以模糊集群分析探討比與比值知識結構

壹、模糊集群分析與各指數之分析

一、指數之分析

本研究利用林原宏(2003)所設計開發的模糊集群分析 FCUT 軟軟體，

在 FCUT 軟體讀取受試者各概念答對機率矩陣資料後，研究者可依照軟體 所輸出的分割係數(partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 之 值，找出最適合的群數並得知每個受試者所隸屬之群組。因為分割係數 (partition coefficient) 當 其 最 大 值 時 ， 為 較 佳 的 分 割 數 ， 而 分 割 亂 度 (partition entropy) 當其最小值時，為較佳的分割數。由表 4-3-1 本研究以 模糊集群分析法將樣本分為三個集群是最佳的分割數，因此本研究將樣本 分為三個集群，以得到最好、最有效的分析。分割係數及分割亂度資料如 表 4-3-1。各群的平均值等資料如表 4-3-2。

表 4-3-1 分割係數及分割亂度

3 0.789082 0.386452 4 0.775631 0.436109 5 0.751041 0.490854 6 0.766832 0.478753 7 0.782445 0.456331 8 0.782514 0.463339 9 0.781310 0.472123 10 0.780996 0.475981

表4-3-3 各指數變異數分析表

變異來源 平方和 自由度 平均平方和 F 檢定

能力值 組間 732.298 2 366.149 組內 155.814 849

總和 888.112 851

.184 (p<.001)差異，再進行 Scheffe 法(c)之事後比較，分析如表 4-3-4、4-3-5、

4-3-6。

***p< .001

表 4-3-5 GTD 指數事後比較摘要表

組別(平均數) 第一群 第二群 第三群

第一群(.47) ─ -.31*** -.51***

第二群(.77) ─ -.20***

第三群(.97) ─

***p< .001

表 4-3-6 PRX 指數事後比較摘要表

組別(平均數) 第一群 第二群 第三群

第一群(.48) ─ -.31*** -.49***

第二群(.79) ─ -.179***

第三群(.97) ─

***p< .001

由表 4-3-4 至 4-3-6，各群在 PFC、GTD、PRX 指數差異之事後比較發 現四個組別在依變項平均數的信賴區間估計值均未包含總平均數這個 點，因而整體考驗之 F 值均達到.05 顯著水準，且第三群各項指數得分最 高，中等表現為第二群，而各指數得分最低為第一群。顯示模糊集群能將 受試者有效分群，且各群相似性指數達顯著差異，此與相關文獻研究結果 相符合（林原宏，2003；陳敏彥、林原宏，2007；黃馨瑩、林原宏、莊曜 遠，2007）。

貳、模糊集群分析與知識結構圖之分析

基於上述結果，比較第三群、第二群、第一群之知識結構圖特性。

一、第三群

第三群在三個相似性指數是得分最高之一群(達顯著差異，p<.001)，

共有298人，但PFC平均值卻只有.695875839，觀察各實例之知識結構圖 後，發現第三群與專家的知識結構圖差異雖然不大，但發現第三群的知識 結構圖概念之間的鏈結與專家的知識結構圖有些差異，故將此群分成三 類，第三群之知識結構圖如圖4-3-1 至圖4-3-8所示。

(一)第一類

第一類為標準參照知識結構圖，這一類的學童對於比與比值的邏輯概 念非常清楚，幾乎都可稱之為專家，教學者可加強或加深其高階的邏輯訓 練，並可訓練成為小老師協助教師指導其他學習較慢的學生。

(二)第二類

第二類為原始分數十五分的比與比值概念知識結構圖，第二類與標準 參照知識結構圖非常相似，看了其做答情形，大約都是錯比的概念或比值 概念的題目一題，可能是不夠細心，或因不夠冷靜思考造成錯誤。各實例 之概念鏈結雖然與專家的知識結構圖雖沒有完全精確，已非常相似。表示 這些概念彼此是有關係的，所以這一類學童對於比與比值的邏輯概念已蠻 清楚，教師除了加深加廣其高階的邏輯訓練外，還可加強學童專注力之訓 練。

(三)第三類

第三類為原始分數十四分的比與比值概念知識結構圖，觀察第三類各 實例之知識結構圖，發現各實例間有一些相似之處。並與第二類第一位實 例各指數值非常相近。

圖 4-3-1 第三群第一類第一位實例

 ^



圖 4-3-2 第三群第二類第一位實例

 ^



圖 4-3-3 第三群第二類第二位實例

 ^



圖 4-3-6 第三群第二類第五位實例

 ^



圖 4-3-5 第三群第二類第四位實例

 ^



圖 4-3-7 第三群第二類第六位實例

 ^



圖 4-3-8 第三群第三類第一位實例

 ^



由上可知，各實例之概念鏈結雖然沒有完全精確，但皆與專家知識結 構圖非常相似。並且對照原始作答情形，發現第三群的平均答對率為.96，

已達精熟程度。再對照附錄一比與比值概念測驗工具，發現第三群的核心 概念 5 是屬於比值概念-基本概念題、概念 6 是屬於等值分數概念-整數 1 的等值分數、概念 13、14 是屬於比值概念-最簡單整數比，因此雖然第三 群的學童是三群中得分最高的一群，但是針對此群學童，教師除了針對其 概念 6 (等值分數概念-整數 1 的等值分數)、概念 13、14 (比值概念-最簡單 整數比)進行加深加廣的延伸活動外，對於概念 5 (比值概念-基本概念題) 還要再做加強補強的工作，如此加深加廣的延伸活動才會紮實。

二、第二群

第二群在三個相似性指數是表現中等的一群，此群平均分數亦是第二 高排行中等，共有 406 人，佔全數 47.65％比例最高，表示大部分學生集 中在此群，觀察各實例之知識結構圖後，將此群依原始分數及能力值分成 六類，各類挑選學生代表與專家做比較分析，其比較說明知識結構圖如圖 4-3-9 至圖 4-3-14 所示，發現其知識結構圖和標準參照知識結構圖雖有差 距，但各實例之間卻有相似之處。

圖 4-3-9 第二群第一實例

 ^



圖 4-3-10 第二群第二實例

 ^



圖 4-3-11 第二群第三實例

 ^



圖 4-3-12 第二群第四實例

 ^



圖 4-3-13 第二群第五實例

 ^



由上可知，各實例之概念鏈結雖然沒有完全精確，但概念 11、9(分數 的整數倍和比值概念)的鏈結與專家的知識結構圖相同，都是在兩端，除了 實例三的知識結構圖與專家的知識結構圖差異較大外，其他各實例的知識 結構圖與專家的知識結構圖皆有相似之處。表示第二群學童已具備有基礎 知識結構。

再對照原始作答情形，發現第二群的學童作答情形的落差很大，平均 答對率為.81，並且此群各實例之精確鏈結數目為 3 至 6 個與第三群各實例 之精確鏈結數目 7 至 15 個相比較，顯然第二群學童比第三群學童有比較 多的缺失鏈結和多餘鏈結，觀察各實例，發現共同缺失鏈結有：概念 1(等 值分數概念-約分)與概念 2(等值分數概念-擴分)，概念 1(等值分數概念-約 分)與概念 13(比值概念-最簡單整數比)，概念 2(等值分數概念-擴分) 與概 念 16(比值概念)，概念 3(等值分數概念-最簡分數)與概念 14(比值概念-最 簡單整數比)，概念 4(比的概念-約分)與概念 6(等值分數概念-整數 1 的等 值分數)，概念 5(比值概念-基本概念題)與概念 8(比值概念-擴分)，概念 7(等 值分數概念-約分)與概念 13(比值概念-最簡單整數比)，概念 9(比值概念) 與概念 15(比值概念-擴分)，教師宜針對第二群學童共同缺失鏈結加強做補 救教學，尤其是概念 1(等值分數概念-約分)與概念 13(比值概念-最簡單整 數比)和概念 7(等值分數概念-約分)與概念 13(比值概念-最簡單整數比)，同 樣是等值分數概念-約分與比值概念-最簡單整數比缺失鏈結 2 次，教師更 要針對這個重點做加強補救教學，以利學童對加強比與比值概念的學習。

而第二群學童共同多餘鏈結有：概念 5(比值概念-基本概念題)與概念 9(比值概念)，概念 8(比值概念-擴分) 與概念 14(比值概念-的最簡單整數 比)，教師針對第二群學童錯誤多餘鏈結，要導正其錯誤，以利學童對於比 與比值概念正確的學習。

第一群集在三相似性指數得分是較低一群，計有 148 人，其比較說明 知識結構圖如圖 4-3-15 至圖 4-3-26 所示，發現其知識結構圖和標準參照 知識結構圖差距很大，且各實例之間的差異也很大。

將符合第一群特性的知識結構圖茲舉例如圖 4-3-15 至圖 4-3-26。

圖 4-3-15 第一群第一位實例

 ^



圖 4-3-16 第一群第二位實例

 ^



圖 4-3-17 第一群第三位實例

 ^



圖 4-3-18 第一群第四位實例

 ^



圖 4-3-20 第一群第六位實例

 ^



圖 4-3-21 第一群第七位實例

 ^



圖 4-3-23 第一群第九位實例

 ^



圖 4-3-22 第一群第八位實例

 ^



圖 4-3-25 第一群第十一位實例

 ^



圖 4-3-24 第一群第十位實例

 ^



由上可知，各實例知識結構圖，發現概念 1(等值分數概念-約分)與概 念 5(比值概念-基本概念題)各在知識結構圖的兩端，且不屬同一區的概 念，比較標準參照知識結構圖，發現兩概念雖無直接連結關係但相距不 遠，且同屬一區的概念。並且第一群各實例之精確鏈結數目只有 0 至 3 個 與第二、三群各實例之精確鏈結數目相比較，是最少精確鏈結數目的一 群，顯然第一群學童比第二、三群學童有比較多的缺失鏈結和多餘鏈結，

所以推論此群集學童可能習得表面知識結構而無深層知識結構。此結果呼 應 Brewer and Vosniadow (1987)、Gonzalvo et al. (1994) 提出的，專家以抽 象向度組織知識，比較容易接受知識，而生手組織知識則缺乏理論、組織 架構與基模(江淑卿，1997)。涂金堂 (2002) 也指出，生手知識結構是以表 面結構特徵所形成的，是缺乏系統與組織的結構；專家的知識結構是具有

圖 4-3-26 第一群第十二位實例

 ^



對照原始作答情形，此群平均答對率為.49，作答情形與第二群相比較 為不理想，可能對比與比值概念不甚了解，觀察各實例，發現共同缺失鏈 結有：概念 1(等值分數概念-約分)與概念 2(等值分數概念-擴分)，概念 1(等 值分數概念-約分)與概念 13(比值概念-最簡單整數比)，概念 2(等值分數概 念-擴分) 與概念 16(比值概念)，概念 3(等值分數概念-最簡分數)與概念 14(比值概念-最簡單整數比)，概念 4(比的概念-約分)與概念 6(等值分數概 念-整數 1 的等值分數)，概念 5(比值概念-基本概念題)與概念 8(比值概念-擴分)，概念 7(等值分數概念-約分)與概念 13(比值概念-最簡單整數比)，概 念 4(比的概念-約分)與概念 12(分數的整數倍-帶分數乘法)，教師宜針對第 一群學童共同缺失鏈結加強做補救教學，尤其是概念 1(等值分數概念-約分) 與概念 13(比值概念-最簡單整數比)和概念 7(等值分數概念-約分)與概念 13(比值概念-最簡單整數比)，同樣是等值分數概念-約分與比值概念-最簡 單整數比缺失鏈結 2 次，教師更要針對這個重點做加強補救教學，以利學 童對加強比與比值概念的學習。

而第一群學童共同多餘鏈結有：概念5(比值概念-基本概念題)與概念 9(比值概念)，概念8(比值概念-擴分) 與概念14(比值概念-的最簡單整數 比)，教師針對第一群學童錯誤多餘鏈結，要導正其錯誤，以利學童對於比 與比值概念正確的學習。

模糊集群分析的目的是將有相同特性的個體分在同一群，讓研究者將 如山一般多的資料簡化，而針對有興趣的方向做深入研究。本研究發現，

利用模糊集群分析方法將受試者分成三群，各群知識結構圖有相似之處，

也有相異之處，相異之處便是研究者所需更進一步探討的部分。