六、小結
第三節 第三題解題表現與分析
M
N K
F
E
D C
B
A
第三節 第三題解題表現與分析
為瞭解 GSP 的視覺操弄功能是否有助於探索問題情境，本題特別設計一個需 要經由複雜作圖以進行證明的題目，其中有多組交疊的平行線與平行四邊形且涉及 多組垂心之間的連線，在視覺上容易造成干擾。題目如下：
令 AD 、 BE 、
CF
分別為△ABC的三個高，點K、M 及 N 分別為 AEF△ 、 B△ FD 及 CDE△ 的垂心。試證：△KMN≅ DEF△ 。
一、問題特色
本題關鍵在於發現隱藏於題目中的平行六邊形。解法大致如下(圖 4-3-1)：
1. 由公垂線關係可找出三組三條平行線(如：FM、EN 與 AD)；
2. 兩組平行線可決定一個平行四邊形，因此四邊形 KEHF、FHDM 與 ENDH 為 平行四邊形；
3. 平行四邊形對邊平行且相等，因此 KE=FH 且 FH=MD，則 KE=MD，又由 1.
知KE 平行 MD(公垂於 AB)，則四邊形 KEDM 為平行四邊形，可推得 KM=ED；
4. 同理，由 1 可知 FM 平行 EN，由 2.可知 FM=HD 且 HD=EN，因此四邊形 FMNE 為平行四邊形，可推得FE=MN；
5. 同理，四邊形 KFDN 為平行四邊形，可推得 FD=KN；
6. 由 3, 4, 5 可知，KM=ED，MN=FE 且 FD=KN，故∆KMN ≅ ∆DEF(SSS)。
圖4-3-1：第三題關鍵：平行六邊形之表徵
上述證明關鍵是從公垂關係發展出平行關係，解題者必須能觀察或推論出圖中 和三邊垂直的三組平行線構成三個平行四邊形：平行四邊形 KEHF、平行四邊形 FHDM 與平行四邊形 ENDH，而垂心 H 恰為這三個平行四邊形的交點，這三個平 行四邊形被”包含”在平行六邊形 KENDMF 中，卻是證明平行六邊形 KENDMF 對 邊等長的基礎，對邊等長的平行六邊形能夠決定三組平行四邊形(平行四邊形 KEDM、平行四邊形 KFDN 與平行四邊形 FMNE)，而三組平行四邊形提供三組等 長的對邊(KM=ED、MN=EF 與 KN=FD)，可由此證明全等(SSS)。
為了方便解釋，則將平行四邊形 KENH、平行四邊形 FHDM 與平行四邊形 ENDH 稱為內部平行四邊形；將平行四邊形 KEDM、平行四邊形 KFDN 與平行四 邊形FMNE 稱為外部平行四邊形。
二、解題時間
由於乙生一開始即採用解析幾何之方法嘗試計算垂心座標，一直未能成功，約 28 分鐘時宣告放棄，因此，該生之資料未納入本題之比較分析。彙整 GSP 組甲、
丁二生與非GSP 組之丙生之解題特徵時間，如表 4-3-1 所示：
表 4-3-1：第三題 GSP 組與非 GSP 組解題特徵出現之時間點
解題特徵 GSP 組 非GSP 組 甲生 丁生 乙生 丙生 完成草圖 (1) 03:51 (1) 09:25 (1) 03:59 發現二條平行線 (2) 12:06 (2) 12:09 - (2) 09:10 發現三條平行線 - (3) 12:13 - (3) 09:25 發現內部平行四邊形 (6) 25:38 (6) 31:42 - (4) 15:30 利用垂心連結對邊 (7) 28:09 - - (5) 16:46 發現平行六邊形 (3) 21:02 - - (6) 17:52 發現外部平行四邊形 (4) 21:57 (4) 26:25 - (7) 19:42 指出全等 (5) 23:42 (5) 27:55 - (8) 20:08
證明完成 28:35 35:29 - 20:08
根據表4-3-1 之結果，有下列發現：
1. 非 GSP 組(丙生)得到答案的時間(約 20 分鐘)比 GSP 組(平均時間約 32 分鐘)來 得短(約少 12 分鐘)，主要原因是丙生掌握平行概念的時間較早，到下一個重要 發現(發現內部平行四邊形)的時間較其他兩人短；
2. 就個人解題特徵出現的時間差而言，丙生在發現三組平行線到發現內部平行四 邊形的時間最長(約 6 分鐘)，甲生在發現兩組平行線到發現平行六邊形的時間 最長(約 9 分鐘)，丁生在發現兩組平行線到發現外部平行四邊形的時間最長(約 14 分鐘)，非 GSP 組的丙生時間差較小是因為丙生能夠善用平行關係，獲得有 效的推論，而GSP 組的解題者仍利用 GSP 嘗試各種可能；
3. 針對內部平行四邊形(簡稱「內」)、外部平行四邊形(簡稱「外」)、平行六邊 形(簡稱「六」)及說明全等(簡稱「全」)四個解題特徵的順序來比較，丙生(非 GSP 組)的順序為「內→六→外→全」，而甲生(GSP 組)的順序為「六→外→全
→內」，丁生(GSP 組)沒有發現平行六邊形的存在，順序為「外→全→內」，
解題特徵出現順序的差異受 GSP 的影響，GSP 所提供的視覺資訊超越演繹邏 輯的順序，跳過「內部平行四邊形」的發現，直接以外部平行四邊形說明全等 時，發現無法成功解釋，必須重新尋找內部平行四邊形做為推理的基礎；
4. 「跳躍而折回」的論證方式使得解題時間延長，丙生歷經「內→六→外→全」
的順序約4.5 分鐘，甲生歷經「六→外→全→內」至證明完成的時間約 6 分鐘，
丁生歷經「外→全→內」至證明完成的時間約為 9 分鐘，這些數據得以說明丙 生解題時間較短的原因。
5. 丁生完成草圖的時間較同組的甲生約多 6 分鐘，除了操作的熟練與作圖技巧之 外，丁生在操作過程中曾經出現3 次失誤，多次以拖曳方式調整圖形以維持視 覺的可辨性及符合視覺習慣(口語資料：340072)，甲生在操作過程中並無錯誤，
僅在最後階段以拖曳調整圖形。
三、表徵與表徵轉換
本段分成三部分，第一部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵數量與類型的 差異，第二部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵轉換之類型的差異，第三部分 說明使用GSP 對於形成表徵的影響。
(一) 表徵
彙整解題過程中所產生的表徵數量與類型表徵轉換方式，如表4-3-2 所示：
表4-3-2：第三題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵類型之次數分配
表徵類型 GSP 組 非GSP 組
甲生 丁生 平均 乙生 丙生 平均
草圖 7 5 6 - 1 -
符號關係 0 0 0 - 0 -
演繹陳述 3 1 1 - 7 -
總計 10 6 7 - 8 -
由上表有以下發現：
1.非 GSP 組(丙生)多以演繹陳述呈現表徵
丙生多以演繹陳述呈現表徵，原因有二：一是丙生已掌握題意中垂直與平行關 係；二是視覺困擾，必須以邏輯演繹為主要推論工具。
丙生在開始解題時即已體會到本題的意義在於平行關係，這是他對題意更深層 的理解，他認為”每邊都有三條平行線，看要怎麼用”(口語資料：230037)，因此丙 生掌握垂直關係(垂心)所造成的平行關係後，則多以演繹推理為主；以演繹推理為 主的另一個原因是視覺上的困擾，必須以演繹推理確認或反駁視覺推論，推論才得 以繼續，有以下的口語資料為證：
230056 應該就是這樣，好亂喔 [視覺上的困擾]
230066 好像都會平行的感覺，嗯…[視覺上的推論]
230066 應該這些都 平行平行 [演繹推理的確認]
表4-3-3：第三題丙生（非GSP 組）的表徵形式與轉換過程 要怎麼用(230037) 2-1-1
B2：以演繹陳述表徵題意之平行與
垂直關係 1-3 只有平行和垂直的關係
而已(230052) 2-1-2
這樣列(230091) 2-1-2
平行四邊形(表徵 D)，並將這個結果類推，得到全等證明，丁生很少的”代價”獲得
表4-3-5：第三題丁生（GSP 組）的表徵形式與轉換過程
1.非 GSP 組(丙生)表徵轉換形式以「整併」型居多，沒有出現以「突變」型
丙生掌握垂直與平行關係之後，表徵轉換的方式即以「整併」型居多，並沒有 出現「突變」型，這是因為丙生在推理過程中持續深入探討平行關係，透過整併資 訊而增進理解問題，沒有改變觀點。
丙生整併平行關係之後形成平行四邊形表徵C(參見表 4-3-3)，發現三個內部平 行四邊形的交點為垂心H 之後，垂心有新的意義與功能(形成表徵 D)，垂心能夠連 結平行六邊形的三組對邊，在證明平行六邊形對邊等長時扮演重要角色，形成對邊 等長平行六邊形表徵(表徵 E)之後，剩下一小步即完成證明。這些過程中，丙生需 要整併諸多資訊，才能形成更進一步的理解。
延續平行關係，他利用兩組平行線夾等角(表徵 F)與兩組對應邊等長的性質證 出一組邊長相等：KM=ED(∆FMK≅∆DNE, SAS)，同理可得 KN=FD 與 MN=FE，即 可證明∆KMN≅∆DEF(SSS)。在測後訪談中，丙生以圖 4-3-2 呈現他的想法，他將平 行六邊形的一組對邊向外延伸成為平行四邊形 (如圖 4-3-2 的外框所示)，利用平行 四邊形對角相等性質得到∠END= KFM∠ 。丙生透過整併資訊增進對於問題的理 解，他不僅看內部平行四邊形與外部平行四邊形，更發現延長邊長所形成的平行四 邊形，這是在GSP 組中不曾出現的例子。
圖4-3-2：丙生第三題的表徵 F(研究者依題意加入頂點標記) 2.GSP 組表徵轉換形式亦以「整併」型居多，但出現「突變」型
甲生的表徵數目有 10 個(見表 4-3-4)，表徵轉換過程中有 6 次「整併」型，3 次「突變」型。以其中4 個表徵為例，甲生發現兩平行線表徵(表徵 C1，圖4-3-3A)
M D F
K
N
E
P
(甲生，2007,3,15)
嗯...就從那個梯形(圖 4-3-3C)發現...我就試著把梯形四個點都連起來，然後發 現..好像看到一個平行四邊形(FHDM)，那我就..試著畫出其他線啊...就是..不同方 向的垂線，然後..就...畫出一個很大的平行六邊形 (口語資料：210147~210158)
圖4-3-3：甲生發現平行六邊形的表徵演進過程
續的演繹推論中，發揮效果，這個躍進的過程，需要有更多的演繹推論加以支持，
使用GSP 的解題者則必須填補這一層空缺。
丁生表徵轉換過程中亦出現2 次「突變」型。一次是在指出全等之後(表徵 E，
表4-3-5)，重新尋找內部平行四邊形與外部平行四邊形的關係；另一次則是出現在 表徵C 和表徵 D 的轉換之間(表 4-3-5)。以下篇幅將詳述這一次轉換的過程：丁生 將每邊三條平行線(表徵 B)的想法縮減成每邊兩條平行線，嘗試在每邊兩條平行線 的情況下理解問題(表徵 C，圖 4-3-4A)，這個圖具有平行六邊形的雛型，如果繼續 深入探討，可由此完成證明；丁生是在圖 4-3-4A 的各種子圖尋找可能組合，猜到 其中可能有平行四邊形，他中斷推理活動，直接利用 GSP 所提供測量結果作為推 論的依據，以測量結果說明四邊形EFNM 為平行四邊形(表徵 D)。這一次轉變除了 在圖形外觀上有變化，還帶有猜測成分：
340160 就是..對...我就是從這個圖形中，就覺得...這裡好像有一個...平行四邊形..很 像平行四邊形的東西，就去量量看，結果發現它真的長度是一樣的
圖4-3-4：突變型表徵轉換(以丁生為例)
(三) 使用 GSP 對於形成表徵與表徵轉換的影響
本題中，使用 GSP 的解題者多數以圖形呈現表徵，亦出現多次「突變」型表 徵轉換(共 5 次)，出現「突變」型表徵轉換有兩個時機：一是指出全等之後需要重 新解釋，因此產生「突變」型的表徵轉換；二是彙整視覺資訊後，產生思考過程跳 躍的「突變」型表徵轉換。第一類「突變」型表徵轉換是因為使用 GSP 的解題者
A
圖 圖B
常常在指出結果之後，才增補演繹解釋，因此會產生這一類型的表徵轉換；第二類
「突變」型表徵轉換是因為GSP 能夠提供豐富的視覺資訊，視覺資訊(圖象)展佈於 平面，每個元素都可任意相互連結(Larkin & Simon, 1987)，尤其在思路受阻時或是 沒有想法時，解題者可能嘗試任意組合與連結，帶著運氣成分下，常會有「突變」
型表徵轉出現。
四、過程策略
彙整GSP 組與非 GSP 組解題過程中所使用的解題策略，如表 4-3-7 所示：
表4-3-7：第三題GSP 組與非 GSP 組解題策略之次數分配
表4-3-7：第三題GSP 組與非 GSP 組解題策略之次數分配