死亡率模型探討

Whittaker Ratio 修勻法以及 Partial SMR 修勻法表現較好，此二方法皆有參考大 區域的資料，其背後的概念如同先增加樣本數，再使用 Lee-Carter 模型，所以可 以使得參數估計值以及死亡率估計值的誤差較小；而先使用 Lee-Carter 模型再修 勻參數估計值，如第二節的結論，的確也可以降低誤差，但是降低的程度並沒有 同於增加樣本數的概念，直接解決 Lee-Carter 模型在人口數較少時會遇到的問題，

然而，Li and Lee 的方法中，資料合併的方式為人數及死亡人數分別相加總，並

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偏差的比例隨之降低。若使用近似法求解 Lee-Carter 參數，參數的 Bias 比例降低 許多，在相同人數下，使用近似法比使用 SVD 求解 Lee-Carter 模型的參數的誤 差較低，這說明了模型愈複雜，愈容易有偏差的情況，而使用近似法估計參數時，

也是隨著人口數的增加，誤差的比例隨著降低。雖然使用近似法求解參數能夠降 低誤差，但仍然會受到樣本數大小的影響。因此，小區域死亡率的估計上，樣本 數大小是相當重要的，往後若是小區域估計的問題，解決方向建議往增加樣本數 的概念進行。

圖 4-4、Lee-Carter 各年齡層參數估計值 Bias 比例

(二) Li and Lee Coherent Lee-Carter 模型

在 Li and Lee 提出的 Coherent Lee-Carter 模型中，如第二章所述，會先計算 獨特性參數是否顯著，只將顯著的部份放進模型中計算死亡率。在本章第一節的 研究發現，若是假設死亡人數服從 Poisson 的情況下，樣本數的大小對於估計誤 差影響很大，而此方法將大、小區域的資料合併，等同於增加樣本數的概念，能 夠有效的降低估計死亡率的誤差。雖然此做法表現相當不錯，但考慮到若直接加 總死亡人數以及人口數，因為沒有考慮到權數，資料可能會受到人口數較多的大 區域影響過多，造成估計上的誤差，基於此想法，本文嘗試修改大、小區域資料

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合併的方式，改變為以大、小區域死亡率取幾何平均的方式合併資料，如圖 4-6 可以發現，假設大、小區域死亡率相同的情況下，原本 Li and Lee 提供的資料合 併方法，為大、小區域的人口數和死亡人數分別相加總，此合併方法比以大、小 區域的死亡率取幾何平均來得好，前者的β_𝑥、k_𝑡參數估計值都較接近理論值，因 此，後續研究可以往如何合併大、小區域的資料，使估計過程不僅考慮更合邏輯。

圖 4-5、Li and Lee 方法之參數估計值

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再加入 Li and Lee (2005)所提出的 Coherent Lee-Carter 模型，探討在人口數較少 的情況下，各種方法的估計效果，希望能夠在不同情境下，都能有適用的死亡率 估計方式。

本研究發現，使用 Lee-Carter 模型估計死亡率時，當估計人口數較少的小區 域時，參數估計值會有偏差的情形發生，進而導致死亡率估計值產生偏差，若使 用近似法估計 Lee-Carter 模型的死亡率參數，則可以降低參數估計值的誤差，但 想辦法增加樣本數仍然是最佳的解決之道。而估計值偏差產生的原因，是因為