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第一章 緒論
第一節 研究動機
隨著醫療的進步等因素，平均壽命逐漸延長，加上少子化的影響，台灣人口 老化的趨勢愈加明顯。根據國家發展委員會所公布之「2010 年至 2060 年臺灣人 口推計」報告的中推計（圖 1-1），預計 2025 年台灣的老年人口（65 歲以上人口，
以下也記為 65+）占總人口數的比例超過 20%，邁入世界衛生組織定義的超高齡 社會(Super Aged Society)；2060 年老年人口比例更高達 42%，總人數接近 800 萬。
其中，在 2010 年占多數的工作年齡人口（15 到 64 歲），因為近年生育率偏低，
未來隨著年齡增長仍將居於多數，使得 2060 年的人口結構產生失衡的現象（圖 1-2）；除了勞動人口不足，因為老年人所需的社會資源也將大幅上升，包括醫療 保健、照護需求、以及老人年金等社會保險及福利支出。
圖 1-1、台灣三階段人口年齡變動趨勢（2010-2060 年人口推估、中推計）
(資料來源：國家發展委員會)
為瞭解人口老化的速度與趨勢，死亡率變化的研究不可或缺，尤其是高齡族 群的死亡率，這也是近年高齡死亡模型廣受重視的主因之一。高齡死亡率過去大
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多採用 Gompertz 法則之類的關係模型(Relational Model)，這系列的死亡模型具 有不錯的實質詮釋，估計值與觀察結果頗為吻合（Yue, 2002），且其估計方法也 相對簡單，像是 Gompertz 法則可透過瞬間死亡率的對數值是年齡的線性函數。
但這些模型因為參數估計值震盪幅度較大，用於預測時多半有較大誤差，不如現 在常用的隨機死亡模型（Yue et al., 2001）。
圖 1-2、2010 年及 2060 年人口金字塔（2010-2060 年人口推估、中推計）
(資料來源：國家發展委員會)
Lee-Carter 模型(Lee and Carter, 1992)大概是隨機死亡模型中使用比例最多者，
然而因為樣本數與變異數成反比，小區域死亡率數值通常因人數較少而有較大震 盪。解決震盪過大的問題，傳統上會使用修勻(Graduation)，以取得較為穩定的 死亡率推估值（王信忠等人，2012）。此外，Li and Lee (2005)的 Lee-Carter 死亡 率相關模型也是另一種可行方法，透過參考大區域的資訊降低小區域的估計誤差。
上述兩種方法或多或少假設小區域的死亡率特性與大區域接近，以取得較佳的調 整效果。
根據王信忠等人(2012)的研究，因為誤差和人口數成反比，小區域死亡率估 計值的誤差會較大，我們以 Lee-Carter 模型為例說明。圖 1-3 和圖 1-4 分別 10
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萬人口、200 萬人口的 Lee-Carter 參數估計值αx及βx，圖形為 10,000 次模擬的結 果。由圖形不難看出在人口數 10 萬的區域，除了變異數較大外，Lee-Carter 模型 參數估計值會明顯偏差（大多數為低估），而隨著人數的增加，偏差的情形也會 跟著改善。
圖 1-3、Lee-Carter 各年齡層參數估計值(人數 10 萬)
圖 1-4、Lee-Carter 各年齡層參數估計值(人數 200 萬)
至於造成參數估計偏差的原因，可能因為人口數較少的地方，死亡率觀察值
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上、下震盪較大，使得代入 Lee-Carter 模型時產生不穩定的估計值。另一可能原 因是 Lee-Carter 模型的誤差分配，原始的估計方法是在常態分配假設下得出，但 實際的死亡人數（及死亡率）並不服從常態分配，而是假設為二項分配或布阿松 於降低推估之誤差。而修勻方法包含根據資料可靠度加權的 Whittaker 修勻法 (Whittaker, 1923)、大小區域間比值的 Whittaker Ratio 修勻法、或是套用標準死亡 比的 Partial SMR 修勻法(Lee, 2003)。本研究評估所使用之修勻方法，建議其適 用情況、限制條件以及設定的參數，使其提升估計的穩定性。
除了研究修勻方法對於死亡率的改善效果，本文也考慮貝氏相關的模型，探 討 Li and Lee (2005)的 Lee-Carter Coherence 模型，因為其為大、小區域的關聯性 模型，概念如同加入大區域的人數來補足小區域因為人口數不足所造成的問題。
另外，本文也欲驗證修勻方法對死亡率模型的估計值影響，亦即比較先修勻後再 配適模型，或是直接使用死亡率模型再修勻，何者較能降低因為小區域人數較少 引起的震盪。
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本文後續章節安排：第二章介紹修勻方法及死亡率模型的相關文獻。第三章 利用電腦模擬分析修勻方法的優劣，以及探討不同參數設定的所造成的影響，並 且探討死亡率模型的應用。第四章以台灣縣市的資料去模擬分析，第五章則是結 論與建議。
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會探討 Lee-Carter 模型在人口數較少的小區域配適情形，並嘗試改善之，尋求較 佳的估計結果。本文使用修勻方法和死亡率模型來改善小區域死亡率的震盪，因(一)移動加權平均法 (Moving Weighted Average Method)
保險業使用移動加權平均(MWA)，最早可追溯至 19 世紀，又稱為線性合成 法(Linear Compound Formula)，也經常用於時間數列(Time Series)中。因為計算簡 易，只需要考量各年齡死亡率的加權平均，加上樣本數較大時有不錯的效果，至 今仍有不少國家仍然使用 MWA 修勻方法編算生命表。MWA 的修勻公式一般表 示如下：