本研究是為探究國小六年級學童比與比值概念，採試題反應理論 (item response theory，簡稱 IRT)及配合徑路搜尋法 (pathfinder) 找出學生 知 識 結 構 圖 (knowledge structure) ， 並 探 討 經 模 糊 集 群 分 析 (fuzzy clustering) 後各群間受測者其知識結構圖的關係。
本章主要目的在闡述本研究之動機、目的及對本研究中所提及之相關 名詞作明確的界定，並說明本研究的限制。全章共分四節：第一節為研究 動機；第二節為研究目的；第三節為名詞釋義；第四節為研究範圍與限制。
第一節 研究動機
比與比值概念不僅是日常生活中常使用的基本概念(林福來，1987)，
也是極為重要的問題解決技巧(Orton, 1992)。在日常生活中，無論是「影 印機影印文件之放大縮小」、「照片之沖洗與放大」，還是「汽機車之時 速」、「錢幣之兌換」，或是「建築物之設計」與「地圖之繪製」等問題 都內含比與比值概念。而內含比與比值概念的問題與人類的科學領域與教 育系統更是息息相關。國小數學科比與比值有關的教材方面有：
一、在 64 年的部編本國小數學教科書內有比、比值及正反比例的教材(國 立
編譯館，1975)。
二、82 年的課程標準也在高年級目標列入「比、比值、比例的初步認識」
及「理解數量的簡易變化關係」(教育部，1993)。
三、九年一貫國小數學領域的能力指標也列入 N-3-15 能在具體情境中理解 比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、p.p.m)的意義。(教 育部，2003)。
因此蔣治邦、陳竹村、陳俊瑜、謝堅(2002)認為比與比值這方面的教
材是幾次課程修訂後，大家都認為其很重要的。
魏金財(1994)的研究報告也發現，比與比值是形式思考中一個重要的 成分，是應用相當廣泛的概念(引自魏金財，1994)。而在各學科中，也都 有不少教材和比與比值概念有關。例如在自然與生活科技領域中，測量力 的大小單元中，彈簧伸長長度與螺帽數的關係；在社會領域中，地圖上的 比例尺；等等皆是。這種廣佈在生活經驗中的概念，同時又是許多上位概 念學習的基礎概念，從教育的觀點上應是非常值得重視的學習內容，且也 應是要求學習者必須精熟的概念。
然而事實上，國小學童在比與比值的學習表現並不理想，國小學童學 習比與比值是困難的，國小學童是不是存在了某些迷思概念而影響比與比 值學習？這些迷思概念是來自教學，或是生活的影響？若能找出這些學習 比與比值錯誤的原因，對於教師的教學與學童的學習將有莫大幫助。以往 學 校 評 定 學 生 成 績 好 壞 都 是 透 過 仍 然 盛 行 紙 筆 式 的 「 總 結 性 評 量 」 (summative evaluation)，它是以一種加總方式 (summation) 來評定學生的 學習成就，但是，它的限制不僅是只能獲得一個訊息、不夠充分的總分而 已，最大的缺失則無法獲取學習過程中學生如何組織他所了解的概念及概 念間的關係結構等訊息(余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001)。
評量工具是否能真正測得學生的能力，是不可或缺的重要因素，余民 寧、林曉芳、蔡佳燕(2001)研究發現：利用徑路搜尋所繪製出來的知識結 構圖，可以供作分析、診斷學生的錯誤概念之用，進而能夠針對學習缺陷 之處提出適當的補救措施，可以改進傳統紙筆評量方法之不足，更可以進 一步提供極具參考價值的診斷資訊。於是本研究擬運用徑路搜尋之分析技 術(Schvaneveldt, 1990) 來測量知識結構，期望分析知識結構與學習表現的 關係，並且藉以比較知識結構之間的差異，以瞭解學生的學習歷程，及提 供教師面對不同能力學生時應採用何種教學方式，以作最佳的補救教學措
並且多位學者研究也發現，知識結構與學習表現有密切的關係，知識 結構能有效預測學習表現；在知識結構的差異方面，專家的知識結構優於 生手，能力較佳者的知識結構優於能力較差者；在教學對知識結構的影響 方面，發現教學介入能改變知識結構 (Acton, Goldsmith, & Johnson, 1994;
Goldsmith, Acton, & Jonson, 1991; Gomez & Housner, 1992)。周先祝(2003) 改進山下元．勝又保雄．津田榮(1994)的類似係數融入試題反應理論，做 為徑路搜尋近似資料的值，並以 van Hiele 幾何思考層次的理論為基礎，將 此方法運用在國小六年級學童四邊形幾何概念的知識結構分析上。研究結 果顯示，在幾何思考層次順階層類型當中，各類型學童之間的相似性指數 PFC 值及能力值均達到顯著的差異，且達到的幾何思考層次愈高者，其知 識結構圖的核心概念與標準參照知識結構圖的核心概念愈相似。
因此本研究以紙筆試卷施測，並以類似係數融入試題反應理論，做為 徑路搜尋近似資料的值，求得受試者在比與比值概念之接近性矩陣，計算 出圖形理論距離指數 (graphical theoretic distance, GTD)、相似性指數 (closeness index, PFC)、接近性指數 (proximity index, PRX)三種指數，作為 知識結構的指標，得分愈高表示受試者知識結構與參照知識結構相似性愈 高。藉此探討國小六年級學童在比與比值教學後的知識結構，以及學生學 習比與比值概念迷失的可能成因，期能提供教師未來教學之參考，幫助學 童有效學習比與比值的相關問題。
而徑路搜尋法除了可以提供客觀的知識結構指數作為評量依據外，亦 可以概念聯結的網路結構方式來表徵知識結構，藉此提供個體概念組織的 重要訊息 (Gonzalvo, Canas, & Bajo, 1994)。配合因素分析及模糊集群分 析，可以讓使用徑路搜尋所呈現個別化的結果 (Goldsmith, Acton, & Jonson, 1991)，趨向同一類群的一致特性，各群相似性指數達顯著差異，且各群知 識結構圖有極高相似程度。
透過概念構圖來描述每一個學習者的知識結構，更顯重要，透過文獻
資料，無論是量化的理論依據與模擬試驗的實務均已證實。概念圖可以使 新舊知識之間、概念之間的關係清晰可見，迫使學習者將這些關係外化。
因此概念圖幫助學生瞭解知識的架構，瞭解知識構建的過程。一個人的概 念圖代表了這人的組織訊息或思想的方法，同理一組人的概念圖代表了一 組人集體的思想。
因此本研究利用林原宏(2003)所設計開發的模糊集群分析之FCUT軟 體，在FCUT軟體讀取受試者各概念答對機率矩陣資料後，研究者可依照 軟體所輸出的分割係數(partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 之值，找出最適合的群數並得知每個受試者所隸屬之群組。
因為模糊集群分析根據元素之間的類似或相似程度，加以分類，即相 似程度高的元素歸為同一個集群。所以，其終極目標，是希望「集群內元 素同質性高，而集群間的元素異質性高」(林邦傑，1981；林清山，1985)。
如此就可以瞭解高分組學生與低分組學生的知識結構的差異在哪 裡，因此透過知識結構圖的工具瞭解學習者的知識結構，進而幫助學生學 會學習，透過知識結構圖的節點與連線清楚知道學習者的學習迷思，透過 節點的缺失連線更可以清楚看出該學習者的迷失概念，因此參照現有的能 力指標，配合統計方法的項目分析及因素分析其對應之能力指標，以有效 建構適用於「引出知識」的試題工具，利用pathfinder相關軟體，量化所得 的概念相近性矩陣，加以轉換成知識結構圖，因此一個人的知識結構圖再 參照專家的知識結構圖，並透過統計方法的集群分析或判別分析，相近的 知識結構圖中的節點與鏈結清楚知道此組人的學習迷思，進而方便進行診 斷與補救教學。
綜合上述，本研究應用試題反應理論結合徑路搜尋法並利用模糊集群 分析來分群，以分析國小六年級學童之比與比值概念知識結構，以瞭解學 童比與比值概念之知識結構圖。