彙整GSP 組與非 GSP 組解題過程中的解題策略，如表 4-2-6 所示：
表4-2-6：第二題GSP 組與非 GSP 組解題策略之次數分配
解題策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
啟思策略 6 4 3 3
符號策略 2 0 4 1
視覺策略 12 3 3 5
GSP 特殊策略 1 8 0 0
總計 21 15 10 9
由上表可得到下列四點結論：
（一）非GSP 組使用策略方式及數量組內差異少，GSP 組使用策略方式及數量組 內差異大
表徵方式造成使用策略方式及數量的差異。非 GSP 組表徵問題的方式幾乎是 一樣的，因此表徵數量、表徵轉換方式與解題時間均非常接近，不僅如此，連使用 策略方式及數量均類似。
非GSP 組之解題者使用策略數量皆為 9 次(表 4-2-6)，其中邏輯演繹使用的次 數皆為3 次(表 4-2-7)，使用時機相當一致，均發生在確認平行軸存在、四邊形 ACDE 為平行四邊形及三角形 ABC 為正三角形時。在重新畫圖時機上，都曾經為了表徵 ACDE 為平行四邊形時重新畫圖。在確定平行軸存在時，均使用符號作為推理工 具。因此在使用策略次數上有5 次是相同的。
造成 GSP 組使用解題策略迥異的原因是甲生以對稱表徵題目中的兩倍關係，
則不需要在 GSP 環境中表徵兩倍關係，乙生試圖直接以作圖、測量、計算與拖曳 結果表徵五邊等長及兩倍關係，則需要使用較多 GSP 提供的特殊策略。因此甲生 僅使用1 次拖曳策略且時間很短(約 29 秒)，而拖曳過程中僅需在平行軸上下移動；
乙生則必須使用次數較多且時間較長的拖曳行為(總和約 13 分鐘)以逐步嘗試錯誤 的方式考慮平面上所有可能位置。
（二）不論GSP 組或非 GSP 組均使用重新畫圖的策略
第一題的研究結果顯示：GSP 環境中沒有產生重新畫圖的例子，係因為 GSP 能透過隱藏物件或是更換線條粗細與顏色，甚至以放大或調整物件位置的方式提高 視覺上的可辨性，而且GSP 所繪製的圖形能精確呈現題意所敘述的幾何關係，一旦 繪製完成，更動的機會很少。
但本題中，四位解題者均產生重新繪圖的行為。甲生重畫兩次，第一次是在 GSP 環境中，粗略地點選五個點，讓它看起來像五邊等長的五邊形，這相當於非
GSP 組繪製草圖的習慣動作，對於甲生而言，讓問題更具體；第二次是為了驗證 ACDE 為正方形而重新繪圖，他說：
210065 嗯...所以我...大膽的假設一下...假設它是直角...然後我再把圖作一次...
這次重新畫圖的原因是為了說明直角ACDE 為正方形，如果是因為舊有的圖失 去簡約性而無法辨識而重畫，則重畫的理由可以被接受；但是如果為了要驗證直角 而作出直角，以說明一切符合題意，則犯了邏輯上的問題，甲生犯個這個問題而不 自覺，這值得深思的問題。乙生重新畫圖是因為經歷過兩次失敗而重新開始。甲生 與乙生重新畫圖的例子，顯示GSP 環境中重新畫圖的理由並非視覺清晰上的考量，
有別於紙筆解題中重新畫圖行為，可能是基於方法上根本改變的需要而另起爐灶。
從丙生重新畫圖的過程中可推知其理解問題的進程，丙生第一個草圖(圖 4-2-6A)中以弧形標示 DBE∠ 目的在於提醒自己題目所求的角度在這個位置，再次 驗證丙生使用標記具有後設的目的；第二個草圖(圖 4-2-6B)中 DBE∠ 有新的表示 法：α+β，其中α與β分別代表 ABE∠ 與∠CBD，這個進展顯示丙生能以符號表徵兩 倍關係；當丙生更進一步發現∠DBE 中可能隱藏的平行與內錯角關係時，∠DBE 可看成兩個部分，命名為α與β(請見圖 4-2-6C)，隨著推理活動的進行， DBE∠ 能夠 重新被多次解讀而產生更精緻意義，顯示解題者對於題目的內在結構有更進一步的 理解(Nunokawa, 1994, 1997, 2000)。這個例子顯示符號的標示與命名將隨著解題者 更深入理解題意而更加精緻：符號功能從一般指示到特殊命名，從統稱到獨立命名。
圖4-2-6：草圖的演進與問題情境的理解(以丙生為例) A
圖 圖B 圖C
從van Hiele(1986)的觀點來看，丙生重新畫圖的過程亦可顯現其幾何思考的進 展。丙生依題意繪製草圖(圖 4-2-6A)，即進入視覺思考階段，在這個階段中五邊形 是一個視覺整體，在引入α,β表示角度兩倍關係角度，邁入解析思考階段，符號成 為解析的工具，符號上將α+β拆解成α與β，對應著幾何上將 EBD∠ 被拆成兩個部 分，而這兩個部分結合題目中等長條件之後則形成平行軸，此時，進入演繹思考階 段，在這個階段中，草圖強調表徵的功能而忽略精確性(圖 4-2-6A)，草圖彰顯的是 平行關係，而非等長關係。
丙生對於問題情境的理解與幾何思考的進程，不僅展現在草圖的演進中，亦顯 示在重新構圖的過程中。解題初期草圖線段出現的順序解題者個人的習慣與好惡而 定，當理解重要關係之後，為了顯示其特徵則會改變構圖順序。以下圖為例，圖 4-2-7A 為丙生在解題初期所繪的草圖，草圖中的五邊形為一個視覺整體，圖 4-2-7B 為丙生在平行軸出現後，理解平行關係後所繪製的草圖，圖上的數字表示在構圖過 程中該線段出現的順序。圖4-2-7A 中顯示平行軸是最後出現的線段(標號 8)，而理 解平行軸的意義之後，重新畫圖時，為了表徵平行關係，圖4-2-7B 中的標號為 1,2,4 號的三條線順序，較圖4-2-7A 中順序提早出現，尤其是平行軸(標號 2)，出現順序 的改變是最多的。
圖4-2-7：構圖順序與問題情境的理解(以丙生為例)
圖A 圖B
（三）GSP 組與非 GSP 組均很少使用符號策略，但在非 GSP 組中，符號的使用具 關鍵意義
本題解題過程中，兩組均沒有運用到符號運算，符號僅用於命名或標記，而且 次數很少(表 4-2-8)。原因可能在於平行軸出現之後所喚起的知識多和幾何知識有 關，思考方式則偏向圖形關係或命題思考的推理上，因此不需要以符號進行運算，
符號僅用來表示幾何物件或是幾何量的標記。
但在非 GSP 組中，符號的使用卻具關鍵意義，丙生對於符號的命名與標示隨 著理解題意改變，尤其當丙生將表示∠DBE 的符號α+β拆成α與β時，顯示其更深入 理解題意；丁生唯一一次使用符號時，亦是透過符號理解問題，進而確認平行軸的 存在(詳見 p.93)。
表4-2-7：第二題GSP 組與非 GSP 組符號策略之次數分配
符號策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
命名 2 0 2 0
標記 0 0 2 1
總計 2 0 4 1
（四）解題策略受表徵方式的影響較大，解題環境所造成的差異較小
在本題中，丙生與丁生以概念表徵兩倍關係，透過符號進行演繹推理活動，利 用重新畫圖理解問題。GSP 組的甲生以對稱觀點表徵兩倍關係，甲生善用 GSP 所 提供的作圖工具，而非實驗工具，視覺策略的使用多偏向維持視覺清晰性，在啟思 策略上也多以邏輯演繹為主。因此甲生呈現的表徵數量、表徵轉換方式、解題時間 與啟思策略使用方式較類似非 GSP 組的表現。這說明表徵方式影響策略，解題環 境所造成的差異較小。
相較之下，乙生意圖以 GSP 所提供的實驗工具，同時表徵五邊等長與兩倍關 係，因此可能多偏向具實驗特質的啟思策略，如：猜測、嘗試錯誤，在操作 GSP 上，則多運用探索實驗功能為主的策略，如：測量、計算與拖曳。
暫時打破GSP 與非 GSP 的分組方式，從實驗特質與理論特質的觀點重新將解 題策略分成實驗特質與理論特質的解題策略，並且將甲生與非 GSP 組成員排在一 起，將相關結果彙整如表4-2-7，可以此說明表徵對於策略的影響，遠超過工具(環 境)對於策略的影響。
表4-2-8：第二題以實驗與理論特質分類的解題策略次數分配
解題策略類型 乙生 甲生 丙生 丁生 實驗
特質
嘗試錯誤 2 0 1 0
猜測 2 1 0 1
測量計算拖曳 8 1 0 0
總計 12 2 1 1
理論 特質
重新畫圖 2 2 3 2
符號策略 0 2 4 1
邏輯演繹 0 5 2 3
總計 2 9 9 6