第三章 資料介紹與研究方法
第二節 研究方法
Bayesian、Partial SMR 等越來越受到重視(金碩 2011)，以及修勻大、小區域死亡 率比值的 Whittaker Ratio 方法，因此，本文主要使用這些修勻方法探討小區域資 料的修勻。
一、死亡率估計誤差比較標準
估計誤差的選擇標準，一般可由 MAPE(Mean Absolute Percentage Error)或 MSE(Mean Square Error)作為判斷標準，其中 MAPE 以數學式表示為：
MAPE = 1𝑛∑ |𝑌̂−𝑌i𝑌 𝑖|
𝑖
𝑛𝑖=1 × 100% (3.1)
其中，𝑌̂：估計值。 𝑖
𝑌𝑖：理論值或真實值。
‧
由於使用 Whittaker 修勻法時，因為小區域人口數較少導致資料震盪較大，
會發生修勻完後死亡率小於或等於 0 的情況，因此，必須對此情況調整。考慮到 通常是在原始死亡率較低的情況會發生此情形，需要找一個數值取代，如圖 3-1 可知，研究發現取值10−5、10−4、10−3、10−2在不同的情境下皆有不錯的效果，
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考慮到一般最小年齡層的死亡率接近10−4，因此選擇10−4作為取代的數值。
圖 3-1、Whittaker 修勻後調整值對 MSE 的影響
而在 Whittaker 修勻法中，參數 h 值的選擇中，一般建議 h 值為各年齡層平 均人數，由圖 3-2 可知，因為各年齡層平均人數約為 5000 人，當 h 值選取 5000 及其他值時，對於估計結果的影響不大，只有在 h 值選取過大時，修勻完全考慮 平滑性，會造成估計誤差的增加，因此，h 值可以選擇為各年齡層平均人數。
圖 3-2、比較 Whittaker 修勻在不同 h 值的表現
(二) Whittaker Ratio 修勻法
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在參考大區域資料的修勻方法中，Whittaker Ratio 是一個不錯的方法，但若 遇到小區域資料震盪過大時，會造成死亡率比值為 0 或是太大的可能，假設小區 域 x 歲死亡率為ux，參考之大區域死亡率為ux∗，而死亡率比值為rx=ux/ux∗，金 碩(2011)建議當rx=0 或是rx>2×SMR 時，x 歲死亡率比值以 SMR 的值取代，但 考慮到若極端值皆以 SMR 的數值取代時，會過度調整，建議若rx>死亡率比值上 限時，以上限值取代，若rx<死亡率比值下限時，以下限值取代，根據圖 3-3 知，
若上限值取 1.6-2.5 時，其實並沒有太大的差異，因此建議rx>2 時，將rx以 2 取 代。而根據圖 3-4，死亡率比值下限的選取，對於估計的誤差並沒有太大的影響，
因此，為了避免過度調整，選取10−5當作死亡率比值下限的調整值。
圖 3-3、死亡率比值上限對 Whittaker Ratio 修勻的影響
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圖 3-4、死亡率比值下限對 Whittaker Ratio 修勻的影響
(三) Bayesian 修勻法
貝氏(Bayesian)修勻法和 Whittaker Ratio 修勻法同樣參考大區域的資料，修 勻時參數 r 一般選擇 0.9，本文也嘗試選擇 r=0.5 比較，而當小區域 x 歲死亡率為 0 時，共變異矩陣 A 的元素𝐴𝑥𝑥為 0，會導致 x 歲死亡率修勻時完全沒有參考大 區域的死亡率，而是直接以小區域的原始死亡率當作修勻值，也就是修勻完的死 亡率數值仍然是 0，金碩 (2011)提出若遇到此情形，可以先將小區域死亡率以 SMR 取代，再代入貝氏修勻法修勻，可以得到較為合理的數值，本文也採用此 修正方法進行修勻。
三、死亡率模型
估計死亡率的模型，最常見的是 Lee and Carter 在 1992 年提出的 Lee-Carter 模型，而 Li and Lee (2005)提出的 Coherent Lee-Carter 模型，是一個結合大、小 區域資料再估計的方法，屬於「Two-Stage」的估計方法，以下分別介紹之。
(一) Lee-Carter 模型
使用 Lee-Carter 模型估計死亡率時，參數α𝑥、β𝑥、κ𝑡的估計有不同的方法，
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Lee and Carter 建議使用 SVD(Singular Value Decomposition)估計死亡率改善幅度，
而曾奕翔 (2005)使用近似法求解，是一個較為簡便的方法，本文比較 Lee-Carter 採用以上方法估計參數對於小區域死亡率的估計結果。
(二) Coherent Lee-Carter 模型
如第二章所提到，Li and Lee 的模型為：
log(m𝑥,𝑡) = a𝑥+ B𝑥K𝑡+ b𝑥k𝑡+ εx,𝑡 (3.3)
對於小區域的死亡率取 Logarithm 後，直接利用log(m𝑥,𝑡)計算各年齡組死亡率的 平均數，而結合大、小區域資料後，代入 Lee-Carter 模型，使用 SVD 的方法求 得大、小區域共通的死亡率改善參數B𝑥、K𝑡，之後再計算出殘差：
log(m𝑥,𝑡) − a𝑥− B𝑥K𝑡 (3.4)
對殘差做 SVD 取出小區域獨特的參數b𝑥、k𝑡，但因為大、小區域合併的資料可 以解釋大部份死亡率的改善率，小區域獨特的改善率b𝑥、k𝑡就不見得如此有效。
因此本文比較獨特性參數放入模型與否。具體做法為下：
（a）分別檢定：H0：bx＝0、H0：kt＝0
（b）若該 x 歲年齡組的獨特性參數b𝑥顯著異於 0，則在計算 x 歲年齡組之死亡 率時，將獨特性參數放入模型中計算，若 t 年的獨特性參數k𝑡顯著異於 0，則在 計算 t 年的死亡率時，將獨特性參數放入模型中計算，反之，則將該年齡組或該 年的獨特性參數b𝑥、k𝑡設為 0，再代入計算死亡率。
由圖 3-5 可以發現，獨特性參數全部放入模型中，所計算出來的死亡率誤差 皆較大，因此，本文在使用 Li and Lee 的 Coherent Lee-Carter 模型時，都會先計 算獨特性參數是否顯著，只將顯著的部份放進模型中計算死亡率。
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圖 3-5、比較獨特性參數的重要性 四、修勻與死亡率模型應用
對於小區域死亡率估計上的方式，可以分為四個面向，如圖 3-6，傳統上以 修勻和死亡率模型估計，除了分別探討二者的優缺點之外，本文嘗試將其合併使 用，期望可以有更好的估計效果。金碩 (2011)的研究指出，若是先修勻再推估 和先推估再修勻，估計誤差並沒有太大的差異。因此，本文將先配模型再修勻的 部份，改為修勻死亡率模型的參數估計值，比較先修勻再配死亡率模型或是先配 死亡率模型再修勻其參數估計值，對於估計誤差的影響。修勻與死亡率模型的結 合，主要以 Lee-Carter 模型搭配不同的修勻方法。另外，也探討使用 Li and Lee 的 Coherent Lee-Carter 模型後，再針對小區域的獨特性參數估計值a𝑥修勻。
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圖 3-6、修勻與死亡率模型
（一）先修勻，再配模型
將二者結合時，若採用先修勻，後配模型的方式，做法為先將各年度的小區 域死亡率透過 Bayesian、Whittaker Ratio、Partial SMR 等修勻法，參考相對應年 度的大區域死亡率，之後再將修勻後的各年度死亡率，套入 Lee-Carter 模型估計。
（二）先配模型，再修勻
先將死亡率資料代入 Lee-Carter 模型中，求取參數估計值後，再對參數進行 修勻，由於估計出來的參數並非死亡率，若套用於在死亡率上的修勻方法，會遇 到一些問題，如參數估計值可能為負值等情形。因此，考慮的修勻方法必須做些 微調整。
具體做法如下：
（a）估計參數
將大、小區域的死亡率資料代入 Lee-Carter 模型中，分別計算出參數 A𝑥、B𝑥、K𝑡估計值及a𝑥、b𝑥、k𝑡估計值。
（b）修勻參數
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利用 Whittaker Ratio 的概念，先將小區域和大區域的參數估計值做比值，計 算r𝑥α＝a𝑥/A𝑥、r𝑥β＝b𝑥/B𝑥、r𝑥k=k𝑡/K𝑡之後，再使用 Whittaker 修勻法修勻r𝑥α、r𝑥β、 r𝑥k，最後再將修勻後的比值乘上大區域的參數值A𝑥、B𝑥、K𝑡得到小區域修勻後 的參數估計值，而修勻時參數 h 設定為各年齡組平均人數，而參數 Z 一樣設定 為 3。
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