第四章 概念相關指標法
4.1 概念影響關係
7 / 10 2 / 7
10 / 2 )
( ) ) (
| (
5 5 4 5
4 ∩ = =
= P C C C C P
C
P 的低相關性，這也說明在條件機率理論中
被影響的該概念答錯率愈高，結果會造成兩概念之間的關係程度愈低，同 時更失去了以兩概念答錯率來探討概念影響關係程度的意義，因為我們期 望能利用學生對於彼此概念的瞭解程度來找出概念間的關係程度，而不單 是以被影響概念的答錯率來決定其概念關係。所以條件機率只擷取兩概念 之間同時被答錯的結果來當成概念間的關係程度是不夠的，當一位學生同 時答錯兩個概念時有兩種意義，一種是學生的程度較低所以答錯了所有概 念，另一種是可能此兩個概念難度較高以致於學生不容易答對，但不管如 何這兩種結果對於學生的補救方式均無明顯的幫助，如表 4.1 中概念C1與 C2所示，如果是以條件機率的方法這兩個概念將是呈現無相關的狀態，因 為所有學生並沒有發生同時答錯概念的情況，但是真實的情況卻是全部學 生均答對了C1概念而全部答錯C2概念，這也說明所有學生對於C1、C2概念 的學習順序完全支持(C1ÆC2)，在這種學生一致答題結果的情況下C1與C2概 念應該具有某種程度的關係存在才合理，而不應該是像條件機率所呈現的 無相關性，表 4.1 為 10 位學生對 8 個概念的答題狀況，
表4.1 學生答題狀況 (○：答對，X：答錯)
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 C1 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
C2 X X X X X X X X X X
C3 ○ X ○ X ○ X ○ X ○ X C4 X ○ X ○ X ○ X ○ X ○ C5 X X ○ X X X ○ X ○ X C6 X ○ ○ X X ○ X X X X C7 ○ ○ X ○ X X X ○ X X C8 ○ X X X ○ X X ○ ○ ○
灰關聯分析的方法則是去除學生同時答對或答錯概念的部份，公式(4)
ς
γ ⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧
∆
−
∆
∆
−
= ∆
min max
max
( )
)) ( ), (
( k
k x k
x
i j ij 中的( )
k∆ij 是計算學生在有答對、答 錯的情況下兩概念之間的差距值，雖然這樣的方式可以表現出兩概念在答 題過程中的差異程度，但我們也發現了一些限制，如果在測驗當中概念只 出現一次的話將會影響灰關聯係數的計算，∆ij
( )
k 表示兩概念的差值，所以 當概念只有出現一次其答題結果如答對、答錯的狀態，其灰關聯係數將會 為 0，反而是同時答對、同時答錯的狀態計算結果為 1，同理可證，如果兩 個概念呈現極值的狀況時(一概念全部被答對、一概念全部被答錯)，依灰關聯分析的計算方式將無法解釋。
條件機率和灰關聯分析計算的概念關係程度並不能真正代表概念與概 念的關聯性，其計算結果只能表示概念與概念之間難易差距，所以採用這 兩種方法來當作概念之間的關係計算不盡合理。所以，我們以學生的答題 結果更深入探討概念與概念的相關性，並以不同的角度來考量以期得到更 好的解釋。當學生答對某個出現在每一測驗題的概念時，它代表著學生的 程度比較好或是該概念比較簡單兩種意義；反之當學生答錯時即表示該學 生的程度比較差或概念比較困難，所以當我們要探討概念與概念之間的相 關性時是無法從這種同時答對與答錯的情況下得到結果，比較有意義的反 而是對概念有答對與答錯的情況，換言之當一位學生答對Cx概念而答錯Cy 時，我們可以簡單假設對這位學生而言Cx相對於Cy是比較簡單的概念；當 然也很可能對另一位學生而言Cy反而較Cx是簡單的，但是如果大部份的學 生都呈現Cx相對於Cy是比較簡單的概念這樣的情況時，我們即可以較客觀 的認定在該次測驗中Cx是比Cy較容易學習的概念，而且在這種一致性的狀 況下我們可以說明Cx與Cy兩概念具有部份程度的相關性，所以在進行學習 補救順序時，應該先學習概念Cx再學習Cy較具合理性，我們即是從這個角 度為出發點來更深入說明難易度計算中可能包含的概念相關性。我們定義 了概念相關指標法來加強統計理論與灰色理論在解釋概念間關係程度的不 足之處，表 4.2 為 10 位學生對於概念Cx與Cy的答錯率，此兩個受測概念均
屬於中等困難度(被答錯率分別為 0.45、0.4)，中等困難度的概念意謂較能 表達學生對於概念瞭解程度的結果，避免受測概念極端的困難或容易導致 學生發生全部答對或全部答錯的情況。從表中我們得知對Cx概念來說，學 生S1、S2、S3、S7、S10等五位學生覺得學習該概念是比較困難的；但其餘五 位學生卻認為Cy反而是較困難學習的概念，所以在此消彼長的情況下，我 們很難去確切說明這兩個概念在學習補救路徑上的學習順序，因為這10 位 學生呈現出不一致的支持結果，換言之，此兩個概念在學習補救路徑上代 表的相關性將會非常的小。
表 4.2 概念答錯率 (Ci：概念；Sj：學生)
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 CRj
Cx 0.25 0.5 0.75 0.25 0 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.450 Cy 0 0 0.33 0.33 0.33 1 0.67 0.67 0.67 0 0.400
如上所述，我們提出概念相關指標法期望以學生對於概念答錯率的結 果關係來表達概念與概念之間在學習補救路徑上的相關性程度，並發展一 公式來說明其關係：
∑ ∑
−
= −
|
|
) (
ik ij
ik ij
jk
E E
E R E
(6) Eij：第i位學生第j個概念的答錯率
Eik：第i位學生第k個概念的答錯率 Rjk：概念j與概念k的相關性程度
其中Rjk為表示-1~1 之間的值，當結果為 0 時代表這兩個概念彼此之間沒有 相關性，因為在兩個概念的被答錯率相同時正說明著學生對於概念學習順 序的支持並不一致，而支持度達到混沌無法辨識時我們可以把這兩個概念 當成彼此無相關處理，換句話說，愈無法得到兩概念間明確的學習順序支 持，此兩概念的相關性程度就愈趨近於 0；當Rjk為 1 時即表示學生對於兩 概念的學習順序是達到完全一致的支持，所以在這種情況下兩個概念的學 習順序即會是完全的正相關，正相關是表示全部學生對於概念Cj的答錯率總 和大於Ck的答錯率總和，更代表著Ck相對於Cj來說是比較簡單的概念，而我 們探討的是學習概念補救的順序，所以應該從較簡單的概念開始進行補 救，故如果採用本公式的結果為正相關，則概念的學習順序為CkÆCj，同理 當Rjk為-1 時，即是學習順序為CjÆCk的完全負相關。公式(6)中分子表示所 有學生對於概念Cj、Ck學習順序的支持度總和，意謂著如果每位學生對於兩 概念的難易支持愈明顯愈會成立Cj與Ck概念之間的相關性；分母則為所有學 生對於兩兩概念之間的難易度距離計算，當支持度的總和愈接近概念的距 離時所表現出來的相關性也會更明顯，接著我們依表 4.1 設計四種情況來比 較條件機率、灰關聯分析法與概念相關指標法不同之處，
(1) 情況一，概念答錯率發生極值
如表 4.1，C1與C2所示在概念答錯率產生極值的情況下(答錯率為 0 或 1) 條件機率呈現絕對無相關性(P(C1|C2)=0、P(C2|C1)=0)，但以我們的
方法而言，這代表所有人完全支持學習順序是由C1ÆC2(R1,2 = -1)，因 為對學生來說C1是極端的容易；而C2是極端的難，所以我們的方法在 這裡可以合理的解釋這種情況，也說明這樣情況是具有存在意義的。
(2) 情況二，概念呈現無法判斷
如表4.1，C3與C4所示所有學生對此兩概念的答題結果均是一對一錯，
在這種情況之下，不管是條件機率、灰關聯分析法或是概念相關指標 法都無法判定兩概念之間的相關性程度，自然也無法判斷該進行何種 學習順序的補救教學。此外灰關聯分析的方法在概念均只出現一次的 測驗情況下是不適用的，從灰關聯分析的公式與表4.1 可知道其結果只 是計算去除相同答對或答錯時剩下的學生個數來當成灰關聯的係數，
只以答題結果不一樣的學生個數來當成灰關聯係數的計算是不合理 的，但是真實測驗中不可能全部的概念只出現一次的情況。
(3) 情況三，概念答錯率相同
如表4.1，C5與C6所示該兩概念的答錯率均相同(答錯率各為 7/10=0.7)，
當兩概念的答錯率相同時我們並無法明顯的判別出該如何進行學習的 順序，且從學生的答題結果而論，學生對這兩概念均有同時答對或答 錯的情況，也有部份學生各自認為的難易不相同，所以在這種兩概念 答錯率相同且學習難易混沌不明的情況下，實在無法判斷此兩概念的 關係存在(R5,6=0)，在無法判斷的情況下該兩概念之間的相關性程度也
應無法比較才是，但是條件機率的方法卻得到相當高的關係程度 (P(C5|C6)=5/7、P(C6|C5)=5/7)，也失去了學習方向性，故使用條件機率、
灰關聯分析的方法在概念答錯率發生相同時是不合理的。
(4) 情況四，概念答錯率不同
如表 4.1，C7與C8所示當兩概念呈現不同的概念答錯率時依廖浚宏[51]
可計算兩概念發生的條件機率(P(C7|C8)=3/5、P(C8|C7)=3/6)，但我們可 以從表4.1 的答題結果看出，其實C7與C8所呈現是類似情況三的結果，
也就是大部份的資訊是混沌不明的，所以從理論上來看此兩概念如果 存在著相關性必然也是偏低，而不應該像條件機率一樣可以得到高相 關程度，依本研究的方法計算此情況可以得到兩概念的相關性程度為 1/5(R7,8=1/5)，相對於條件機率來說我們得到相關性較低的計算結果也 較具合理性。
在簡單的測試中可以發現我們的方法除了可以表示補救的學習順序，
還存在一般情況及特殊情況下均較合理且能解釋條件機率與灰關聯分析無 法表達的情況，表 4.3 為三種方法的比較。
表4.3 三種方法在不同情況下之比較
條件機率 灰關聯分析 概念相關指標法
概念呈現無法判斷 X X X
概念答錯率發生極值 X X ○
概念答錯率相同時 X X ○
概念答錯率一般情況
(接近無法判定時) 高度相關 中度相關 低度相關(較合理) 概念相關性分布 容易產生極值 過於集中 較平均
補救學習順序 ○ ○ ○