第四章 研究結果與討論
第二節 比與比值知識結構與能力值之分析
預估效力皆達顯著水準，以 PRX 指數最佳。
三、在低能力組學生中，三種知識結構量化指數對學生比與比值概念能力 值之預估效力皆達顯著水準，以 PRX 指數最佳。
四、就全體學生而言，三種知識結構量化指數對學生比與比值概念能力值 之預估效力皆達顯著水準，但以 GTD 指數最佳。
學生能力值愈高，三個相似性指數也愈高，亦即學生的知識結構圖與 參照結構會隨著能力值高而相似性增高，因此三個相似性指數應能解釋能 力值之高低。
本研究驗證了(許淑貞，2003；陳淑玲、林原宏、易正明，2007；張維 貞，2007)提出，由徑路搜尋所獲得之三個相似性指數能有效預測由試題反 應理論所得到的能力值，足見徑路搜尋法是相當適切的認知診斷評量方 式。
由以下文獻，Goldsmith et al. (1991) 探討班級學習中，知識結構與學 習表現的關係，指出 PFC 指數之預測效果最佳，其次依序為 GTD 指數及 PRX 指數。宋德忠等人(1998)在關於教育心理學學習理論的概念的研究 中，探討 PFC 指數與 PRX 指數對學習成就的預測效果，及對不同成就學 生的區別效果，發現採用徑路搜尋法所獲得之 PFC 指數與 PRX 指數對學 習成就的解釋量分別為 36%與 16%，且 PFC 指數可有效區別不同學習成就 的學生，而 PRX 指數則沒有顯著的區別力。林曉芳、余民寧(2001)對國中 生在數學代數概念學習之評量研究，指出 PFC 指數對學生的實際成績具較 佳的預測力。葉倩亨(2001)分析學生心理學知識結構與學業表現之研究，
也指出 PFC 指數的確對學業成就具有較高的預測力。而江淑卿(1997)探討 小學生自然科知識結構與其科學文章理解能力的關係，指出三指數大都能 有效預測，其中以 GTD 指數具最高的預測力，其次為 PFC 指數，最低為
表徵與概念學習之研究中則指出三指數對學生之學業成就並無預測力。由
常數 -3.347 .019 -180.370***
PFC 1.322 .163 .255 8.131***
GTD 1.174 .017 .381 70.598***
PRX 2.369 .160 .445 14.782***
y=-3.347＋1.322 X
PFC
＋1.174 XGTD
+2.369XPRX
2 .988
模式 877.650 3 292.550 殘差 10.462 848 .012 全體
N=852
總合 888.112 851
23712.707*** .988
表4-2-2與表4-2-3是以學生能力值為依變項，並同時以三個相似性指數 為自變項進行回歸分析，經過逐步迴歸發現本研究PFC、GTD、PRX指數 能有效預測能力值，而所得之預測力高達98.8%，其迴歸線性方程式為 y=-3.347＋1.322 X
PFC
＋1.174 XGTD
+2.369XPRX
，顯示PFC、GTD、PRX三指 數能有效預測能力值，且迴歸係數檢定結果達顯著，表示個別的相似性指 數對能力值有不錯的預測效果。本研究各指數對能力值的貢獻，以 PRX 指數之迴歸係數值最高，PFC 指數次之，GTD 指數較低，顯示係以 PRX 指數為最佳的預測變項。與 Gomez and Housner (1992) 研究物理準教師其物理知識結構對學期成績的 預測，預測力最高的為 PRX 指數相同；並與方慧君(2003)、涂金堂(2002)、
塗振洋(2001)、張維貞(2007)等人的研究結果發現 PRX 指數最具預測效果 不謀而合。文獻探討中，諸多學者 (Goldsmith et al. 1991, Action et al. 1994) 認為 PFC 指數的預測效果最佳，其次是 GTD 指數，但 Knoebel (1988) 等 學者曾指出，GTD 重視概念之間的結構特質，能掌握概念的空間型態，PFC 則重鏈值，能掌握鏈值之間的接近性質，二者各具特色，因此能發揮預測 的功能(江淑卿，1997)。涂金堂(2000)、黃湃翔(2002)指出，PFC 和 GTD 指數為評量參照知識結構與學生知識結構圖所包含節點相似程度，屬於偏 重深層的知識結構評量，而 PRX 則較偏重表層的知識結構評量。本研究對 於能力值的預測，PRX 預測力最高，此應可說明能力值較偏重表層知識結 構評量。
本研究認為，PRX指數屬於完全模式，較能充份考量了所有概念間連 結的訊息，而PFC指數，能掌握概念的關係特質，另外，GTD指數能掌握 概念的空間型態但卻不易瞭解哪些鏈結的訊息比較重要，故其預測效果各 有優缺點。但就本研究結果顯示，PRX指數仍具較高的預測力。
叁、能力值與知識結構圖之分析
以全對的作答結果作為標準參照知識結構圖。將全部受試者依能力值 區分為高能力組(前 27％)、中能力組、低能力組(後 27％)。各組分別取該 組接近能力值平均的學生為實例來代表，以比較各組知識結構圖的「精確 鏈結關係」、「缺失鏈結關係」和「多餘鏈結關係」的差異。
而所謂的「精確鏈結關係」：即概念與概念的鏈結正確，「缺失鏈結關 係」：即概念與概念該有的鏈結關係卻沒有存在，「多餘鏈結關係」：即概 念與概念間原本不該有的鏈結關係卻存在，也就是精確的鏈結關係表示和 標準參照結構一致的程度，缺失的鏈結關係反應出學生的學習未達精熟的 程度，而多餘的鏈結關係則顯示出學生學習產生錯誤的程度。
一、比與比值測驗
各節點所代表的概念如表 4-2-4，圖 4-2-1 為比與比值測驗標準參照之 知識結構圖、分組資料如表 4-2-5
由圖 4-2-1 為比與比值測驗標準參照之知識結構圖，亦即得分為滿分 的學生。其知識結構圖顯示核心概念 13(比值概念-最簡單整數比)對學習比 與比值的過程是很重要的，學生需學會將之鏈結轉化，才能融會貫通比與 比值概念。
表 4-2-4 各節點所代表的概念
1.等值分數 2.等值分數 3.等值分數 4.比的概念 5.比值概念 6.等值分數 7.等值分數 8.比值概念 9.比值概念 10.分數的整數倍 11.分數的整數倍 12 分數的整數倍 13.比值概念 14.比值概念 15.比的概念 16.比值概念
圖 4-2-1 比與比值測驗標準參照之知識結構圖
表 4-2-5 各組人數及平均能力值、指數值 組別 人數 能力值
平均
PFC 值 平均
GTD 值 平均
PRX 值 平均
原始成績 平均 參照結構 － 1.52
高能力組 246 1.24 0.78 0.99 0.98 15.61 中能力組 376 -0.07 0.18 0.81 0.83 13.59 低能力組 230 -1.25 0.10 0.54 0.56 9.18
圖 4-2-2 高能力組實例一
1.517871
(st007)圖 4-2-3 高能力組實例二
0.886061
(st106)圖 4-2-4 中能力組實例一
0.085944
(st600)圖 4-2-5 中能力組實例二
.0.060503
(st609)圖 4-2-6 低能力組實例一
1.256303
(st834)表 4-2-6 各組實例之能力值暨指數值 實 例 編號 核心概念
(概念號碼) 能力值 θ PFC GTD PRX 高能力組 7 13 1.52 1.00 1.00 1.00 中能力組 600 10 -0.09 0.15 0.78 0.83 低能力組 834 - -1.26 0.07 0.54 0.58
圖 4-2-7 低能力組實例二
1.251249
(st446)表 4-2-7 三種知識結構圖中節點與節點之間的聯結關係
標準參照結構圖 高能力組(st106) 中能力組(st609) 低能力組(st446)
節點 節點 節點 節點
1- 2 1- 2 1-12 1-11
1-13 1-13 2-6 2-4
2-16 2-16 2-13 2-10
3-14 3-14 3-15 3-13
3-16 3-16 3-16 3-16
4-6 4-10 4-7 4-7
4-12 4-12 4-10 5-9
5-8 5-8 5-9 6-10
5-14 5-14 5-14 6-12
6-13 6-7 6-12 7-11
7-13 6-12 7-12 8-14
8-15 7-13 8-14 8-15
9-15 8-15 8-15 9-14
10-11 9-15 10-11 12-13
10-12 10-11 13-16 15-16 鏈結總數：15 鏈結總數：15 鏈結總數：15 鏈結總數：15
具有較多的「精確鏈結關係」、較少的「缺失鏈結關係」和較少的「多餘 鏈結關係」。這也是圖 4-2-2、圖 4-2-3 比圖 4-2-4、圖 4-2-5、圖 4-2-6、圖 4-2-7 更接近標準參照結構圖（圖 4-2-1）的理由所在。
其中精確的鏈結關係表示和標準參照結構一致的程度，缺失和多餘的 鏈結關係反應出學生的學習未達精熟以及錯誤的程度。
二、各群的錯誤鏈結
根據上述各分群實例，針對知識結構中「缺失鏈結關係」和「多餘鏈 結關係」之錯誤鏈結進一步分析。
(一)高能力組
表 4-2-8 高能力組實例(核心概念為 13、-)知識結構圖之錯誤鏈結
編號 缺失鏈結 多餘鏈結 缺失概念 多餘概念
7 -
-106 4-6、6-13 4-10、6-12 6、13 10、12
由表 4-2-8 得知，本高能力組實例之核心概念為 13，顯示「比值概念」
是學童學會比與比值時的重要關鍵，對照此群在此題的通過率為 75%，
顯示此概念已完備；但和標準參照圖比較仍有二個缺失及多餘鏈結，根 據結果有兩個發現：其一是概念 4（比的概念-求商數）應和概念 6（等值 分數概念-整數 1 的等值分數）鏈結，但在此實例中卻是概念 4（比的概 念-求商數）和概念 10（分數的整數倍-真分數乘法）鏈結，所以概念 6（等 值分數概念-整數 1 的等值分數）為此鏈結的缺失概念，概念 10（分數的 整數倍-真分數乘法）為此鏈結的多餘概念，但對照此兩概念在此群之通 過率也均達 95%以上；其二是概念 6（等值分數概念-整數 1 的等值分數）
應和概念 13（比值概念-最簡單整數比）鏈結，但在此實例中卻是概念 6
（等值分數概念-整數 1 的等值分數）和概念 12（分數的整數倍-帶分數乘 法）鏈結，所以概念 13（比值概念-最簡單整數比）是此鏈結的缺失概念，
概念 12（分數的整數倍-帶分數乘法）是此鏈結的多餘概念，雖然對照此
數比）是高能力組學童的核心概念，因此教師宜針對概念
600 1-2、1-13、
2-16、3-14、
609 1-2、1-13、
4-6 、 5-8 、
表 4-2-10 低能力組實例(核心概念：- )知識結構圖之錯誤鏈結 6-12 、7-10、
8-14 、15-16
2、13、16、6、 1985；Goldsmith, 199；Gomez, & Housner, 1992；江淑卿，1997；蔡 佳燕，2000）。
(二)在專家與生手知識結構做比較，由本研究三群知識結構圖與標準參照
餘鏈結少，也少有缺失及多餘概念；中能力組次之；而低能力組的缺 失與多餘鏈結多，缺失及多餘概念非常繁多，證明了專家和生手知識 結構具有差異性；專家的知識結構較有組織性，而生手的知識缺乏理 論、組織架構與基模（Brewer & Vonsiadow, 1987；Gonzalvo et al., 1994；
江淑卿，1997）。
(三)1.雖然是高能力組學童，教師還是針對概念 13（比值概念-最簡單整數 比）做補強，概念 12（分數的整數倍-帶分數乘法）錯誤鏈結做導正，
如此高能力組學童後續加深加廣才會紮實。
2.中能力組學童對概念 2(等值分數-擴分)和概念 13(比值概念-最簡單 整數)這些概念並不精熟，而對概念 12(分數的整數倍-帶分數乘法) 是其核心概念卻有錯誤鏈結情形，教師可針對這些概念設計適合的 課程從事有效的補救教學。
3.低能力組學童應先針對缺失概念：概念 2(等值分數-擴分)、概念 13(比值概念-最簡單整數) 、概念 16(比值概念)、概念 6（等值分 數概念-整數 1 的等值分數）、概念 12(分數的整數倍-帶分數乘 法) 、概念 8(比值概念-擴分) 、概念 15(比值概念-擴分)進行補救 教學，並針對多餘概念：概念 10（分數的整數倍-真分數乘法）錯 誤鏈結做導正，補概念的不足，才能促進其學習成效。
(四)依概念的擴散激發模式(spreading activation theory)的觀點 (Collins &
Loftus, 1975)，記憶組織是一複雜的聯結網絡，特定的記憶在有關的概 念間依鏈結擴散開來，節點的激發產生能量流(flow of energy)，它沿 著指向連結擴散到其它地方。當擴散的激發觸及另外一個概念的節點 時，此節點也跟著開始激發。分析各群知識結構之實例，我們可從其 中瞭解不同能力組學童之知識結構，在和標準參照結構的對照下，針 對其「缺失鏈結關係」和「多餘鏈結關係」掌握學童的迷思概念。並
的教學。
肆、原始分數相同能力值不同之知識結構圖差異
原始分數相同的學生，其能力或知識結構是否相同，是值得探討的問 題。本研究試圖找出原始分數相同但能力值不同之受試者，然後比較其知
原始分數相同的學生，其能力或知識結構是否相同，是值得探討的問 題。本研究試圖找出原始分數相同但能力值不同之受試者，然後比較其知