國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系
在 職 進 修 教 學 碩 士 論 文
探究國小六年級學童在比與比值
的
知識結構
研 究 生 ： 陳 淑 玲
撰
中 華 民 國 九 十 七 年 五 月
指 導 教 授 ：
易 正 明
教 授
林 原 宏
博 士
摘要
本研究旨在應用徑路搜尋之方法，探討國小六年級學童在比與比值概念的 知識結構，並且比較不同能力值學童知識結構之間的差異，同時利用模糊 集群分析方法，將知識結構分群，以探討比與比值概念知識結構特性。研 究者以中部四所國民小學六年級學童為研究對象，共計 852 人。研究工具 採用自編的的「國小六年 級比與比值概念測驗評量」，並以 SPSS、BILOG-MG、SAS、KNOT 等軟體進行統計資料分析。 本研究主要發現如下： 一、國小六年級學童普遍存在比值的概念學習困難。 二、三個相似性指數能對能力值有效之預測，以 PRX 指數與 GTD 指數預 測效果最高。 三、原始分數相同之受試者，其知識結構亦有很大的差距。 四、以模糊分群方法能將受試者有效分群，各群相似性指數達顯著差異。 五、高能力值組知識結構圖與標準參照知識結構圖較為相似，中低能力值 組知識結構圖與標準參照知識結構圖較不相似。 本研究結果與發現，可提供有關國小學生比與比值概念教學之參考， 以及未來進一步研究之建議。 關鍵字：比與比值概念、知識結構、徑路搜尋、模糊分群英文摘
要
Abstract
The purpose of this study is to apply pathfinder method to analyze the conception of the scale and ratio knowledge structures for sixth graders. The research also compares the characteristics of knowledge structures of students who have different ability. The researcher adopts fuzzy clustering so that characteristics of knowledge structures will be clearly understood.
The subjects are from 852 sixth graders of four elementary schools in Taichung district. The research tools are “The Tests of Scale and Ratio Concept”designed by theauthor.The software are BILOG-MG, KNOT, SAS and SPSS. The findings of this study are as follow:
1. Most of the sixth graders have difficulties in learning the concepts of scale and ratio.
2. All the 3 proximity indices could predict ability properly. PRX index and GTD index are the best predictors.
3. The examinees whose raw score are the same may own different knowledge structures.
4. Based on the method of fuzzy clustering, all examinees could be classified effectively. There are significant differences in knowledge structure diagram between each group.
5. The knowledge structure diagram of high capability group is similar to that oftheexpert’sknowledgestructurediagram,buttheknowledgestructures diagram of middle and low capability group are relatively dissimilar to that oftheexpert’sknowledgestructurediagram.
The results and findings of this research can offer the consultation for teaching the scale and ratio. Some recommendations for further research are provided.
Key words: scale and ratio, knowledge structure, pathfinder method, fuzzy clustering
目錄
第一章 緒論 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...5 第三節 名詞釋義...5 第四節 研究範圍與限制...7 第二章 文獻探討 第一節 比與比值...9 第二節 知識結構...22 第三節 徑路搜尋...26 第四節 試題反應理論...31 第五節 模糊集群分析...36 第三章 研究方法 第一節 研究架構與研究設計...44 第二節 研究對象...47 第三節 研究工具與試題分析...49 第四節 資料處理...59 第四章 研究結果與討論 第一節 比與比值概念解題表現...61 第二節 比與比值知識結構與能力值之分析...65 第三節 以模糊集群分析探討比與比值知識結構...86 第五章 結論與建議 第一節 結論...108 第二節 建議...114一、中文部分... 116 二、英文部分...122 三、日文部分...128 附錄 附錄一 國小六年級學童比與比值概念測驗工具……….. 129 附錄二 BILOG 程式……….. ……….. 132 附錄三 SAS 程式……….. ………... 134 附錄四 PCKNOT 程式……….. ………..135 附錄五 Pearson 相關係數……….. ……….136 附錄六 試題專家效度建立……….. ………... 137
表目錄
表 2-1-1 INRC 群的間的邏輯關係表………... 16 表 2-1-2 比例運思的形成過程……….. 18 表 2-1-3 新舊課程在比與比值教材的比較……….. 20 表 2-2-1 知識結構(knowledge structure) 定義分析表………. 23 表 2-2-2 知識表徵的類型……….. 24 表 2-2-3 知識結構評量方法分析表……….. 25 表 2-2-4 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制表….. 26 表 2-3-1由圖 2-3-2 計算所得之 GTD 指數……….. 28 表 2-3-2 根據圖 2-3-2 之網路一與網路二計算所得之 PFC 指數………… 29 表 2-3-3由圖 2-3-2 計算所得之 PRX 指數………29 表 2-4-1 古典測驗理論與現代測驗理論之比較……….. 32 表 2-5-1 機率理論和模糊理論之比較………..………. 38 表 3-2-1 預試樣本人數分配表………..……….. 47 表 3-2-2 研究樣本人數分配表……….. ………... 48 表 3-3-1 國小六年級比與比值概念測驗評量工具之雙向細目表……….. 50 表 3-3-2 國小六年級比與比值概念測驗預試評量 KMO 與 Bartlett 檢定 表……….. ………... 52 表 3-3-3 解說總變異量……….. 53 表 3-3-4 最大變異法轉軸後之成份矩陣……..……….. 53 表 3-3-5 比與比值概念測驗評量通過率、難度及鑑別度之項目分析….. 54 表 3-3-6 國小六年級比與比值概念測驗正式評量 KMO 與 Bartlet 檢定表 55 表 3-3-7 比與比值概念學習成就測驗難易度、鑑別度分析表………….. 56 表 3-3-8 比與比值概念測驗評量採用參數模式的卡方值……….. 58 表 4-1-1 比與比值子概念等值分數概念上各題通過率及易錯題型…….61表 4-1-2 比與比值子概念分數的整數倍概念上各題通過率及易錯題型.. 62 表 4-1-3 比與比值子概念比的概念上各題通過率及易錯題型………….. 62 表 4-1-4 比與比值子概念比值的概念上各題通過率及易錯題型……….. 63 表 4-1-5 比與比值概念各題通過率及概念全對百分比……….. 64 表 4-2-1 三個指數與比與比值測驗不同能力組別能力值之相關分析….. 65 表 4-2-2 三個指數與比與比值測驗能力值之迴歸分析……….. 67 表 4-2-3 知識結構量化指數與學生能力值之迴歸模式變異數分析摘要 表……….. ………... 67 表 4-2-4 圖 4-2-4 各節點所代表的概念……….. …………. 70 表 4-2-5 各組人數及平均能力值、指數值……….. ……… 71 表 4-2-6 各組實例之能力值暨指數值……….. …………... 74 表 4-2-7 三種知識結構圖中節點與節點之間的聯結關係 ………. 75 表 4-2-8 高能力組實例(核心概念為 13、-)知識結構圖之錯誤鏈結…….. 76 表 4-2-9 中能力組實例(核心概念：10、12)知識結構圖之錯誤鏈結…… 77 表 4-2-10低能力組實例(核心概念：- )知識結構圖之錯誤鏈結…………. 78 表 4-2-11原始成績十五分實例之能力值暨指數值……….. 80 表 4-3-1 分割係數及分割亂度……….. ………... 87 表 4-3-2 模糊集群分析的分類情況及相關資料分析………..87 表 4-3-3 各指數變異數分析表…………...……….. ……… 88 表 4-3-4 各群 PFC 指數事後比較摘要表……….. ……….. 88 表 4-3-5 各群 GTD 指數事後比較摘要表………. 89 表 4-3-6 各群 PRX 指數事後比較摘要表……….. 89
圖目錄
圖 2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路……….. ………... 27 圖 2-3-2 網路一和網路二的圖解……….. ……….. 28 圖 3-1-1 研究流程圖……….. ………….. ……… 46 圖 4-2-1 比與比值測驗標準參照之知識結構圖….. ………... 70 圖 4-2-2 高能力組之實例一
1.517871
……….. ………… 71 圖 4-2-3 高能力組之實例二
0.886061
……….. ………...72 圖 4-2-4 中能力組之實例一
0.085944
……….. …….72 圖 4-2-5 中能力組之實例二
.0.060503
……….. ……...73 圖 4-2-6 低能力組之實例一
1.256303
……….. ……….73 圖 4-2-7 低能力組之實例二
1.251249
……….. ……….74 圖 4-2-8 原始成績十五分第一位實例
0.391481
………..81 圖 4-2-9 原始成績十五分第二位實例
0.560612
………..81 圖 4-2-10 原始成績十五分第三位實例
0.232473
………..82 圖 4-2-11 原始成績十五分第四位實例
0.749191
………..82 圖 4-2-12 原始成績十五分第五位實例
0.796977
………..83 圖 4-2-13 原始成績十五分第六位實例
0.886061
………..83 圖 4-2-14 原始成績十五分第七位實例
0.423743
……….. 84 圖 4-2-15 原始成績十五分第八位實例
0.751612
………..84 圖 4-2-16 原始成績十五分第九位實例
0.518178
……….. 85圖 4-2-17 原始成績十五分第十位實例
0.286001
……….. 85 圖 4-3-1 第三群第一類別第一位實例
1.517871
………...91 圖 4-3-2 第三群第二類別第一位實例
0.391481
……….. 91 圖 4-3-3 第三群第二類別第二位實例
0.560612
………..92 圖 4-3-4 第三群第二類別第三位實例
0.749191
………..92 圖 4-3-5 第三群第二類別第四位實例
0.796977
………..93 圖 4-3-6 第三群第二類別第五位實例
0.886061
………..93 圖 4-3-7 第三群第二類別第六位實例
0.751612
………..94 圖 4-3-8 第三群第三類別第一位實例
0.292268
………..94 圖 4-3-9 第二群第一實例
0.917141
……….. ……... 96 圖 4-3-10 第二群第二實例
0.935898
……….. ………….96 圖 4-3-11 第二群第三實例
0.676387
……….. ……. 97 圖 4-3-12 第二群第四實例
0.186808
……….. …………. 97 圖 4-3-13 第二群第五實例
3.341092
……….. …….98 圖 4-3-14 第二群第六實例
0.232473
……….. ……... 98 圖 4-3-15 第一群第一位實例
3.617084
……….. ……….100 圖 4-3-16 第一群第二位實例
3.341092
……….. ………. 101 圖 4-3-17 第一群第三位實例
2.740635
……….. ……….101 圖 4-3-18 第一群第四位實例
2.479304
……….. ……….102圖 4-3-19 第一群第五位實例
1.954076
……….. ……….102 圖 4-3-20 第一群第六位實例
2.197098
……….. ……….103 圖 4-3-21 第一群第七位實例
1.839635
……….. ………….103 圖 4-3-22 第一群第八位實例
1.459724
……….. ……….104 圖 4-3-23 第一群第九位實例
1.487703
……….. ……….104 圖 4-3-24 第一群第十位實例
1.240038
……….. …….105 圖 4-3-25 第一群第十一位實例
1.496810
……….. …….105 圖 4-3-26 第一群第十二位實例
1.012010
……….. ……….106第一章 緒 論
本研究是為探究國小六年級學童比與比值概念，採試題反應理論 (item response theory，簡稱 IRT)及配合徑路搜尋法 (pathfinder) 找出學生 知 識 結 構 圖 (knowledge structure) ， 並 探 討 經 模 糊 集 群 分 析 (fuzzy clustering) 後各群間受測者其知識結構圖的關係。 本章主要目的在闡述本研究之動機、目的及對本研究中所提及之相關 名詞作明確的界定，並說明本研究的限制。全章共分四節：第一節為研究 動機；第二節為研究目的；第三節為名詞釋義；第四節為研究範圍與限制。
第一節 研究動機
比與比值概念不僅是日常生活中常使用的基本概念(林福來，1987)， 也是極為重要的問題解決技巧(Orton, 1992)。在日常生活中，無論是「影 印機影印文件之放大縮小」、「照片之沖洗與放大」，還是「汽機車之時 速」、「錢幣之兌換」，或是「建築物之設計」與「地圖之繪製」等問題 都內含比與比值概念。而內含比與比值概念的問題與人類的科學領域與教 育系統更是息息相關。國小數學科比與比值有關的教材方面有： 一、在 64 年的部編本國小數學教科書內有比、比值及正反比例的教材(國 立 編譯館，1975)。 二、82 年的課程標準也在高年級目標列入「比、比值、比例的初步認識」 及「理解數量的簡易變化關係」(教育部，1993)。 三、九年一貫國小數學領域的能力指標也列入 N-3-15 能在具體情境中理解 比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、p.p.m)的意義。(教 育部，2003)。 因此蔣治邦、陳竹村、陳俊瑜、謝堅(2002)認為比與比值這方面的教材是幾次課程修訂後，大家都認為其很重要的。 魏金財(1994)的研究報告也發現，比與比值是形式思考中一個重要的 成分，是應用相當廣泛的概念(引自魏金財，1994)。而在各學科中，也都 有不少教材和比與比值概念有關。例如在自然與生活科技領域中，測量力 的大小單元中，彈簧伸長長度與螺帽數的關係；在社會領域中，地圖上的 比例尺；等等皆是。這種廣佈在生活經驗中的概念，同時又是許多上位概 念學習的基礎概念，從教育的觀點上應是非常值得重視的學習內容，且也 應是要求學習者必須精熟的概念。 然而事實上，國小學童在比與比值的學習表現並不理想，國小學童學 習比與比值是困難的，國小學童是不是存在了某些迷思概念而影響比與比 值學習？這些迷思概念是來自教學，或是生活的影響？若能找出這些學習 比與比值錯誤的原因，對於教師的教學與學童的學習將有莫大幫助。以往 學 校 評 定 學 生 成 績 好 壞 都 是 透 過 仍 然 盛 行 紙 筆 式 的 「 總 結 性 評 量 」 (summative evaluation)，它是以一種加總方式 (summation) 來評定學生的 學習成就，但是，它的限制不僅是只能獲得一個訊息、不夠充分的總分而 已，最大的缺失則無法獲取學習過程中學生如何組織他所了解的概念及概 念間的關係結構等訊息(余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001)。 評量工具是否能真正測得學生的能力，是不可或缺的重要因素，余民 寧、林曉芳、蔡佳燕(2001)研究發現：利用徑路搜尋所繪製出來的知識結 構圖，可以供作分析、診斷學生的錯誤概念之用，進而能夠針對學習缺陷 之處提出適當的補救措施，可以改進傳統紙筆評量方法之不足，更可以進 一步提供極具參考價值的診斷資訊。於是本研究擬運用徑路搜尋之分析技 術(Schvaneveldt, 1990) 來測量知識結構，期望分析知識結構與學習表現的 關係，並且藉以比較知識結構之間的差異，以瞭解學生的學習歷程，及提 供教師面對不同能力學生時應採用何種教學方式，以作最佳的補救教學措
並且多位學者研究也發現，知識結構與學習表現有密切的關係，知識 結構能有效預測學習表現；在知識結構的差異方面，專家的知識結構優於 生手，能力較佳者的知識結構優於能力較差者；在教學對知識結構的影響 方面，發現教學介入能改變知識結構 (Acton, Goldsmith, & Johnson, 1994; Goldsmith, Acton, & Jonson, 1991; Gomez & Housner, 1992)。周先祝(2003)
改進山下元．勝又保雄．津田榮(1994)的類似係數融入試題反應理論，做 為徑路搜尋近似資料的值，並以 van Hiele 幾何思考層次的理論為基礎，將 此方法運用在國小六年級學童四邊形幾何概念的知識結構分析上。研究結 果顯示，在幾何思考層次順階層類型當中，各類型學童之間的相似性指數 PFC 值及能力值均達到顯著的差異，且達到的幾何思考層次愈高者，其知 識結構圖的核心概念與標準參照知識結構圖的核心概念愈相似。 因此本研究以紙筆試卷施測，並以類似係數融入試題反應理論，做為 徑路搜尋近似資料的值，求得受試者在比與比值概念之接近性矩陣，計算 出圖形理論距離指數 (graphical theoretic distance, GTD)、相似性指數 (closeness index, PFC)、接近性指數 (proximity index, PRX)三種指數，作為 知識結構的指標，得分愈高表示受試者知識結構與參照知識結構相似性愈 高。藉此探討國小六年級學童在比與比值教學後的知識結構，以及學生學 習比與比值概念迷失的可能成因，期能提供教師未來教學之參考，幫助學 童有效學習比與比值的相關問題。 而徑路搜尋法除了可以提供客觀的知識結構指數作為評量依據外，亦 可以概念聯結的網路結構方式來表徵知識結構，藉此提供個體概念組織的 重要訊息 (Gonzalvo, Canas, & Bajo, 1994)。配合因素分析及模糊集群分 析，可以讓使用徑路搜尋所呈現個別化的結果 (Goldsmith, Acton, & Jonson, 1991)，趨向同一類群的一致特性，各群相似性指數達顯著差異，且各群知 識結構圖有極高相似程度。
資料，無論是量化的理論依據與模擬試驗的實務均已證實。概念圖可以使 新舊知識之間、概念之間的關係清晰可見，迫使學習者將這些關係外化。 因此概念圖幫助學生瞭解知識的架構，瞭解知識構建的過程。一個人的概 念圖代表了這人的組織訊息或思想的方法，同理一組人的概念圖代表了一 組人集體的思想。 因此本研究利用林原宏(2003)所設計開發的模糊集群分析之FCUT軟 體，在FCUT軟體讀取受試者各概念答對機率矩陣資料後，研究者可依照 軟體所輸出的分割係數(partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 之值，找出最適合的群數並得知每個受試者所隸屬之群組。 因為模糊集群分析根據元素之間的類似或相似程度，加以分類，即相 似程度高的元素歸為同一個集群。所以，其終極目標，是希望「集群內元 素同質性高，而集群間的元素異質性高」(林邦傑，1981；林清山，1985)。 如此就可以瞭解高分組學生與低分組學生的知識結構的差異在哪 裡，因此透過知識結構圖的工具瞭解學習者的知識結構，進而幫助學生學 會學習，透過知識結構圖的節點與連線清楚知道學習者的學習迷思，透過 節點的缺失連線更可以清楚看出該學習者的迷失概念，因此參照現有的能 力指標，配合統計方法的項目分析及因素分析其對應之能力指標，以有效 建構適用於「引出知識」的試題工具，利用pathfinder相關軟體，量化所得 的概念相近性矩陣，加以轉換成知識結構圖，因此一個人的知識結構圖再 參照專家的知識結構圖，並透過統計方法的集群分析或判別分析，相近的 知識結構圖中的節點與鏈結清楚知道此組人的學習迷思，進而方便進行診 斷與補救教學。 綜合上述，本研究應用試題反應理論結合徑路搜尋法並利用模糊集群 分析來分群，以分析國小六年級學童之比與比值概念知識結構，以瞭解學 童比與比值概念之知識結構圖。
第二節
研究目的
本研究主要目的在於探討國小六年級學童比與比值概念的認知情 形，欲透過試題反應理論為基礎結合徑路搜尋分析方法，來探討學生的知 識結構圖，並利用林原宏(2003)所設計開發的模糊集群分析之FCUT軟體， 在FCUT軟體讀取受試者各概念答對機率矩陣資料後，研究者可依照軟體 所輸出的分割係數 (partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 之 值，找出最適合的群數並得知每個受試者所隸屬之群組。透過不同受試者 所隸屬群組，進而探討不同集群的學童，其知識結構圖的差異。 本研究的主要目的包括： 一、探討國小六年級學童在比與比值概念的解題表現。 二、根據徑路搜尋方法分析國小六年級學童比與比值的知識結構圖。 三、依據模糊集群分析探討各群學生的知識結構圖。
第三節 名詞釋義
為使意義更為明確，避免混淆，便於討論，茲將本研究所涉及之相關 特定名詞的界定及說明如下： 一、比、比值與比例 (一)比： 依據國民小學數學教學指引第十一冊(2006)的定義，在比較大小的方 式中，兩個數或兩個量的一種關係，就叫作這兩個數或兩個類量的「比」， 「：」符號前面的數稱為前項，後面的數稱為後項。例如5 2 5 2，所以5 對2的比是5比2，可記作「5 : 2」，讀作「五比二」。 (二)比值： 由上述兩個數5對2的比(5 : 2)。實際上是表示5除以2所得的商。所以5 : 2可以寫成這樣的形式「5 2 5 2」。即比的前面的數(前項)除以後面的 數(後項)所得的商(5 2)，叫作5和2的「比值」。 (三)比例： 當關係到一量之部份與其全體的比較時，則其為「比例(proportion)」， 如 2 5 ( 或 2:5) 這 一 個 比 / 比 值 (ratio) 可 產 生 7 中 的 2 與 7 中 的 5 之 比 例
(Frobisher, Monaghan, Orton , Roper, & Threlfall, 1999)。而一般所謂之「比 例(proportion)」則是指兩個相等比值或相等分數的敍述，其表示法可如「2 5= 6 15」或「2:5=6:15」，可被讀為「2 對5 如同6 對15」或「2 和5 之比值 是相等於6 和15 之比值」(Van de Walle, 1998)，(引自馬秀蘭，2005) 。 二、知識結構(knowledge structure) Shavelson (1972) 認為所謂的知識結構是存在長期記憶中的認知結 構，並能掌握知識的組織特質和關係，個人可透過建構、修正和重組知識 結構方式，來改變學習和認知上的表現。本研究透過徑路搜尋，計算出 PFC、GTD、PRX三種指數，作為知識結構的指標，得分愈高表示受試者 知識結構與參照知識結構相似性愈高。 三、徑路搜尋(pathfinder method) 1985年由美國新墨西哥州立大學 R. W. Schvaneveldt 教授領導的團隊 開發出來的知識結構分析方法，可用來評量、表徵、分析學習者在某個學 習領域所習得的知識結構。其軟體稱為知識網路組織工具 (Knowledge Network Organizing Tool，簡稱KNOT) ，用以分析知識結構。
四、參照結構
徑路搜尋法對於知識結構的評價主要是將受試者的知識結構與參照 結構相比較，本研究以比與比值概念測驗中標準答案為標準參照結構。
試題反應理論是假設受試者的潛在特質會影響答題反應，用來分析試 題的難易度、鑑別度和猜測度等試題的特徵與受試者的潛在特質。
六、模糊集群分析(fuzzy clustering)
模糊集群分析又稱「模糊分割」，是植基於模糊理論所進行的集群分 析。主要有兩種最基本的不同方法。第一種是 fuzzy c-means，例如目標函 數 法 (objective function) ； 另 一 種 是 fuzzy equivalence relation-based hierarchical clustering，例如截矩陣法、最大樹法。
第四節 研究範圍與限制
一、研究範圍 本研究以中部四所國小，六年級學生十五個班級有效樣本共852位學 生，進行「國小六年級比與比值概念測驗評量」，根據學生的答題表現來 分析國小學童所具備的比與比值概念及其知識結構。 二、研究限制 茲將研究限制以教材內容、研究對象、研究工具與研究方法說明如下： (一)教材內容 本研究以使用三種較為廣用的版本(康軒版、南一版、翰林版)之學校 為樣本加以選擇，由於比與比值教材從國小五年級開始，考慮到教材的連 貫性，故就國小五年級至六年級比與比值教材進行探討。 (二)研究對象 本研究僅限於中部四所國小，九十五學年度國小六年級學童十五個 班級有效樣本852位學生為取樣範圍，採隨機取樣方式來進行研究，因考 慮研究者的時間、人力及行政支援之限制，因無法親自至該班進行施測， 故委由該班任課教師施測。 選取樣本有其地域性限制，雖可代表多數常態的學生，但推論的結果仍不宜過度解釋，亦無法將分析的結果做為普遍性的類推。因此本研 究的外在效度之推論範圍會有所限制。 (三)研究工具 本研究之紙筆測驗題型大都為選擇題，未來可將更多不同的題型帶 進，以充份了解學童解題的思考模式。 (四)研究方法 本研究僅以紙筆測驗的結果，用 SPSS 軟體分析學童比與比值概念的 學習情形，並配合 BILOG、SAS、KNOT 分析其知識結構，尚有所不足。 如果時間允許，應該擴大為多元評量如實作評量，晤談觀察等；更深入的 了解學童解題的思考過程與結構，對學童的比與比值概念有更周延的了 解。
第二章 文獻探討
本章共分五節主要根據本研究中相關理論進行探討。第一節比與比值， 第二節知識結構，第三節徑路搜尋，第四節試題反應理論，第五節模糊集群 理論。第一節 比與比值
壹、比與比值和比例之意義 從文獻中發現，學者對於「比」的定義大同小異，如 Lamon (1995) 認 為是傳達相對量之抽象概念的比較性指標，蔣治邦、謝堅、陳竹村、陳俊瑜 (2002)認為是並置的兩對應關係量的紀錄，例如「拿3顆蘋果，去跳蚤市場換 了5條香蕉」可以記為「3 : 5」。 而「a b: 」中將前項a除以不為0的後項b所得的值稱為比值(蔣治邦、陳 竹村、陳俊瑜、謝堅，2002)。 對於「比例」之定義，學者的說法傾向於「兩個比(或比值)成等價關係」 (沈明勳、劉祥通，2002；蔣治邦、謝堅、陳竹村、陳俊瑜，2002；Hoffer, 1992; Lamon, 1995)。如比例式a b: c d: 中，表示a到b與c到d的比相等，即在數 量a與數量b及數量c與數量d表達相同關係，以分數來表示則如 Levin (1999) 指出之等值分數 4 3 = 12 9 型式(引自 Levin, 2002)。多數學者(如 Levin, 1999; Lesh et al., 1988) 認為比例推理是指利用各種 方式(如圖表、推測、有理數等)，去表現兩個簡單型態之間的關係，它是基礎 數學與較高層次數學的分水嶺及高等數學中如代數等主題之基礎，小學數學 教育中如算術、測量等主題之頂點，因此 Kenneny and Lindquist (2000) 指
出，發展學生比例推理的能力是中學數學課程的主要任務之一，而 Lamon (1995) 認為比例推理的基礎是小學數學課程的重要部份。當學生能夠清楚說 明兩個等價的比之間存在結構的關係，則他具有比例推理能力，因此具比例 推理能力的學生能夠說明及利用方法表現兩個相等比之間的關係。 貳、構成比與比值等概念的關鍵數學要素 Lamon (1995) 認為構成比與比值等概念需擁有三個重要的關鍵數學要 素，即相對的和絕對的改變、比感、共變性和不變性。茲將此三項要素說明 如下:
一、相對的和絕對的改變 (relative and absolute change)
比是表示一個數值對於另一個數值的相對大小，而「相對」正是比的概 念中最重要的成分(鄭英豪，1990；Lamon, 1995)。例如：「小華和小強8歲 時的體重，前者是16公斤，後者是18公斤，三年後，再重新量一次體重，發 現小華的體重是20公斤，而小強是22公斤。請問這兩位兒童的體重在這兩年 來的生長量相同嗎?」 從「絕對」 (absolute) 的角度來看，這兩位兒童的生長量是一樣的，因 為20 16 22 18 4；但是如果從「相對」 (relative) 的觀點來看，則是有所 差別的，因為小華的生長量是原來體重的 1 4 ，而小強的生長量則是原來體重 的 2 9 ，由 1 4 和 2 9 這兩個數來比較，我們可以發現 1 4 > 2 9 ，所以小華的生 長量比小強多。從上述的例子得知，比是一個比較性的「指標」 (index)，它 說明了一個量和另一個量之間的關係。因此，研究者認為當兒童在學習比例 推理的時候，應該先學會判斷該以絕對或相對的立場來思考問題。然而，對 兒童而言，希望他們捨棄最熟悉的絕對性思考模式(減法性)思考並且以相對的 角度來思考問題，是相當困難的 (Lamon, 1995)。因此，教師可能需提供多種
不同情境的問題，讓兒童作絕對或相對的選擇。 二、比感 (ratio sense) Lamon (1995) 認為，所謂的比感，就是對比的覺知，即兒童必須能夠區 分哪些情境適合由比組成的，哪些不是。首先，他們需瞭解到，存在於兩量 之間的關係是什麼，而且這樣的關係應該是真實的。例如兒童能察覺「1 本 書是100元，那麼2本相同的書是200元」的情境適合由比來說明，他們之間 的倍數關係是真實的；而「1 個男孩有2個妹妹，那麼3個男孩就有6個妹妹」 的情境是不適合由比來說明，他們之間的倍數關係不是真實的。 同 時 ， 兒 童 應 該 藉 由 研 究 比 例 關 係 的 實 例 (example) 及 非 實 例 (non-example) 來發現構成一個比例情境的必要條件是什麼。例如，假設兒童 知道有兩個量存在著，並且知道第二個量是第一個量的倍數關係時，他們必 須瞭解到，只要知道第一個量是多少，就能透過這種倍數關係找出第二個量 是多少了。所謂的實例是指兩量之間具有比例關係，例如，2公尺長的鐵棒 重5公斤，則6公尺長的鐵棒重15公斤；非實例是指兩量之間不具有比例關 係，例如90公分高的人重25公斤，而180公分高的人重70公斤。他們也必須 從比的適當表示方式開始，發展出一種討論比例關係的字彙。藉由非正式分 析比例和非比例關係的變化 (variety)，學生應發展一種與比例有關的情境和 數學關係的直覺 (Lamon, 1995)。
三、共變性和不變性 (covariance and invariance)
Lamon (1995) 指出，組成一個量的比之間，在相同的情況下具有共變性 (covariance)，但是量和量之間的關係具有不變性 (invariance)。例如，甲鐵棒 長11公分，重3公斤，乙鐵棒長8公分，那麼乙鐵棒重幾公斤？對於甲、乙兩 鐵棒來說，重量除以長度的比值是「不變」的，皆為 3 11，而乙鐵棒的重量會 隨著甲鐵棒的重量「共變」；同樣地，甲、乙兩鐵棒長度的比值11 8是「不變」
的，甲、乙兩鐵棒重量的比值也是「不變」的，而乙鐵棒的重量會隨著乙鐵 棒的長度「共變」(劉祥通、周立勳，1999)。 叁、國小學童解比與比值所須之知識及能力 數學概念的學習需要學生具備足夠的先備知識，以此為基礎建立新概 念，究竟哪些先備知識是學生學習比與比值所須具備的？研究者從文獻中整 理出乘除法概念、因倍數概念、有理數概念、相對與絕對的思考能力、單位 化和基礎化能力等五種知識能力，以下是知識能力及研究的啟示，分別探討。 一、乘除法概念 比與比值和乘除法的關係密切，學生比與比值的理解與解題受到是否熟 悉乘除法情境之影響。Vergnaud (1983) 再分析乘法結構時曾指出，量數同構 型 (isomorphisms of measures) 是乘除法之基本型，他涉及到兩個度量空間 (M1、M2)直接相比，是基於兩個量的比，每個度量空間均包含兩個相異的數， 其結構是探討四個值的關係，如下所示： 1 M M2 a b c d 因此量數同構型 (isomorphisms of measures) 問題在本質上即是比與比 值概念，換句話說，在 Vergnaud (1983) 的觀點裡，乘法和除法是比與比值的 一種特例。Lo and Watanabe (1997) 更進一步提出，發展比與比值基模時所需 的數學知識中，包含乘法和除法的數的結構、多位數乘除法、熟悉各種乘除 法情境、乘除法算式的意義即整合前述四項之有理數概念的整體發展五項， 而且其研究結果支持 Vergnaud (1983) 的說法，認為比與比值概念的發展內嵌 於乘法概念體 (conceptual field) 的發展之下。
數、因數、倍數、速率、函數等概念均隸屬其中，他將其視為完整的乘結構。 舉例來說，5 :15中5 3 得15可得第二個值(即 Cramer, Currier, and Post, 1993 指
的ymx的乘法形式)，而15 3 得5即可得第一個值，這樣的關係與 Anderson and Chapin (2003) 提出比在每個度量單位是具有乘法關係的觀點雷同。 二、因倍數概念 比與比值的理解與解題經常應用到因數與倍數的概念，例如 Lo and Watanabe (1997) 研究指出，研究對象對於「12元買8顆糖，若在同一家店，9 元可買幾顆糖？」學生利用嘗試錯誤的方法把12元和8顆糖皆分成4份，利用 3元2顆，6元4顆的方式求解。其實是找出12和8的公因數「4」來縮短解法， 就是利用了因數的概念。 國內學者亦強調，因倍數是學生解比與比值之基礎知識，例如劉祥通、 周立勳(1999)指出，因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量，倍數問題 是向外探討以一個正整數為單位量可以產生哪些正整數，解比與比值需要先 做除法再做乘法，其實就是解因數與倍數的問題。 三、有理數概念 比值可以表示為如有理數 4 3 之方式，而有理數有多種意義，如部份-整 體 (part-whole)、指示除法 (indicate divison)(即
4 3
表示3除以4)等不同的意
義，比(ratio)亦是其中之一(Behr & Post, 1992)。由於學生要能解非整數倍的比 與 比 值 問 題 必 需 要 能 夠 以 分 數 來 表 示 比 值 ， 因 此 楊 錦 連 (1999) Lo and Watanable (1997) 均一致認為，學生在解比與比值問題時不會用分數表示除法 的結果及除不盡的數是因為有理數概念的不完整。由此可見，有理數概念的 不熟悉造成學生以除法運算求解時產生困難，以致影響學生在解比與比值問 題的成敗。學生如果能瞭解分數概念，則如 Levin (2002) 所提出，比例關係 4 3 = 12 9 的比值相等之型式，只是等值分數的觀念。
四、相對與絕對 (relative and absolute) 思考能力 比與比值是表示一個數量與另一個數量之間的關係，是一種相對的問 題，所以如 Lamon (1995) 強調，分析相對與絕對的改變之能力是比與比值 推理要求的重要思考型態之一。換句話說，學生可以了解情境中數量關係的 相對性與絕對性是否成功解題的關鑑之一。舉例來說，公園裡有兩棵樹分別 高30公分及50公分，一年後測量樹高為50公分及70公分。以絕對思考的觀點 而言，兩棵樹均長高了20公分，看起來成長了一樣多，但就相對思考的觀點 來看，30公分高的樹成長率是 3 2 ，而另一棵樹的成長率是 5 2， 3 2 ＞ 5 2，所 以其實30公分高的樹成長速度較快。當學生只注意到問題中樹實際成長的高 度或者每棵樹各自增加的高度，是無法了解比與比值概念的，所以相對與絕 對思考能力是解比與比值思考的重要能力。 五、單位化 (unitizing) 和基礎化 (norming) 能力 Lamon (1994) 指出，單位化(或建立集聚單位)和基準化能力，是比與比 值發展重要的心理機制。所謂的「單位化能力」是在解比與比值問題時，先 建立一個集聚單位，再利用其作為單位量來解題。例如：鉛筆3枝賣5元，9枝 15元，12枝20元。哪一種買法較便宜？兒童如果能夠把3枝鉛筆看成一個單 位，5枝鉛筆看成一個單位，而以「3枝5元」來計數，「3枝5元」變成一個 新的單位，再以這個單位去比較其餘的比，最後能比較出哪一種買法最便宜， 像這樣就可以說兒童具有單位化能力。Hoffer (1992) 提到學生使用「x元買y 顆糖果」與單位化能力意義相同，他認為此種策略可以避免分數及小數的計 算，還能變成解「未知數問題」之有用的方法。換言之，學生能夠利用「x對 y」的關係來求解未知數問題。 由此推知，學生所經常使用之累加法策略，亦是單位化能力的應用，單 位化能力可說是解比與比值問題的重要能力。 而「基準化能力」係以一個固定或標準單位重新概念化一個系統，例如
Lamon (1994) 引用 Freudenthal (1983) 所說的「把地球的直徑想像成毫米 (1mm)，則把太陽想像是直徑10公分，且與地球距離10公尺的球體。」，像這 樣採取一些單位，例如利用「把地球想像成直徑1毫米」，來概念化其他情境(如 「太陽的直徑是10公分」)的基準化過程，從比與比值推理的觀點而言，就是 利用等比例縮小的方式來解題。國內學者劉祥通(2004)亦指出基準化能力是解 比與比值問題成功與否的關鍵。 六、對研究的啟示 依據前面的分析，乘除法概念、因倍數概念、有理數概念、相對與絕對 的思考能力、單位化和基礎化能力等五種知識能力是學者們認為對學習比與 比值概念之學習有幫助之重要知識即能力及能力，誠如 Vergnaud (1983) 所 言，乘除法概念屬於乘法結構的一環，值的思考的是，如果學生經歷了乘除 法概念的基礎，但未正式引入比與比值概念時，當其面對比與比值問題時， 有沒有辦法利用乘除法概念進行比與比值思維，又這些概念如何與比與比值 解題產生關連，值得加以探究。因此，如果以學過乘除法但尚未受過比與比 值單元教學之學生為對象，進行比與比值之相關探究，應可進一步提供另外 的視野，使我們瞭解學生經歷了加法及乘除法概念的舊有經驗，當他面臨比 與比值相關問題時之思維方式為何？到底能夠利用哪些方式進行比與比值問 題的思考？利用乘除及加減的舊有經驗，他的表現方式會是什麼？這方面的 探究當可提供未來比與比值教學之基礎。 肆、 比與比值相關理論 相關文獻裡，最具有代表性的比與比值相關理論，是由何意中(1988)與陳 英傑(1992)從研究取向的角度，所區分出來的結構論 (structual theories) 及功 能論 (functional theories) 兩種。兩派理論的重點分述如下： 一、結構論
結構論著重於研究個體發展階段與比例推理能力的關係，以Piaget and Noelting的理論為代表。 (一)Piaget理論 Piaget 利用物理的平衡問題探討兒童的比例推理能力，結果發現比例推 理可分成以下五個層次(何意中，1988；陳英傑，1992)： l.最低層的受試者只的是根本不了解有關比例問題的人。 2.高一層的受試者，很少去考慮兩個因素間量化的關係，常使用加法策 略解決比例問題。
3.再上一層次就是Piaget所謂的前比例期 (prepropotuonal solutions)。受試 者使用加法策略，但是他們不使用常數差，他們會直覺的認為數量增 加則差量也要增加才能維持平衡。
4.更上一層是邏輯比例期 (logical proportions)，受試者能了解INRC (Identity-Negation-Recirocal-Correlative) 群的運作觀念，並能了解四項 間的邏輯關係。所謂的INRC 如表2-1-1 所示。 表2-1-1 INRC群的間的邏輯關係表(引自王文科，1983，p282) I N R C I N R C I N R C N I C R R C I N C R N I 5.最高層次為測量比例期 (metrical proportions)，受試者能將比例的原則 自由應用到所有的問題情境中。總之，Piaget 認為比例推理的發展是 始於「定量」或「加法」的策略，然後發展出「前比例運思」，再發 展出「邏輯比例」運思，最後發展到「測量比例」運思。 (二)Noelting理論
Noelting 將比例推理分為三個層次，如下所示(何意中，1988；陳英傑， 1992)： l.第一層次為操作前期，受試者只能夠比較兩項。 2.第二層次為具體操作期，受試者能夠用有序數對的共變來解決整數比的 問題。 3.第三層次為形式操作期，受試者能夠比較任意比值的比例問題。 二、功能論 功 能 論 旨 在 探 討 影 響 比 例 推 理 的 有 關 因 素 ， 著 重 於 思 考 的 基 模 (scheme)，以功能論為研究方向者則以 Pascual-Leone 的理論為基礎，再作進 一步的研究與探討。Pascual-Leone 認為，受試者能夠成功的解題，與下列四 個因素有關(何意中，1988；陳英傑，1992)： (一)受試者內存所有可用的基模，須包含有適合於解決該問題所需要的基模。 (二)在給定的時間內，所能夠運用之最大數量之基模，必須至少等於解決該問 題所需要的數量。 (三)受試者需要具備能夠專注地運用其心智的能力。 (四)受試者需要具備能夠排除題目中無關訊息的能力。因此，依研究取向來 說，比例推理的理論可以分成研究個體發展階段與比例推理能力的關係 的結構論與探討影響比例推理的有關因素的功能論。 本研究探討年級、課程、教育程度對於比與比值解題表現的影響較屬於 功能論的觀點。因此，本研究可以是功能論取向。 三、比與比值問題難以理解的原因 解決比與比值問題需具有比例運思的能力，而所謂的比例運思是指可以 掌握兩種異於1的單位量合成分解的共變關係。比例運思是建構正整數數概念 的最後階段，也是比較困難的階段。人類在建構正整數數概念時，綜合了兩
種操作(運算)，首先是集合的操作，進而才是關係的操作(如表2-1-2)(甯自強， 1998)。集合的操作包含了數的前置概念和起始數概念，此二階段數與數(集合 與集合)之間是沒有關係的。接下來在關係的操作中，數與數之間才有了關 係，其第一階段是內嵌數概念期，此時數與數之間開始有了包含的關係。第 二階段是部份全體運思期，此時只能掌握一階的部份全體關係，理解「1」是 「3」「27」的單位，但不認為「3」同時也是「27」的單位。第三階段是 測量運思期，此階段的兒童可掌握二階的部份全體關係，理解「1」是「3」 「27」的單位，也知道「3」是「27」的單位。前面所提的這些概念發展完 全之後才能進入比例運思期，此階段必須理解兩個異於1的單位量合成分解的 共變關係，也就是可以把對等關係中的兩個單位，如把「每5個人吃3個披薩」 看成一個單位，並對單位5和單位3進行同步的重覆或等分割活動。因此解比 例問題比較難的原因，是因為必須靈活掌握多階單位的部份全體關係。 表2-1-2 比例運思的形成過程 數的前置概念 1.數非基數，也非序數，只是位置數。 2.數是標準數詞序列上的一個位置。 3.無法通過皮亞傑的數的保留概念。 起始數概念 1.產生基數概念，未有序數概念。 2.每一個數詞所代表的意義是獨立沒有關係的。 3.數是合起來的總數。 4.可以通過皮亞傑的數的保留概念。 內嵌數概念 (數的包含關係) 1.有了序數概念。 2.數詞不再是獨立，而是有了包含關係。 3.只有1才是單位量，其它數詞皆不可當單位量。 部份全體運思 (一階層的部份全 體關係) 1.1是單位量，其它數詞也可當單位量。 2.1是「3」「27」的單位，但3不是「27」的單 位。 3.無法解3 5 ＋3＝27，因3未被視為組成27 的單位，無法解5個3加幾個3等於27個1。
表 2-1-2 比例運思的形成過程(續) 測量運思 (二階層的部份全 體關係) 1.可解3 5 ＋3＝27，因3被視為組成27的單位，即5個 3加幾的3會是9 個3。 2.1是「3」「27」的單位外，3也是「27」的單位。 3.可以真正理解乘法交換率，3 5 ＝5 3即15可以以3為 單位，也可以5為單位。 4.四年級下學期才有測量運思。 比例運思 (二階層以上的部 份全體關係) 1.可以掌握兩種異於1的單位量合成分解的共變關係。 伍、新舊課程在比與比值教材呈現方式 一、比與比值問題的重要性 比與比值問題這個數學結構用在生活情境時，必須有推論、預測和批判 等能力(劉秋木，1993)，所以對國中小學生而言是相當難的作業。Lamon (1993) 也發現比與比值問題對於許多大學生而言依然困難重重，由此可知比與比 值問題對小學生而言是比較難理解的概念。而比與比值問題這個數學結構又 與函數密不可分，是學習代數的基石，有些學者也認為比例推理是基礎數學 與高級數學的分水嶺 (Lamon, 1993; Lesh, 1989)。然而在國小的課程中卻有不 少與比與比值概念有關的教材，諸如滴漏單元中時間數與滴漏數的關係、測 量力的大小單元中彈簧伸長長度與螺帽數的關係、槓桿單元中力臂與力距的 關係等等，而且日常生活中也遍佈需要用到比與比值概念的問題，如單位的 換算、汽機車的時速問題、錢幣的兌換、面積的換算等等皆是，因此，雖然 比例問題是困難的，但卻又不能視而不見，因為比與比值問題與我們的生活 與學習息息相關。且比與比值概念是學習其它數學概念(如函數)的基礎，是連 接基礎數學與高等數學的橋樑 (Capon & Kuhn, 1979)。由此可知比與比值問 題的重要性。
新舊課程在比與比值教材呈現方式有很大的不同(如表2-1-3)，64年舊課 程的架構是學科發生邏輯，老師的角色是將數學知識由簡而難循序教給學 生，舊課程較重視課程呈現的歷程，以幫助學生發現數學知識；因此舊課程 對於比與比值概念的課程看重的是比的抽象意義的運作，於是把「比」定義 為比較量與基準量的倍數關係，並以「甲：乙=甲乙=甲/乙」的觀點來看比 與比值問題；而新課程重視的是兒童建構數學概念的歷程，因此新課程認為 比是兩數量甲、乙，基於某種原因而產生的一種配對關係，就稱此兩數甲與 乙有對等關係，並用「比」即「甲：乙」來記錄兩數量甲與乙的對等關係， 且認為比與比值問題是以一個對等關係為基礎，經由對等關係中兩量同步重 覆和等分割活動，轉換成另一個等價的對等關係(陳竹村，1998)，以比與比值 問題「8個蘋果賣100元，多少個蘋果賣25元？」為例，題目是以「8 個蘋果 賣100元」的對等關係為基礎，來推論(製作)「2個蘋果賣25元」的對等關係。 82年新課程中比與比值問題的前置活動是交換活動，而比例問題的解題工具 是成比例線段圖，新課程首先協助學童如何成比例的作線段圖，表現離散量 的合成、分解或整數倍的關係，培養做成比例線段圖的能力，建立工具，以 便在成比與比值的線段圖上，觀察等價的對等關係的轉換。因為透過線段圖 的操作，可以具體地掌握比的關係進一步轉換的活動意義。 表2-1-3 新舊課程在比與比值教材的比較 64年舊課程 82年新課程 比的定義 比較量與基準量的倍數關 係 基於某種原因而產生的一種配對關 係 何謂比例 問題 以擴分和約分的技巧來看 比例問題 兩量同步重複和等分割活動，轉換 成另一個等價的對等關係 解題工具 × 成比例的線段圖 對等問題(比例問題)是以一個對等關係為基礎，經由對等關係中兩量同步 重覆和等分割活動，轉換成另一個等價的對等關係，轉換的方式有三種，而 且轉換的方式影響到問題的難度，三種轉換的方式如下：
(一)透過整數倍的轉換(同步重覆)，如「5 個蘋果可以換3 個奇異果，15 個 蘋果可以換幾個奇異果？」或「5：3=15：X」的問題，15 中有3 個5， 所以須要進行3 次交換，一次換到3個奇異果，三次共換到9 個奇異果。 (二)透過單位分數倍的轉換(等分割)，如「15：9=5：X」 (三)透過真分數倍的轉換(等分割後再重覆)，如「15：9=10：X」。 由概念發展的觀點，學童先發展重覆製作的活動，後發展等分割的活動， 而透過真分數倍的轉換活動，除了要將前比例項(15：9)進行同步的等分割活 動外，還需要進行重覆製作的活動，所以在真分數倍轉換中，尚含有尋找公 共單位的步驟，例如需使用 15 和 9 的公因數來做公共單位，才能決定等分 割的份數以及需要重覆的次數，Lo and Watanabe (1997) 以 Bruce 解「12 元 可買 8 顆糖果，9 元可買多少顆糖果？」為例，說明受試者 Bruce 的解題方 式是：先將 12 元湊成 4 組，每組有 3 元，在將 8 顆糖果試著分成 4 組， 每組有 2 顆，Lo and Watanabe (1997) 強調因數與倍數是解題成功的知識基 礎，因為其中因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量，如 1、2、3、6 都是可組成 6 的單位量；而倍數問題是向外探討以一個正整數為單位量，可 以生成哪些正整數，如 1 個 6 是「6」，2 個 6 是「12」，3 個 6 是「18」、、、 等，解比例問題往往是要先做除法再做乘法，也就是解因數與倍數的問題， 因此因數與倍數概念是比例概念的基石。而 Bruce 以嘗試錯誤的方式解題就 是因為因數與倍數概念不周全的緣故。比例問題的轉換活動的由易而難分別 為：整數倍的轉換、單位分數倍的轉換、真分數倍的轉換。當然所使用的數 值範圍亦會影響問題的難度，而其困難度由易而難分別為：整數對整數的問 題、分數對整數的問題、分數對分數的問題。再加上逆溯活動的能力發展於 正向活動之後。 另外82年數學新課程「比例問題」的問題情境類型可分為四種(陳竹村， 1998；楊錦連，1999)，分別說明如下：
(一)組合問題：問題中的兩數量並沒有明顯的意義關係，經過問題清楚的陳 述後才產生關係。例如：一種親子遊戲3個小孩需要2個大人來協助，有 15個小孩將參加遊戲，需要多少大人來協助？ (二)母子問題：一個整體(集合)是由兩個以上的部分集合所組成。例如： 成衣廠裡包裝襯衫，每一打中有4件藍襯衫，要包裝6打需要幾件藍襯衫？ (三)交換問題：以物易物的問題情境。例如：如果買27個氣球要81元，那 麼買54個氣球需要多少元？ (四)密度問題：係由兩個外延量所組合的比率關係，產生一個內含量的量數， 此種關係構成人們熟知的實體。例如：3公升的水重3公斤，幾公升的水 重10公斤？ 對於這四種問題情境，陳竹村(1998)認為如果未知數在同一位置，則四種 問題無難易的差別。但楊錦連(1999)則指出五、六年級在組合問題與交換問題 的解題表現無明顯差異；且六年級學生在母子問題和密度問題之間也無明顯 差異，然而組合問題與交換問題的解題表現，卻比母子問題和密度問題的解 題表現好。
第二節
知識結構
壹、知識結構理論分析 一、知識結構 (knowledge structure) 的定義 人類的知識結構是如何建立？又以何種形式儲存的？從相關文獻當中發 現，專家學者對於知識結構的定義各有不同的詮釋與看法，Shavelson (1972) 認為知識結構是存在長期記憶中的認知結構，能掌握知識的組織特質和關 係，個人透過建構、修正和重組知識結構，進而影響學習和認知的表現。而 張新仁(1993)則認為個人在大腦神經系統中，已經學習與保留的學科知識，包括事實、概念和原則。學習者會將所學到的知識，在腦中形成一個有組織的 層級架構，即為知識結構。 本研究將各家學家對於知識結構的詮釋與看法整理如表 2-2-1。 表 2-2-1 知識結構定義分析表 人物代表 年代 知識結構 (knowledge structure) 定義 Shavelson 1972 知識結構是存在長期記憶中的認知結構，並能掌握知識 的組織特質和關係，個人可透過建構、修正和重組知識 結構方式，來改變學習和認知上的表現。 張新仁 1993 認為個人在大腦神經系統中，已經學習與保留的學科知 識，包括事實、概念和原則。學習者會將所學到的知識， 在腦中形成一個有組織的層級架構，即為知識結構。 江淑卿、 郭生玉 1997 認為知識結構存在於長期記憶中概念間的關係與組 織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息的處理歷 程。 綜合上述可知，知識結構之優劣，將直接影響個體學習成就，然而我們 無法直接看到知識結構的內涵，我們在探索知識結構時，通常都是經由知識 表徵而得知。 二、知識表徵的類型 由於知識結構對人類的重要性，許多理論從不同表徵系統探討知識結構 的構成和運作。Bruner(1966)認為知識表徵是人類對其環境周遭事物，經知覺 而將外在物體或事件轉換為內在心理事件的過程，亦即人類乃經由知識表徵 的過程獲得知識。
Norman and Rumelhart (1985) 也 認 為 學 生 的 知 識 結 構 可 由 增 添 (accretion)、調和(tuning)及重建(restructuring)三個途徑改變既存的知識結構、 建 立 新 結構 ， 以及以 新的 結 構 詮 釋先前 的 知 識 內涵 。因此 Norman and Rumelhart (1985) 認為知識的表徵大致可分為命題式、類比式和程序式表徵系 統。本研究將 Norman and Rumelhart (1985) 知識的表徵整理如表 2-2-2 。
表 2-2-2 知識表徵的類型 名稱 方式 特色 命題式表徵系統 (propositional reprensentational system) 係假設知識由一組符號、概念或 命題 (propositions) 構成，相同的 命題可以透過線性 (linear) 或網 路 (network) 的方式呈現表徵 (Anderson, 1990)。 是可以具體呈現命題之 間的關係，且易於評量與 測試，有助於理論模式的 建立與驗證， 類比式表徵系統 (analogical reprensentational system) 類比式表徵系統係假設知識由多 元表徵構成，包括語意和心像表 徵 (Paivio, 1986)。 是更能接近人類真實和 複雜的表徵結構，相對地 評量較為困難，因而理論 模式在驗證時也較為困 難。 程序式表徵系統 (procedural reprensentational system) 係假設知識以條件句形式呈現， 強調知識結構和修正的動態歷 程。 與類比式表徵系統一 樣，是更能接近人類真實 和複雜的表徵結構，相對 地評量較為困難，因而理 論模式在驗證時也較為 困難。 基於上述，本研究採用 Solso (1995) 所提出的網路模式即係屬命題式表 徵系統。 貳、知識結構的測量方法 多位學者研究發現，知識結構與學習表現有密切的關係，且知識結構能 有效預測學習表現；在知識結構的差異方面，專家的知識結構優於生手，能 力較佳者的知識結構優於能力較差者；在教學對知識結構的影響方面，發現 教學介入能改變知識結構 (Acton, Johnson, & Goldsmith, 1994; Goldsmith, Jonson, & Acton, 1991; Gomez, & Housner, 1992)。所以知識結構有測量之必 要。而測量知識結構的方法很多， Koubek and Mountjoy (1991) 將測量方法 分為四類，包括晤談法、分類法、圖解法、量尺法；鍾世帆(2005)將知識結構 評量方法整理如表2-2-3所示：
表2-2-3 知識結構評量方法分析表(鍾世帆，2005) 測量 方法 晤談法 分類法 圖解法 量尺法 方式 透 過 晤 談、放聲思考、 原案分析、觀察 或 文 件 分 析 等 過 程 取 向 的 方 法，分析個體的 認知結構。 透 過 卡 片 分類、樹狀結構 分析等方法，分 析 個 體 的 認 知 結構。其分析步 驟 大 致 分 為 概 念引發、概念分 類和表徵分析。 透 過 訓 練 幫 助 個 體 熟 悉 概 念 構 圖 技 巧，將個體的概 念構圖，根據評 分系統計分，評 量理解能力。 透 過 不 同 量 尺 化 程 序 測 量 知 識結構。 特色 能 深 入 了 解 個 體 知 識 結 構 的 內 容 組 織 和變化。 快 速 簡 單、可了解結構 特質和改變。 將 知 識 結 構 的 內 容 分 析 ， 進 一 步 量 化。 以 客 觀 和 統 計 方 式 產 生 圖 解 和 知 識 結 構 相 關 量數，突破過去以 理 論 和 經 驗 的 方 式，進行知識結構 測量。 限制 所 獲 取 的 資 料 需 透 過 主 試 者 主 觀 的 解 釋，且較難統計 分析 無 法 處 理 團 體 和 平 均 的 知識結構，其結 構 性 和 系 統 性 介 於 晤 談 法 和 量尺法間，仍需 透 過 主 試 者 主 觀解釋評分。 評 分 時 需 透 過 主 試 者 的 解釋，無法避免 主觀經驗影響。 無 法 確 實 了 解 概 念 接 近 性 所 代表的意義。 本研究為獲得客觀的數據，以及進一步統計分析，故選擇量尺法較適合。 經常運用的量尺法包括：重視整體知識結構關係的多向度量尺、重視知識結 構 概 念 類 別 的 集 群 分 析 、 以 及 重 視 知 識 結 構 內 關 係 的 徑 路 搜 尋 網 路 (pathfinder networks) (Jonassen et al., 1993)。今將多向度量尺、群聚分析與徑 路搜尋之內涵、特色與限制(江淑卿，1997)整理如表2-2-4所示：
表2-2-4 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制表 (改編自江淑卿，1997) 多向度量尺 集群分析 徑路搜尋 內 涵 從接近性矩陣，抽 離出潛在構面，轉換呈 現概念間的距離，即將 概 念 安 排在 幾個最小 數量的向度空間。 透 過 量 尺 化 程 序 產生階層樹狀表徵，鏈 結沒有命名，而以次序 性 量數 呈現 鏈 結的強 度。 透 過 徑 路 搜 尋 量 尺化算則，將接近性矩 陣 轉 換 成徑路 搜尋網 路、圖解理論距離。 特 色 能 掌 握 知 識 結 構 的整體關係 能 掌 握 知 識 結 構 的類別 能 掌 握 知 識 結 構 中概念間的關係，並能 瞭解哪些關係較重要。 限 制 須 主 觀 解 釋 向 度 的意義 群 聚 階 層 的 分 割 點亦須主觀決定。 鏈結沒有命名，較 難 直 接 瞭 解 結 構 型 式，研究時可視需要才 為鏈結命名。 由表2-2-4可知，徑路搜尋以結構網路模式表徵知識結構，且可看出概念 之間的相關性，因此本研究選用徑路搜尋來分析國小學童之比與比值概念知 識結構，以瞭解學童比與比值概念之知識結構圖。
第三節
徑路搜尋
壹、徑路搜尋介紹 徑路搜尋法是由 R. W. Schvaneveldt 的研究小組所發展而成(林原宏， 1996；Schvaneveldt & Durso, 1981)，將轉化自各概念的近似矩陣，經過分析 後獲得一個表徵各概念的網路結構，每個概念為網路結構的一個點，概念與 概念間以一個線來連結，代表兩概念間有關係存在，線上有一代表概念連結 強度的加權值。最後將受試者的徑路搜尋網路圖與專家的進行比較，以瞭解 受試者的知識結構與專家的異同。近似矩陣轉化為徑路搜尋網路，如圖 2-3-1 所示。如圖 2-3-1 所示。接近性矩陣 距離矩陣 A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 最短距離 r ,q=4 A B C D E A 0 1 1 2 3 B 1 0 1 2 3 C 1 1 0 2 3 D 2 2 2 0 3 E 3 3 3 3 0 徑路搜尋網路 圖 2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路 (改寫自Goldsmith, Johnson & Acton, 1991)
在判斷上，主要取自三種指數，三種指數的範圍從0到1，數值愈大表示 兩個網路越相似。分述如下(宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩，1998)： 一、圖形理論距離指數 (graphical theoretic distance, GTD)：以兩個徑路搜尋網
路圖，各概念節點與概念節點之間的距離(以相距節點的數目多少來計算) 所求得的相關係數。 二、相似性指數 (closeness index, PFC)：以集合理論，先將兩個徑路搜尋網路 圖各節點之鄰近節點製成一集合表。計算兩集合表中相對節點的交集合 之節點數除以聯集合之節點數。最後，將各節點計算結果平均即得。 三、接近性指數 (proximity index, PRX)：計算兩徑路搜尋網路近似矩陣的相 關。 而三種指數的計算方式如下圖2-3-2為例： A B C D E
圖 2-3-2 網路一和網路二的圖解 (資料引自：Goldsmith et al., 1991) 一、圖形理論距離指數(GTD)：網路一與網路二各節點距離值，整理如表 2-3-1。計算表2-3-1 中網路一與網路二的相關係數即得GTD 值。 表 2-3-1 由圖 2-3-2 計算所得之 GTD 指數 節 點 節點 A B C D E F G 節點 A B C D E F G 網路一 網路二 A － 1 1 2 2 2 2 A － 1 2 1 1 3 3 B － 2 1 1 3 3 B － 1 2 2 2 2 C － 3 3 1 1 C － 3 3 1 1 D － 2 4 4 D － 2 4 4 E － 4 4 E － 4 4 F － 2 F － 2 G － G － GTD 指數為 .79 (資料引自：Goldsmith et al., 1991) 二、相似性指數(PFC)：網路一與網路二各節點與鄰近節點，整理如表2-3-2。 計算網路一與網路二鄰近節點交集合節點數除以聯集合節點數之平均值 即得PFC 值。 A 網路一 B C D E F G A B C D E F G 網路二
表 2-3-2 根據圖 2-3-2 之網路一與網路二計算所得之 PFC 指數 鄰近節點 節點交集 節點聯集 共有節點
網路一 網路二 集合 大小 集合 大小 比率 A {B,C} {B,D,E} {B} 1 {B,C,D,E} 4 1/4 B {A,D,E} {A,C} {A} 1 {A,C,D,E} 4 1/4 C {A,F,G} {B,F,G} {F,G} 2 {A,B,F,G} 4 2/4 D {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 E {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 F {C} {B} {C} 1 {C} 1 1/1 G {C} {B} {C} 1 {C} 1 1/1 *比率總和為 3，PFC＝3/7＝.43，U 表示空集合。 (資料引自：Goldsmith et al., 1991) 三、接近性指數(PRX)：計算方式類似圖形理論距離指數(GTD)。GTD 以徑 路搜尋網路中各概念節點距離值為計算資料，而PRX 則直接以轉化自各 概念的近似矩陣資料進行相關係數的計算，以求得PRX 值。整理如表 2-3-3。 表 2-3-3 由圖 2-3-2 計算所得之 PRX 指數 節 點 節點 A B C D E F G 節點 A B C D E F G 網路一 網路二 A a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 A b11 b12 b13 b14 b15 b16 b17 B a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 B b21 b22 b23 b24 b25 b26 b27 C a31 a32 a33 a34 a35 a36 a37 C b31 b32 b33 b34 b35 b36 b37 D a41 a42 a43 a44 a45 a46 a47 D b41 b42 b43 b44 b45 b46 b47 E a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 E b51 b52 b53 b54 b55 b56 b57 F a61 a62 a63 a64 a65 a66 a67 F b61 b62 a63 b64 b65 b66 b67 G a71 a72 a73 a74 a75 a76 a77 G b71 b72 a73 b74 b75 b76 b77 (資料引自：Goldsmith et al., 1991)
貳、徑路搜尋分析過程 徑路搜尋法評量知識結構的過程大致可分為三個步驟：引出知識、表徵 知識結構與評價知識結構，以這三個程序分析徑路搜尋法的評量歷程。 一、徑路搜尋之引出知識 量尺法中知識的引出一般有字詞聯想、分類法、相似性評定、構圖等， 徑路搜尋法通常採用相似性評定法，來評量個體對於概念與概念間相互關係 的瞭解情形。首先挑選欲進行研究的一群概念，兩兩配對，由受試者進行判 斷各配對概念間的相似性、關聯性或心理距離，獲得受試者之接近性矩陣， 接近性矩陣中數值愈小，表示兩概念關係愈緊密。 然而相似性評定法雖具備客觀和施測簡易的優點，且研究者在編製量表 的同時可以掌握研究所需涵蓋的概念，較具完整性，但發現受試者無法精確 掌握其評定的標準，當概念數目較多時，此問題可能更嚴重(黃湃翔，2004)。 為改正上述缺失，本研究以傳統試卷施測，搭配試題反應理論與類似係數， 求得受試者在比與比值概念之接近性矩陣 二、徑路搜尋之表徵知識結構 徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之接近性矩 陣資料以徑路搜尋量尺化算則 (pathfinder scaling algorithm) 轉換成距離矩陣 和徑路搜尋網路 (PFNET)。在徑路搜尋網路中的每個鏈結均有一徑路權值， 包括直接鏈和非直接鏈，在徑路搜尋量尺化算則在轉換過程中，需先決定r和 q兩個參數，來計算徑路權值，最後僅會保留權重總和最小的聯結鏈，也就 是保留「最短長度的徑路」。 參數r和q不同，其形成的徑路搜尋網路亦不同，當r ,q n 1時，則 表示探測所有不同的節點聯結路徑，並產生最少徑路的徑路搜尋網路圖，如 圖 2-3-3，當r ,q4時，接近性矩陣經徑路搜尋量尺化算則轉換後，得到 距離矩陣與最少徑路的徑路搜尋網路(涂金堂，2000；林曉芳、余民寧，2001；
許淑貞，2003；黃湃翔，2004)。 三、徑路搜尋之評價知識結構
徑路搜尋網路之評價，主要是將受試者的徑路搜尋網路和參照結構進行 比較，Davenport and Goldsmith (1990) 認為比較兩個徑路搜尋網路的相似程 度，可以區分為兩種方式，第一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間距離 的相關程度，如圖形理論距離指數 (graphical theoretical distance，簡稱 GTD 指數)及接近性指數 (proximity index，簡稱 PRX 指數)；第二種則以集合理論 為基礎，計算兩個網路中相鄰節點交集與聯集的商數平均值，稱為相似性指 數 (closeness index，簡稱 PFC 指數或 C 指數)。三個指數數值越小表示受試 者與參照結構越不相似。
第四節
試題反應理論
「測驗就是一種有系統地使用數字來描述受試者的某種潛在特質，這個 程序需經詳盡的規劃並且可重複。」 (Allen & Yen, 1979)。對於測驗結果的 分 析 ， 早 期 最 為 大 家 熟 知 且 廣 為 應 用 的 為 古 典 測 驗 理 論 (classical test theory)，該理論主要內涵為「X T E，其中X為經由測驗所得分數，T為 該受試者真正的能力，E為測驗誤差分數」。由於其模式過於簡化，而產生 一些缺失與限制(余民寧，1991)。針對古典測驗理論的缺失，因而有「試題反 應理論」的誔生。試題反應理論發展為時較古典測驗理論稍晚，理論模式也 不斷的在發展中(黃國榮，2003)。 壹、古典測驗理論與現代測驗理論之比較 古典測驗理論模式的發展已為時甚久，且具規模，所採用的計算公式簡 單明瞭，是目前心理計量學界應用最廣的測驗理論，但卻有些許缺點；學者 為改進古典測驗理論的缺失，於是發展了以試題反應理論為理論架構的現代測驗理論，余民寧(1991，2002)認為兩種測驗理論在抽樣變動、測量標準誤、 複本實施、能力比較、預測力這些方面各有其 優 缺 點(余民寧，1991，2002)。 研究者將其整理如表 2-4-1。 表 2-4-1 古典測驗理論與現代測驗理論之比較 古典測驗理論 現代測驗理論 抽 樣 變 動 所 採 用 的 指 標 ： 如 難 度 (difficulty) 、 鑑 別 度 (discrimination) 、 和 信 度 (reliability)等，都是一種樣本依賴 (sample dependent) 的指標；這些 指標的獲得，會因接受測驗的受 試 者 樣 本 不 同而 有所 不 同 ，因 此，不同潛在特質的樣本，同一 試卷很難獲得一致的難度、鑑別 度、或信度等。 所 採 用 的 試 題 參 數 (item paramter)(如：難度、鑑別度、猜測度)， 是一種不受樣本影響(sample-free) 的 指標；也就是說，不會因受試者不同 而有所不同。 測 量 標 準 誤 以 一 個 相 同 的 測 量 標 準 誤 (standard error of measurement)， 作為每位受試者的潛在特質測量 誤差指標，這種作法並沒有完全 考慮受試者能力的個別差異，對 於高、低能力兩極端潛在特質的 受試者而言，這種指標極為不合 理且不甚精確，致使理論模式的 適當性受到懷疑。 能夠針對每位受試者，提供個別 差異的誤差指標，因此能夠精確推估 受試者的能力估計值。 複 本 實 施 因為古典測驗理論對信度的 假 設 ， 是 建 立 在 複 本 (parallel forms) 測量的概念假設上，但是 這種假設往往不存在於實際測驗 情境裡，我們不可能要求每位受 試者接受同一份測驗無數次，而 仍然假設每次測量都彼此獨立不 相關。 以試題訊息量 (item information) 及試卷訊息量 (test information) 的概 念，來做某個試題或整份試卷的測量 準確性，作為評定試卷內部一致性的 指標。 另外現代測驗理論所採用的適合度考 驗值 (statistic of goodness-of-fit)，可以 提供考驗模式與資料間之適合度、受 試者的反應是否為非尋常 (unusual) 之參考指標。
表 2-4-1 古典測驗理論與現代測驗理論之比較(續) 能 力 比 較 對於非複本 (nonparallel)，但 功能相同的測驗所測得的分數之 間，無法提供有意義的比較；有 意義的比較僅侷限在相同測驗的 前後測或複本測驗分數之間。 可測量估計出受試者個人能力， 不受測驗的影響，並且對於不同受試 者間，亦可進行有意義的比較。 預 測 力 忽視受試者的試題反應組型 (item response pattern) 所代表意 義 ， 認 為 原 始得 分相 同 的受 試 者，其潛在特質(如能力)或試題參 數(如難度)必定相同。其實並不如 此 ， 即 使 原 始得 分相 同 的受 試 者，其反應組型意義也不見得會 完全一致，所以其潛在特質和試 題參數估計值應該會有所不同。 同時考慮受試者的反應組型與試 題 參數 等特性 ，因此 估計個人能 力 時，除了能夠提供一個精確的估計值 外，對於原始分數相同的受試者，也 往往給予不同的能力估計值。 由表 2-4-1 可知兩派測驗理論各有所長，也各有其限制。古典測驗理論雖 不夠嚴謹，但淺顯易懂，便於在實際測驗情境(尤其是小規模資料)實施；現代 測驗理論雖嚴謹，但艱深難懂，適用於大樣本測驗資料分析。 貳、試題反應理論的理論基礎 一、基本假定 試題反應理論必須符合以下基本假設，試題反應模式方能被用來分析測 驗資料(余民寧，1992) (一)單向度 單向度 (unidimensionality) 是指測驗只測一個特質或能力。單向度的意 義 雖 然 簡 單 ， 但 實 際 上 測 驗 時 難 免 受 其 他 因 素 影 響 ， Hambleton and Swaminathan (1985) 認為只要測驗資料有一個「主控」因素就算符合，而這 主控因素便是特質或能力。 (二)局部獨立性
