使用 GSP 與不使用 GSP 之解題表現比較

本節說明使用與不使用 GSP 對於幾何解題時間、表徵方式、解題策略與反 思行為之差異。研究結果如下：

一、解題時間的比較

彙整四位受測者四個問題的解題時間資料，形成下表：

表4-5-1：GSP 組與非 GSP 組解題時間

GSP 組 非GSP 組

第一題 6:35(甲) 22:16(乙) 57:50(丙) 67:59(丁) 第二題 9:05(甲) 32:37(乙) 8:05(丙) 7:45(丁) 第三題 27:15(甲) 35:29(丁) 20:08(丙) - 第四題 21:52(乙) 49:52(丙) 88:16(甲) 9:47(丁)

平均 25:38 37:07

標準差 13:13 31:02

由表4-5-1，可知以下結論：

1. 整體說來，使用 GSP 的解題平均時間較不使用 GSP 解題平均時間短 12 分鐘，第一題的結果最為明顯，係因 GSP 能精確表徵問題且提供視覺操 弄以探索問題情境，較快形成關鍵表徵之故；有 3 題非 GSP 的解題時間 接近或超過60 分鐘，是造成非 GSP 組解題時間增加的原因，GSP 組則無 此現象，最長的解題時間約為45 分鐘；

2. 非 GSP 組的時間變異大，有 3 題時間均在 10 分鐘以下，有 3 題解題時間 接近或超過60 分鐘，關鍵在於解題者形成關鍵表徵的時間；

3. 第二題的結果顯示，甲丙丁三人雖然使用不同工具解題，但解題時間相 近，係因三人表徵問題的概念與執行過程接近，這顯示表徵問題方式對於 解題時間的影響，有時更勝於解題工具的使用。

4. 甲生在 GSP 的表現時間較短而在非 GSP 環境中表現時間長，有部分原因 是工具轉換過程中不適應的所致，同樣情況在其他三人的訪談中亦發生類 似意見。

二、 表徵與表徵轉換的比較

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計 GSP 組與非 GSP 組 的表徵類型與數量，如表4-5-2 所示：

表4-5-2：GSP 組與非 GSP 組表徵類型統計

表徵類型 GSP 組 非GSP 組

數量 百分比 數量 百分比

草圖 28 85% 8 18%

符號關係 0 0% 7 16%

演繹陳述 5 15% 29 66%

總計 33 100% 44 100%

由表4-5-2 可知以下結論：

(一) GSP 組的解題者表徵出現的數目較少且多以圖形呈現(約 85%)，精確的圖象表 徵使得解題時間短，表徵方式固定使得解題時間變異小；

(二) 非 GSP 組的解題者表徵出現的數目較多且以演繹陳述呈現較多(約 66%)，圖形 表徵居次(約 18%)，表徵方式的多元性使得解題者能夠尋得更適切的表徵而迅 速解題，研究顯示不使用 GSP 的解題過程中，解題者花了許多時間在嘗試各 種可能的表徵，使得解題時間延遲；表徵方式的多元性為非 GSP 組解題時間 變異較大的原因之一；

(三) GSP 組表徵方式多以圖形呈現，顯示思考方式偏向具象的圖象思考；而非 GSP 組的解題者多以演繹陳述呈現表徵，顯示思考方式偏向抽象的邏輯思考；

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組與非 GSP 組的 表徵轉換形式與數量，如表4-5-3 所示：

表4-5-3：GSP 組與非 GSP 組表徵轉換類型統計

表徵轉換類型 GSP 組 非GSP 組

次數 百分比 次數 百分比

等價變換 9 36% 19 51%

整併 12 48% 7 19%

突變 4 16% 11 30%

總計 25 100% 37 100%

由表4-5-3 可知以下結論：

(一) 以 GSP 解題時，表徵轉換方式多以「整併」型居多。和語文陳述的資訊相較 之下，解題者能夠以較為彈性的方式連結圖中的資訊，以點與 Larkin 與 Simon(1987)的研究結果相同，解題者能針對題意加以整併；

(二) 語文資訊的連結通常和上下文有關(Larkin & Simon, 1987)，幾何學中語文知識 具有階層性，以演繹邏輯方式進行推理與連結(De Villiers, 1994)，而非 GSP 組的解題者多以演繹陳述呈現表徵方式，因此表徵轉換方式以「等價變換」

型居多，此發現與De Villiers(1994)的觀點相符，De Villiers(1994)認為幾何學 中的語文知識具有階層性且以演繹邏輯的方式進行推理與連結。

三、 解題策略的比較

本段分成五部分，第一部分比較與分析GSP 組與非 GSP 組所使用之解題策略 之差異，第二至第五部分則比較與分析GSP 組與非 GSP 組使用啟思策略、符號策 略、視覺策略與GSP 特殊策略的差異。

(一) 解題策略的差異

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組與非 GSP 組的 解題策略，如表4-5-4 所示：

表4-5-4：GSP 組與非 GSP 組解題策略類型統計

解題策略類型 GSP 組 非GSP 組

次數 百分比 次數 百分比

啟思策略 57 31% 66 29%

符號策略 7 4% 82 36%

視覺策略 84 45% 77 35%

GSP 特殊策略 38 20% 0 0%

總計 186 100% 225 100%

由表4-5-4 可知以下結論：

1.GSP 組在解題策略的使用上以視覺策略為主，啟思策略為輔，適時搭配使用 GSP 所提供的特殊功能。GSP 環境中某種程度上侷限符號策略的使用，增加 幾何思考的面向，GSP 環境提供豐富與精確的視覺資訊，只要適度堅持，解 題者通常能組織資訊，進而解題，解題時間不超過50 分鐘(表 4-5-1)；

2.非 GSP 組在解題策略的使用上以符號、視覺與啟思策略並重；策略與表徵的 多元性，使得有些解題者在多重表徵中找尋合適的表徵，能迅速解題，但也 有解題者在摸索中之一直找不到頭緒而放棄。

(二) 啟思策略的差異

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組與非 GSP 組的 啟思策略，如表4-5-5 所示：

表4-5-5：GSP 組與非 GSP 組啟思策略類型統計

啟思策略類型 GSP 組 非GSP 組

次數 百分比 次數 百分比

嘗試錯誤 4 7% 2 4%

猜測 12 21% 10 22%

專家知識 0 0% 2 4%

演繹 37 65% 24 51%

逆推 4 7% 9 19%

總計 57 100% 47 100%

註：GSP 組所產生的 37 次演繹推理活動中有 19 次用演繹法解釋視覺上的發現。

由表4-5-5 可知以下結論：

1. 非 GSP 組所使用的啟思策略以演繹為主，猜測與逆推為輔，依實際需要 使用嘗試錯誤的策略與專家知識，但比重低。啟思策略多元顯示非 GSP 組以發散思考為主；

2. GSP 組啟思策略雖以「演繹」為主，但其中 19 次用於解釋視覺發現，因 此總數為37 次的演繹推理中，只有 18 次是用在發現視覺結果的過程中，

「演繹」和「猜測」策略次數的比例為2:3，這顯示 GSP 組在發現解答的 過程中，啟思策略呈現「演繹`」與「猜測」並重的情況。

(三) 符號策略的差異

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組與非 GSP 組的 符號策略，如表4-5-6 所示：

表4-5-6：GSP 組與非 GSP 組符號策略類型統計

符號策略類型 GSP 組 非GSP 組

次數 百分比 次數 百分比

命名 6 86% 20 24%

標記 1 14% 41 50%

運算 0 0% 21 26%

總計 7 100% 82 100%

由表4-5-6 可知以下結論：

1. GSP 組所使用的符號策略僅有命名的功能；

2. 非 GSP 組所使用的符號策略中不僅有命名與標記功能，還能參與運算與推 理，同時具有表徵的功能。

(四) 視覺策略的差異

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組與非 GSP 組的 視覺策略，如表4-5-7 所示：

表4-5-7：GSP 組與非 GSP 組視覺策略類型統計

視覺策略類型 GSP 組 非GSP 組

次數 百分比 次數 百分比

重新畫圖 4 5% 16 21%

增刪部份圖形 48 57% 31 40%

調整圖形 7 8% 3 4%

變換樣式 25 30% 23 30%

局部重畫 0 0% 4 5%

總計 84 100% 78 100%

由表4-5-7 可知以下結論：

1. GSP 組與非 GSP 組所使用的視覺策略次數非常接近，兩組使用的視覺策略，

均以「增刪圖形」為主，「變換樣式」為輔，

2. 重新或局部重新畫圖的行為在非 GSP 組較常見，係維持視覺簡約性的重要活 動，在GSP 環境較不需要重新畫圖，顯示 GSP 所提供的視覺與視覺操弄的功 能性強，較不需要進行根本的重整；

3. 調整圖形的行為在非 GSP 組與 GSP 組都曾出現，顯示調整圖形的策略在幾何 解題中有實際存在的需要。GSP 組以拖曳滑鼠調整合適的觀察外形，包括位置 與大小；而非 GSP 組僅能夠以旋轉紙張調整觀察幾何物件的相對位置，並無 法改變大小，顯示GSP 能提供更好的視覺功能以應用於幾何解題。

(五) GSP 特殊策略的差異

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組使用 GSP 所提 供的特殊策略，如表4-5-8 所示：

表4-5-8：GSP 組特殊策略類型統計

拖曳檢驗 無聲軌跡

拖曳 測量長度 測量角度 計算 總和 GSP 組 7 13 10 6 3 39

由表4-5-8 可知以下結論：

1. GSP 組所使用的特殊策略隨題型不同而有差別。求証題中多以拖曳檢驗以驗證 命題是否成立，求解題中則以無聲軌跡拖曳確認滿足題意的軌跡；

2. 測量與計算的功能在探索活動中出現，有助於形成猜測與驗證，成為解題的關 鍵(第三題)；解題者在尚未探索問題之間，能利用測量與計算的功能預先得知 答案，有助於指引思考方向，提供解題捷徑(第四題)。

四、 反思行為的比較

彙整與分析四位受測者四個問題的口語資料之後，統計GSP 組與非 GSP 組的 反思行為的類型與次數，有以下三點結論(參見表 4-5-9)：

(一) 反思行為的數目和解題時間有關，解題時間長，反思行為出現的次數亦較高，

非GSP 組的解題時間長(參見 4-5-1)，所產生反思行為的數目亦較多；

(二) 「質疑」型的反思行為在兩組之間均佔有重要比例且以 GSP 組為重，產生不 確定性是解題過程中的常態(Zaslavsky, 2005)；

(三) 非 GSP 組產生的反思行為類型以「結果預見」、「回顧」與「質疑」較多，

顯示非 GSP 組在解題過程中，具有解題策略與表徵方式的多元性，因此需要 對於策略有較多的回顧與預先評估，尤其在幾何與代數符號思考之間的轉換過 程中；

(四) 由於 GSP 環境中侷限符號的使用，反而能聚焦於幾何思考，不需要進行幾何 與代數符號策略的轉換與比較，因此 GSP 組的反思行為中並沒有出現「策略 比較」；

(五) 不論是 GSP 組或是非 GSP 組，三個覺知類型的反思行為約佔總反思行為的 20%，顯示這類型偏向個人特質的反思行為不因情境不同而有所差異。

表4-5-9：：GSP 組與非 GSP 組反思行為類型統計

反思行為類型 GSP 組 非GSP 組

次數 百分比 次數 百分比

個人覺知 1 1% 2 2%

任務覺知 10 14% 13 11%

策略覺知 3 4% 8 7%

結果預見 9 12% 27 23%

策略比較 0 0% 6 5%

質疑 26 36% 17 15%

回顧 7 10% 19 16%

發生偵錯事件 8 11% 10 9%

嘗試另類解法 1 1% 0 0%

重新改變作法 8 11% 15 12%

總計 73 100% 117 100%

五、 小結

GSP 環境中，解題者絕大部分均以圖象表徵問題，透過操作 GSP 所提供的視 覺功能以理解幾何圖形所蘊含的資訊，如：透過拖曳將圖形放大或旋轉以符合視覺 習慣，透過增加或隱藏部分幾何物件、變換幾何物件的顏色或框線的深淺以重新組 織解釋的框架，受測者利用視覺操弄的方式以理解問題和Roth & Bowen(2003)的論 述相同。有別於語文資訊，圖象資訊中的元素可以任意連結，GSP 組的解題者需要 整併豐富而精確的視覺資訊，做為解題之用，因此表徵轉換方式以整併為主；在侷

GSP 環境中，解題者絕大部分均以圖象表徵問題，透過操作 GSP 所提供的視 覺功能以理解幾何圖形所蘊含的資訊，如：透過拖曳將圖形放大或旋轉以符合視覺 習慣，透過增加或隱藏部分幾何物件、變換幾何物件的顏色或框線的深淺以重新組 織解釋的框架，受測者利用視覺操弄的方式以理解問題和Roth & Bowen(2003)的論 述相同。有別於語文資訊，圖象資訊中的元素可以任意連結，GSP 組的解題者需要 整併豐富而精確的視覺資訊，做為解題之用，因此表徵轉換方式以整併為主；在侷