第二章 文獻探討
第一節 修勻方法
會探討 Lee-Carter 模型在人口數較少的小區域配適情形，並嘗試改善之，尋求較 佳的估計結果。本文使用修勻方法和死亡率模型來改善小區域死亡率的震盪，因
(一)移動加權平均法 (Moving Weighted Average Method)
保險業使用移動加權平均(MWA)，最早可追溯至 19 世紀，又稱為線性合成 法(Linear Compound Formula)，也經常用於時間數列(Time Series)中。因為計算簡 易，只需要考量各年齡死亡率的加權平均，加上樣本數較大時有不錯的效果，至 今仍有不少國家仍然使用 MWA 修勻方法編算生命表。MWA 的修勻公式一般表 示如下：
‧
(2)對稱性(Symmetry)：𝑎𝑟=a-r，r=1，2，3，…，n。
代入上述條件，MWA 的公式可改為
vx = ∑nr=−narux+r (2.2)
MWA 兩個常見的要求：
(1)還原性(Reproduce)：E(𝑉𝑥) = 𝑡𝑥；
(2)縮小變異(Reducing Variations)：Variance(𝑉𝑥) ≤Variance(𝑈𝑥) 其中，𝑡𝑥：x 歲理論值(真實的死亡率)。
(二) Whittaker 修勻法
Whittaker 修勻法最初由 Whittaker (1923)首創，Henderson (1924, 1925)改良，
因此也稱為 Whittaker-Henderson 修勻法。與 MWA 不同，Whittaker 修勻兼顧適 度性(Fit)及平滑性(Smoothness)，不單單要求各年齡死亡率間的平滑，也考慮各 年齡死亡率的適度性。適度性代表修勻值與觀察值間的差異，即修勻的程度；平 滑性代表修勻值是否平滑，即修勻後的死亡率是否符合過去經驗。其模型如下所 示：
M = F + hS = ∑nx=1wx(vx−ux)2 + h ∑n−zx=1(Δzvx)2 (2.3)
‧
因為 Whittaker 修勻法並未參考大區域的資料，對於人口數較少的小區域來 說，後續介紹的 Whittaker Ratio 修勻法，是一個較適合的方法。
(三) Partial SMR 修勻法
在流行病學中，標準死亡比(Standard Mortality Ratio, SMR)為一種常見的比 較標準，其定義為：
‧
ℎ̂越大代表小區域和大區域死亡率存在越大的異質性(Heterogeneity)。當死亡人2‧
就不再是一個可靠的參考值，因此，可以嘗試對死亡率比值作 Whittaker 修勻，詳細過程稍後介紹。
(四) Whittaker Ratio 修勻法
Whittaker Ratio 修勻的作法為仍使用 Whittaker 修勻法，只是修勻的對象不 是直接修勻死亡率，而是先將小區域和大區域的死亡率做比值，並且將死亡率比 值套入 Whittaker 修勻法，去修勻死亡率比值，所得到之修勻完後的比值，再乘 上大區域的死亡率，即可得到 Whittaker Ratio 法之修勻值(死亡率)。
當小區域和大區域之間各年齡層死亡率比值較大時，則可使用此修勻法，在 修勻前先將死亡率比值異常的點以 SMR 取代，令 x 歲死亡率比值rx=u𝑥/𝑢𝑥∗，金 碩 (2011)提出異常的點之處理方法，採取以下標準：「若rx=0 或rx>2× SMR 異常，
則該年齡層的死亡率比值用 SMR 取代」。這麼做不只參考了 SMR 的訊息，因為 加入 Whittaker 修勻，更考慮了死亡率在年齡間的變化，因為此法主要修勻死亡 率比值，因此稱為 Whittaker Ratio 法。本文也嘗試尋找當死亡率比值異常時，死 亡率比值該用何者取代，在文中會詳細說明。
(五) 貝氏(Bayesian) 修勻法
貝氏理論(Bayesian Theory)是統計學中重要的領域，由 Thomas Bayes 於 1763 年發表的貝氏定理而得名。由於貝氏理論可合併過去經驗，近年愈受重視，在精 算 保 險 的 應 用 更 為 廣 泛 。 貝 氏 方 法 是 將 過 去 的 經 驗 作 為 先 驗 資 訊 (Prior Information)，結合本次蒐集的資料(Data)，綜合起來可得新的經驗，一般稱為後 驗結果(Posterior)，概念如同以下：
‧
料，得到的修勻結果即為後驗結果。最早由 Kimeldorf-Jones 在 1967 年提出，假 設先驗分配滿足t ~N(m⃑⃑⃑ , A)，而死亡率觀察值為u ⃑⃑⃑ | t⃑ ~N(t , B)，貝氏修勻的死亡率修 of Mortality)會隨著年齡增加而呈現幾何級數的成長，並用一個簡易的公式來描 述高齡人口的死亡率：μx= BCx , B > 0 , C > 1 (2.13)
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
12
其中，μx為 x 歲人的瞬間死亡率。
根據 Gompertz 的假設，可以推得：
𝑝x = e− ∫xx+1μxdt= e− ∫xx+1BCxdt=e−BCx(C−1)/logC (2.14)
對𝑝x取對數可以得到：
log(− log px)=log B + log( C + 1)- log (log C)+xlog C=α+β𝑥 (2.15)
其中，𝑝x為 x 歲的人在未來一年存活的機率。
α = logB+ log(C+1)+ log(logC) β𝑥 = log C
經由加權最小平方法(WLS)可以估計死亡率，即利用
minα,β∑ 𝑤𝑥 𝑥(ln (−ln 𝑝𝑥)−α − β𝑥)2 (2.16)
計算α和β的估計值，而加權的權數為各年齡層總人口數，帶回原式就可以得到𝑝x， 再由𝑞x = 1 - 𝑝x計算出 x 歲的人在未來一年中死亡的機率。