 第二章 文獻探討.......................................................................................................... 3 第一節 勾股定理的介紹.................................................................................... 3 第二節 魯米斯的簡介........................................................................................ 5 第三節 魯米斯的著作－《勾股定理》............................................................ 6 第四節 教科書的現況........................................................................................ 7 第三章 勾股定理的證明分類.................................................................................. 10 第一節 魯米斯《勾股定理》的證明分類...................................................... 12 第二節 代數證明與幾何證明的區分.............................................................. 12 第三節 代數證明與幾何證明分類.................................................................. 19 第四章 勾股定理證明工作單.................................................................................. 24 第一節 勾股定理證明工作單內容說明.......................................................... 24 第二節 工作單內容.......................................................................................... 25 A051 ............................................................................................................. 26 A052 ............................................................................................................. 30 A053 ............................................................................................................. 33 A054 ............................................................................................................. 35 A055 ............................................................................................................. 37 A086 ............................................................................................................. 39 A087 ............................................................................................................. 43 A088 ............................................................................................................. 46 A089 ............................................................................................................. 50 A090 ............................................................................................................. 52 A091 ............................................................................................................. 55 A092 ............................................................................................................. 59 A093 ............................................................................................................. 61 A094 ............................................................................................................. 63 A095 ............................................................................................................. 66 A096 ............................................................................................................. 69 A097 ............................................................................................................. 71 A100 ............................................................................................................. 73 A101 ............................................................................................................. 76.
(4) 第五章 . A102 ............................................................................................................. 79 A103 ............................................................................................................. 83 A105 ............................................................................................................. 87 A106 ............................................................................................................. 92 A107 ............................................................................................................. 94 A108 ........................................................................................................... 100 G043 ........................................................................................................... 103 G068 ........................................................................................................... 107 G069 ........................................................................................................... 111 G102 ........................................................................................................... 115 G103 ........................................................................................................... 118 G104 ........................................................................................................... 122 G105 ........................................................................................................... 126 G106 ........................................................................................................... 131 G209 ........................................................................................................... 134 G213 ........................................................................................................... 137 G216 ........................................................................................................... 140 G217 ........................................................................................................... 143 G218 ........................................................................................................... 147 G231 ........................................................................................................... 151 G232 ........................................................................................................... 154 G233 ........................................................................................................... 157 G234 ........................................................................................................... 160 G235 ........................................................................................................... 164 G244 ........................................................................................................... 168 G245 ........................................................................................................... 171 參考文獻.................................................................................................... 174.
(5) 第一章 第一節. 緒論. 研究背景與動機. 大多人似乎認為學校數學就是數學的全部的想法，礙於升學主義，學生一旦 獲得學科上的知識後，會毫不留情的吸收，然後就馬上去做類似題，直到將這樣 的作法熟練為止，但似乎少了去思考、體會、欣賞或是繼續發展這些數學觀念及 方法的機會，這是相當可惜的。也可能是東方人的民族性，學生通常不會主動提 問「這題是否只能這樣作呢？」 「這樣的方法有什麼具體用途？」 「如果有些條件 改變了，那作法及結果也是相同的嗎？」我想數學的本質應該是要培養學生獨立 思考的能力及邏輯思考的嚴密性，而非一昧的局限於教科書而已。 鑑於此，本研究以「勾股定理」為研究題材，因為關於勾股定理的證明方法 多達約 400 種，堪稱所有定理之冠，可見此定理的重要性與普及性；約翰內斯． 克卜勒(Johannes Kepler)也曾說過： 「勾股定理與黃金分割是幾何學的兩大寶藏。」 而勾股定理也是目前課綱編制中，中學生在幾何學習上一個重要的開端，因此在 中學階段，是非常值得引導中學生作為學習數學證明的入門課程。 勾股定理目前納入中學八年級的數學課程裡，但因教科書版面有限，且學 生在此時的先備知識較少，導致教科書中的證明僅少數的幾種類型呈現，而在 高中課程中，有很多的定理是從勾股定理本身或推廣而來，例如:三角函數、餘 弦定理、中線定理......等，基於提供不同的證明方式呈現給學生，讓學生能以不 同的面向看數學，培養他們的邏輯推理能力，進而提升學生的數學證明學習層 面。 在 12 年國民教育的體制下，逐漸淡化考試領導教學的教育現象，提高學生 的數學素養將成為數學教育的主要目的，有鑑於此，希望透過對勾股定理做一較 深入的探討，以擴大中學數學內容的延伸範圍，提供給中學數學內容一個更豐富 的參考，吸引有興趣的學習者盡可能從多種角度去檢視勾股定理的發現，同時也 為勾股定理增添了不同的風貌。因此，若能夠開發出與此領域相關的教材，透過 網路平台將上傳及分享所開發的數學教材，以提供一個有助於學習的環境，讓學 習者更具便利，能讓更多的學子及民眾受惠。. 1.
(6) 第二節. 研究目的. 針對九年一貫數學領域的能力指標 「能認識證明的意義」中，藉由「幾何 性質的察覺」 、 「如何證明」 、 「畫輔助線」等線索，加以在微觀證明、局部證明以 及整體證明中所發展之形式論證的格式架構與思維，培養學生達成完整證明建構 的能力。 為了提升加強其數學思維與推理能力，彌補教學上所缺乏的多樣性，在此我 們以魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposution)中所蒐集整理的證明當作題材，除了目前教科書所提供 的三種勾股定理證明方法外，是否還有其他勾股證明適合讓學生探討，再由數位 教材團隊完成教材開發，透過網路分享讓學生、社會大眾都能夠透過教材啟發興 趣與創意，提升國人數學素養，也可提供教學者課堂教材或是延伸教材及特色課 程的發展方向。. 第三節. 研究範圍與後續. 本研究範圍以魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition) 這本書中的其中 45 個勾股定理證明去深究，著重修補 《勾股定理》書上證明的不完整，除了證明外還提供一些個人淺見，並將勾股定 理做分類及介紹，最後與製作團隊合作開發數位教材，之後將教材放置於所設立 的專屬網站《非想非非想數學網》http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/提供學子 及社會大眾進行數位學習之用。 因勾股定理證明繁多，本研究未完成之其餘證明修補或數位教材則將由勾股 定理之製作團隊持續完成，並上傳至專屬網站《非想非非想數學網》平台上提供 大眾做交流，也可透過網路留言板或電子郵件分享自己的教學方式或閱讀心得與 建議。. 2.
(7) 第二章 文獻探討 第一節. 勾股定理的介紹. 勾股定理是一個歷史悠久的幾何定理，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃 及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究，在國內命名上又稱「商高定理」 、 「陳 子定理」 。在中國文獻中，最早是在一本名為《周髀算經·趙君卿注》古書上記載 著勾股定理的存在。另外也曾有人主張叫做「商高定理」，理由是中國在商高時 代（約公元前 1100 年）已經知道「勾廣三、股脩四、徑偶五」的關係，並且早 於畢達哥拉斯時代。也有人認為商高發現三角形邊長 3：4：5 能構成直角三角形， 僅僅是特例，到陳子才提出了一般化的定理，故應稱為「陳子定理」。後來決定 不用人名而稱為「勾股弦定理」 ，最後確定叫「勾股定理」 ，因為有勾股就必有弦， 故弦字可以省略。 然而在西方國家將勾股定理稱之為「畢氏定理」(Pythagorean theorem)，即 指古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras,約西元前 580-490 年） ，相傳畢達哥拉 斯發現這個定理後，宰了 100 頭牛來慶祝，故「畢氏定理」又稱「百牛定理」。 不過對於勾股定理的最早發現，歷史上其實並無確實的記載，也沒有留下任何的 證據讓我們相信畢達哥拉斯是首位完成此證明的人，只是早期許多學者認為是畢 達哥拉斯最早發現的，或至少是最先證明它的，並且許多人已經習慣這個名稱， 故沿用至今。在希臘最早有關勾股定理的紀載是出現在歐基里得（Euclid，約西 元前 330-275 年）所編寫的《幾何原本》中的第一卷命題 47，並且他在第六卷命 題 31 再給了另一個不同的證明，而歐幾里得在為其著作《幾何原本》做註解時 仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。 追溯西方歷史的發展，在畢達哥拉斯之前，已有間接的證據顯示這定理可能 早已為人所知，譬如，現收藏於耶魯大學的巴比倫石版，以及透過一塊巴比倫泥 板，發現了巴比倫人在約西元前 1900-1600 年時已經知道至少 15 組勾股數。而 人們對於勾股定理的巴比倫證法的了解最詳細是來自於被珍藏於大英博物館中 的，運用大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，如右下圖(a)，但如果 我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，然後旋轉中間正方形，且保持 3.
(8) 此正 正方形的頂 頂點在大正方 方形的邊上 上，如右下圖 圖(b)，仍可 可證實此定理 理。. 同樣地，在 在埃及和希 希臘等這些不 不同的文明 明中，也發現 現了勾股定 定理以不同形 形式 出現 現的紀錄數 數學家們是從 從幾何問題 題開始研究埃 埃及的幾何 何。在解釋關 關於勾股定理 理的 紀錄 錄的文獻中 中，根據德國 國數學家康 康托（Georg g Cantor，1845-1918）的解釋是埃 埃及 人利 利用直角來 來決定廟宇的 的方位。他們 們的方法是 是，將一條繩 繩子繞過三 三支釘子形成 成一 個三 三角形，且 且使得三邊的 的長為 3：44：5。其中 中一股的方位 位對準南北 北線，則另一 一股 便會 會對準東西 西線，而這東 東西線就正 正是建造廟宇 宇的方位。康托（Geoorg Cantor） ）認 為早 早期的證明 明包含了特例 例的考量，像 像是等腰直 直角三角形的 的狀況就可 可能經由如下 下圖 相連 連的圖形被 被證明，最下 下方 4 個三角 角形的面積 積和等於上方 方 4 個三角 角形的面積和 和， 這就 就導出了勾 勾股定理。然 然而，勾股定 定理的一般 般化證明是被 被歐基里得 得所提出的，更 把這 這個定理推 推廣成由直角 角三角形斜 斜邊延伸出圖 圖形的面積 積，會等於兩 兩股上延伸出 出的 相似 似圖形面積 積的和。 . 4.
(9) 第二節 第. 魯米斯 斯的簡介 介. 魯米斯(Elisha Scott Loomis, 18852-1940)，出生於美國 國俄亥俄州 州梅迪納鎮，自 小勤 勤奮好學，也 也很早顯露 露數學方面的 的才能，因 因為喜歡從事 事教學，後 後來成為一所 所高 中數 數學科的召 召集人，並持 持續擔任這 這個工作 28 年。同時，他仍然持 持續學習，不 不僅 是一 一位數學家 家，也是個律 律師、作家、系譜專家 家和土木工程 程師，但最 最值得讚譽的 的頭 銜是 是「教師」 ，這也是他最 最喜歡的工 工作，魯米斯 斯以第三人 人稱來描述自 自己： 「他作 作為 教師 師的五十年 年間，他竭盡 盡所能的培 培育超過 400 00 名的男孩 孩、女孩及 及年輕男女的 的行 為習 習慣上，這 這為他烙刻了 了深深的印 印記。」 魯米斯是 是位多產的作 作家，撰寫了 了許多文章 章及出版許多 多叢書，範 範圍從幾何教 教學 到倫 倫理學、哲學 學及宗教等 等主題，其中 中他所撰寫 寫的數學著作 作中，將他 他畢生收集了 了所 有已 已知的勾股 股定理-共有 371 個，從 從 1907 年動 動筆，直到 1927 1 年才完 完成出版的《勾 股定 定理》(The Pythagorean P n Propositioon)是他最好 好的著作，1 1940 年，他 他還做了修改 改， 同時 時，他也在這 這一年去世 世，雖然魯米 米斯在數學 學圈中並不是 是家喻戶曉 曉的名字，除 除了 《勾 勾股定理》這本書之外 外，大多數 數也已被人遺 遺忘，但在 在他所著作的 的《勾股定 定理》 這本 本書，在數 數學的教育而 而言是相當 當重要的一本 本叢書，在 在 1968 年， 美國數學教 教師 協會 會(NCTM)重 重印這本著 著作，當成數 數學教育經 經典系列的第 第一本書籍 籍。. 圖 2.3.1 魯米 米斯肖像(拍 拍照 1935 年) 年. 5.
(10) 第三節. 魯米斯的著作－《勾股定理》. (The Pythagorean Proposition) 由魯米斯所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)搜集且分類了 勾股定理的 371 種證明，此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可供下 載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元 1940 年做了修改後出版。 魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自歐洲中世紀時期，學 生想要獲得數學碩士學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明，所以勾股 定理在當時就有著大量的證明，但都較為零散，直到魯米斯將當時所有的證明整 理成書。 《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西 (Leonardo da Vinci )、托勒密( Claudius Ptolemaeus )、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz )、荷 蘭物理學家惠更斯( Huygens )的證明、美國總統所提供的梯形證法，還有盲眼女 孩庫力茲( E. A. Coolidge )，及 16 歲的高中女生安 康地( Ann Condit ) … 等經典 的證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能 已無法考據。這本書也穿插了 12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、笛卡兒、哥白 尼、伽利略、牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，簡言之，這是數學史上名聲顯赫 之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。 而這本書在出版之後，又有許多的新證明被提出，至今關於勾股定理的證明 已有 400 多個，而且持續增加中。另外伯果摩爾尼( Alexander Bogomolny )在他 所建立的網站「勾股定理和它許多證明」( http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ) 收集了許多精彩的證明，他不只收集了魯米斯書中美妙的證明，也有許多被新提 出勾股定理證明。. 6.
(11) 第四節 第. 教科書 書的現況 況. 勾股定理 理在目前的課 課綱中編排 排至國民中學 學第三冊，在此我們挑 挑選 A、B、C 三個 個市占率較 較高的教科書 書版本作為 為定理證明內 內容內的剖 剖析，所參考 考之教科書版 版本 均為 為教育部審 審核通過之樣 樣書，三個版 版本對於勾 勾股定理的證 證明有不同 同的呈現方式 式：. 版本 本 A (圖 2..4.1) 證明 明方式：利 利用探索活動 動的發現， 將四個全等 等直角三角 角形圍成一個 個以斜邊為 為邊 長 c 2 的大正方 方形，中間會 會形成一個 個邊長為兩股 股差 ( a b ) 的小正方形 形， 接 接著用兩種方 方式去表示 示大正方形面 面積，再運用 用代數運算 算式子比較兩 兩種 面 面積表現式 ，整理得 c 2 a 2 b 2 。 證明 明評析：在 在證明過程中 中，因為圖 圖形中只看出 出以直角三 三角形斜邊為 為邊長的正 正方 形 形面積，看不 不見另外以兩 兩股為邊的 的正方形甚至 至是與前者 者正方形的關 關係， 又 又最後是以代 代數式子整 整理出定理結 結果，證明雖 雖較嚴謹但 但學生也許會 會因 此 此對一開始的 的圖形較沒 沒有感覺，所 所以學生可能 能無法從此 此證明中感受 受到 勾 勾股定理 幾何上的意 意義。 c 2 a 2 b 2 在幾. 圖 2.4..1 版本 A 的證明 的 7.
(12) 版本 本 B (圖 2.4.2) 證明 明方式：利 利用畢達哥拉 拉斯的發現 現，及探索活 活動進一步 步說明「以兩 兩股為邊長 長的 正 正方形面積和 和等於以斜 斜邊為邊長的 的正方形面 面積」，如下 下圖(三)、(四 四) 課 課本中的圖形 形，學生可用 可用直觀的方 方式，得到甲 甲、乙、丙 丙三個正方形 形的 面 面積關係，進 進一步得勾 勾股定理。 證明 明評析：以 以畢達哥拉斯 斯的發想作 作為動機的引 引起，以直 直角三角形三 三邊延伸的 的正 方 方形為主軸去 去說明三個 個正方形面積 積關係，學生 生較能感受 受其幾何意義 義， 且 且在證明過程 程中，並沒有 有用到代數 數運算，純粹 粹用較直觀 觀的方式去作 作面 積 積說明，對於 於代數運算較 較差的學生 生也可以由圖 圖形去感受 受到勾股定理 理的 意 意義，這避免 免了學生有過 過度負荷的 的現象，以及 及模糊定理 理的幾何意義 義， 最 最後再給予定 定理結論。. 的 圖 2.4 .2 版本 B 的證明 8.
(13) 版本 本 C (圖 2..4.3) 證明 明方式：將 將四個全等直 直角三角形 形圍成一個以 以兩股和 (aa b) 為邊長 長的正方形， 其 其圖形中會形 形成一個邊 邊長為斜邊 c 的正方形，接著用兩 兩種方式去表 表示 以 以斜邊為邊長 長的正方形 形面積，再運 運用代數運算 算比較兩種 種面積表現式 式， 整 整理得 c2 a 2 b2 。 證明 明評析：此 此版本證明方 方式與版本 本 A 雷同，差 差異是四個 個直角三角形 形的排列方 方法 不 不同，雖然證 證明手法同樣 樣看起來較 較嚴謹，但仍 仍需代數運 運算而圖形淪 淪為 輔 輔助，因此由 由於學生從圖 圖形中較難 難對勾股定理 理的幾何意 意義有所感受 受， 因 因此缺少了較 較直觀的看 看法。. 圖 2.4 .3 版本 C 的證明 的 結語 語：綜合以 以上我們發現 現三個版本 本雖然皆是以 以圖形的拼 拼湊作為證明 明的依據，但 其中版 版本 A、C 需較多代數運 需 運算來證明 明，且從圖形 形較難直觀 觀的想出拼湊 湊方 法，而 而版本 B 以直 直角三角形 形三邊延伸的 的正方形為 為主軸，再進 進一步做圖 圖形 輔助可 可直接發現三 三個正方形 形面積關係， ，相較之下則 則較直觀，不過三者皆 皆缺 少拼圖 圖活動讓學生 生直接從直 直角三角形三 三邊所延伸 伸的正方形去 去感受面積 積關 係，因此 此若在教學 學中能夠額外 外提供教材 材讓學生透過 過實際動手 手操作，去體 體會 兩股上 上的正方形面 面積和會等 等於斜邊上的 的大正形面 面積，如此一 一來不僅能加 加深 學生印 印象，也能讓 讓學生感受 受到數學的樂 樂趣。 9.
(14) 第三章 勾股定理的證明分類 在悠久的數學史裡，至目前為止，勾股定理已是數學定理中證明方法最多的 定理之一，儘管如此仍有許多人努力探究是否還有其它方式可以證明，而這些所 有的證明引發我們的深思，關於勾股定理的證明已相當完整且豐富，因此勾股定 理的分類一般而言可以分為三種： 1.. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47 (附圖 3.0.1)，收錄在魯米斯《勾 股定理》的 G033，主要由面積相等的概念來證明。 (魯米斯《勾股定理》這本書中以代號 A 表證明歸類於代數證明，G 表證明 歸類於幾何證明。). 圖 3.0.1 2.. 第一卷命題 47 的證明. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31 (附圖 3.3.2)，運用了 相似三角形的成比例性質，證明方式傾向代數操作，亦收錄在《勾股定理》 的 A001。. 圖 3.0.2. 第六卷命題 31 的證明 10.
(15) 3.. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之 為「出入相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》A034 及 G127，在印度 則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII)為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》A034 及 G225。 在 14 世紀至 17 世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發展，除了. 算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的產生，及 在研究力學的過程中微積分的發展等，從歷史的脈絡我們可知，數學從古至今便 一直不斷地延展，甚至在與科學的相互作用下，數學工具如雨後春筍般蓬勃發展， 此時勾股定理的證明方法也隨之延伸發展，關於勾股定理的證明，一直到此時此 刻可能都還不斷地發現中，因此有別於文藝復興前，我們以現代的數學工具（或 領域）將數百個勾股定理證明分類如下： 1.. 代數證明(包含前述比例證法). 2.. 幾何證明(包含前述的「面積證法」與「弦圖證法」). 3.. 向量證明. 4.. 數列與級數的證明. 5.. 三角證明. 6.. 動態證明(使用物理知識證明). 7.. 微積分證明. 其中上述第 1 到第 5 種證明分類，皆屬於目前我們國家的中學生學習範圍內。. 11.
(16) 第一節. 魯米斯《勾股定理》的證明分類. 在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明， 並粗略的將勾股定理分成四個種類的證明，如下： 1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。 2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎，意味著空間的概念。 3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。 4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。 由於第 3 種及第 4 種證明是從「幾何」的證明所分出來的，而且裡面內容 較少，所以這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明，而書中也特別 提到，因為三角函數的基本公式是根據勾股定理的真實性，即 cos 2 x sin 2 x 1 這個等式是由勾股定理而來，是先有勾股定理才有三角函數的，因此為了避免循 環論證，所以在此不會有與三角函數有關的證明(Trigonometric proof)。. 第二節. 代數證明與幾何證明的區分. 然而魯米斯在這本書中，區分代數與幾何的標準並不明確，似乎是根據以下 兩種證明方式做大方向的區分：「代數」證明方式主要是藉由代數運算，推論方 向是顯示 a 2 b 2 c 2 （看成是純粹的代數表示式） ，以及延伸至直角三角形三邊 上的相似形面積比關係能滿足兩股平方和等於斜邊長的平方；「幾何」證明則是 如同畢達哥拉斯理解的，透過圖形間割補重組的操作，比較直角三角形斜邊上的 正方形面積和另外兩股為邊的正方形面積。 為了能夠較明顯的分辨「代數」與「幾何」的差異，以下舉兩個例子，方便 大家理解：第一個例子是在魯米斯《勾股定理》這本書中的「代數」A050 及「幾 何」G233 的證明，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖： 【作輔助圖】 1. 將 BC 延長至 D 點，使得 CD AC 。 2. 從 D 點作 AB 的垂線，交 AB 於 E 點，交 AC 於 F 點。. 12.
(17) 3. 連接 AD 及 BF 。 D. C. F A. B. E. . 圖 3.2.1. 接下來的 A050 求證過程，是利用上圖並使用「代數」的證明方法來說明： 1. 首先說明三角形 DFC 全等於三角形 ABC ： 因為 DCF AEF 90 , DFC AFE (對頂角相等)，所以. CDF CAB ; 因為由 DCF ACB 90 , CD AC , 及前述 CDF CAB ，所以 DFC ABC (ASA 全等), 推得. CF BC, DF AB . 2. 最後將凹邊形利用兩種不同拆解的方式來算面積，推得勾股定理的相關式： 凹四邊形 AFBD 可以拆成三角形 BCF 、三角形 ACD ，或可以寫成三角形. ABD 扣掉 ABF ，將等式整理，推論出勾股定理的相關式： BCF ACD ABD ABF 1 1 1 1 BC CF AC CD AB DE AB FE 2 2 2 2 1 1 1 BC BC AC AC AB DE FE 2 2 2 2 2 1 1 1 BC AC AB DF 2 2 2 2 2 1 1 BC AC AB AB 2 2. . . . 2. 2. 2. BC AC AB , 13. .
(18) 即. c2 a 2 b2 . 從上面「代數」的證明方式主要是傾向代數操作，來證明 a 2 b 2 c 2 這個等式。 接著 G233 的求證過程，一樣是利用上圖，並且使用「幾何」的證明方法來說明： 【G233 的求證過程】 1. 由上面 A050 的證明中，已經可知三角形 DFC 與三角形 ABC 全等。 2. 由於四邊形 AFBD 面積可分割為兩種不同的三角形切割法，利用面積和相等 關係，即可推得勾股定理關係式：. 由左上圖 3.2.2 可知：. 由右上圖 3.2.3 可知：. 四邊形 AFBD DAF DFB. 四邊形 AFBD FCB DAC. 1 1 DF AE DF BE 2 2 1 DF ( AE BE ) 2 1 DF AB 2. 1 1 BC CF CD AC 2 2 1 1 BC BC AC AC 2 2 2 2 1 1 BC AC , 2 2. . . 1 AB AB 2 2 1 AB , 2 . 由上述四邊形 DAFB 的兩種表示法可推得： 2. 2. 2. AB BC AC , 14.
(19) 即 c2 a2 b2 .. 從上面「幾何」的證明方式為透過不同的切割法計算圖形的面積來證明。 接下來第二個例子的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明， 在魯米斯《勾股定理》這本書中，分別是「代數」A034 及「幾何」G225 的證明， 首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖： 【作輔助圖】. 1. 以 AB 為邊長向內作正方形 ABDE 。 2. 在正方形 ABDE 裡取一點 F ，使得 DF AC 且 EF BC 。 3. 將 BC 延長，交 DF 於 G 點，將 EF 延長，交 AC 於 H 點。 E. D. G. C. F H. A. B. 圖 3.2.4 婆什迦羅的證明圖 接下來的 A034 求證過程，是利用上圖並使用「代數」的證明方法來說明： 【A034 的求證過程】. 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 DEF 、三角形 EAH 、三角形 BDG 皆全等： 因為 DF AC , EF BC 又 AB DE ，所以可推得. DEF ABC (SSS 全等). 又因為 EAH 90 BAC ABC ,. AEH 90 DEF EDF BAC ，且 EA AB ，所以可推得 EAH ABC (ASA 全等). 同理，可推得 BDG ABC ，由此可知：. EAH BDG DEF ABC. 15.
(20) 2. 說明四邊形 CGFH 為正方形： 因為四邊形 CGFH 四個角的外角皆為直角，所以四邊形 CGFH 四個角的皆 為直角，且每邊長皆為 b a ，推得 四邊形 CGFH 為正方形。. 3. 最後正方形利用拆解的方式來算面積，將等式整理，推得勾股定理的關係式： 將正方形 ABDE 拆解成三角形 AEH 、三角形 BDG 、三角形 DEF 、三角形. ABC 、正方形 CGFH ，即 ABDE AEH BDG DEF ABC CGFH. . c 2 4 ABC AC AH. . 2. 1 2 c 2 4 ab b a 2 2 c 2ab b 2 2ab a 2 , 即. c2 a2 b2. 接著 G225 的求證過程，同樣是利用上圖，並且使用「幾何」的證明方法來說明： 【G225 的求證過程】. 1. 由上面 A034 的證明中，已經可知三角形 ABC 與三角形 DEF、三角形 EAH 、 三角形 BDG 皆全等，且四邊形 CGFH 為正方形。. 2. 再來利用圖形的分割，將正方形 ABDE 重新拼湊： 先將正方形 ABDE 作適當的旋轉，如下圖 3.2.5：. 圖 3.2.5 婆什迦羅的證明圖. 16.
(21) AEH 固定 A 點旋轉， 並將 AE 與 AB 重合((圖 3.2.6)： 將三角形 A. 圖 3.2.6. EH 旋轉 將 將三角形 AE. EF 固定 D 點旋轉，並 同步 步驟，再將 將三角形 DE 並將 DE 與 DB 重合(圖 圖 3.2.7)：. 圖 3.2.7. 將三角形 形 DEF 旋轉 轉. 17.
(22) 3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形： 延長 FH 作輔助線 HI ，如下圖 3.2.8：. 圖 3.2.8 拼湊出來的圖形 因為 ABC ABH ' BDG BDF ' ，所以矩形 ACBH ' 與矩形 BGDF ' 的長與寬皆為 AC 與 BC ，因為 FG BI AC BC ，推得. . . AH IH ' AC AC BC BC ，所以 四邊形 AHIH ' 是邊長為 BC 的正方形；. . . 同理，因為 DF IF ' BC AC BC AC ，所以 四邊形 DFIF ' 是邊長為 AC 的正方形。. 4. 最後整理第 3 點的結果，來推出勾股定理的相關式： 因為正方形 ABDE 是邊長為 AB 的正方形，經過拼湊後會拼湊成正方形. AHIH ' 與正方形 AFIF ' ，所以整理得. ABDE AHIH 'DFIF ' 2. 2. 2. AB BC + AC , 即. c2 a2 b2. 從上面的例子可以發現，「代數的」證明就是利用已知的條件，來證明. a 2 b 2 c 2 這個等式，而「幾何的」證明則是要證明兩股為邊形成的正方形 面積，會等於斜邊上的正方形面積。. 18.
(23) 第三節. 代數證明與幾何證明分類. 魯米斯在《勾股定理》這本書中，除了前述四大分類外，又將 109 個「代數」 的證明進一步分成七種類型，256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類 型，以下我們分別介紹魯米斯《勾股定理》中的「代數」證明與「幾何」證明：. 代數證明的分類，有以下七種類型： 1. 相似的直角三角形： 這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係，藉由對應邊成比例性質 來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角 形才能推出的證明，而最有代表性的是歐幾里得的《幾何原本》第六卷命題. 31 ，伴隨著這個定理的附圖 3.3.1 顯示了三個相似的長方形，事實上圖形中 的長方形可以替換成任意相似的圖形，說明了勾股定理的一般性，而其證明 方式與《勾股定理》的 A001 相同。. 圖 3.3.1 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖. 2. 比例中項原理： 此類證明是第一種類型的特殊型，同樣是利用相似形「對應邊成比例」 的性質，而推導出比例中項的等式，再利用這些等式，推出勾股定理的關係 式。這類的證明中，為了運用到比例中項的關係式，大部分會藉由作直角三 角形斜邊上的高來推得等式關係。. 19.
(24) 3. 面積的比例關係： 這類的證明是根據相似形證明的，與幾何原本第六卷命題 31 概念有關， 此命題提到：在直角三角形中，斜邊上的圖形等於包含兩股邊上的相似及與 斜邊上類似畫出的圖形，這結論幾乎跟第一卷命題 47 相同，只是用「圖形」 取代了「正方形」 ，所以它不必是正方形，甚至不必是多邊形，只要是任意類 似建構的圖形就可以，在這種意義下，相較第一卷命題 47，第六卷命題 31 是勾股定理的一個更一般的形式。所以這類的證明是會在直角三角形的各個 邊上，形成其他相似的圖形，先求出各圖形的比例關係，進而推出勾股定理 的關係式。. 4. 圓與直角三角形的結合： 這類的證明是利用圓的弦、割線、切線與直角三角形，或是有相似關係 的直角三角形結合，利用圓的弦、割線與切線的性質，來推出勾股定理的關 係式，而這類型裡較為特別的是包含了最長的證明《勾股定理》A090。. 5. 極限定理： 這類的證明是先在等腰直角三角形的三邊上作正方形，先說明斜邊上的 正方形會與兩股的正方形和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時再 利用極限的想法，說明兩股的正方形和依舊會與斜邊上的正方形相同，推出 勾股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法 理解。. 6. 代數與幾何結合： 這類的證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數 的方式推論，比較圖形面積時是用幾何的方式討論的，推出勾股定理的關係 式，所以是結合代數與幾何的證明，這邊大部分的內容國中就已經學過，只 有一些少部分的是要到高中才有辦法理解，譬如《勾股定理》的 A105 使用. Pappus 定理，及 A107 使用海龍定理。 7. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形： 這類的證明與前一類的證明類似，差別在直角三角形的三邊上作出向外 延伸的多邊形，並利用相似多邊形來討論，推出勾股定理的關係式，也是國 中或高中就能理解的，譬如《勾股定理》的 A106、A108。. 20.
(25) 幾何證明的分類(依圖形劃分)，有以下十種類型： 從魯米斯《勾股定理》這本書中我們發現，在「幾何」的證明中魯米斯依據 圖形的繪製方法不同，可將「幾何」的證明分為以下十種類型： 類型. 圖形說明. 類型 1. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，且正方形的位置皆以直角三角形為中心向 外側延伸。. 類型 2. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中 心外側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 類型 3. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外 側。. 類型 4. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外 側。與類型三的差異在於兩股上的正方形朝向位 置相反。. 類型 5. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正 方形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形 的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內 側。. 21. 示意圖形.
(26) 類型. 類型 6. 類型 7. 圖形說明 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 形 形，兩股上的正方形位置分別朝向直角三角形的 中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 形，兩股上的正方形位置朝向直角三角形的中心 內側，斜邊上的正方形朝向外側。. 此類型是以直角三角形的斜邊及兩股為邊作正方 類型 8 形，三個正方形位置皆朝向直角三角形的中心內 側。. 此種類圖形以直角三角形的三邊為邊長作正方 形，其中正方形的位置並非全部都與直角三角形的 類型 9 邊作齊，右圖形僅為示意，證明的圖形中只要正方 形的位置為前 8 類作轉移，皆蒐集在此分類。. 此種類證明的圖形並沒有作出三個以直角三角形 的三邊為邊長的正方形，在此分類下又可細分兩 類： 類型 10 1.圖形以正方形為主軸的證明 2.圖形以三角形為主軸的證明 3.圖形利用圓的性質的作證明. 22. 示意圖形.
(27) 以上分類中，可知證明的圖形雖有所差異，但證明方向都是以兩股為邊長的 兩個正方形面積和相當於斜為邊長的正方形面積，儘管如此，這其中的證明手法 仍有所不同，大致又分為以下五種方式：. 1. 運用圖形之間的全等關係，將圖形作切、割、移、補的動作： 亦即可將圖形分割後運用拼圖方式進行填補，找出三個正方形面積關係，此 分類方法訴諸直觀的操作。在此分類下又可依據拼圖程序細分為 3 種類型：. (1) 圖形的各分割部位均移動一次即可作拼圖填補。 (2) 圖形的有些分割部位需移動兩次，作二次拆解才可完成填補。 (3) 圖形的分割部位在進行填補動作時有重疊部分，在實際操作上可能較不 容易。. 2. 比較兩種面積表示法： 運用圖形之間的全等性質，將相同的圖形面積以兩種不同的圖形分割來表示， 比較兩種面積表示法，可發現三個正方形的面積關係。. 3. 透過代數運算： 無法直觀及無法完全運用圖形的全等關係作圖形的割補，必須輔以少量的代 數運算，去找出三個正方形的面積關係。另外，這裡其中也包含了利用圓的 性質與三角形性質得到關係式藉由代數運算來證明。. 4. 面積證法： 運用矩形、正方形、平行四邊形或是三角形面積之間的等底同高關係，去計 算面積，可得到三個正方形的面積關係，此分類證明精髓與歐幾里得《幾何 原本》卷一命題 47 的證明相同，也就是俗稱的「面積證法」。. 5. 輔助圖不從三個正方形角度出發： 因為此類型證明大多沒有作出三個正方形，所以證明的方式並沒有去比較三 個正方形面積的關係，而過程可能是透過割補、圖形重組、計算面積去得到 結果。在此類證明之下，大多直接看到直角三角形的三個邊長關係，而過程 中看不見三個正方形的面積關係。. 23.
(28) 第四章 勾股定理證明工作單 第一節. 勾股定理證明工作單內容說明. 在本章的第二節中，將會介紹幾個勾股定理的證明，在每個證明中，皆從以 角 C 為直角的直角三角形 ABC 出發，並假設 BC a , AC b , AB c (如圖. 4.1.1)，不論該定理是歸屬於代數證明還是幾何證明，最終目標皆是欲證明出. a2 b2 c2 這個等式。. C a. b. A. c. B. 圖 4.1.1 直角三角形 ABC 每個證明都會包含以下三個部分： 【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，以下我們分別就其內容作說明： 第一部分【作輔助圖】： 由於許多證明並非由圖形即可直接證明，需要額外的輔助線才有辦法證明， 因此在此部分會將作輔助圖的步驟完整列出，而所有的步驟使用尺規即可完成作 圖，並在步驟下方呈現完成輔助圖的圖形，讓學生可理解作圖程序並作檢驗。 第二部分【求證過程】： 此部分是整個證明的重點，包含從已經完成的輔助圖，到證明出勾股定理關 係式，由於有些證明的步驟繁瑣，所以會在開頭簡單介紹此證明的脈絡，除了可 以讓學生在進行證明前先瞭解整個證明的想法，程度較好的學生甚至可以閱讀完 脈絡即可開始嘗試證明，而其他學生則可以跟著步驟分段來完成證明。在每個證 明步驟中，也都會作簡單的敘述，讓學生能清楚知道該步驟要推論的內容。 第三部分【註與心得】： 此部分又分成四項：來源、心得、評量、補充。. 24.
(29) 在「來源」裡會標明原證明的出處，有些證明可能是有名數學家所證明的， 或是出自某本書或期刊，讓對此證明有興趣或有疑惑的讀者，可以自行去收集資 料來閱讀；「心得」為研究者本人整理完此證明，或者是研究者先行讓學生閱讀 後的心得，作個簡單的比較或評論，供給讀者參考；「評量」則是評論此證明適 合哪個教學階段所能理解的，或是是否適合教學，以及是否具有欣賞及美學，這 些評分皆是研究者整理完此證明，主觀的評價證明內容，雖然如此在這個部分的 用意是希望閱讀者可以利用這部分的評價，來快速判斷此證明是否符合他所需要 的；「補充」裡會針對該證明簡單介紹作者生平故事，或是在證明中有利用到學 生較不熟悉或未學過的定理，皆會放在補充裡，協助學生對此證明的理解，藉由 一些小故事也希望引起學習數學的樂趣與動機，也可以讓學生延伸學習。 有鑑於數位化教材能讓教學內容更加生動，也從研究範圍中的勾股定理證明 挑選適合的證明製作成動畫，像是 G009, Henry Perigal 等有名的證明，運用動畫 的方式將證明呈現，此外，也開發了拼圖教材，讓使用者用出入相補的「弦圖證 法」，來了解勾股定理，也增加了趣味性，不論是動畫或拼圖教材，目的是讓使 用者帶著愉悅的心情欣賞或體驗勾股定理證明的美學。. 第二節. 工作單內容. 以下工作單我們將介紹 45 個幾何分類中的勾股定理證明，如第一節所述， 每一個證明皆包含三個部分： 【作輔助圖】 、 【求證過程】 、 【註與心得】 ，本研究的. 45 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發教學 動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗。 我們將介紹下述 45 個勾股定理證明：. A051、A052、A053、A054、A055、A086、A087、A088、A089、A090、A091、 A092、A093、A094、A095、A096、A097、A100、A101、A102、A103、A105、 A106、A107、A108、G043、G068、G069、G102、G103、G104、G105、G106、 G209、G213、G216、G217、G218、G231、G232、G233、G234、G235、G244、 G245，其中包含許多經典證明。 25.
(30) 勾股定理證明-A051 【作輔助圖】. 1. 以 BC 為邊長，向外作一正方形 CBDE ；以 AC 為邊長，向內作一正方形 ACFG 。 2. 從 A 點作 AB 的垂線，交 GF 於 H 點，且連接 HB 。 3. 從 B 點作 AB 的垂線，交 DE 的延長線於 I 點，且連接 IA 。 4. 以 BC 為對稱軸，作一正方形 CBD ' E ' 為正方形 CBDE 的對稱圖形，且交 AB 於 K 點。. 【求證過程】 在直角三角形 ABC 外作輔助線，先證明圖中部分的三角形全等，以求得與正方形 面積相等的四邊形，利用面積相等性質以不同的面積表示式改寫兩股邊上的正方形面 積式，試圖將兩股的平方相加，即可推得勾股定理的關係式。. 1. 首先證明正方形 ACFG 面積與四邊形 AHFB 面積相等： 先證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等： 因為 AG AC , AGH ACB 90, GH BC ，所以. AHG ABC ( SAS 全等), 由圖一可知四邊形 HACF 為正方形 ACFG 與四邊形 AHFB 重疊的部分，所以. AGFC AHG 四邊形AHFC ABC 四邊形AHFC 四邊形AHFB . 26.
(31) 又因為 AGFC 面積 AC ，所以四邊形 AHFB 面積 AC . 2. 2. 2. 將四邊形 AHFB 視為兩塊三角形的面積和： 由圖二可知 四邊形 AHFB HAB HFB , 其中，因為 HAB 90 ，由第 1 點可知 AH AB ，所以 HAB . 2 1 1 AB AH AB , 2 2. . . . . . . 1 1 1 HFB HF FB GF GH CF BC AC BC AC BC , 2 2 2 2. 且由第 1 點結論可知：四邊形 AHFB 面積 AC ，因此將上述面積表示式代入， 故可得 四邊形 AHFB HAB HFB 2. AC . . . 3. 接著證明三角形 IBD 與三角形 ABC 全等，並推得邊長與角度關係： 因為 DI AC ID AC , IDB ACB 90, BD BC ，所以. IBD ABC ( SAS 全等), 故可得 IB AB , DIB CAB, IBD ABC . 27. . 2 1 1 AB AC BC AC BC . 2 2.
(32) 4. 證明正方形 CBD ' E ' 面積與四邊形 E ' KBJ 面積相等： 先證明三角形 KD ' B 與三角形 JCB 全等： 由上述第 3 點結論 IBD ABC ，則 D ' BK D ' BC ABC CBD IBD CBJ ，又因為 KD ' B JCB 90 ,. D' B BC ，所以 KD' B JCB ( ASA 全等),. 由圖三可知四邊形 E ' KBC 為正方形 CBD ' E ' 與四邊形 E ' KBJ 重疊的部分，所以. CBD' E ' KD' B 四邊形BKE ' C JCB 四邊形BKE ' C 四邊形E ' KBJ . 2. 又因為正方形 CBD ' E ' 為正方形 CBDE 的對稱圖形，所以面積為 BC ， 2. 則四邊形 E ' KBJ 面積 BC .. 5. 接著先證明三角形 AE ' K 與與三角形 IEJ 全等： 由第 3 點可知 E ' AK CAB DIB EIJ ，又因為 AE ' AC CE ' ID ED IE , AE ' K IEJ 90 ，所以 AE ' K IEJ ( ASA 全等).. 6. 將三角形 IBA 扣除兩塊三角形而得到四邊形 E ' KBJ 的面積： 由圖四可知 四邊形 E ' KBJ IBA AIJ AE ' K , 其中由第 5 點可知，三角形 AE ' K 與三角形 IEJ 全等，所以 28.
(33) 四邊形 E ' KBJ IBA AIJ AE ' K IBA AIJ +IEJ IBA AIE ,. 其中，因為 IAB 90 ，由第 3 點可知 IB AB ，所以 1 2. IBA AB IB . 2 1 AB , 2. . . . . . . 1 1 1 AIE IE AE ID ED AC CE AC BC AC BC , 2 2 2 2. 且由第 4 點結論可知：四邊形 E ' KBJ 面積 BC , 因此將上述面積表示式代入，故可得 四邊形 E ' KBJ IBA AIE 2. BC . . . . 2 1 1 AB AC BC AC BC . 2 2. 7. 由第 2 點及第 6 點結論已知兩股的平方分別可改寫成不同的表示式，試圖將兩股 的平方相加，即可推得勾股定理關係式： 2. 2. BC AC . . . . . . 2 2 1 1 1 1 AB AC BC AC BC AB AC BC AC BC 2 2 2 2. AB. . 2. 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Versluys, J. (1876). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 67). Amsterdam: A. Versluys. 2. 心得：此證明是利用面積相等將兩股的平方分別改寫成不同的表示式，將兩式相加 得以推出勾股定理。利用等價的表示式換算，是典型的代數證明之一。. 3. 評量： 國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 29. 美學.
(34) 勾股定理證明-A052 【作輔助圖】. 1. 從 B 點作 AC 的平行線，並在此平行線上取一點 D ，使得 BD 2BC 。 2. 從 D 點作 AB 的垂線，交 AB 於 E 點，如圖一。 3. 另外，取 AH 為 AB 和 AE 的比例中項： 在圖二中，將 AB 延長至 F 點，使得 AF AE ，以 BF 為直徑，O 為 BF 之中點畫圓， 從 A 點作 BF 的垂線，交圓 O 於 H 點，則 AH AB AF AB AE 。. 4. 回到圖一中，在 AC 上取一點 G ，使得 AG AH ，並連接 GE 、 GB 。. C. H. G A. B. E. F. A. B. O. D [. ]. [. ]. 【求證過程】 在直角三角形 ABC 外作輔助線，分別利用「圓的外冪性質」及相似三角形的「對 應邊成比例」性質，推得 EB 邊長的兩種不同表示式，最後將等式整理，推出勾股定 理關係式。. 1. 首先利用 AG 為 AB 和 AE 的比例中項，而推得 AG , EB 邊長表示式： 因為三角形 BDE 為直角三角形，所以外心為斜邊之中點，則以 BD 為直徑，Q 為 BD 之中點畫圓，如下圖。由於 AG . 2. AB AE AG AB AE ，滿足「圓的外冪性 30.
(35) 質」，則 AG 為圓的切線， G 為切點。 C 由 G 為切點，則 QGC 90,. a. A. E. 又ACB 90, 則 QG / / BC ,. a. G. 加上 BC QB QG 的條件， 可知 四邊形GQBC為正方形， 推得. B. a a Q. CG a. D. 故 AG = AC CG b a . 2. 接著，將上式 AG b a 代入 AG AB AE 式子，整理得. (b a)2 c(c EB) c 2 (b a)2 . EB c 2. 證明三角形 BDE 與三角形 ABC 相似，而推得 EB 邊長表示式： 因為 AC / / DB ，所以 CAB EBD ，又 ACB BED 90 ，可推得. BDE ~ ABC (AA 相似). 可知. EB : BD AC : AB EB c 2ab 2ab EB . c 3. 由第 1、2 點推得 EB 邊長有兩種不同方式的表示，利用等式關係，推出勾股定理 的關係式： c 2 b a 2ab c c 2 2 c (b a) 2ab 2. c 2 b 2 2ab a 2 2ab. 31.
(36) 即. c2 a2 b2 .. 【註與心得】. 1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 2 月 28 日想到的。 2. 心得：作此證明的輔助線同時建立兩種概念「圓的外冪性質」及相似三角形的「對 應邊成比例」性質，分別推得圓 Q 中割線 EB 的表示式。但針對其中 AG 為 AB 和 AE 的比例中項，能夠很直覺地想到原來滿足「圓的外冪性質」 ，進一步 求得 AG 表示式這部分實屬不易，因此下方第 4 點補充詳細證明過程，好讓 學生重溫。. 3. 評量： 國中. 高中. ●. 教學. 欣賞. 美學. ●. 4. 補充：圓的外冪性質 令 AP 為圓的一切線，A 為切點。BC 為圓的一條弦，BC 的延長線交 AP 於 P 點， 2. 則 AP PB PC .. A. P. (1) 連接 AB 、 AC (2) 因為PAB ACB (對應到同弧故等角) APB APC (對應到同弧的圓周角相等). B. 所以APB ~ CPA ( AA相似). (3) 可知相似三角形對應邊成比例，所以. C. PA : PB PC : PA 整理得 2. AP PB PC .. 32.
(37) 勾股定理證明-A053 【作輔助圖】. 1. 將 BC 延長，在延長線上取 BD BE AB 。 2. 連接 AD 、 AE 。 3. 以 B 為圓心、 AB 為半徑畫圓。. A. E. B. C. D. 【求證過程】 在圓內接直角三角形裡面形成兩個直角三角形，先證明三角形相似，在利用相似 形「對應邊成比例」的性質推得邊長關係，由半徑相等性質，改寫等式，即可推得勾 股定理。. 1. 首先證明三角形 ACD 與三角形 ECA 相似，推得 AC 為 CE 和 CD 的比例中項： 1 1 180 90 ，所以 DAC EAD EAC 90 EAC 因為 EAD ED 2 2 AEC 且 ACD ECA 90 ，可推得 ACD ~ ECA (AA 相似). 故可知： CD : AC AC : CE ，整理成 2. AC CE CD .. 33.
(38) 2. 由半徑相等性質，改寫上述等式，即可推得勾股定理： 因為 BD BE AB ，所以 CE BE BC AB BC CD BD BC AB BC ,. 將上述等式代回第 1 點等式，即 2. AC CE CD. . AB BC 2. AB BC 2. 2. AB BC 2. , 2. AB BC AC ,. 整理成 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 61). Amsterdam: A. Versluys. 為萊布尼茲（G.W. Leibniz）想出來的。 2. 心得：原證明過程因有誤，故以上述證明呈現，利用以 B 為圓心、 AB 為半徑畫圓， 建立一個圓內接直角三角形的巧思，再由半徑相等性質，利用代數的方法將 相似三角形推得的邊長關係式改寫，證明過程簡單明瞭，認為是一題透過圓 的性質推得勾股定理的經典題。. 3. 評量： 國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 34. 美學.
(39) 勾股定理證明-A054 【作輔助圖】 從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於 D 點，如圖所示。. 【求證過程】 在直角三角形 ABC 內作輔助線，先說明圖中所有的三角形皆相似，利用相似形「對 應邊成比例」的性質推得邊長關係，再利用 CD 為 AD 和 BD 的比例中項，將圖中兩個 直角三角形各兩股邊長的平方相加得到等式關係，再相加並整理而推得勾股定理。. 1. 首先證明三角形 ACD 、三角形 CBD 與三角形 ABC 皆相似： 因為 ADC ACB 90 且 DAC CAB ，可推得 ACD ~ ABC (AA 相似)， 同理， CDB ACB 90 且 CBD ABC ，可推得 CBD ABC ，所以. ACD ~ CBD ~ ABC. 2. 由上述的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係： 由三角形 ACD 與三角形 CBD 相似可知： AD : CD CD : BD ，整理得 2. CD AD BD. 再由三角形 ACD 與三角形 ABC 相似可知： AC : AD AB : AC ，整理得 2. AC AD AB. 再由三角形 CBD 與三角形 ABC 相似可知： BC : BD AB : BC ，整理得 2. BC BD AB. 35.
(40) 3. 利用 CD 為 AD 和 BD 的比例中項，試圖將圖中的兩個直角三角形各兩股邊長的平 方相加整理，最後推出勾股定理的關係式： 2. 由第 2 點可知： CD AD BD ，則 2. 2. 2. 2. 2. 2. . . . . 2. AD CD AD AD BD AD AD BD AD AB AC , 2. BD CD BD AD BD BD BD AD BD AB BC , 將上述兩式相加 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AD 2CD BD BC AC 2. AD 2 AD BD BD BC AC ( AD BD) 2 BC AC 2. AB BC AC , 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：此證明是魯米斯( E.S. Loomis )在 1934 年 3 月 2 日收到的資料，寄件者是 J.Adams 來自於荷蘭海牙，但沒有提供原創作。 2. 心得：此證明與 A001 最簡短的證明一開始概念一樣，僅在直角的點上作垂線，切 出兩個直角三角形，利用母子直角三角形中的比例線段找出兩股邊長的等式 關係，此時，A001 證明是將兩股邊長的平方相加就可得證畢氏定理；而此 證明 A054 是先將圖中的兩個小直角三角形各兩股邊長的平方相加得到兩個 等式後，再相加直角三角形 ABC 的兩股邊長平方和而得證。我想此證明意 味著由小窺大，由圖中小直角三角形滿足勾股定理，推得大直角三角形也成 立。. 3. 評量： 國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 36. 美學.
(41) 勾股定理證明-A055 【作輔助圖】 從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於 D 點，如圖所示。. 【求證過程】 在直角三角形 ABC 內作輔助線，先說明圖中所有的三角形皆相似，利用相似形「對 應邊成比例」的性質推得邊長關係，再利用 CD 為 AD 和 BD 的比例中項，將圖中兩個 直角三角形各兩股邊長的平方相加得到等式關係，再相加並整理而推得勾股定理。. 1. 首先證明三角形 ACD 、三角形 CBD 與三角形 ABC 皆相似： 因為 ADC ACB 90 且 DAC CAB ，可推得 ACD ~ ABC (AA 相似)， 同理， CDB ACB 90 且 CBD ABC ，可推得 CBD ABC ，所以. ACD ~ CBD ~ ABC. 2. 由上述的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係： 由三角形 ACD 與三角形 ABC 相似可知： AC : AD AB : AC ，整理得 2. AC AD AB. 由三角形 CBD 與三角形 ABC 相似可知： BC : BD AB : BC ，整理得 2. BC BD AB. 3. 將上述兩等式相加，並整理等式，即可推得勾股定理的關係式：. 37.
(42) 2. 2. BC AC BD AB AD AB. . . BD AD AB AB AB 2. AB ,. 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 65-66. Legendre A. M. (1858). Elements of geometry and trigonometry (pp. 111-112). New York: A. S. Barnes. Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 86). Amsterdam: A. Versluys. George C. Edwards (1896). Elements of geometry (p. 157). New York: Macmillan. 2. 心得：此證明的輔助圖有相當多的證法，而 A055 的原證明因為有錯誤，所以沒有 呈現，採用魯米斯在《勾股定理》這本書中認為是所有勾股定理證明最簡短 的方式來證，建議學生可同時參閱同樣輔助圖的 A001、A016、A032、A054 證明。. 3. 評量： 國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 38. 美學.
(43) 勾股定理證明-A086 【作輔助圖】. 1. 分別作角 A 與角 B 的角平分線，設兩角平分線之交點為 O ，即為三角形 ABC 之內 心。. 2. 從 O 點作 BC 的垂線，交 BC 於 E 點。 3. 連接 OE ，以 OE 為半徑畫圓交 AB 於 D 點，交 AC 於 F 點，且連接 OF 。. 【求證過程】 在直角三角形 ABC 內作內切圓，利用內心的性質推得邊長關係式，在假設條件下 推得圓半徑與邊長的表示式，由內心到三邊等距計算出三角形面積，故推得假設式成 立，最後推出勾股定理成立。. 1. 首先利用內心的性質，推得直角三角形 ABC 兩股邊長相加的等式關係： 因為圓 O 為直角三角形 ABC 的內切圓，OE 為其半徑，且設 OE r ，可知 D, E , F 為 分別為三邊之切點，則在三角形 AOF 與三角形 AOD 中，因為 AFO ADO 90,. OF OD, AO AO ，所以 AOF AOD (RHS 全等), 推得 AF AD ，同理，可推得 BD BE, CE CF . 又因為 FCE OEC OFC 90, OE OF ，所以四邊形 OECF 為正方形，故 39.
(44) CE CF OE r . 將直角三角形 ABC 兩股邊長相加，可得. BD r AD r . BC AC BE CE AF CF. BD AD 2r AB 2r , 已知 BC a, AC b, AB c ，即. a b c 2r . 2. 將上述等式左右平方，在假設條件下，推得等式 cr ar br ab ： 將 a b c 2r 左右平方，得. c 2r . 2. a b. 2. c 2 4cr 4r 2 a 2 2ab b2 , 假設 4cr 4r 2ab ，整理可得 2. 2r c r ab, 由第 1 點等式可知： 2r a b c ，代入上式. a b c c r ab c a b c r a b c ab c a b c ra rb rc ab c a b c r ra rb ab, 再由第 1 點等式可知： r a b c r ，代入上式，得. cr ar br ab. 3. 利用內心到三邊的距離均相等求得三角形 ABC 面積，說明上式等式成立： 因為 OD OE OF r ，且 OD AB , OE BC , OF AC ，所以. 40.
(45) ABC AOB BOC AOC ab cr ar br 2 2 2 2 ab cr ar br 故第 2 點等式 cr ra rb ab 成立。. 4. 由於假設式 4cr 4r 2ab 成立，推出勾股定理的關係式： 2. 因為第 2 點可知： c 4cr 4r a 2ab b ，又因為 cr ra rb ab 成立， 2. 2. 2. 2. 則假設式 4cr 4r 2ab 亦成立。所以 2. c2 a2 b2 .. 【註與心得】. 1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1901 年 12 月 13 日想到的。除此之外，以下期刊及書籍也有類似的證明： F. L. Sawyer (1901). The Pythagorean Theorem, Mathematical Monthly, 8(12), 258. E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p.94). Paris: Vuibert et Nony. 2. 心得：此證明以及其它紀載的類似證明都建立在三角形的內心到三邊的距離等距 且垂直的性質上，原證明先設立假設，再驗證假設成立，是因透過另一個角 度來證明比較容易，是一個方法，但此證明若善用一些代數技巧，其實可以 更快推得勾股定理，譬如：因為 a b c 2r ，等式兩邊同乘上 a b c ， 則. a b c a b c a b c 2r 2ABC面積 a b . 2. c 2 2ab. 2 2 2 整理得 c a b ，即可推得。鼓勵學生閱讀此證明後嘗試用不同的角度來. 推論此證明。. 41.
(46) 3. 評量： 國中. 高中. ●. 教學. 欣賞. ●. ●. 美學. 4. 補充：為何利用角平分線的交點來求三角形的內心? 依角平分線性質「在角平分線上的任何點到該角的兩邊等距離」，而三角 形的內切圓必滿足三角形的三邊恰與圓相切，故內心到三角形的三邊的距 離就是內切圓的半徑(圓的半徑等長)。 因此「內心的性質」為： 因為三角形的內心就是內切圓的圓心，所以內心到三邊的距離就是三角形 內切圓的半徑，故內心到三邊的距離均相等。. 42.
(47) 勾股定理證明-A087 【作輔助圖】. 1. 分別從 A 點作 CB 的平行線，從 B 點作 CA 的平行線，且兩平行線交於 D 點。 2. 分別作角 A 與角 B 的角平分線，且兩角平分線之交點為 O ，即為三角形 ABC 之內 心。 3. 從 O 點作 AB 的垂線，交 AB 於 G 點，並以 OG 為半徑畫圓，分別交 AC 於 E 點，交 BC 於 F 點。. 4. 連接 OE 且延長，分別交 AB 於 H 點，交 BD 於 I 點。 5. 連接 OF 且延長，分別交 AB 於 J 點，交 AD 於 K 點。. 【求證過程】 在直角三角形 ABC 內作內切圓，由內心的性質推得圓外一點對圓作切線的兩切線 段等長，將大矩形 ADBC 拆成面積相等的兩部分，利用面積相等及代數運算，推得勾 股定理的關係式：. 1. 首先利用內心的性質，推得圓外一點對圓作切線的兩切線段等長： 因為圓 O 是直角三角形 ABC 的內切圓，且 E , F , G 為切點，則在三角形 AOE 與三角. 43.
(48) 形 AOG 中，因為 AEO AGO 90, OE OG, AO AO ，所以. AOE AOG (RHS 全等), 推得 AE AG ，同理，可推得 BF BG , CE CF ，即圓外一點對圓做切線的兩 切線段等長。. 2. 說明四邊形 ADBC 、 AKOE 、 OIBF 為矩形，四邊形 CEOF 為正方形，並且將直角 三角形 ABC 三邊長用切線段長表示： 因為 AD / / CB , BD / / CA ，且 ACB 90 ，由平行線性質推得四邊形 ADBC 為矩形， 四邊形 AKOE 與四邊形 OIBF 皆為矩形。 因為 FCE OEC OFC 90, OE OF ，所以四邊形 CEOF 為正方形，故. CE CF OE. 已知 BC a , AC b , AB c ，以及 AE AG p, BF BG q, CE CF r , 可得 a q r, b p r, c p q .. 3. 證明三角形 ABD 面積與矩形 OKDI 面積相等： 因為 AJK OJG, AKJ OGJ 90 且 AK OE OG ，所以 AJK OJG (AAS 全等),. 因為 BHI OHG, BIH OGH 90 且 BI OF OG 所以 BHI OHG (AAS 全等),. 所以可推得 ABD . OKDI .. 4. 最後矩形 ADBC 拆成面積相等的兩部分，將等式整理，推得勾股定理的關係式： 1 2. 因為矩形 OKDI 面積 ABD 面積 矩形 ADBC 面積，所以. AKOE CEOF OIBF ADBC OKDI 1 ADBC , 2 44.
(49) 故可得. OKDI AKOE CEOF OIBF , 即 pq pr r 2 qr, 2 pq 2 pr 2r 2 2qr ,. 將等式兩邊同乘上 2 倍： 再將等式兩邊同加上 p 2 q 2 ：. p 2 2 pq q 2 p 2 +2 pr 2r 2 2qr +q 2 p 2 2 pq q 2 ( q 2 2qr r 2 ) ( p 2 2 pr r 2 ) ( p q )2 (q r )2 ( p r ) 2. 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：根據《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是由荷蘭海牙的 J.Adams 在 1934 年 3 月 2 日寄給魯米斯的。. 2. 心得：此證明運用圓外一點對圓作切線的兩切線段等長性質，利用輔助線作矩形， 在大矩形中切割成面積相等的兩部分，再將等式推導到畢氏定理。而此證明 透過代數運算的過程閱讀當下是容易理解的，但建議日後回過頭試著自行思 考如何推演到勾股定理，是很棒的思考練習。. 3. 評量： 國中 ●. 高中. 教學 ●. 45. 欣賞. 美學.
(50) 勾股定理證明-A088 【作輔助圖】 1. 以 AC 為直徑畫圓，且交 AB 於 D 點；接著以 BC 為直徑畫圓。. 2. 連接 CD 。. 【求證過程】 以直角三角形 ABC 兩股為直徑畫圓，連接交點後使得裡面形成兩個直角三角形， 先說明圖中所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾 股定理的關係式。. 1. 首先說明 CD 垂直於 AB ，使得三角形 ACD 與三角形 CBD 分別為圓內接直角三角 形：. 1 1 AC 180 90 ，即 CD AB 。 2 2 (於註與心得：第 4 點補充，提供另一種證明。). 因為 AC 為直徑，所以 ADC . 因為 CDB 90 ，故以 BC 為直徑畫圓，則必過 D 點，故三角形 CBD 為圓 O2 內接 直角三角形。. 2. 證明三角形 ACD 、三角形 CBD 與三角形 ABC 皆相似： 因為 ADC ACB 90 且 DAC CAB ，可推得 ACD ~ ABC (AA 相似)， 同理， CDB ACB 90 且 CBD ABC ，可推得 CBD ABC (AA 相似)， 46.
(51) 所以. ACD ~ CBD ~ ABC. 3. 由第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係： 由三角形 ACD 與三角形 ABC 相似可知： AC : AD AB : AC ，整理得 2. AC AD AB. 由三角形 CBD 與三角形 ABC 相似可知： BC : BD AB : BC ，整理得 2. BC BD AB. 4. 將上述兩等式相加整理，推出勾股定理的關係式： 2. 2. BC AC AB BD AB AD. . AB BD AD. . AB AB 2. AB ,. 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.161). New York : Macmillan and co. 亦出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(4), 11. J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 45. 2. 心得：此證明與 A001 最簡短的證明概念是一樣的，差別在 A001 是從 C 點作垂線， 而此證明 A088 是以兩股邊長為直徑畫圓然後連接交點，兩者作輔助圖完後， 皆使得直角三角形 ABC 內形成兩個直角三角形。但根據備註寫道另一種證 明(於第 4 點補充)，基於此證明的輔助圖，利用「圓的外冪性質」，似乎更 47.
(52) 合適搭配此證明的輔助圖。. 3. 評量： 國中. 高中. ●. 教學. 欣賞. ●. ●. 美學. 4. 補充： (1) 圓形中，直徑所對的圓周角必是直角： 因為 AC 為為直徑，則連接圓心 O 點到 B 點也是半徑，形成了兩個等腰三角 形， OAB OBA OCB OBC . OAB OBA OBC OCB 2 2 180. ABC 90.. (2) 圓的外冪性質： 令 AP 為圓的一切線， A 為切點。 BC 為圓的一條弦， BC 的延長線交 AP 於 P ， 2. AP PB PC.. 則 A. P. (1) 連接 AB 、 AC (2) 因為PAB ACB (對應到同弧故等角) APB APC (對應到同弧的圓周角相等). B. 所以APB ~ CPA ( AA相似). (3) 可知相似三角形對應邊成比例，所以. C. PA : PB PC : PA 整理得 2. AP PB PC . 48.
(53) (3) 根據 A088 此證明備註寫道，提供以下另一種證明： 因為 ACB 90 ， BC 為圓 O1 的一切線， AB 為圓 O1 的一條弦，則 2. BC BD AB. 同理，因為 ACB 90 ， AC 為圓 O2 的一切線， AB 為圓 O2 的一條弦，則 2. AC AD AB. 將上述兩等式相加整理 2. 2. BC AC AB BD AB AD. . AB BD AD AB AB 2. AB .. 即推得勾股定理的關係式。. 49. .
(54) 勾股定理證明-A089 【作輔助圖】. 1. 分別以 AC 、 BC 為半徑畫圓。 2. 將 AB 延長，分別交圓 A 於 D 、 F 點、交圓 B 於 E 、 G 點。 3. 連接 CD 、 CE 、 CF 、 CG 。. 【求證過程】 以直角三角形 ABC 兩股為半徑畫圓作輔助線後，先證明圖中的相似三角形，利用 的「對應邊成比例」性質推得兩股邊長的等式，將兩股平方和相加並整理，來推出勾 股定理的關係式。. 1. 首先證明三角形 BCF 與三角形 BDC 相似，推得邊長關係： 1 BDC ，可推得 BCF BDC (AA 相似)， 因為 CBF DBC 且 BCF CF 2 故可知： BC : BF BD : BC ，整理得 2. BC BD BF . 由上述 BC 為 BD 和 BF 的比例中項，可知滿足「圓的外冪性質」 。. 2. 接著證明三角形 ACE 與三角形 AGC 相似，推得邊長關係： 50.
(55) 1 AGC ，可推得 ACE AGC (AA 相似)， 因為 CAE GAC 且 ACE CE 2 故可知： AC : AE AG : AC ，整理得 2. AC AG AE. 由上述 AC 為 AE 和 AG 的比例中項，可知滿足「圓的外冪性質」 。. 3. 將上述兩等式相加整理，推出勾股定理的關係式： 2. 2. BC AC BD BF AG AE. AB BE AB AC AB AC AB BC AB BC AB AD AB AF AB BG. 2. 2. 2. AB AC AB BC 2. 2. 2. 2 BC 2 AC 2AB. 整理成. 2. 2. 2. 2. AB BC AC , 即. c2 a2 b2 . 【註與心得】. 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 5(4), 12. J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 45. 根據備註寫道期刊證明要比此證明 A089 更困難些。. 2. 心得：此證明是利用三角形相似推得兩股邊長的等式，滿足圓的外冪性質，再利用 半徑相等的代數方法，即可推得。此證明與 A088 相似，基於輔助圖直接利 用「圓的外冪性質」角度來論證，似乎更合適搭配此證明的輔助圖。. 3. 評量： 國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 51. 美學.
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