試題反應理論

第一節 比與比值

壹、比與比值和比例之意義

從文獻中發現，學者對於「比」的定義大同小異，如 Lamon (1995) 認 為是傳達相對量之抽象概念的比較性指標，蔣治邦、謝堅、陳竹村、陳俊瑜 (2002)認為是並置的兩對應關係量的紀錄，例如「拿

3

顆蘋果，去跳蚤市場換 了

5

條香蕉」可以記為「

3 : 5

」。

而「

a b :

」中將前項

a

除以不為

0

的後項

b

所得的值稱為比值(蔣治邦、陳 竹村、陳俊瑜、謝堅，2002)。

對於「比例」之定義，學者的說法傾向於「兩個比(或比值)成等價關係」

(沈明勳、劉祥通，2002；蔣治邦、謝堅、陳竹村、陳俊瑜，2002；Hoffer, 1992;

Lamon, 1995)。如比例式

a b :  c d :

中，表示

a

到

b

與

c

到

d

的比相等，即在數 量

a

與數量

b

及數量

c

與數量

d

表達相同關係，以分數來表示則如 Levin (1999) 指出之等值分數

4 3

=

12

9

型式(引自 Levin, 2002)。

多數學者(如 Levin, 1999; Lesh et al., 1988) 認為比例推理是指利用各種 方式(如圖表、推測、有理數等)，去表現兩個簡單型態之間的關係，它是基礎 數學與較高層次數學的分水嶺及高等數學中如代數等主題之基礎，小學數學 教育中如算術、測量等主題之頂點，因此 Kenneny and Lindquist (2000) 指

出，發展學生比例推理的能力是中學數學課程的主要任務之一，而 Lamon (1995) 認為比例推理的基礎是小學數學課程的重要部份。當學生能夠清楚說 明兩個等價的比之間存在結構的關係，則他具有比例推理能力，因此具比例 推理能力的學生能夠說明及利用方法表現兩個相等比之間的關係。

貳、構成比與比值等概念的關鍵數學要素

Lamon (1995) 認為構成比與比值等概念需擁有三個重要的關鍵數學要 素，即相對的和絕對的改變、比感、共變性和不變性。茲將此三項要素說明 如下:

一、相對的和絕對的改變 (relative and absolute change)

比是表示一個數值對於另一個數值的相對大小，而「相對」正是比的概 念中最重要的成分(鄭英豪，1990；Lamon, 1995)。例如：「小華和小強

8

歲 時的體重，前者是

16

公斤，後者是

18

公斤，三年後，再重新量一次體重，發 角度來思考問題，是相當困難的 (Lamon, 1995)。因此，教師可能需提供多種

不同情境的問題，讓兒童作絕對或相對的選擇。

二、比感 (ratio sense)

Lamon (1995) 認為，所謂的比感，就是對比的覺知，即兒童必須能夠區 分哪些情境適合由比組成的，哪些不是。首先，他們需瞭解到，存在於兩量 之間的關係是什麼，而且這樣的關係應該是真實的。例如兒童能察覺「

1

本 書是

100

元，那麼

2

本相同的書是

200

元」的情境適合由比來說明，他們之間 的倍數關係是真實的；而「

1

個男孩有

2

個妹妹，那麼

3

個男孩就有

6

個妹妹」

的情境是不適合由比來說明，他們之間的倍數關係不是真實的。

同 時 ， 兒 童 應 該 藉 由 研 究 比 例 關 係 的 實 例 (example) 及 非 實 例 (non-example) 來發現構成一個比例情境的必要條件是什麼。例如，假設兒童 知道有兩個量存在著，並且知道第二個量是第一個量的倍數關係時，他們必 須瞭解到，只要知道第一個量是多少，就能透過這種倍數關係找出第二個量 是多少了。所謂的實例是指兩量之間具有比例關係，例如，

2

公尺長的鐵棒 重

5

公斤，則

6

公尺長的鐵棒重

15

公斤；非實例是指兩量之間不具有比例關 係，例如

90

公分高的人重

25

公斤，而

180

公分高的人重

70

公斤。他們也必須 從比的適當表示方式開始，發展出一種討論比例關係的字彙。藉由非正式分 析比例和非比例關係的變化 (variety)，學生應發展一種與比例有關的情境和 數學關係的直覺 (Lamon, 1995)。

三、共變性和不變性 (covariance and invariance)

Lamon (1995) 指出，組成一個量的比之間，在相同的情況下具有共變性 (covariance)，但是量和量之間的關係具有不變性 (invariance)。例如，甲鐵棒 長

11

公分，重

3

公斤，乙鐵棒長

8

公分，那麼乙鐵棒重幾公斤？對於甲、乙兩 鐵棒來說，重量除以長度的比值是「不變」的，皆為

³

11

，而乙鐵棒的重量會 隨著甲鐵棒的重量「共變」；同樣地，甲、乙兩鐵棒長度的比值

¹¹

8

是「不變」

的，甲、乙兩鐵棒重量的比值也是「不變」的，而乙鐵棒的重量會隨著乙鐵 棒的長度「共變」(劉祥通、周立勳，1999)。

叁、國小學童解比與比值所須之知識及能力

數學概念的學習需要學生具備足夠的先備知識，以此為基礎建立新概 念，究竟哪些先備知識是學生學習比與比值所須具備的？研究者從文獻中整 理出乘除法概念、因倍數概念、有理數概念、相對與絕對的思考能力、單位 化和基礎化能力等五種知識能力，以下是知識能力及研究的啟示，分別探討。

一、乘除法概念

比與比值和乘除法的關係密切，學生比與比值的理解與解題受到是否熟 悉乘除法情境之影響。Vergnaud (1983) 再分析乘法結構時曾指出，量數同構 型 (isomorphisms of measures) 是乘除法之基本型，他涉及到兩個度量空間 (

M ₁

、

M ₂

)直接相比，是基於兩個量的比，每個度量空間均包含兩個相異的數，

其結構是探討四個值的關係，如下所示：

M 1 M ₂

a b

c d

因此量數同構型 (isomorphisms of measures) 問題在本質上即是比與比 值概念，換句話說，在 Vergnaud (1983) 的觀點裡，乘法和除法是比與比值的 一種特例。Lo and Watanabe (1997) 更進一步提出，發展比與比值基模時所需 的數學知識中，包含乘法和除法的數的結構、多位數乘除法、熟悉各種乘除 法情境、乘除法算式的意義即整合前述四項之有理數概念的整體發展五項，

而且其研究結果支持 Vergnaud (1983) 的說法，認為比與比值概念的發展內嵌 於乘法概念體 (conceptual field) 的發展之下。

正如 Vergnaud (1983) 所提出以乘法概念體的觀點來思考，比、比例、分

數、因數、倍數、速率、函數等概念均隸屬其中，他將其視為完整的乘結構。

舉例來說，

5 :15

中

5 3 

得

15

可得第二個值(即 Cramer, Currier, and Post, 1993 指 的

y  mx

的乘法形式)，而

15 3 

得

5

即可得第一個值，這樣的關係與 Anderson and Chapin (2003) 提出比在每個度量單位是具有乘法關係的觀點雷同。

二、因倍數概念

體 (part-whole)、指示除法 (indicate divison)(即

4

3

表示

3

除以

4

)等不同的意 義，比(ratio)亦是其中之一(Behr & Post, 1992)。由於學生要能解非整數倍的比 與 比 值 問 題 必 需 要 能 夠 以 分 數 來 表 示 比 值 ， 因 此 楊 錦 連 (1999) Lo and Watanable (1997) 均一致認為，學生在解比與比值問題時不會用分數表示除法 的結果及除不盡的數是因為有理數概念的不完整。由此可見，有理數概念的

四、相對與絕對 (relative and absolute) 思考能力

五、單位化 (unitizing) 和基礎化 (norming) 能力

Lamon (1994) 指出，單位化(或建立集聚單位)和基準化能力，是比與比 值發展重要的心理機制。所謂的「單位化能力」是在解比與比值問題時，先

Lamon (1994) 引用 Freudenthal (1983) 所說的「把地球的直徑想像成毫米 (

1

mm)，則把太陽想像是直徑

10

公分，且與地球距離

10

公尺的球體。」，像這 樣採取一些單位，例如利用「把地球想像成直徑

1

毫米」，來概念化其他情境(如

「太陽的直徑是

10

公分」)的基準化過程，從比與比值推理的觀點而言，就是 利用等比例縮小的方式來解題。國內學者劉祥通(2004)亦指出基準化能力是解 比與比值問題成功與否的關鍵。

六、對研究的啟示

依據前面的分析，乘除法概念、因倍數概念、有理數概念、相對與絕對 的思考能力、單位化和基礎化能力等五種知識能力是學者們認為對學習比與 比值概念之學習有幫助之重要知識即能力及能力，誠如 Vergnaud (1983) 所 言，乘除法概念屬於乘法結構的一環，值的思考的是，如果學生經歷了乘除 法概念的基礎，但未正式引入比與比值概念時，當其面對比與比值問題時，

有沒有辦法利用乘除法概念進行比與比值思維，又這些概念如何與比與比值 解題產生關連，值得加以探究。因此，如果以學過乘除法但尚未受過比與比 值單元教學之學生為對象，進行比與比值之相關探究，應可進一步提供另外 的視野，使我們瞭解學生經歷了加法及乘除法概念的舊有經驗，當他面臨比 與比值相關問題時之思維方式為何？到底能夠利用哪些方式進行比與比值問 題的思考？利用乘除及加減的舊有經驗，他的表現方式會是什麼？這方面的 探究當可提供未來比與比值教學之基礎。

肆、 比與比值相關理論

相關文獻裡，最具有代表性的比與比值相關理論，是由何意中(1988)與陳 英傑(1992)從研究取向的角度，所區分出來的結構論 (structual theories) 及功 能論 (functional theories) 兩種。兩派理論的重點分述如下：

一、結構論

結構論著重於研究個體發展階段與比例推理能力的關係，以Piaget and Noelting的理論為代表。

(一)Piaget理論

Piaget 利用物理的平衡問題探討兒童的比例推理能力，結果發現比例推 理可分成以下五個層次(何意中，1988；陳英傑，1992)：

l.最低層的受試者只的是根本不了解有關比例問題的人。

2.高一層的受試者，很少去考慮兩個因素間量化的關係，常使用加法策 略解決比例問題。

3.再上一層次就是Piaget所謂的前比例期 (prepropotuonal solutions)。受試 者使用加法策略，但是他們不使用常數差，他們會直覺的認為數量增 加則差量也要增加才能維持平衡。

4.更上一層是邏輯比例期 (logical proportions)，受試者能了解

INRC

(Identity-Negation-Recirocal-Correlative) 群的運作觀念，並能了解四項 間的邏輯關係。所謂的

INRC

如表2-1-1 所示。

表2-1-1

INRC

群的間的邏輯關係表(引自王文科，1983，p282)

I N R C

5.最高層次為測量比例期 (metrical proportions)，受試者能將比例的原則 自由應用到所有的問題情境中。總之，Piaget 認為比例推理的發展是 始於「定量」或「加法」的策略，然後發展出「前比例運思」，再發 展出「邏輯比例」運思，最後發展到「測量比例」運思。

(二)Noelting理論

Noelting 將比例推理分為三個層次，如下所示(何意中，1988；陳英傑，

1992)：

l.第一層次為操作前期，受試者只能夠比較兩項。

2.第二層次為具體操作期，受試者能夠用有序數對的共變來解決整數比的 問題。

3.第三層次為形式操作期，受試者能夠比較任意比值的比例問題。

二、功能論

功 能 論 旨 在 探 討 影 響 比 例 推 理 的 有 關 因 素 ， 著 重 於 思 考 的 基 模 (scheme)，以功能論為研究方向者則以 Pascual-Leone 的理論為基礎，再作進 一步的研究與探討。Pascual-Leone 認為，受試者能夠成功的解題，與下列四 個因素有關(何意中，1988；陳英傑，1992)：

(一)受試者內存所有可用的基模，須包含有適合於解決該問題所需要的基模。

(一)受試者內存所有可用的基模，須包含有適合於解決該問題所需要的基模。

在文檔中 探究國小六年級學童在比與比值的知識結構 (頁 19-0)