以整體性灰關聯分析建構概念關係圖

本節將說明應用整體性灰關聯分析來建構概念圖。構圖流程中(如圖 3.2)，教師需在測驗前決定測驗題目包含的概念以便學習者受測後根據灰關

聯分析建構出概念圖。當建立概念圖後，教學者可以視學習者學習能力的 不同而調整建構概念圖的門檻值以達到適性化的目的。

開始

測驗是 否結束

是 否

教師決定題目 測驗 包含概念

利用灰關聯分析 建構概念圖

建立每位學生 學習補救路徑

結束 開始

測驗是 否結束

是 否

教師決定題目 測驗 包含概念

利用灰關聯分析 建構概念圖

建立每位學生 學習補救路徑

結束

圖3.2 構圖流程

概念圖的建構流程約略可分為五個步驟，首先於測驗前決定每一測驗 題包含的概念，然後計算每一單一概念錯誤率來當作學生答錯概念的訊息 量，接著以整體性灰關聯分析法來針對每一概念序列進行比較並保留比較 過後的概念訊息，最後建構出概念圖，各步驟簡略說明如下。

Step 1，教師指導在該次測驗中的測驗題目需包含的概念。

Step2，計算每位學生在該次測驗中的概念答錯率。

Step3，介紹如何以灰關聯分析的方法求得出概念與概念之間的灰關聯測度。

Step4，以灰關聯系統程式計算整體性灰關聯分析。

Step5，將所得之概念關係繪製成概念關係圖。

下列我們將針對各步驟詳述說明。

Step1 測驗題所包含的概念

此時教師並不需要知道概念與概念的存在關係，只需指定測驗題目應 包含哪些概念，另外亦可以加入客觀權重參數值以凸顯部份概念的重要 性，試題包含概念如表3.2 所示：

表3.2 概念被包含於測驗題題數 (C_i：概念；Q_j：測驗題數)

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 SUM

C1 1 1 1 1 4

C2 1 1 2

C3 1 1 1 1 4

C4 1 1 2

C5 1 1 1 1 4

C6 1 1 1 3

C7 1 1 1 3

C8 1 1 1 3

C9 1 1 2

C10 1 1 2

教師可以數值”1”或勾選方式來表示該題的測驗題目Q_i是否包含概念

C_j，”0”則表示該概念未包含於該題測驗中，最後則統計每一概念在該次測 驗裡總共被包含在幾題測驗題中。本研究有別於一些教師主觀認定概念權 重的方法，所以我們採用與廖浚宏[51]”是否有關係”來表示題目中包含哪些 概念。

Step2 概念錯誤率

在步驟 2 裡我們利用傳統方法[6][7][51]計算每一概念在該次測驗中每 一位學生答錯的錯誤率。概念錯誤率範例如表 3.3 所示：

表 3.3 學生對概念之答錯率 (C_i：概念；S_j：學生)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 CRj

C1 0.25 0.25 0.5 0.5 0 0.5 1 0.5 0.75 0 0.425 C2 0 1 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.300 C3 0 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.325 C4 0 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.150 C5 0.25 0.5 0.75 0.25 0 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.450 C6 0.33 0.33 0 0 1 0.33 0 0.33 0.33 0.67 0.332 C7 0.67 1 0.33 0 0.33 0 0.67 0.33 0 0.33 0.366 C8 0 0 0.33 0.33 0.33 1 0.67 0.67 0.67 0 0.400 C9 0 0 0 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.200 C10 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0.200 表中有數值的部份即為學生於該次測驗中，對單一概念的答錯率。假 設學生S₁答錯了包含概念題目Q₁與Q₄，則該學生在概念C₁的答錯率為，

25 . 4 0 ) 1

( C

1 _S1

= = P

0.25 表示S₁學生在該次測驗中對於概念C₁的測驗答錯率，因為題目Q₁與Q₄只 包含了 1 個C₁概念，而C₁總共出現四次，所以計算結果S₁學生對於概念C₁的 受測結果將會有 0.25 的機率答錯。此一計算方法可以保留所有學生對所有 概念的答錯率，而不只是探討單一概念在該次測驗中被答錯的總錯誤率。

如此即能保留學生對概念之間的所有訊息。

Step3 灰關聯分析

本步驟將介紹如何應用整體性灰關聯分析的方法建構出概念圖。灰色 理論[52]定義整體性灰關聯分析裡任一個序列 均可做為參考序列，再進 行灰關聯分析方法即能保留每一個概念間影響程度的資訊以有利於建構不 同學習能力的學生概念關係圖。假設某次測驗包含了n個概念(C

) (k x_i

1, C₂, C₃, … , C_n)，我們先以C₁為參考序列，來比較C₂, … , C_n序列；再以C₂為參考序列，

C₁, C₃, … ,C_n為比較序列，以此類推將每一概念當為參考序列以得到整體性 灰關聯分析的結果。且研究中採用翁慶昌[37]的灰關聯係數來決定概念關係 程度，如式(4)：

ς

γ ⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

∆

−

∆

∆

−

= ∆

min max

max

( )

)) ( ), (

( k

k x k

x

_{i j} ^ij (4)

其中，ς採傳統方法為 0.5，i = 1, 2, 3, … , m， k = 1, 2, 3, … , n，辨識係數

] 1 , 0

∈(

ς 是為了加大灰關聯係數的差異，可視情況調整。由數學證明中得知，

辨識係數只會影響其計算結果大小，灰關聯度的排序則不會產生變化[50]。

|為 與 之間差的絕對值，且 )

( ) (

| )

(k x_o k x_i k

oi = −

∆ x_o(k) x_i(k)

| ) ( ) (

| min min )

( min

min

min k x

_o

k x

_i

k

k oi i

k

i

∆ = −

=

∆

∀ ∀ ∀ ∀

| ) ( ) (

| max max )

( max

max max

k x

_o

k x

_i

k

k oi i

k

i ∆ = −

=

∆ ∀ ∀ ∀ ∀ ，

由式(4)可看出與鄧聚龍[52]的灰關聯係數的計算式不同，雖然兩式的結果均 落於(0,1)區間，但傳統的計算方法會產生灰關聯係數值分佈不均勻的情 況，如選擇愈接近 1 的辨識係數，則灰關聯係數的計算結果將集中於 0.5~1 之間(見圖 3.3)，

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

圖3.3 灰關聯係數之影響關係圖(鄧)

雖然不同辨識係數的選擇會產生相異的灰關聯度值，但其結果的灰關聯序 並不會受到影響，其間的差異僅在於灰關聯係數是否能達到較不固定的分 佈，以維持其合理性及避免傳統計算方法產生灰關聯係數壓縮的情形，其 計算之灰關聯係數分佈如圖3.4。

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

5 .

=0 ς

=2 ς

=5 ς

=10 ς

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

5 .

=0 ς

=2 ς

=5 ς

=10 ς

圖3.4 灰關聯係數之影響關係圖(翁)

另外在研究中假設每一概念預設重要程度均相同，所以若取灰關聯係 數的平均值為灰關聯度計算，則

k m

= 1

β ，k=1, 2, … ,m，如式(5)，

∑

=

=

^m

k

j i

j

i

x k x k

x n x

1

)) ( ), ( 1 (

) ,

( γ

γ

(5)

上式結果可得到該次測驗中全部概念間的灰關聯度數值，然後即可依據灰 關聯度的大小進行排序以得到每一概念間彼此影響的關係程度。

Step4 灰關聯系統程式

灰關聯系統程式是由黃宜豊、溫坤禮等教授所開發。利用視覺化使用 者介面方便使用者在灰關聯分析應用上的實驗操作。此程式可透過局部性 灰關聯分析與整體性灰關聯分析完整保留、顯示灰關聯分析過程中所產生 灰關聯係數、灰關聯測度及快速建構出灰關聯序以瞭解實驗模型是否合 理，其方便操作的介面以及彈性的選項功能是本研究中採用此程式之原

因，其系統畫面如圖 3.5 所示。

圖3.5 GreyRelation v1.1 Step5 繪製概念圖

利用灰關聯系統程式所產生之灰關聯序進行概念圖之繪製。由門檻值 決定出各概念的影響訊息，並以有向邊指向其它被影響的概念是哪些。在 概念圖的結果呈現可能為雙向的，概念與概念的雙向影響在意義的解釋上 是不同的，因為概念是強調有學習先後順序的，所以我們需要保留所有概 念的訊息量。圖 3.6 表示概念C₁影響概念C₂、C₃…且C₂與C₄概念代表概念關 係程度皆大於門檻值之下而呈現的雙向影響。

C

₁

C

₃

C

₂

C

₄

C

₇

C

₆

C

₅

C

₈

C

₉

C

₁₀

C

₁

C

₃

C

₂

C

₄

C

₇

C

₆

C

₅

C

₈

C

₉

C

₁₀

圖 3.6 繪製概念關係圖

步驟 4 所產生之灰關聯度代表概念間影響的訊息量，我們可依據學生 學習能力的不同給予適當的門檻值來決定該次測驗中概念圖的建構。學生 可透過此概念圖探討其學習補救路徑，教師可透過此概念圖進行補救教學 與調整教學設計與方法。

在文檔中 碩士 論 文 資訊管 理 系 朝陽科技大學 (頁 46-54)