勾股定理的介紹

勾股定理是一個歷史悠久的幾何定理，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃 及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究，在國內命名上又稱「商高定理」、「陳 子定理」。在中國文獻中，最早是在一本名為《周髀算經·趙君卿注》古書上記載 著勾股定理的存在。另外也曾有人主張叫做「商高定理」，理由是中國在商高時 代（約公元前1100 年）已經知道「勾廣三、股脩四、徑偶五」的關係，並且早 於畢達哥拉斯時代。也有人認為商高發現三角形邊長3：4：5 能構成直角三角形，

僅僅是特例，到陳子才提出了一般化的定理，故應稱為「陳子定理」。後來決定 不用人名而稱為「勾股弦定理」，最後確定叫「勾股定理」，因為有勾股就必有弦，

故弦字可以省略。

然而在西方國家將勾股定理稱之為「畢氏定理」(Pythagorean theorem)，即 指古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras,約西元前 580-490 年），相傳畢達哥拉 斯發現這個定理後，宰了100 頭牛來慶祝，故「畢氏定理」又稱「百牛定理」。

不過對於勾股定理的最早發現，歷史上其實並無確實的記載，也沒有留下任何的 證據讓我們相信畢達哥拉斯是首位完成此證明的人，只是早期許多學者認為是畢 達哥拉斯最早發現的，或至少是最先證明它的，並且許多人已經習慣這個名稱，

故沿用至今。在希臘最早有關勾股定理的紀載是出現在歐基里得（Euclid，約西 元前330-275 年）所編寫的《幾何原本》中的第一卷命題 47，並且他在第六卷命 題31 再給了另一個不同的證明，而歐幾里得在為其著作《幾何原本》做註解時 仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。

追溯西方歷史的發展，在畢達哥拉斯之前，已有間接的證據顯示這定理可能 早已為人所知，譬如，現收藏於耶魯大學的巴比倫石版，以及透過一塊巴比倫泥 板，發現了巴比倫人在約西元前1900-1600 年時已經知道至少 15 組勾股數。而 人們對於勾股定理的巴比倫證法的了解最詳細是來自於被珍藏於大英博物館中 的，運用大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，如右下圖(a)，但如果

此正

小勤

lisha Scott 也很早顯露

第三節 魯米斯的著作－《勾股定理》

(The Pythagorean Proposition)

由魯米斯所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)搜集且分類了 勾股定理的371 種證明，此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可供下 載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元1940 年做了修改後出版。

魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自歐洲中世紀時期，學 生想要獲得數學碩士學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明，所以勾股 定理在當時就有著大量的證明，但都較為零散，直到魯米斯將當時所有的證明整 理成書。

《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西 (Leonardo da Vinci )、托勒密( Claudius Ptolemaeus )、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz )、荷 蘭物理學家惠更斯( Huygens )的證明、美國總統所提供的梯形證法，還有盲眼女 孩庫力茲( E. A. Coolidge )，及 16 歲的高中女生安 康地( Ann Condit ) … 等經典 的證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能 已無法考據。這本書也穿插了12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、笛卡兒、哥白 尼、伽利略、牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，簡言之，這是數學史上名聲顯赫 之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。

而這本書在出版之後，又有許多的新證明被提出，至今關於勾股定理的證明 已有400 多個，而且持續增加中。另外伯果摩爾尼( Alexander Bogomolny )在他 所建立的網站「勾股定理和它許多證明」( http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ) 收集了許多精彩的證明，他不只收集了魯米斯書中美妙的證明，也有許多被新提 出勾股定理證明。

三個

版本

版本

第三章 勾股定理的證明分類

在悠久的數學史裡，至目前為止，勾股定理已是數學定理中證明方法最多的 定理之一，儘管如此仍有許多人努力探究是否還有其它方式可以證明，而這些所 有的證明引發我們的深思，關於勾股定理的證明已相當完整且豐富，因此勾股定 理的分類一般而言可以分為三種：

1. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47 (附圖 3.0.1)，收錄在魯米斯《勾 股定理》的G033，主要由面積相等的概念來證明。

(魯米斯《勾股定理》這本書中以代號 A 表證明歸類於代數證明，G 表證明 歸類於幾何證明。)

  圖3.0.1 第一卷命題 47 的證明

2. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31 (附圖 3.3.2)，運用了 相似三角形的成比例性質，證明方式傾向代數操作，亦收錄在《勾股定理》

的A001。

  圖3.0.2 第六卷命題 31 的證明

3. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之 為「出入相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》A034 及 G127，在印度 則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII)為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》A034 及G225。

在 14 世紀至 17 世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發展，除了 算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的產生，及 在研究力學的過程中微積分的發展等，從歷史的脈絡我們可知，數學從古至今便 一直不斷地延展，甚至在與科學的相互作用下，數學工具如雨後春筍般蓬勃發展，

此時勾股定理的證明方法也隨之延伸發展，關於勾股定理的證明，一直到此時此 刻可能都還不斷地發現中，因此有別於文藝復興前，我們以現代的數學工具（或 領域）將數百個勾股定理證明分類如下：

1. 代數證明(包含前述比例證法)

2. 幾何證明(包含前述的「面積證法」與「弦圖證法」) 3. 向量證明

4. 數列與級數的證明 5. 三角證明

6. 動態證明(使用物理知識證明) 7. 微積分證明

其中上述第1 到第 5 種證明分類，皆屬於目前我們國家的中學生學習範圍內。

第一節 魯米斯《勾股定理》的證明分類

在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了371 個關於勾股定理不同的證明，

並粗略的將勾股定理分成四個種類的證明，如下：

1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。

2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎，意味著空間的概念。

3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。

4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。

由於第3 種及第 4 種證明是從「幾何」的證明所分出來的，而且裡面內容 較少，所以這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明，而書中也特別 提到，因為三角函數的基本公式是根據勾股定理的真實性，即cos²xsin²x 1 這個等式是由勾股定理而來，是先有勾股定理才有三角函數的，因此為了避免循 環論證，所以在此不會有與三角函數有關的證明(Trigonometric proof)。

第二節 代數證明與幾何證明的區分

然而魯米斯在這本書中，區分代數與幾何的標準並不明確，似乎是根據以下 兩種證明方式做大方向的區分：「代數」證明方式主要是藉由代數運算，推論方 向是顯示a²b²  （看成是純粹的代數表示式），以及延伸至直角三角形三邊c² 上的相似形面積比關係能滿足兩股平方和等於斜邊長的平方；「幾何」證明則是 如同畢達哥拉斯理解的，透過圖形間割補重組的操作，比較直角三角形斜邊上的 正方形面積和另外兩股為邊的正方形面積。

為了能夠較明顯的分辨「代數」與「幾何」的差異，以下舉兩個例子，方便 大家理解：第一個例子是在魯米斯《勾股定理》這本書中的「代數」A050 及「幾 何」G233 的證明，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：

【作輔助圖】

1. 將BC延長至D點，使得CDAC。

2. 從D點作AB^{的垂線，交}AB^於E點，交AC於F 點。

3. 連接AD及BF。

BCF ACD ABD ABF

BC CF AC CD AB DE AB FE

即

即

2 2 2

c a b .

從上面「幾何」的證明方式為透過不同的切割法計算圖形的面積來證明。

接下來第二個例子的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明，

在魯米斯《勾股定理》這本書中，分別是「代數」A034 及「幾何」G225 的證明，

首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖：

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向內作正方形ABDE_。

2. ^在正方形ABDE裡取一點F，使得DF  AC且EF BC_。 3. ^將BC延長，交 DF 於G點，將 EF 延長，交AC於H_點。

A B

C

D E

F H G

圖3.2.4 婆什迦羅的證明圖

接下來的A034 求證過程，是利用上圖並使用「代數」的證明方法來說明：

【A034 的求證過程】

1. 首先證明三角形ABC與三角形DEF、三角形EAH、三角形BDG皆全等：

因為DF  AC, EF BC又 AB DE ，所以可推得 DEF ABC

   (SSS 全等).

又因為EAH    90 BAC ABC_, AEH 90 DEF EDF BAC

         ，且 EA AB，所以可推得 EAH ABC

   (ASA 全等).

同理，可推得BDG ABC，由此可知：

2. 說明四邊形CGFH為正方形：

ABDE AEH BDG DEF ABC CGFH

c ABC AC AH

同步

將三角形A

步驟，再將

AEH 固定A

圖

將三角形 DE

A點旋轉，

圖3.2.6 將

EF 固定 D

圖3.2.7

並將 AE 與

將三角形AE 點旋轉，並

將三角形

與 AB 重合(

EH旋轉 並將DE與

形DEF 旋轉

(圖 3.2.6)：

DB重合(圖

轉

圖3.2.7)：

3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形：

延長 FH 作輔助線 HI ，如下圖 3.2.8：

圖3.2.8 拼湊出來的圖形

因為ABC  ABH' BDG BDF'，所以矩形ACBH'與矩形BGDF' 的長與寬皆為AC與BC，因為FG



BI



AC



BC，推得

 

'

AH



IH



AC



AC



BC



BC，所以

四邊形AHIH

'

是邊長為BC的正方形；

同理，因為^DF

^

^IF

^{' }

^BC

^ 

^AC

^

^BC

 ^

^AC，所以

四邊形DFIF

'

是邊長為AC的正方形。

4. 最後整理第 3 點的結果，來推出勾股定理的相關式：

因為正方形ABDE是邊長為

AB

的正方形，經過拼湊後會拼湊成正方形

'

AHIH 與正方形AFIF

'

，所以整理得

2 2 2

' '

C + ,

ABDE AHIH DFIF

AB B AC

 



  

即

2 2 2.

c a b

從上面的例子可以發現，「代數的」證明就是利用已知的條件，來證明

2 2 2

a b  這個等式，而「幾何的」證明則是要證明兩股為邊形成的正方形c 面積，會等於斜邊上的正方形面積。

第三節 代數證明與幾何證明分類

魯米斯在《勾股定理》這本書中，除了前述四大分類外，又將109 個「代數」

的證明進一步分成七種類型，256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類 型，以下我們分別介紹魯米斯《勾股定理》中的「代數」證明與「幾何」證明：

代數證明的分類，有以下七種類型：

1. 相似的直角三角形：

這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係，藉由對應邊成比例性質 來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角

這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係，藉由對應邊成比例性質 來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角

在文檔中 勾股定理證明在中學教材的初探 (頁 7-0)