六、小結
第四節 第四題解題表現與分析
B
P
A C
第四節 第四題解題表現與分析
為瞭解軟體直接呈現結果對於問題表徵形成方式、解題策略與反思行為所造成 的影響，因此設計本題。第四題題目如下：
正三角形ABC 中內部一點 P，若AP2+PB2 =PC2，求∠APB=？
本小節先說明問題特色，然後依序按解題時間、表徵與表徵轉換、過程策略、
反思行為等四個部分說明GSP 組與非 GSP 組學生之解題表現。
一、問題特色
本題解法大致如下：
1. 以 A 為頂點，將 AP 旋轉 60°之後的得到 AP’，連接 PP’後可得：
∆AP’B≅∆APC(SAS)，則 PB=P’C；
2. 因AP2+PB2 =PC2，由1 可得PP'2+PB2 =BP'2，因此∠P’PB=90°；
3. 由 1.2.可知 AP∠ B= APP’+ P’P∠ ∠ B=60°+90°=150°。
圖 4-4-1：第四題的關鍵表徵：以旋轉表徵問題
對於使用 GSP 的解題者而言，關鍵在於能否從直接呈現的結果中，將 150°拆 解成90°與 60°之和。對於非 GSP 的解題者而言，關鍵在於能否將共點的三條直線 AP, BP 與 CP 依題意組成直角三角形，旋轉是最直接能夠得到答案的(如圖 4-4-1)。
除此之外，本題亦可以對稱的方式、解析幾何的方式與三角學的方式解題，解法相 當多元。
二、解題時間
彙整GSP 組與非 GSP 組之解題時間，如下表 4-4-1 所示：
表 4-4-1：第四題 GSP 組與非 GSP 組解題時間表
解題特徵 GSP 組 非GSP 組 乙生 丙生 甲生 丁生
實驗得到答案 5:22 4:53
完成解釋 21:52 49:52 88:16 9:47
平均 35:52 49:02
自表4-4-1 有以下發現：
1. 非 GSP 組解題平均時間比 GSP 組解題平均時間約多 13 分鐘，係因為非 GSP 組的甲生解題時間特別長，使得非GSP 組的平均時間較多；
2. 非 GSP 組的解題時間變異是因為表徵方式不同所致，丁生解題初期即以對 稱觀點成功表徵問題而迅速解題，甲生反複歷經旋轉、三角學(餘弦定理)、
相似等觀點表徵問題，過程並不順利；
3. GSP 組在解題初期即利用 GSP 所提供之測量與計算功能得到答案，但需要 分別花費額外的16 及 45 分鐘，才完成解釋，這顯示預知答案之後，並不一 定能夠迅速展開逆推或解釋。
三、表徵與表徵轉換
本段分成三部分，第一部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵數量與類型的 差異，第二部分說明GSP 組與非 GSP 組所產生表徵轉換之類型的差異，第三部分 說明使用GSP 對於形成表徵的影響。
(一) 表徵
彙整解題過程中所產生的表徵類型與數量，如表4-4-2 所示：
表4-4-2：第四題 GSP 組與非 GSP 組在各表徵類型之次數分配
表徵類型 GSP 組 非GSP 組
乙生 丙生 平均 甲生 丁生 平均
草圖 2 2 2 2 1 1.5
符號關係 0 0 0 2 1 1.5
演繹陳述 1 0 0.5 3 3 3
總計 3 2 2.5 7 5 6
由表4-4-2，有以下發現：
1. GSP 組所產生表徵數目較少，多以草圖呈現表徵
GSP 組皆以旋轉觀點表徵問題即順利解題，惟丙生多以軌跡觀點表徵問題，因 此表徵數目多1 個。以丙生為例，他利用 GSP 實驗結果以軌跡觀點轉觀表徵問題，
在實驗過程中，丙生至少找到4 個滿足題意的 P 點且經過測量的結果確信：
430103 APB 的角度一定，所以...它是...一個在圓上跑的軌跡
於是丙生畫出∆APB 的外接圓(圖 4-4-2)，但丙生並未察覺圖中 P 點位置略有誤 差，以致繪圖結果失真。之後，丙生注意到∠AOB可能是75 度(口語資料：430111, 430119, 430121)。事實上， AOB∠ 的度數為60 度且∆AOB 為正三角形，若繼續推 論下去的話，可以從此途徑得到解答，丙生稍後所嘗試的方法，亦接近這個作法，
可惜，他放棄這個想法重新另起爐灶。
圖 4-4-2：丙生以圓弧表徵問題 O
GSP 組均以旋轉表徵問題而旋轉即是題目之平方關係式：AP2+PB2 =PC2的 解譯，兩人皆以畢氏定理解譯這個關係，因此在解題過程中均利用旋轉 90 度的技 巧，製造直角三角形以滿足平方關係式；以丙生為例，儘管先前利用圓弧表徵問題，
最後還是回到旋轉的觀點來解題，他將AP 旋轉 90 度並取 BP 與 B2P 等長，試圖把 APB
∠ 拆解成90 度(直角)與 60 度之和(如圖 4-4-3)。
B2
C A
B
P
圖 4-4-3：丙生以旋轉表徵問題
GSP 組表徵數目少的原因在於成功以旋轉觀點表徵問題，旋轉觀點除了來自題 意的解譯之外，亦受惠於 GSP 所提供的實驗環境，尤其在確定特殊角或正三角形 之前，均使用測量功能確認之。
2. 非 GSP 組所產生表徵數目較多，多以演繹陳述呈現表徵
非 GSP 組的表徵方式差異很大，丁生以對稱觀點表徵問題後即接著符號表徵 問題，丁生解題歷程符號使用的時間很長，約10 分鐘的解題時間中即有 7 分鐘的 時間中利用符號進行表徵題意、運算與推理活動。甲生解題時間很長，約88 分鐘(表 4-4-1)，大致經歷幾個階段：表徵題目中的直角三角形、以餘弦定理列出邊角關係、
以相似觀點表徵問題及以旋轉觀點表徵問題等階段，表徵出現的數目多，且以符 號、圖形與演繹陳述交替出現，和丁生以符號為主的表徵方式不同。丁生的解題歷 程中，符號能表徵題意與數學關係，具有命名與計算的功能，同時符號能夠擔任標 記的工作以標示途中的幾何量，在符號多重優勢情況下，丁生能快速解題，丁生解 題歷程中表徵改變與符號使用關係請參見表4-4-3。
b
FBE= ECD =120
∠ ∠ 0從邊角關係
1. GSP 組所產生表徵轉換數量少，並沒有呈現特定規則
丙生彙整GSP 實驗的結果發現 P 點所形成的軌跡是圓的一部分，以圓弧(軌跡) 觀點表徵問題，這是第一次表徵轉換，屬於「整併」型；第二次表徵轉換，是在以 圓弧表徵問題失敗之後所產生「突變」型表徵轉換，他放棄先前的想法，改以旋轉 表徵問題。
乙生唯一一次的表徵轉換是從草圖到旋轉表徵之間的轉換，這層轉換視為方程 式(平方關係式)與圖形間的轉換，即透過旋轉在圖形上呈現方程式的關係，這一次 轉換歸類為「等價變換」型。這三次表徵轉換分屬不同類型，GSP 組在表徵轉換上 並沒有呈現特定類型。
2.非 GSP 組所產生表徵轉換數量較多，突變型較多，等價變換型亦多
非 GSP 組中有 5 次「突變」型表徵轉換，其中有一部分是思考的躍進，有一 部分則是解題受阻時的觀點轉換。丁生形成對稱表徵時的表徵轉換則是思考的躍 進，丁生以對稱表徵開啟解題之門，將內部三條線以各邊為軸向外對稱做出之後，
配合符號、120 度特殊角與題目中平方關係式的運用，即迅速解決問題(參見表 4-4-3)。甲生四次突變型的轉換，則多屬於解題受阻時的觀點轉換。
四、過程策略
彙整使用與不使用GSP 的解題過程中所產生的解題策略，如表 4-4-5 所示：
表4-4-5：第四題GSP 組與非 GSP 組解題策略之次數分配
策略類型 GSP 組 非GSP 組 乙生 丙生 甲生 丁生
啟思策略 14 9 19 7
符號策略 2 2 45 3
視覺策略 18 14 37 5
GSP 特殊策略 8 10 0 0
總計 42 35 101 15
由上表，可得以下發現：
（一）GSP 組使用策略數量較少，組內變異小
GSP 組使用策略數相對較少，是因為甲生(非 GSP 組)在符號策略使用次數上特 別多，若暫時忽略符號策略，則GSP 組所使用的策略數不見得少。由於表徵數目 少且皆以旋轉表徵問題而順利解題，因此策略使用的模式與次數相近，呈現組內 差異小的情況；以GSP 使用的策略為例，計算、測量與拖曳等行為皆出現在草圖 時至下一個表徵形成之前，待以旋轉觀點說明全等之前，亦出現少數測量行為。
甲生以旋轉表徵問題之前嘗試多種方式，造成在策略使用上組內差異大。甲 生試圖以符號建立邊角關係，需要利用符號列式與化簡，同時符號運算次數亦多，
因此甲生使用符號策略的次數超越其他三人，在解題過程中，甲生需要使用16 次 符號命名；18 次的標記，這也是異於其他三人之處。
丁生以對稱表徵問題，雖然依賴符號，不過符號功能上多以表徵目的居多，
真正參與運算的機會不多(表 4-4-6)。
表4-4-6：第四題GSP 組與非 GSP 組符號策略之次數分配
符號策略類型 GSP 組 非GSP 組 乙生 丙生 甲生 丁生
命名 2 2 16 0
標記 0 0 18 1
運算 0 0 11 2
總計 2 2 45 3
（二）GSP 環境能聚焦於幾何策略的使用
GSP 環境侷限代數符號的使用，促使解題思考方式以幾何或視覺面向的思考 為主。解題初期如果盲目嘗試各種方式，分散認知資源，將無法有效解題。理解幾 何圖形的深層結構需要經過視覺、構圖、推理與論述等階段(Duval, 1998)，並注意 圖形與概念面向間的連結(Fischbein, 1993)，方能從中獲取重要的解題資訊。在 GSP
環境中，解題者會利用 GSP 所提供的繪圖工具繪製出滿足題意的圖，過程中解題 者對於該圖形已經有了最基本的認識，要思考的是如何將圖形與概念進行連結，從 圖形中理解資訊的過程不是一蹴可及的，解題需要輪流考慮圖形的各部分，嘗試不 同組合，經常對圖形進行各種修改，圖才能發揮最大的效果。GSP 某種程度上侷限 代數思考的可能性，即增加幾何思考的面向，這不一定是有利的，有些解題者在多 重表徵中找尋合適的表徵，能迅速解題，但也有解題者在摸索中之一直找不到頭緒 而放棄，GSP 提供一個能夠適度堅持的環境，進行幾何思考，對於甲生而言，也許 是一個優點。
（三）GSP 情境能提供利於視覺操作的策略
甲生在本題中重新畫了5 次圖，至少 4 度局部重新畫圖。當甲生發現圖 4-4-3 上方圖形中可能藏有部分重要訊息，但一方面避免視覺干擾，一方面避免建立輔 助框架造成原圖的污染，讓草圖變得複雜而不可辨識，因此選擇在草圖附近的空 白處，摘錄這部分資訊，在草圖附近局部重新畫圖，亦可方便檢查與校正，減少 在新圖與舊圖之間轉錄時產生錯誤而引起解題錯誤；而在GSP 的環境中可以使用
「複製」、「隱藏」與「復原」等指令取代上述動作或是改變線段粗細或顏色等視 覺策略達到相同效果，不需要冒著抄錄錯誤的風險及耗費時間心力。
甲 生 選 擇 在 草 圖 附 近 局 部 重 新 畫 圖 的行 為 顯 示 視 覺 清 晰 性 的 重 要(Lowe, 1994)，他必須在嘗試操弄圖形過程中，同時維持圖形清晰性，因此以折衷方式─
甲 生 選 擇 在 草 圖 附 近 局 部 重 新 畫 圖 的行 為 顯 示 視 覺 清 晰 性 的 重 要(Lowe, 1994)，他必須在嘗試操弄圖形過程中，同時維持圖形清晰性，因此以折衷方式─