第肆章 研究結果與討論
本章分為五節，第一節到第四節針對本研究中四個幾何問題之解題表現進行逐 題分析，第五節為使用與不使用GSP 之解題策略比較。
第一節 第一題解題表現與分析
文獻指出GSP 除能夠精確作圖外，亦能提供視覺操弄的功能以探索問題情境。
為瞭解解題過程中，使用GSP 是否較容易形成表徵進而成功解題，因此設計本題。
題目如下：
銳角△ABC 中， AH 是
BC
邊上的高，T 在BC
上且 AT 是∠CAB 的內角 平分線，若D,E 分別是 AB ,AC
上的點，TD 垂直 AB 且TE 垂直AC
，試証：∠AHD=∠AHE
本小節先說明問題特色，然後依序按解題時間、表徵與表徵轉換、過程策略、
反思行為等四個部分說明GSP 組與非 GSP 組學生之解題表現。
一、問題特色
本題解法大致如下：
1. ∆ATD≅∆ATE(ASA)，則 ATD= ATE∠ ∠ 與AD=AE；
2. A,D,T,E 四點共圓(對角互補)且 AT 為直徑；
3. A,H,T,E 四點共圓(對角互補)且 AT 為直徑；
4. 由 2 與 3 可知 A,D,H,T,E 五點共圓；
5. 由 4， ATD= AHD(∠ ∠ 同對AD 弧)且 ATE= AHE(∠ ∠ 同對AE 弧)
H D
E
B T C
A
6. 由 1，AD 弧=AE 弧(等弦對等弧)，因此 AHD= AHE∠ ∠ 。
圖 4-1-1：第一題的關鍵表徵：A,D,H,T,E 五點共圓
本題的關鍵在於解題者能否形成A,D,H,T,E 五點共圓表徵，並以此解題；五點 共圓是推出∠AHD= AHE∠ 的前提。從邏輯演繹的觀點來看，四點共圓表徵是五點 共圓表徵的基礎，解題者應先確認四點共圓之後，才能推得五點共圓表徵。因此將
「確認四點共圓表徵」、「確認五點共圓表徵」及「解題完成」等時間做為本題關鍵 時間。本題有兩個部分需要精確作圖，一是 HD、TD、HE 與 TE 四條線段可能產 生視覺上的干擾，造成解題困難；二是五點共圓圖形，可能不易精準繪製從而產生 誤解。
二、解題時間
彙整四位解題者之解題時間，如下表4-1-1 所示：
表 4-1-1：第一題 GSP 組與非 GSP 組解題關鍵點出現之時間
解題關鍵點 GSP 組 非GSP 組
甲生 乙生 平均 丙生 丁生 平均 確認四點共圓表徵 2:48 15:21 9:01 55:29 47:34 51:32 確認五點共圓表徵 4:02 20:07 12:05 57:16 60:46 59:01 解題完成 6:35 22:16 14:26 57:50 67:59 62:55
由上表可知各解題者與各組之解題表現結果，從中發現下列事實值得探討：
1. 非 GSP 組的解題平均時間比 GSP 組的解題平均時間約多 49 分鐘，主要原因 是非GSP 組確認四點共圓關鍵表徵的平均時間比 GSP 組的平均時間約多 43 分鐘；
2. GSP 組確認五點共圓表徵到解題完成的平均時間短且一致，顯示 GSP 能提 供清晰的視覺表徵，利於解題；
3. 丙生確認四點共圓表徵的時間是四個人最慢的，但從確認四點共圓表徵到解 題完成僅約2.5 分鐘，卻是四個人最快的，是因為丙生在形成四點共圓表徵 過程中，發現許多和共圓有關的事實，其對於五點共圓的發現與利用同弧證 明等角的步驟預先留下伏筆，因此能確認四點共圓表徵後迅速解題；
4. 丁生的表現：「確認四點共圓表徵到五點共圓表徵的時間差」及「確認五點 共圓表徵到解題完成的時間差」是四個人最長的，是因為丁生確認四點共圓 表徵之後，仍重新檢查一遍，再找出第二組四點共圓之後，才確認五點共圓 表徵；在形成五點共圓表徵之後，由於操作視覺策略之故，造成延宕。因此，
丁生之三個關鍵時段的時間差較其他受測者長；
5. 甲生與乙生確認四點共圓表徵的時間差距大(約 13 分鐘)，係因乙生嘗試以相 似、旋轉等方式表徵題意失敗後，才根據經驗考慮以圓的觀點解題，甲生利 用專家知識說明AT 是直徑之後，即形成四點共圓表徵，因此時間差距大。
6. 乙生確認四點共圓表徵到五點共圓表徵的時間差(5 分鐘)較同組甲生來得多 (約為 4 倍)，係因為乙生約花 3 分鐘重組圖形關係，發現 T 可能在圓上，約 花1.5 分鐘實施拖曳檢驗而確認之，甲生直接使用專家知識，則不需要經過 這個程序。
三、表徵與表徵轉換
本段分成三部分，第一部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵數量與類型的 差異，第二部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵轉換之類型的差異，第三部分 說明使用GSP 有助於關鍵表徵(五點共圓)的形成。
(一) 表徵
解題過程中所產生的表徵數量，如表4-1-2 所示：
表4-1-2：第一題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵類型之次數分配
表徵類型 GSP 組 非GSP 組
甲生 乙生 平均 丙生 丁生 平均
草圖 2 3 2.5 1 1 1
符號關係 0 0 0 1 0 0.5
演繹陳述 1 0 0.5 6 4 5
總計 3 3 3 8 5 6.5
根據表 4-1-2 之數據，有下列發現：
1.使用 GSP 所產生表徵數目較少
從表4-1-2 得知，使用 GSP 解題者所產生的表徵數目較不使用 GSP 的解題者 平均數目少3.5 次。表徵數目少的原因在於使用 GSP 有助於形成關鍵表徵，非 GSP 組的解題者需要在形成四點共圓表徵之前，對於問題情境進行更深入的理解，以丙 生為例，在形成四點共圓表徵之前，至少要產生5 個表徵做為產生共圓表徵的背景 知識(表 4-1-3)，相較之下，以乙生(GSP 組)為例，當作出 A,D,H 三點的外接圓之後，
圖形顯示題目中另外兩個點T,E 都落在圓上(圖 4-1-2A)，GSP 直接呈現五點共圓的 資訊，不需要形成其他表徵做為五點共圓的知識基礎，因此 GSP 組所產生的表徵 數量少。
2.非 GSP 組之解題者多以演繹陳述呈現表徵，GSP 組之解題者多以草圖呈現表徵 由於本題的圖形線段重疊，在視覺干擾下，不使用 GSP 的解題者必須利用知 識系統或是其他輔助方式表徵問題，在符號表徵遭遇相當困難時，表徵方式以演繹 陳述方式居多(表 4-1-2)。
不使用 GSP 的解題者是一步一步揭露四點共圓的資訊，在沒有輔助視覺系統 的支援下，解題者需要應用豐富的知識系統以及其他能力形成表徵，因此形成四點 共圓表徵的過程是轉折迂迴且多為演繹陳述。相較之下，GSP 繪圖的結果直接呈現 解題所能用到的資訊，解題者利用 GSP 所提供各種功能操弄圖形即能形成關鍵表 徵，因此產生關鍵表徵的數量少且以圖形居多。
以丙生(非 GSP 組)為例，將原命題轉換成證明「∠ADH 和∠AEH 的差為∠B 和
∠C 的差」(表徵 B1)之後即嘗試從兩個觀點理解題意，因此產生的表徵可分成兩類(相 關符號與說明請參見表4-1-3)：第一類在於理解∠ADH 和∠AEH 的關係(B3與B5)；
第二類則以數學性質或理論解譯∆ADH 與∆AEH 的關係，如：SSA 性質(B2)與正弦 定理(B4)，其中 B1, B2,B3,B4以演繹陳述呈現，B5以符號關係呈現。
相較之下，GSP 繪圖的結果直接呈現解題所可能用到的大量資訊，解題者僅提 取部分資訊做為表徵之用，在形成命題檢驗失敗之後，仍試圖提取其他資訊，繼續 表徵問題，直到形成合適表徵或是決定放棄，因此在解題過程中多以草圖呈現表 徵；但 GSP 精確作圖的結果，使得繪圖結果與問題情境所呈現的事實非常接近，
因此經過各種操弄與實驗，蹦出解題的火花。
以乙生為例，約在解題開始後4 分 10 秒繪完圖形並透過拖曳調整圖形，之後 除了進行1 次測量角度與連接 HD 與 HE 之外，並沒有對於圖形進行任何的操作，
一直到13 分 25 秒才有動作，這段時間內乙生透過觀察，嘗試以對稱、旋轉與相似 表徵問題但均告失敗，根據過去解題經驗，決定再次從弧度觀點表徵問題，他說：
120204 因為記得以前好像也曾經碰過類似的東西 (2007,3,21) 120061 想看看可不可以從弧度下去想 (2007,3,21)
表4-1-3：第一題丙生（非 GSP 組）的表徵轉換過程
表徵概述 表徵形式 表徵轉換 備註 A：依題意直譯成圖
1-1
2-1-1 B1： 以 演 繹 方 式 陳 述∠ADH 和
∠AEH 的差即為∠B 和∠C 的差 1-3 丙生以符號與演繹 方式理解∆ADH 與
∆AEH 關係，歷時 約48 分鐘。此階段 對於四點共圓表徵 助益很大，產生 B5 之後約37 秒之後，
產生新表徵C。
2-1-3 B2：以SSA 性質說明∆ADH 與∆AEH
關係 1-3
2-1-3 B3： 以 演 繹 方 式 陳 述∠ADH 和
∠AEH 的差為∠1+∠2 1-3
2-1-3 B4：以正弦定理說明∆ADH 與∆AEH
關係 1-3
2-1-3 B5：以符號表示∠AHD 與∠AHE 的
角度 1-2
2-1-2 C：以演繹方式說明 ADTE 四點共
圓 1-3 前階段已為產生共
圓墊定基礎，因此 產生C 至成功解題 僅歷時3 分鐘 2-1-1
D：以演繹方式說明 ADHTE 五點共 圓（成功解題） 1-3
註：表徵形式與轉換代碼請參見表3-6-1 及 3-6-2
在繪圖完成之後，解題過程即呈現觀察圖形→視覺確認→質疑→拖曳確認的循 環。在作出A,D,H 三點的外接圓之後，圖形顯示題目中另外兩個點 T,E 都落在圓上，
局勢逐漸明朗，約經過1 分 30 秒作圖之後，展開一次循環，乙生發現 A,D,H,E 四 點共圓，約4 分鐘之後，開始另一次循環，發現 T 可能會落在 A,D,H,E 四點所決定 的圓上，而開啟成功解題之門。以下口語資料可說明形成第二次循環─發現到確認 五點共圓表徵的過程：
(乙生，2007,3,21)
120088 喔！看到了！ [觀察]
120094 T 應該也會在，也會在圓上[確認]
120096 是嗎 [質疑]
120097 T 應該也會在圓上 [利用拖曳檢驗確認]
120099 哇 天啊 [利用拖曳檢驗確認]
120100 嗯 T 會在圓上 [拖曳檢驗完成]
(二) 表徵轉換
針對解題過程中所產生的表徵換數量與類型，如表4-1-4 所示：
表 4-1-4：第一題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵轉換之次數分配
表徵轉換類型 GSP 組 非GSP 組
甲生 乙生 平均 丙生 丁生 平均
等價變換 1 0 0.5 2 1 1.5
整併 1 1 1 1 1 1
突變 0 1 0.5 4 2 3
總計 2 2 2 7 4 5.5
根據表4-1-4 之數據，有下列發現：
1. GSP 組表徵轉換次數較少，以「整併」型表徵轉 換較多
由於 GSP 組所產生的表徵數目平均只有 3 次(表 4-1-2)，因此表徵轉換的次數 較少，平均只有2 次(表 4-1-4)。表徵轉換的形式以「整併」型較多(各 1 次)，均發 生於四點共圓表徵轉換成五點共圓表徵時，此過程中，解題者必須在四點共圓的基 礎上，整合GSP 所提供的視覺資訊，才確認五點共圓表徵。
2. 非 GSP 所產生表徵轉換方式則以 「突變」型最多
「突變」型表徵轉換以丙生產生最多(4 次)，這是由於解題者採用兩種策略：「以 符號建立∠ADH 與∠AEH 的數學關係」與「以數學性質或理論探求∆ADH 與∆AEH 的關係」解決問題，當某一種策略受阻時，丙生「回頭」尋找先前表徵的部分資訊，
∠ADH 和∠AEH 關係
∆ADH 與∆AEH 關係
B1
B2
B3
B4
B5
企圖從中突破困境，表徵轉換的過程呈現”跳躍”的情形顯示解題者輪流以兩種策略 理解問題的結果(圖 4-1-3)。
圖4-1- 2：丙生解題過程中表徵轉換呈現跳躍方式(表徵類型見表 4-1-3)
(三) GSP 有助於關鍵表徵（五點共圓）之形成
GSP 組在確認四點共圓表徵的平均時間上較非 GSP 組約快 42 分鐘(表 4-1-2)，
從確認形成四點共圓表徵與五點共圓表徵之間的平均時間上，GSP 組較非 GSP 組 約快4 分 15 秒(表 4-1-2)。
GSP 繪出四點共圓的圖和五點共圓的圖是同一個(圖 4-1-2A)，甲生極可能在形 成四點共圓表徵時，也形成五點共圓的表徵，再者，在產生四點共圓表徵之後，解 題者不需要重新構圖，僅透過觀察與拖曳檢驗便確認五點共圓表徵，因此確認形成 四點共圓表徵與五點共圓表徵之間的平均時間上較非GSP 組約快 4 分 15 秒。
以甲生為例，他在確認四點共圓表徵與五點共圓表徵之間僅有 1 分 14 秒的差 距(表 4-1-2)，其中花了 40 秒在作圖與解釋四點共圓的理由，從發現 H 可能在圓上 到完成拖曳檢驗而確定H 在圓上僅花了 19 秒，因此可判斷在甲生發現四點共圓時，
也發現了五點共圓的事實，在後測訪談中，甲生確認這件事。
圖4-1-3：A,D,H,T,E 五點共圓的草圖
圖A 圖B
徒手繪製四點共圓的草圖時，由於不清楚第五點是否會共圓，因此並沒有把第 五個點畫在圓上，丁生所繪製的草圖(圖 4-1-2B)即呈現這個事實，丙生也有同樣的 情況，特別是丁生，是找出兩組四點共圓之後，才得到五點共圓的事實，因此確認 四點共圓與五點共圓之間的時間較長。
形成五點共圓表徵之後，GSP 組多能在兩分半以內證明完成，丁生(非 GSP 組 則約花七分鐘之後證明完成(表 4-1-2)，這顯示 GSP 作圖結果能清楚表徵題意，有 助於解題。
丙生在形成五點共圓表徵過程中，發現許多和共圓有關的事實，已對於共圓的 發現預先留下伏筆，因此雖然丙生不使用GSP，但能夠迅速確認四點共圓表徵到確 認五點共圓表徵(1 分 47 秒，參見表 4-1-1)。說明如後(表 4-1-3)：
丙生關注∠ADH 與∠AEH 的差，若探討∠ADH 與∠AEH 的和，可能會發現和 為180 (對角互補)而提早發現 A,D,H,E 四點共圓；產生表徵 B0 2之後，丙生已經從 SSA 不全等性質推出∠ADH+∠AEH=180 (口語資料：130074，2007,2,13)，只不過0 並沒有更進一步推導出四點共圓；產生表徵 B4(以正弦定理說明∆ADH 與∆AEH 關 係)後意謂著丙生已經知道答案可能和∆ADH 與∆AEH 的外接圓有關，只是當時認 定這兩個外接圓不需要是同一個圓(口語資料：130189，2007,2,13)；當產生表徵 B5
之後，發現∠ATE、∠ATD、∠AHE與∠AHD都相同，即領悟到本題關鍵「角相 等，對同一邊，都共圓」，「角相等」是形成表徵 B5之後對於問題的理解，「對 同一邊，都共圓」則連接自表徵B4的深入理解，在這段48 分鐘的探索過程中，產 生5 個表徵能豐富五點共圓的背景資訊，因此丙生能迅速從確認四點共圓表徵到確 認五點共圓表徵(1 分 47 秒，參見表 4-1-1)，不因沒有使用 GSP 而變長。
四、過程策略
針對解題過程中GSP 組與非 GSP 組所應用之解題策略次數分配，如表 4-1-5 所示：
表4-1-5：第一題GSP 組與非 GSP 組解題策略之次數分配
策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
啟思策略 7 4 14 13
符號策略 0 0 19 10
視覺策略 5 4 11 10
GSP 特殊策略 1 3 0 0
總計 13 11 44 33
比較GSP 組與非 GSP 組在解題過程中所產生的策略，有以下五點結論：
（一）非GSP 組之策略數量較多
總數上，非 GSP 組採用的策略平均次數較 GSP 組多 27.5 次(表 4-1-5)，除了 GSP 特殊策略之外，非 GSP 組在使用三項分策略的平均次數皆高於 GSP 組。GSP 組完全沒有用符號策略，非 GSP 組使用符號策略的平均次數高達 16 次，是兩組 間最大的差異(表 4-1-5)。
（二）在啟思策略上，非 GSP 組在解題過程中，交互使用猜測、演繹邏輯與逆推 策略，並沒有集中性；GSP 組多在關鍵表徵出現之後採用演繹邏輯
非 GSP 組使用較多的啟思策略，詳細探究其原因發現：GSP 組僅使用演繹邏 輯為啟思策略，而非 GSP 組使用多元的啟思策略且呈現個人特色(表 4-1-6)，丙生 以演繹推理與逆推法居多，丁生以演繹推理與猜測居多。非 GSP 的解題者則在解 題過程中，交互使用猜測、演繹邏輯與逆推策略，並沒有集中性。以丁生為例，丁
生採取啟思策略雖集中於7 到 16 分鐘之間與 47 到 68 分鐘之間(圖 4-1-4)，但並沒 有如乙生一樣集中在形成五點共圓表徵至證明完成之間。
表4-1-6：第一題GSP 組與非 GSP 組啟思策略之次數分配
啟思策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
猜測 0 0 1 4
使用專家知識 0 0 1 0
演繹邏輯 6 4 6 7
從答案逆推 0 0 6 2
總計 6 4 14 13
「啟思策略上不具集中性」意謂著解題者必須針對解題階段實際發展的需要，
使用不同的啟思策略。以丁生為例，在形成四點共圓表徵前之探索階段，以猜測及 逆推為主，在證明題中，從欲証命題逆推或是代換成等價命題能夠使得解題有所進 展；產生四點共圓表徵之後，解題有重大的突破與進展，證明方向亦大致確定，配 合猜測，解題者多次利用四點共圓為前提進行演繹推理，終於確定五點共圓表徵；
產生五點共圓表徵之後即具備充足解題資訊，則以演繹推理獲得結論。
兩位使用GSP 的解題者在解題過程中，則產生啟思策略集中的現象。甲生與 乙生分別使用6 次與 4 次演繹推理的策略(表 4-1-6)，其中 4 次集中在形成五點共圓 表徵之後至證明完成之間，這顯示GSP 組的解題者從 GSP 所提供的視覺解題資訊 中充分蒐集與彙整之後，才以演繹推理獲得結論。
逆向推理與符號運算的策略中都具有演繹推理的成分，只不過逆向推理的前提 是欲証的結論，符號運算則強調以符號為主的推理活動，由此可知，在GSP 環境下 的推理活動集中在關鍵表徵出現至解題完成之時段，根據探索活動中所收集的資料 以口語方式進行演繹推理。
圖4-1-4：丁生採取啟思策略的分佈方式
（三）非GSP 組使用符號策略進行邏輯演繹，GSP 組完全沒有運用符號策略 在解題過程中，GSP 組完全沒有運用符號，而非 GSP 組使用符號標記支援推 理思考，丙生曾數度嘗試以符號表徵問題，因此較常以符號做為運算推理工具(表 4-1-7)。
表4-1-7：第一題GSP 組與非 GSP 組符號策略之次數分配
符號策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
命名 0 0 2 0
標記 0 0 11 8
運算 0 0 6 2
總計 0 0 19 10
非GSP 組在使用標記上次數最多，使用標記至少有兩種功能，以丙生為例(圖 4-1-5)，標記的功能在於：1.簡記已知條件或先前推得的結果；2.標示欲證明或求解 的目標。而標示已知條件或先前推得的結果有助於彙整與回顧解題資訊，標示欲證 明或求解的目標則有自我提醒的目的。在丙生解題過程中，研究者曾誤解丙生畫弧 線的目的：
130052 研：這畫這個符號(指橫跨 ADH∠ 與∠AEH 的弧線)的意思是 這兩個角 一樣是不是？
130053 不是，那兩個角，就是我要觀察的。
圖4-1-5：標記的目的(丙生為例)
由此可知，丙生運用標記具有後設目的，注意解題過程中「已知」與「結果」
之間的連結。
雖然，在本研究定義下，使用GSP 解題者完全未運用符號策略，可能係因 GSP 功能之限制所致，但使用 GSP 之解題者能嘗試利用視覺策略達成類似標記策略之 功能，例如：變換線條顏色、粗細或標示區域顏色等。
此外，命名策略可能與運算策略有密切關係，非 GSP 之解題者在採取運算策 略之前，通常會先對運算之元素進行命名以形成算式之表徵。這可能也是 GSP 解 題者未採用運算策略之原因。
（四）GSP 組與非 GSP 組均運用視覺策略維持視覺簡約性以獲取解題資訊，進而 表徵問題
本題所使用的視覺策略次數彙整於表 4-1-8，從表 4-1-8 可知：不論是 GSP 組或是非 GSP 組均需要運用視覺策略維持視覺簡約性以獲取解題資訊，進而表徵 問題；視覺策略中增刪圖形、變換樣式與重新畫圖次數均以非 GSP 組使用較多，
非GSP 組使用較多視覺策略以維持視覺簡約性，反而突顯 GSP 所提供強大的視覺 功能。
以"雙斜槓”表示先 前推得的結果
以弧線標示 欲證明的目標 以 圈 號 表 示
表4-1-8：第一題GSP 組與非 GSP 組視覺策略之次數分配
視覺策略類型
GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
重新畫圖 0 0 3 1
增刪部份圖形 3 2 6 5
調整圖形 1 2 0 0
變換樣式 1 0 2 4
總計 5 4 11 10
從徒手繪圖與 GSP 繪圖的特性來看，更能解釋視覺策略分配情況。徒手繪製 的圖概略呈現題意所敘述的幾何關係，隨著更多隱藏訊息被挖掘時，增刪部份圖 形，一步一步接近題意中所呈現的事實(Nunokawa, 1994)，但徒手繪圖可能有誤差，
繪圖的結果僅能表徵題意，通常不是「真實顯現」；而GSP 所繪製的圖精確呈現題 意所敘述的幾何關係，除了表徵題意之外，更是真實顯現，一但繪圖完成時，便不 需要改變。這顯示手繪圖的特點是從不斷改變中接近真實，因此非GSP 組應有較多 的增刪圖形、變換樣式與重新畫圖的次數。
圖的表徵與解釋的威力在於它的簡約性(Lowe, 1994)，在解題過程中將產生許 多輔助理解資訊的符號標記，但過多的資訊同時陳列在圖形上，可能無法從中獲取 資訊或可能導致訊息錯誤連結(Presmeg, 1986)，因此需要重新畫圖(Polya, 1957；
Lawson & Chinnappan,1994)。以丙生為例，在解題過程中至少重新畫圖 3 次，對於 丙生而言，重新畫圖的目在於維持圖形的簡約性以便提取資訊，同時也有調整注意 的焦點，從以下口語資料可知：
(丙生，2007,2,5)
130020 因為上面那個太複雜，我只要看…，我等一下只要看我要的線，線的圖就 好
130103 喔因為我現在要，注意算那個角，角 1 加角 2 的那個 130134 對啊，然後要畫精簡一點，要不然亂七八糟看不懂
口語資料 130134 顯示圖形可能喪失了簡約性，所以”要畫精簡一點”，而造成 提取資訊的不便；口語資料 130103 中” 注意算那個角”則顯示重新畫圖的積極意 義，擬藉由重新畫圖來調整注意的焦點，這個轉換可能牽動更多的轉變；口語資料 130020 則呈現雙重目的，當圖形不再簡約可辨時(”上面那個太複雜”)，重新畫圖能 夠刪去不必要的干擾，僅注意特定的訊息(”只要看我要的線”)。
重新畫圖固然有維持圖形簡約性與聚焦的效果，但也可能在重畫的過程中造成 轉譯的錯誤或是遺失或扭曲資訊。丁生雖然僅有1 次重新畫圖，但常擦去部分圖形 以維持視覺上的簡約性，必須在草圖中取捨，擦去他認為次要的部分(Polya, 1957)，
但在擦去次要部分時，可能擦去某些參考的視覺框架，或是擦得不夠完整導致訊息 干擾。以丁生的例子來看，雖然從共圓的條件中找到角度相等的條件，不過把關鍵 的圓擦去之後就無法從圓的角度繼續發現「等角且對同弧」的解題資訊，導致丁生 在此遇到瓶頸，顯然他發現這個問題，約四分鐘後，把擦去的圓補上。下面有一段 口語分析可說明其過程：
(丁生，2007, 2, 7)
140096 我先試一下…這個四點共圓的圖 圓好難畫 好醜喔 1 分 30 秒後，擦掉畫好的圓並提出解釋：
140105 因為我找到角度相等應該就可以了，這樣比較清楚 但1 分 10 秒之後，卻說：
140107 亂掉了
在 GSP 的環境中沒有重新畫圖的例子產生，解題者多半以隱藏物件或是更換 線條粗細與顏色，甚至以放大或調整相關物件位置的方式提高視覺上的可辨性，由
此 GSP 能提供清晰視覺資訊的優點，解題者不需要冒著重新畫圖或減少擦去部分 圖形的風險，影響問題表徵的形成以及解題的成效。
（五）在GSP 特殊策略上，拖曳策略可縮短確認關鍵表徵的時間
GSP 組的解題者多於檢驗共圓命題時應用拖曳檢驗(平均 1.5 次)，非 GSP 組的 解題者則以「對角互補」(丁生)或「直徑上的圓周角為直角」(丙生)做為發現或檢 驗共圓的工具(表 4-1-9)。以拖曳的方式確認共圓，所花費的時間約為 0.5~1 分鐘(口 語資料120085~120088, 120096~120100)，而丁生從四點共圓至確認五點共圓，則花 了12 分鐘(表 4-1-1)。
僅乙生使用1 次測量角度的功能，於畫圖完成後即測量欲証的角度，雖然預先 得知角度相等的事實，不過還是對解題沒有幫助。
表4-1-9：第一題GSP 組與非 GSP 組 GSP 特殊策略之次數分配
GSP 特殊策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
拖曳檢驗. 1 2 0 0
測量長度 0 1 0 0
總計 1 3 0 0
五、反思行為
比較GSP 組與非 GSP 組的解題過程中所產生的反思行為，有以下三點結論(參 表4-1-10)：
（一）GSP 組之反思行為較少
GSP 組容易發現關鍵表徵完成解題任務，故反思行為較少。反思行為所展現的 具體行動是解題過程中的一種趨力，影響過程中任何一個階段的認知行為(Lester, 1994)；非 GSP 組的解題者在表徵數量、表徵轉換數量及解題策略使用次數較 GSP
組為多，因此反思行為所產生的次數亦多。刪除未使用過的反思行為後，將本題所 使用的反思行為次數彙整於表4-1-10。
表4-1-10：第一題 GSP 組與非 GSP 組所產生的反思行為類型與數目
反思行為類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
覺知 任務覺知 1 1 5 1
策略覺知 0 0 4 3
小計 1 1 9 4
評估 結果預見 0 1 2 15
策略比較 0 0 1 3
質疑 1 3 6 3
回顧 1 0 6 7
小計 2 4 15 28
校正 發生偵錯事件 0 2 5 1
重新改變作法 1 2 3 7
小計 1 4 8 8
總計 4 9 32 40
（二）反思行為有助於表徵或策略的選擇
解題過程的挫折促使受測者調整部分解題觀點或策略。以丁生為例，其反思行 為與解題時頻頻遇到挫折有關，遇到挫折時，解題者需要對於策略提出評估與校 正，以下原案說明丁生擬直接利用符號建立角度關係(策略)，遇到挫折後所產生的 反思行為：
(丁生，2007,2,7)
140027 呃…我想試試看能不能…最直接的就是用 α、β 能標出這些角度，那是最 好，或是標出它附近的角搞不好可以找出一些全等或是相似之類的[策略]
140028 好醜喔 [反思─結果預見]
140031 現在就是利用 α 跟 β 然後想標出某些我想知道的角度 [策略]’
140034 我覺得數字太醜這樣有點好像擾亂自己的感覺 [反思─結果預見]
在這兩分鐘過程中，丁生至少進行兩次反思，其中「好醜喔」意謂丁生以α、
β 標示其他角度時，所獲得的答案並不讓他滿意，似乎無法預見好結果。1.5 分鐘後，
還是遭遇類似的感受。約3.5 分鐘之後，丁生改變策略，嘗試尋找圖中相似三角形 外，仍保留以符號建立角度的企圖，經過3 分鐘的努力，還是宣告失敗：
140039 因為我想要知道這兩個角相等，我想要有相似 所以我就在猜有沒有哪個 跟哪個會相似，所以我現在先猜這個，然後下一步我想再一次試著利用α、
β，就是反正我想要證明它們兩個相似，先看一下它們會不會相似 [策略]’
140042 我現在試著想要求出∠HDT 這個小的角度 [策略]
140043 數字太多自己弄混了，只是繞了一圈 [反思─回顧]
解題過程的挫折使丁生調整部分解題觀點，聚焦於尋找可能的相似三角形組，
但原則上還是以符號表徵角度，當所有可行策略都用完時，丁生決定進行更徹底的 改變。嘗試以相似、旋轉觀點表徵題意，但遭遇符號與視覺上的困難，在解題開始 後的 44 分鐘要求休息，丁生檢討失敗原因在於無法跳脫原有思考模式，一直想嘗 試以符號算出角度：
140073 我還是…我覺得我一直困在想要做到我想要做到的事情上面…就是算出 這些角度然後證明它相似…
他認為該重新閱讀題目，從巨觀的角度出發，求得突破：
140073 然後我想要…就是重新看一次題目，然後重新思考一下，然後從比較巨觀的 角度來看這個題目，能不能看一些新的東西
挫折促使解題者調整部分解題策略，也可能促使解題者改變表徵問題的方式。
以丙生為例，他是在「以符號建立∠ADH 與∠AEH 的數學關係」與「以數學性質或
理論探求∆ADH 與∆AEH 的關係」兩種觀點間變換相互輪替而產生跳躍式的表徵轉 換(圖 4-1-3)，而這個過程伴隨著反思行為，引用以下原案說明之：
約在產生表徵 B1九分鐘後，丙生認為沒有充分利用所有條件，所產生的表徵 不足以解決問題：
130070 只是一直沒有什麼用到那個用到 AT 角平分線，就是用到 DE 兩點的那個 關係 [對任務的覺知] (2007,2,13)
因此丙生利用AT 為公共邊、角平分線到兩邊等距的性質(AD=AE)與題目中欲 証的等角關係(∠AHD=∠AHE)產生新的表徵 B2：
130074 而且我一直覺得它有點像 SSA …[對任務的覺知] (2007,2,13)
以 SSA 表徵問題仍然遇到瓶頸，丙生又回到角度的觀察與計算，試以符號建 立角度關係，於是產生表徵 B3，再度嘗試以符號建立∠AHD 與∠AHE 的關係，不 過，丙生意識到困難，他說：
130107 可是好像，好像，好像會就是 就是好像會跟原來一樣 [策略預見]
(2007,2,13) 130143 我覺得光用角度，應該沒辦法 [策略預見] (2007,2,13)
從以上的分析中，可知反思行為和解題時所遭遇到的挫折有關，遭遇挫折時的 反思行為能夠促使表徵轉換與改變解題策略。丙生解題過程中雖遭遇困難促使表徵 轉換方式呈現跳躍方式，不過卻能因此深入理解和解題目標有關的各種關係，替成 功解題預留伏筆。
（三）反思行為之類型與解題者習慣之解題策略有關 從上述分析可知反思行為和解題時所遭遇到的挫折有關，反思行為的類型和解 題策略有關。「重新畫圖」(視覺策略)和「重新改變作法」(校正)之間的界線不容 易區分；以「嘗試錯誤」解題(啟思策略)可能需要經過較多的評估，因此「結果預
見」的次數可能較多；「符號標記」的使用(視覺策略)可能和解題者對於任務或策 略的覺知有關。
以丙生為例，可能是根據過去經驗，在面對複雜圖形時，利用標記對於目標加 以註記，標記的目的在於連繫現況與目標。他說：
130018 我要標示，因為這個圖很多線，所以我要看清楚是哪兩個角(相等)1
六、小結
在本題中，形成四點共圓與五點共圓表徵是本題的解題關鍵。在解題過程中，
GSP 能精確表徵並能透過視覺操弄探索問題情境(Hanna, 2000)，因此使用 GSP 之 解題者能較快形成關鍵表徵。
GSP 能精確表徵題意使得 GSP 組的解題者僅需要少數表徵即能理解問題且表 徵轉換過程平順，以資訊整併為主，因此表徵數目較少(平均 3 個)，表徵轉換類型 以「整併」型居多(平均 1 次)；非 GSP 組的解題者則需要較多表徵數目(平均 6.5 個)，表徵變換以「突變」型最多。
由於GSP 能提供豐富的視覺資訊，因此 GSP 組表徵方式以草圖居多(表 4-1-2)；
非GSP 組且多以演繹陳述呈現表徵，因此非 GSP 組在解題過程中需要仰賴較多的 視覺及符號策略。GSP 能提供豐富的視覺資訊，使得解題者在大多數時間中，以 GSP 所提供的探索功能蒐集解題資訊，直到拖曳檢驗確認五點共圓之後，才以演繹 推理獲得結論，因此演繹推理的啟思策略集中在形成五點共圓表徵之後的推論活動 中，非GSP 組則無此現象。
由於解題過程順利，GSP 組的反思行為次數少(平均 6 次)。
1 這句話顯示丙生知道當遇到很多線的圖(任務)，就要利用標示，以免看不清楚。因此，在策略編 碼上是「符號標記」(2-2-7b)，在反思行為編碼上是「任務覺知」(3-1-2)。
第二節 第二題解題表現與分析
透過 GSP 能迅速精確作圖，有助於理解題目所呈現的幾何關係，但由於直接 呈現結果，因此可輕易看出數學性質，降低了證明的需求或是發展證明的機會，對 於推理過程不見得有幫助。為瞭解軟體直接呈現結果對於問題表徵形成方式、解題 策略與反思行為所造成的影響，因此設計本題。第二題題目如下：
各邊相等的凸五邊形ABCDE 中，若 ABC=2 DBE∠ ∠ ，求∠ABC=？
本小節說明第二題問題特色後，依序分解題時間、表徵與表徵轉換、過程策略、
反思行為等四個部分依序說明GSP 組與非 GSP 組學生之解題表現。
一、問題特色
本題的解法大致如下(參考圖 4-2-1)：
1. 連 BE 與 BD，從五邊等長條件推得 ABE= AEB∠ ∠ 且∠CBD= CDB∠ ； 2. 令α= ABE∠ 且β= CBD∠ ，從題目中「兩倍關係」( ABC=2 DBE)∠ ∠ 可知 DE
上必存在一個點P 使得 EBP=∠ α且 CBD=∠ β；
3. 利用內錯角相等，可知線段 AE、CD 與 BP 為相互平行的三線段；
4. AE 與 CD 平行且等長，則 AEDC 為平行四邊形，因此 AC=DE，從五邊等長條 件可知 AC=DE=CB=BA，則 ABC 為正三角形，故 ABC=60∠ ∘。
圖4-2-1：第二題關鍵：表徵兩倍關係與確認平行軸的存在
本題解題關鍵在於表徵題目中的兩倍關係，兩倍關係確定平行軸BP 的存在，
平行軸平行 AE 與 CD，可推出平行四邊形 AEDC，因此∆ABC 為正三角形。兩位
α B
A
E
D C
P α α
β β β
非 GSP 的解題者均迅速表徵兩倍關係而解題，恰當的表徵方式縮短解題時間，因 此非GSP 組的平均解題時間比 GSP 組約短 13 分鐘。
二、解題時間
研究設計與測驗前的訓練均要求受測者提供解釋，目的在於理解受測者解題歷 程的轉變以及釐清受測者獲得重要結果的理由。對於求解題而言，由於 GSP 提供 計算角度及長度的功能，解題者很容易透過這些功能直接得到答案，因此在解題者 回答60 度的答案後，需進一步設法提出答案為 60 度的解釋，可能導致解題關鍵出 現之時間反而較答案出現之時間來得晚。
本題關鍵在於能否恰當表徵題目中的兩倍關係，兩倍關係確定平行軸BP 的存 在，進而推出四邊形AEDC 是平行四邊形與∆ABC 為正三角形，因此紀錄平行軸、
平行四邊形與正三角形出現的時間。
解題時間彙整如下表4-2-1 所示：
表 4-2-1：第二題 GSP 組與非 GSP 組解題特徵出現之時間點
解題特徵 GSP 組 非GSP 組
甲生 乙生 平均 丙生 丁生 平均 草圖完成時間 01:42 19:31 10:37 01:11 02:28 01:49 平行軸存在的時間 02:00 未出現 02:00 03:52 04:52 04:22 平行四邊形出現的時間 08:27 34:28 21:28 05:55 07:15 06:35 正三角形出現的時間 09:01 34:25 21:43 07:46 07:35 07:41 回答60 度的時間 09:05 32:37 20:36 08:05 07:45 07:55
根據表4-2-1 之數據，有下列發現：
1. 非 GSP 組得到答案的時間(平均時間約 8 分鐘)比 GSP 組(平均時間約 20 分鐘) 來得短，造成差異的原因是乙生解題時間特別長，扣除乙生之後，甲丙丁三人 差異小；
2. 乙生草圖完成時間與解題完成的時間均和其他三位受測者差異很大，作答過程 中始終沒有發現平行軸的存在，從GSP 作圖結果回答答案為 60 度，並以此推 論而確認正三角形與平行四邊形的存在，因此解題特徵出現的順序和其他三位 受測者相反；
3. 乙生利用 GSP 繪圖、計算與拖曳功能逐步調整而得到五邊等長的五邊形，約 花19 分鐘，造成 GSP 組草圖完成時間較非 GSP 組約慢 9 分鐘，是造成兩組差 距的主要原因；
4. 在作答過程中乙生始終沒有發現關鍵平行軸的存在，甲生認為滿足題意中兩倍 關係的圖形必為對稱的，因此甲生(GSP 組)出現平行軸的時間較非 GSP 組的時 間約快2.5 分鐘，非 GSP 組均利用圖形與演繹推理而得到平行軸的時間反而較 晚；
5. 甲丙丁三人的解題時間相近，除了甲生確認平行軸存在到確認平行四邊形存在 的時間差較長之外，甲丙丁三人的解題時間相近，甲生從發現平行軸存在至確 認四邊形ACDE 為平行四邊形之時間差較非 GSP 組約短 4 分鐘，出現平行軸 至完成解題之時間差亦較非GSP 組約短 3.5 分鐘，顯示 GSP 為了完成精確作 圖所需要步驟較多，費時較久，非GSP 作圖結果雖不精確，卻足以表徵題意，
用以解題，故時間短。
三、表徵與表徵轉換
本段分成三部分，第一部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵數量與類型的 差異，第二部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵轉換之類型的差異，第三部分 說明使用GSP 對於形成表徵的影響。
(一) 表徵
解題過程中所產生的表徵數量與類型，彙整成為表4-2-2，如下所示：
表4-2-2：第二題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵類型之次數分配
表徵類型 GSP 組 非GSP 組
甲生 乙生 平均 丙生 丁生 平均
草圖 5 2 3.5 1 1 1
符號關係 0 0 0 2 1 1.5
演繹陳述 1 0 0.5 3 3 3
總計 6 2 4 6 5 5.5
根據上表，彙整成以下兩點結論：
1.非 GSP 組多以演繹陳述呈現表徵，表徵數目組內差異小
在本題中，雖然非 GSP 組多以演繹陳述呈現表徵，但在陳述幾何關係或利用 符號表徵題意之後，仍需要藉由圖形輔助說明。丙生與丁生的解題歷程幾乎是相同 的：先表徵兩倍關係，再藉由兩倍關係確定平行軸BP 的存在並推出四邊形 ACDE 為平行四邊形與三角形ABC 為正三角形，而得到答案為 60 度。因此兩人所產生的 表徵數量與解題時間均非常接近，表徵數目組內差距小(表 4-2-2)。
引用丁生與丙生表徵兩倍關係的口語資料，說明兩人表徵方式相近之處。丁生 認為：＂...既然這個 DBE∠ 等於OO 加 XX，應該...就可以...好像把它翻進來一樣”(口 語資料:240024，2007/5/2)＂因此他以「翻進來」表徵題目中的兩倍關係；研究者認 為以「翻進來」表徵問題具有相當好的空間操作能力，對於本題的問題結構已有相 當程度的理解，但限於本研究表徵分類的定義，被此歸類成符號關係的表徵。這個 翻進來的動作，更進一步轉譯成符號，確立平行軸存在，以下有口語資料與解題過 程中所繪的草圖為例：
240030 嗯...把它翻進來之後，兩個(指 ABC∠ 與∠PBC)都是 OO，那...這兩個邊(AB=AC) 又相等，這( ABC∠ 與∠ACB)也是 OO
240032所以，這兩條是平行的(指 AE 平行 CD)
圖4-2-2：第二題丁生以圖形說明平行軸的存在
丙生透過重新畫圖表徵題意，圖 4-2-3A 是解題開始所畫的草圖，只是題目中 文字敘述的直譯，圖4-2-3B 除了將相關位置稍作旋轉外， EBD∠ 的弧形標記被符 號α+β所取代，丙生以符號α,β,α+β表徵題目的兩倍關係，這一次重新表徵是丙生唯 一和丁生不同樣之處，因此丙生表徵數目多 1 次，圖 4-2-3C 出現平行軸，平行軸 將視為一個整體的角度α+β拆解成兩個獨立的角度α與β，能連接 AE 與 CD 的關係。
圖4-2-3：第二題丙生以圖形說明平行軸的存在
在這兩個場景中，兩人均使用符號表徵兩倍關係，利用符號推理而確認平行軸 的存在，而推出ACDE 為平行四邊形，最後得到三角形 ABC 為正三角形的結論，
因此在本題中，兩人所產生的表徵數量與解題時間均非常接近。
2. GSP 組多以圖形呈現表徵，表徵數目則呈現組內差異
由於乙生形成表徵數目很少(2 個，表 4-2-4)，因此和甲生(6 個，表 4-2-5)相較 之下差異很大。為了釐清何在以33 分鐘內，乙生僅產生 2 個表徵，研究者認為有 必要說明乙生作圖過程。
P
A
圖 圖B 圖C
圖C 圖D 圖A 圖B
m∠ABC m∠EBD = 2.000 m∠EBD = 30.683°
m∠ABC = 61.376°
A E E
A A
E E
A B
C D
B C
B C
D
B C
D
乙生在解題過程中，經歷過兩次的失敗，經過 15 分鐘後，乙生嘗試第三度作 圖。第一次擬利用壓縮正五邊形的方式得到滿足題意之等長五邊形(口語資料：
240047)，但發現角度將被固定，因此放棄這個嘗試(口語資料：240059, 240061)；
第二次擬利用旋轉方式畫出等長五邊形，但體認到 GSP 旋轉作圖中的角度必須是 固定的數值，因此作罷。
乙生作圖過程如下：先畫出AB 線段，並分別以 A,B 兩點為圓心，AB 長為半 徑作兩圓，並在兩圓上分別取C,E 兩點(如圖 4-2-4A)，再以 E 為圓心，AB 長為半 徑作圓，在圓上取一點D(圖 4-2-4B)，接著以 C 為圓心，AB 長為半徑畫圓並連接 線段DC(圖 4-2-4C)，透過拖曳與調整各頂點位置，使得 D 點落在圓 C 且 ABC∠ 與
DBE
∠ 的比值最接近2，則五邊形 ABCDE 即為所求(圖 4-2-4D)。
圖4-2-4：第二題乙生作圖的流程
解題約進行至19 分鐘時，乙生已經完成圖 4-2-4C 的情況，這是一個不穩固的 等長五邊形(第一個圖形表徵)，隨著移動其他頂點，D 點隨時會脫離圓 C，乙生察 覺這個情況，但沒有解決這個問題，他說：
240112 對啊，它又移動了，喔糗大了! [指 D 點會離開圓 C]
240116 這樣它就...移動掉啦
240118 就是...我要這個圓就是跟這個重合啊!
接著，乙生要以GSP 測量、計算與拖曳功能找出滿足 ABC∠ 與∠EBD的比值 為2 的點。必須一方面以目視檢查 D 是否落在圓 C 上，一方面要移動頂點，使得
ABC
∠ 與∠EBD的比值接近2；拖曳檢驗(dummy loci dragging)的動作約持續 6 分 鐘後，乙生才找到第一個成功例子(第二個圖形表徵)，乙生從測量結果猜測答案為 60 度，理由是：
240208 看到這種答案一定是猜 60 的啊 240211 認識的特殊角就那麼多而已啊
對於乙生而言，在 GSP 環境中畫一個等長五邊形是困難的。對於甲生而言，
同樣不是一蹴可及的，因此在 GSP 環境中，畫了一個草圖，這個動作看起來有點 矛盾：在精確作圖的環境中粗略地點選五個點，讓它看起來像五邊等長的五邊形！
但甲生而言，這個草圖讓問題更具體，更能提供思考與作圖參考：
210022 就是比較好去看啊
210023 因為，沒、沒辦法用紙跟筆，做那種..簡圖
甲生以對稱觀點表徵兩倍關係，認為等長五邊形的圖應該具有對稱性(口語資 料：210010)，透過草圖與對稱觀點理解問題。從非 GSP 組的例子可知，產生平行 軸表徵可能是發現平行四邊形與正三角形的關鍵，甲生在稍後探索活動中亦發現正 方形(平行四邊形特例)與三角形表徵(表 4-2-5)，顯示其表徵數目與解題時間較類似 非GSP 組，造成 GSP 組間差異。至於表徵呈現的方式則受限於 GSP 環境，需要在 呈現圖形的情況下進行探索，因此多以圖形表徵為主。
甲生利用對稱概念作出中間軸BH 之後(圖 4-2-5)組，透過草圖與對稱觀點理解 問題，因此較乙生更早進入問題情境，他利用鏡射作圖目的表徵對稱與兩倍關係，
雖必須透過拖曳確定L 必須通過圓 B 與圓 E 的交點(圖 4-2-5)，但可省去較多拖曳 檢驗的時間，因此解題時間較乙生短。甲生以鏡射方式作圖，相當於把 BH 線段”
翻出去”，甲生”翻出去”的作圖法和丁生”翻進去”的口語詮釋有異曲同工之妙，這亦 可解釋甲生的解題表現和非GSP 組近似的原因。
圖4-2-5：第二題甲生作圖的過程 (二) 表徵轉換
解題過程中所產生的表徵轉換數量與類型，彙整成為表4-2-3，如下所示：
表 4-2-3：第二題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵轉換之次數分配
表徵轉換類型 GSP 組 非GSP 組
甲生 乙生 平均 丙生 丁生 平均
等價變換 4 0 2 5 4 4.5
整併 1 1 1 0 0 0
突變 0 0 0 0 0 0
總計 5 1 3 5 4 4.5
根據上表，彙整成以下兩點結論：
1. 非 GSP 組表徵轉換完全都是「等價變換」型
在本題中，非GSP 組的解題模式可視為一連串的語意轉換與邏輯演繹的結果，
其中至少經過兩個子轉換：將兩倍關係轉譯成符號以及將符號轉成幾何關係(平行 軸的存在)，因此表徵轉換的方式完全以「等價變換」型為主。在此情況下，非 GSP 組不需要GSP 利用所提供的視覺資訊來表徵題意，因此可以在短時間內解決問題。
E H D
B
L
B
A
E D
C
H C
D E A
B
A
H
E D
B
2. GSP 組表徵轉換多數以「等價變換」型，僅有一次是「整併」型
為說明甲乙兩生表徵轉換的類型，將甲乙生表徵轉換過程呈現於表4-2-4 及表 4-2-5。
甲生以圖形表徵題意之後(表徵 C2，參看表 4-2-4)，”...感覺...∠AED 很像是直 角”(口語資料：220063)，他以重新畫圖的方式驗證猜想(雖然這個驗證有邏輯上的 瑕疵)，由於需要整併驗證之後的結果才能得到新表徵，因此這次表徵轉換類型視 為「整併」。除了這一次轉換之外，甲生的表徵轉換和丙生與丁生相近均為「等價 變換」型。
表4-2-4：第二題甲生(GSP 組)的表徵變換過程
表徵概述 表徵形式 表徵變換 草圖 A：依題意繪製簡圖
1-1
2-1-1 B：以對稱表徵題意之兩倍關係
1-3
2-1-1 C1：以鏡射作圖表徵兩倍關係
1-1
2-1-1 C2：以圖形表徵題意
1-1
2-1-2 D：以圖形表徵四邊形 ACDE 是正
方形 1-1
2-1-1 E：以圖形呈現∆ABC 是正三角形
1-1
註：表徵形式與轉換代碼請參見表3-6-1 及 3-6-2
乙生僅形成兩個表徵，在形成表徵 A 之後(表 4-2-5)，必須整併與確認托曳之 後所呈現的計算與測量資訊之後才能形成表徵B(表 4-2-5)，這唯一一次的表徵轉換 被視為「整併」型。這個轉換過程耗時(約 13 分鐘)且耗費相當多的心力。
H
E D
B L
表4-2-5：第二題乙生（GSP 組）的表徵轉換過程
原案概述 表徵形式 表徵變換 備註 A：利用 GSP 繪圖表徵五邊等長
1-1 透過拖曳性質確認 2-1-2
B：利用 GSP 繪圖表徵五邊等長且
兩倍關係 1-1
透過拖曳、測量與 計算性質確認
(三) GSP 對於形成表徵的影響
在本例中，對於甲生而言，GSP 精確作圖的特性，影響形成平行四邊形表徵的 時間(表 4-2-1)，在 GSP 的環境中，甲生必須交互使用拖曳與目視判斷，以確定 L 必須通過圓B 與圓 E 的交點(參看圖 4-2-5)，雖然僅需沿著固定的軸進行拖曳檢驗，
和非 GSP 組相較之下，仍然花費較多時間。為了符合精確性，在解題時間上則付 出代價。
對於乙生而言，GSP 反而像是個分心的誘惑者(detractor)，讓乙生耗費心力思 考各邊等長之五邊形的作圖問題上以及透過拖曳頂點與觀察計算測量結果的比值 上，而忽略題目中兩倍關係的幾何意涵。
四、過程策略
彙整GSP 組與非 GSP 組解題過程中的解題策略，如表 4-2-6 所示：
表4-2-6：第二題GSP 組與非 GSP 組解題策略之次數分配
解題策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
啟思策略 6 4 3 3
符號策略 2 0 4 1
視覺策略 12 3 3 5
GSP 特殊策略 1 8 0 0
總計 21 15 10 9
由上表可得到下列四點結論：
（一）非GSP 組使用策略方式及數量組內差異少，GSP 組使用策略方式及數量組 內差異大
表徵方式造成使用策略方式及數量的差異。非 GSP 組表徵問題的方式幾乎是 一樣的，因此表徵數量、表徵轉換方式與解題時間均非常接近，不僅如此，連使用 策略方式及數量均類似。
非GSP 組之解題者使用策略數量皆為 9 次(表 4-2-6)，其中邏輯演繹使用的次 數皆為3 次(表 4-2-7)，使用時機相當一致，均發生在確認平行軸存在、四邊形 ACDE 為平行四邊形及三角形 ABC 為正三角形時。在重新畫圖時機上，都曾經為了表徵 ACDE 為平行四邊形時重新畫圖。在確定平行軸存在時，均使用符號作為推理工 具。因此在使用策略次數上有5 次是相同的。
造成 GSP 組使用解題策略迥異的原因是甲生以對稱表徵題目中的兩倍關係，
則不需要在 GSP 環境中表徵兩倍關係，乙生試圖直接以作圖、測量、計算與拖曳 結果表徵五邊等長及兩倍關係，則需要使用較多 GSP 提供的特殊策略。因此甲生 僅使用1 次拖曳策略且時間很短(約 29 秒)，而拖曳過程中僅需在平行軸上下移動；
乙生則必須使用次數較多且時間較長的拖曳行為(總和約 13 分鐘)以逐步嘗試錯誤 的方式考慮平面上所有可能位置。
（二）不論GSP 組或非 GSP 組均使用重新畫圖的策略
第一題的研究結果顯示：GSP 環境中沒有產生重新畫圖的例子，係因為 GSP 能透過隱藏物件或是更換線條粗細與顏色，甚至以放大或調整物件位置的方式提高 視覺上的可辨性，而且GSP 所繪製的圖形能精確呈現題意所敘述的幾何關係，一旦 繪製完成，更動的機會很少。
但本題中，四位解題者均產生重新繪圖的行為。甲生重畫兩次，第一次是在 GSP 環境中，粗略地點選五個點，讓它看起來像五邊等長的五邊形，這相當於非
GSP 組繪製草圖的習慣動作，對於甲生而言，讓問題更具體；第二次是為了驗證 ACDE 為正方形而重新繪圖，他說：
210065 嗯...所以我...大膽的假設一下...假設它是直角...然後我再把圖作一次...
這次重新畫圖的原因是為了說明直角ACDE 為正方形，如果是因為舊有的圖失 去簡約性而無法辨識而重畫，則重畫的理由可以被接受；但是如果為了要驗證直角 而作出直角，以說明一切符合題意，則犯了邏輯上的問題，甲生犯個這個問題而不 自覺，這值得深思的問題。乙生重新畫圖是因為經歷過兩次失敗而重新開始。甲生 與乙生重新畫圖的例子，顯示GSP 環境中重新畫圖的理由並非視覺清晰上的考量，
有別於紙筆解題中重新畫圖行為，可能是基於方法上根本改變的需要而另起爐灶。
從丙生重新畫圖的過程中可推知其理解問題的進程，丙生第一個草圖(圖 4-2-6A)中以弧形標示 DBE∠ 目的在於提醒自己題目所求的角度在這個位置，再次 驗證丙生使用標記具有後設的目的；第二個草圖(圖 4-2-6B)中 DBE∠ 有新的表示 法：α+β，其中α與β分別代表 ABE∠ 與∠CBD，這個進展顯示丙生能以符號表徵兩 倍關係；當丙生更進一步發現∠DBE 中可能隱藏的平行與內錯角關係時，∠DBE 可看成兩個部分，命名為α與β(請見圖 4-2-6C)，隨著推理活動的進行， DBE∠ 能夠 重新被多次解讀而產生更精緻意義，顯示解題者對於題目的內在結構有更進一步的 理解(Nunokawa, 1994, 1997, 2000)。這個例子顯示符號的標示與命名將隨著解題者 更深入理解題意而更加精緻：符號功能從一般指示到特殊命名，從統稱到獨立命名。
圖4-2-6：草圖的演進與問題情境的理解(以丙生為例) A
圖 圖B 圖C
從van Hiele(1986)的觀點來看，丙生重新畫圖的過程亦可顯現其幾何思考的進 展。丙生依題意繪製草圖(圖 4-2-6A)，即進入視覺思考階段，在這個階段中五邊形 是一個視覺整體，在引入α,β表示角度兩倍關係角度，邁入解析思考階段，符號成 為解析的工具，符號上將α+β拆解成α與β，對應著幾何上將 EBD∠ 被拆成兩個部 分，而這兩個部分結合題目中等長條件之後則形成平行軸，此時，進入演繹思考階 段，在這個階段中，草圖強調表徵的功能而忽略精確性(圖 4-2-6A)，草圖彰顯的是 平行關係，而非等長關係。
丙生對於問題情境的理解與幾何思考的進程，不僅展現在草圖的演進中，亦顯 示在重新構圖的過程中。解題初期草圖線段出現的順序解題者個人的習慣與好惡而 定，當理解重要關係之後，為了顯示其特徵則會改變構圖順序。以下圖為例，圖 4-2-7A 為丙生在解題初期所繪的草圖，草圖中的五邊形為一個視覺整體，圖 4-2-7B 為丙生在平行軸出現後，理解平行關係後所繪製的草圖，圖上的數字表示在構圖過 程中該線段出現的順序。圖4-2-7A 中顯示平行軸是最後出現的線段(標號 8)，而理 解平行軸的意義之後，重新畫圖時，為了表徵平行關係，圖4-2-7B 中的標號為 1,2,4 號的三條線順序，較圖4-2-7A 中順序提早出現，尤其是平行軸(標號 2)，出現順序 的改變是最多的。
圖4-2-7：構圖順序與問題情境的理解(以丙生為例)
圖A 圖B
（三）GSP 組與非 GSP 組均很少使用符號策略，但在非 GSP 組中，符號的使用具 關鍵意義
本題解題過程中，兩組均沒有運用到符號運算，符號僅用於命名或標記，而且 次數很少(表 4-2-8)。原因可能在於平行軸出現之後所喚起的知識多和幾何知識有 關，思考方式則偏向圖形關係或命題思考的推理上，因此不需要以符號進行運算，
符號僅用來表示幾何物件或是幾何量的標記。
但在非 GSP 組中，符號的使用卻具關鍵意義，丙生對於符號的命名與標示隨 著理解題意改變，尤其當丙生將表示∠DBE 的符號α+β拆成α與β時，顯示其更深入 理解題意；丁生唯一一次使用符號時，亦是透過符號理解問題，進而確認平行軸的 存在(詳見 p.93)。
表4-2-7：第二題GSP 組與非 GSP 組符號策略之次數分配
符號策略類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
命名 2 0 2 0
標記 0 0 2 1
總計 2 0 4 1
（四）解題策略受表徵方式的影響較大，解題環境所造成的差異較小
在本題中，丙生與丁生以概念表徵兩倍關係，透過符號進行演繹推理活動，利 用重新畫圖理解問題。GSP 組的甲生以對稱觀點表徵兩倍關係，甲生善用 GSP 所 提供的作圖工具，而非實驗工具，視覺策略的使用多偏向維持視覺清晰性，在啟思 策略上也多以邏輯演繹為主。因此甲生呈現的表徵數量、表徵轉換方式、解題時間 與啟思策略使用方式較類似非 GSP 組的表現。這說明表徵方式影響策略，解題環 境所造成的差異較小。
相較之下，乙生意圖以 GSP 所提供的實驗工具，同時表徵五邊等長與兩倍關 係，因此可能多偏向具實驗特質的啟思策略，如：猜測、嘗試錯誤，在操作 GSP 上，則多運用探索實驗功能為主的策略，如：測量、計算與拖曳。
暫時打破GSP 與非 GSP 的分組方式，從實驗特質與理論特質的觀點重新將解 題策略分成實驗特質與理論特質的解題策略，並且將甲生與非 GSP 組成員排在一 起，將相關結果彙整如表4-2-7，可以此說明表徵對於策略的影響，遠超過工具(環 境)對於策略的影響。
表4-2-8：第二題以實驗與理論特質分類的解題策略次數分配
解題策略類型 乙生 甲生 丙生 丁生 實驗
特質
嘗試錯誤 2 0 1 0
猜測 2 1 0 1
測量計算拖曳 8 1 0 0
總計 12 2 1 1
理論 特質
重新畫圖 2 2 3 2
符號策略 0 2 4 1
邏輯演繹 0 5 2 3
總計 2 9 9 6
五、反思行為
比較使用與不使用GSP 的解題過程中所產生的反思行為，有以下兩點結論(參 考表4-2-9)：
1. 非 GSP 組形成中間值軸表徵的時間很早，解題時間短，顯示解題過程中順利，
因此反思行為很少(平均 2 次)；
2. 乙生的反思行為最多且以質疑與結果預見兩項最多，和其所採以探索實驗為主 的解題策略可能有關；
表4-2-9：第二題 GSP 組與非 GSP 組所產生的反思行為類型與數目
反思行為類型 GSP 組 非GSP 組 甲生 乙生 丙生 丁生
覺知 個人覺知 0 0 1 0
任務覺知 2 1 0 0
策略覺知 1 1 0 0
小計 3 2 1 0
評估 結果預見 0 4 0 0
質疑 3 10 0 0
回顧 2 2 1 1
小計 5 16 1 1
校正 發生偵錯事件 0 2 0 0
重新改變作法 1 2 0 1
小計 1 4 0 1
總計 9 22 2 2
針對反思行為與解題策略之關係加以說明：
以乙生為例，其反思行為最多且以質疑與結果預見兩項最多，和其所採以探索 實驗為主的解題策略可能有關。滑鼠拖曳過程中螢幕呈現許多訊息，通常訊息以圖 形外觀變化、數據或顏色改變呈現，解題者需針對各種訊息立即回應，採取後續動 作，移動速度慢，單位時間內得到的訊息少，移動速度快，則可能讀取不及，因此 在拖曳過程中，需針對滑鼠的移動方向與速度進行評估，甚至考慮改變拖曳頂點等 問題。
表 4-2-10 彙整乙生反思行為與解題策略所發生的次數與時間點，每格約為 1 分鐘，塗成黑色部分的格子中表示其中產生一次相關的反思行為或策略。在 33 分 鐘的解題過程中，出現10 次質疑及 4 次結果預見的反思行為，其中 4 次質疑以及 2 次結果預見和拖曳過程有關(表 4-2-10)。以本題為例，拖曳過程需要讓 ABC∠ 與
EBD
∠ 的比值接近於2，但常事與願違，因此需要適當評估，以乙生的口語為例，
在拖曳過程中曾經對於結果與方法產生質疑以及能對於預估相關策略施行的結果：
210166 怎麼又變大啊 [結果的質疑]
210123 這樣我要怎麼...怎麼固定那一點啊？[方法的質疑]
210165 可是怎麼好像看都看不出來耶 [無法預見結果]
表4-2-10：第二題乙生反思行為與解題策略之類型統計
六、小結
在本題中，使用GSP 的解題者(乙生)耗費心力在思考各邊等長之五邊形的作圖 問題上、拖曳頂點與觀察角度測量結果的比值上，而忽略題目中『兩倍關係』的幾 何意涵，因此造成解題時間增長，本題係為熟練GSP 的解題者所設計的作圖問題，
作圖難度較高，可能增加解題時間，因此本題 GSP 組的解題者時間較長且無法正 確理解問題結構。
GSP 組甲生的解題時間、表徵數目、表徵轉換方式與解題策略的使用和非 GSP 組的解題表現相似，反而和同為使用 GSP 的乙生差距較大，造成差異的原因在於 表徵問題的方式而非解題情境。結果顯示，如果以實驗探索方式使用 GSP 則可能 偏向使用測量、計算與拖曳策略，啟思策略則以猜測、嘗試錯誤為主，反思行為以 質疑、結果預見居多。在解題中應用GSP 精確作圖的特性，則可能偏向使用變色、
增刪線段等視覺策略，啟思策略則以演繹、逆推為主，反思行為可能以偵錯、策略 評估為主。
GSP 精確作圖的特性可能對於解題是一種障礙，以本題為例，不論是甲生偏向 理論的作法或是乙生偏向實驗的作法，要以作圖方式得到等長五邊形均耗費心力，
而且作圖完畢之後，尚無法從中獲得解題資訊，無助於解題。況且解題時並不一定 需要精確的圖(Polya, 1957)，以丙生與丁生為例，圖形是觸發相關幾何知識的媒介，
從圖中能獲得解題資訊，理解問題，理解之後重新改變圖形(重新畫圖)，圖形則能 逐步接近問題情境，即使不夠精確，還是能適當表徵題意，成功解題，這顯示圖形 的表徵功能勝於精確性，只要在可辨認的情況下，圖形通常能發揮作用。若過度聚 焦於測量的精確性上，可能忽略尋找合適表徵的重要性。
H
M
N K
F
E
D C
B
A
第三節 第三題解題表現與分析
為瞭解 GSP 的視覺操弄功能是否有助於探索問題情境，本題特別設計一個需 要經由複雜作圖以進行證明的題目，其中有多組交疊的平行線與平行四邊形且涉及 多組垂心之間的連線，在視覺上容易造成干擾。題目如下：
令 AD 、 BE 、
CF
分別為△ABC的三個高，點K、M 及 N 分別為 AEF△ 、 B△ FD 及 CDE△ 的垂心。試證：△KMN≅ DEF△ 。
一、問題特色
本題關鍵在於發現隱藏於題目中的平行六邊形。解法大致如下(圖 4-3-1)：
1. 由公垂線關係可找出三組三條平行線(如：FM、EN 與 AD)；
2. 兩組平行線可決定一個平行四邊形，因此四邊形 KEHF、FHDM 與 ENDH 為 平行四邊形；
3. 平行四邊形對邊平行且相等，因此 KE=FH 且 FH=MD，則 KE=MD，又由 1.
知KE 平行 MD(公垂於 AB)，則四邊形 KEDM 為平行四邊形，可推得 KM=ED；
4. 同理，由 1 可知 FM 平行 EN，由 2.可知 FM=HD 且 HD=EN，因此四邊形 FMNE 為平行四邊形，可推得FE=MN；
5. 同理，四邊形 KFDN 為平行四邊形，可推得 FD=KN；
6. 由 3, 4, 5 可知，KM=ED，MN=FE 且 FD=KN，故∆KMN ≅ ∆DEF(SSS)。
圖4-3-1：第三題關鍵：平行六邊形之表徵
上述證明關鍵是從公垂關係發展出平行關係，解題者必須能觀察或推論出圖中 和三邊垂直的三組平行線構成三個平行四邊形：平行四邊形 KEHF、平行四邊形 FHDM 與平行四邊形 ENDH，而垂心 H 恰為這三個平行四邊形的交點，這三個平 行四邊形被”包含”在平行六邊形 KENDMF 中，卻是證明平行六邊形 KENDMF 對 邊等長的基礎，對邊等長的平行六邊形能夠決定三組平行四邊形(平行四邊形 KEDM、平行四邊形 KFDN 與平行四邊形 FMNE)，而三組平行四邊形提供三組等 長的對邊(KM=ED、MN=EF 與 KN=FD)，可由此證明全等(SSS)。
為了方便解釋，則將平行四邊形 KENH、平行四邊形 FHDM 與平行四邊形 ENDH 稱為內部平行四邊形；將平行四邊形 KEDM、平行四邊形 KFDN 與平行四 邊形FMNE 稱為外部平行四邊形。
二、解題時間
由於乙生一開始即採用解析幾何之方法嘗試計算垂心座標，一直未能成功，約 28 分鐘時宣告放棄，因此，該生之資料未納入本題之比較分析。彙整 GSP 組甲、
丁二生與非GSP 組之丙生之解題特徵時間，如表 4-3-1 所示：
表 4-3-1：第三題 GSP 組與非 GSP 組解題特徵出現之時間點
解題特徵 GSP 組 非GSP 組 甲生 丁生 乙生 丙生 完成草圖 (1) 03:51 (1) 09:25 (1) 03:59 發現二條平行線 (2) 12:06 (2) 12:09 - (2) 09:10 發現三條平行線 - (3) 12:13 - (3) 09:25 發現內部平行四邊形 (6) 25:38 (6) 31:42 - (4) 15:30 利用垂心連結對邊 (7) 28:09 - - (5) 16:46 發現平行六邊形 (3) 21:02 - - (6) 17:52 發現外部平行四邊形 (4) 21:57 (4) 26:25 - (7) 19:42 指出全等 (5) 23:42 (5) 27:55 - (8) 20:08
證明完成 28:35 35:29 - 20:08
根據表4-3-1 之結果，有下列發現：
1. 非 GSP 組(丙生)得到答案的時間(約 20 分鐘)比 GSP 組(平均時間約 32 分鐘)來 得短(約少 12 分鐘)，主要原因是丙生掌握平行概念的時間較早，到下一個重要 發現(發現內部平行四邊形)的時間較其他兩人短；
2. 就個人解題特徵出現的時間差而言，丙生在發現三組平行線到發現內部平行四 邊形的時間最長(約 6 分鐘)，甲生在發現兩組平行線到發現平行六邊形的時間 最長(約 9 分鐘)，丁生在發現兩組平行線到發現外部平行四邊形的時間最長(約 14 分鐘)，非 GSP 組的丙生時間差較小是因為丙生能夠善用平行關係，獲得有 效的推論，而GSP 組的解題者仍利用 GSP 嘗試各種可能；
3. 針對內部平行四邊形(簡稱「內」)、外部平行四邊形(簡稱「外」)、平行六邊 形(簡稱「六」)及說明全等(簡稱「全」)四個解題特徵的順序來比較，丙生(非 GSP 組)的順序為「內→六→外→全」，而甲生(GSP 組)的順序為「六→外→全
→內」，丁生(GSP 組)沒有發現平行六邊形的存在，順序為「外→全→內」，
解題特徵出現順序的差異受 GSP 的影響，GSP 所提供的視覺資訊超越演繹邏 輯的順序，跳過「內部平行四邊形」的發現，直接以外部平行四邊形說明全等 時，發現無法成功解釋，必須重新尋找內部平行四邊形做為推理的基礎；
4. 「跳躍而折回」的論證方式使得解題時間延長，丙生歷經「內→六→外→全」
的順序約4.5 分鐘，甲生歷經「六→外→全→內」至證明完成的時間約 6 分鐘，
丁生歷經「外→全→內」至證明完成的時間約為 9 分鐘，這些數據得以說明丙 生解題時間較短的原因。
5. 丁生完成草圖的時間較同組的甲生約多 6 分鐘，除了操作的熟練與作圖技巧之 外，丁生在操作過程中曾經出現3 次失誤，多次以拖曳方式調整圖形以維持視 覺的可辨性及符合視覺習慣(口語資料：340072)，甲生在操作過程中並無錯誤，
僅在最後階段以拖曳調整圖形。
三、表徵與表徵轉換
本段分成三部分，第一部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵數量與類型的 差異，第二部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵轉換之類型的差異，第三部分 說明使用GSP 對於形成表徵的影響。
(一) 表徵
彙整解題過程中所產生的表徵數量與類型表徵轉換方式，如表4-3-2 所示：
表4-3-2：第三題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵類型之次數分配
表徵類型 GSP 組 非GSP 組
甲生 丁生 平均 乙生 丙生 平均
草圖 7 5 6 - 1 -
符號關係 0 0 0 - 0 -
演繹陳述 3 1 1 - 7 -
總計 10 6 7 - 8 -
由上表有以下發現：
1.非 GSP 組(丙生)多以演繹陳述呈現表徵
丙生多以演繹陳述呈現表徵，原因有二：一是丙生已掌握題意中垂直與平行關 係；二是視覺困擾，必須以邏輯演繹為主要推論工具。
丙生在開始解題時即已體會到本題的意義在於平行關係，這是他對題意更深層 的理解，他認為”每邊都有三條平行線，看要怎麼用”(口語資料：230037)，因此丙 生掌握垂直關係(垂心)所造成的平行關係後，則多以演繹推理為主；以演繹推理為 主的另一個原因是視覺上的困擾，必須以演繹推理確認或反駁視覺推論，推論才得 以繼續，有以下的口語資料為證：
230056 應該就是這樣，好亂喔 [視覺上的困擾]
230066 好像都會平行的感覺，嗯…[視覺上的推論]
230066 應該這些都 平行平行 [演繹推理的確認]
