個別區域與國家各個分量支配整個結構性變動點討論

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相同_, 說明高所得群體內_, 位於中高分位數之群體支配整個高所得份額的結構改變。 時間 趨勢方面_, 發現₁₉₇₃年前後由不顯著且相對不陡峭的正向關係轉變為較強烈的顯著正向 關係。

表₁₅下半部分新加坡考慮多個分量下並沒有發現任何結構性改變。 細看個別分量下_, 僅於第_0.4-0.6分量有結構性改變_, 變動時間點分別為₁₉₆₇年與₁₉₉₇年。 由於無法偵測出 考慮多個分量下的結構性改變點_,因此沒辦法推斷是否有特定分位數的群體支配整個高所 得份額的結構改變。 時間趨勢方面若單看₁₉₆₇年這個結構性變動點_,發現時間趨勢從顯著 負向趨勢轉變為不顯著的負向趨勢_,而後於₁₉₉₇年後轉變為正向不顯著的趨勢_,注意的是 於₁₉₉₇年前後_,此正向趨勢比負向趨勢要強的多。

若從圖形來看,圖6(d)、(e)、(f)標示出戰後時期亞洲國家下個別分量之高所得份額結構 改變時間序列圖, 能夠更清楚的看出每個分量斷裂時間點的於整個時間序列中相對位置, 大致來看_, 印度結構變動點落於₁₉₇₀年以及_1982-84年, 日本結構變動點落於1973年, 新 加坡結構變動點落於₁₉₆₇年以及₁₉₉₇年。 由圖形亦能夠看出是否高所得分配中_, 中高分 位數的群體支配整個結構性改變_, 圖_6(d)、_(e)、_(f) 來看_, 戰後時期亞洲地區僅僅日本有偵 測出考慮多個分量下結構變動時間點_, 對印度而言_, 並沒有偵測出考慮多個分量下之結構 改變點_; 推論並沒有特定分位數群體支配整個結構性改變_; 對日本而言_, 第_0.5-0.7分量與 考慮多個分量下發現之結構改變點相同_; 推論中高分位數群體支配整個結構性改變_; 對新 加坡而言_, 並沒有偵測出考慮多個分量下之結構改變點_; 推論並沒有特定分位數群體支配 整個結構性改變。

綜觀戰後時期個別國家所發生的結構變動點_, 不同國家我偵測出來的結構變動時間點 不完全相同_, 大致來看_,不是落於₁₉₇₀年代初期中期就是落於₁₉₈₀年代初期中期_, 除了法 國、 德國、 荷蘭之外_, 大部分國家都是由負向趨勢轉為正向趨勢。

4.4 個別區域與國家各個分量支配整個結構性變動點討論

本小節將總結₂₀世紀以及戰後時期_,不同區域以及個別國家各個分量之高所得份額的斷裂 點是否支配整個結構性改變。

表₁₆列出₂₀世紀以及戰後時期不同區域各個分量是否支配整個結構性變動點_, 由表內 看出總共有₁₀個區域_, 扣除考慮多的分量下沒有偵測出結構變動點的₂個區域 ₍亞洲戰後

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表 _16: 不同區域各個分量支配整個結構性變動點一覽表

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 全世界20世紀 0 0 0 0 0 0 0 0 1

全世界戰後時期 0 0 0 0 0 0 0 0 0

盎格魯薩克遜₂₀世紀 _{0 0 0 0 0 0 0 0 1} 盎格魯薩克遜戰後時期 0 0 0 0 0 0 0 0 0 亞洲20世紀 0 1 1 0 0 0 1 0 0

亞洲戰後時期 _{0 0 0 0 0 0 0 0 0}

歐洲大陸20世紀 0 0 0 1 0 0 0 0 0 歐洲大陸戰後時期 0 0 0 0 0 0 0 0 0 北歐20世紀 0 0 0 0 0 0 0 0 0

北歐戰後時期 0 1 1 0 0 0 0 0 0

註1: 表內數字₁代表該分量下所偵測出來的變動時間點與考慮多個分量下所偵測出來的變動時間點相符合,數字0則代表不符 合。

時期、 歐洲大陸戰後時期₎ 外_, 其餘₈個區域中_, 發現中高分量 ₍第0.4-0.9分量₎ 支配整個 結構性變動時間點的區域為₄個_, 分別為_: 全世界₂₀世紀、 盎格魯薩克遜₂₀世紀、 亞洲₂₀ 世紀、 歐洲大陸₂₀世紀_, 其結論符合於高所得群體內_, 位於中高分位數之群體支配整個高 所得份額的結構改變_, 也就是相對於低分量而言_, 高分量的影響力相對較大_, 換言之於中 高分量所偵測到的結構變動點其斷裂程度相對於低分量較大。 而沒有符合上述結論的區域 有_: 全世界戰後時期、 盎格魯薩克遜戰後時期、 北歐₂₀世紀、 北歐戰後時期。

若從戰後時期個別國家各個分量是否支配整個結構性變動點來看_, 由表₁₇可發現總共 有₁₈個國家_, 扣除考慮多的分量下沒有偵測出結構變動點的₅個國家 ₍西班牙、 法國、 德 國、 印度、 新加坡₎ 外_, 其餘₁₃個國家當中有發現中高分量 ₍第_0.4-0.9分量₎ 支配整個結 構性變動時間點的國家多達₁₂個_, 僅美國並沒有特定分量支配整個結構性改變。

藉由圖₈觀察戰後時期不同國家下不同分量所偵測出來的結構變動時間點_,歸納出大部 分的結構變動時間點都發生於1967-1993年之間。

若將所有18個個別國家分不同區域來看, 見圖9發現盎格魯薩克遜地區結構變動時間 點都發生於1970-1990年間。 更細部的看個別國家愛爾蘭、 美國、 英國的結構變動時間點 大多發生於₁₉₇₇年前_, 而澳洲、 加拿大與紐西蘭結構變動時間點多發生於₁₉₈₀年代以後_, 發生結構改變點的時間相對較晚。 北歐地區結構變動時間點發生於_1967-1993年之間_, 更 細部的看個別國家除芬蘭變動時間點較不固定外_, 挪威與瑞典的結構變動時間點在不同

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表 _17: 個別國家各個分量支配整個結構性變動點一覽表

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 西班牙 _{0 0 0 0 0 0 0 0 0} 愛爾蘭 0 0 1 1 1 1 1 0 0 葡萄牙 _{0 0 0 0 0 1 1 0 0}

澳洲 0 0 1 1 0 1 1 1 0

加拿大 0 0 0 1 0 0 0 0 0

瑞士 _{0 0 0 1 1 0 0 0 0}

芬蘭 0 0 0 1 1 0 0 0 0

法國 0 0 0 0 0 0 0 0 0

德國 0 0 0 0 0 0 0 0 0

印度 0 0 0 0 0 0 0 0 0

日本 _{0 0 0 0 1 1 1 0 0}

荷蘭 0 0 0 1 1 1 0 0 0

挪威 _{0 0 0 0 1 1 1 1 0}

紐西蘭 _{0 0 0 0 0 1 1 1 0} 新加坡 0 0 0 0 0 0 0 0 0

瑞典 0 0 0 0 0 0 1 1 0

英國 _{0 0 0 1 1 1 0 0 1}

美國 _{0 0 0 0 0 0 0 0 0}

註1: 表內數字₁代表該分量下所偵測出來的變動時間點與考慮多個分量下所偵測出來的變動時間點相符合,數字0則代表不符 合。

分量之間差異並不大。 並且發現挪威的結構變動點相較於其他兩個北歐國家是較晚的。 歐 洲大陸地區不同國家結構變動時間點的發生並沒有太大的規律_, 變動時間點集中在 1970-1980間。 亞洲國家地區各個國家之個別分量所偵測出來結構變動時間點差異不大_,結構變 動時間點都發生於_1967-1997年間。

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5 結論

本文實證結果發現₂₀世紀不同區域發生的結構變動時間點與過去文獻相當接近_,於二次世 界大戰期間_,高所得份額產生趨勢向下的情形以及於1980年代附近_, 除歐洲大陸外其他區 域都出現高所得份額趨勢由負向反轉為正向的情形。 戰後時期分成不同區域以及個別國家 來討論_, 戰後時期不同區域的結構變動時間點發生於₁₉₇₀年代中期至₁₉₈₀年代不等_, 除 亞洲地區及歐洲大陸地區之外_, 高所得份額趨勢都出現由負向轉為正向的情形。 戰後時期 個別國家所發生的結構變動點_, 不同國家結構變動時間點不完全相同_, 大致來看_, 不是落 於₁₉₇₀年代初期中期就是落於₁₉₈₀年代初期中期_,除法國、 德國、 荷蘭之外_, 大部分國家 時間趨勢都由負向趨勢轉為正向趨勢。

另外_, 驗證是否於高所得群體中_, 中高分位數所得群體支配整個結構性改變的議題上_, 實證研究₂₀世紀不同區域₍全世界國家、 盎格魯薩克遜地區、 北歐地區、 歐洲大陸地區、 亞 洲地區₎ 與戰後時期不同區域及個別國家之高所得份額趨勢變動_, 研究結果發現不同區域 於₂₀世紀及戰後時期扣除多個分量下沒有偵測出結構性改變的₂個區域 ₍亞洲戰後時期、

歐洲大陸戰後時期), 其餘8個區域中, 發現中高分量支配整個結構性變動點的區域國家有 4個 (全世界20世紀、 盎格魯薩克遜20世紀、 亞洲20世紀、 歐洲大陸20世紀), 換言之有 一半的區域支持高所得份額趨勢改變來自中高分量;戰後時期18個國家中_,扣除多個分量 下沒有偵測出結構性改變的₅個國家 ₍西班牙、 法國、 德國、 印度、 新加坡), 其餘₁₃個個 別國家中_,發現中高分量支配整個結構性改變的國家多達₁₂國_,僅美國沒有特定分量支配 整個結構性改變。 故分量迴歸下結構性改變檢定用於高所得份額趨勢變動探討支持高所得 份額趨勢變動的主因來自所得分配中_,較高分位數的群體。

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附錄

附錄中的假設、 引理、 命題及其所對應的證明取自Qu(2008) 文中_, 並更完整清楚的詳述 證明細節, Qu(2008) 提出兩種不同形式的檢定統計量均可用於給定分量 _{τ ∈ (0, 1)}下結 構性變動的檢定_, 分別為 Subgradient based 檢定以及 _Wald 檢定_, 為求得極限分配_, 在 虛無假設之下給出下面假設_, 並且為了簡化符號_,將 _ft(·|xt)縮寫為 _{ft(·),Ft(·|xt)} 縮寫為 F_t(·), F_t⁻¹(·|x_t)縮寫為 _Ft⁻¹_(v),假設如下_:

假設 _{A. 1.} 分配函數 _Ft(.)有連續的密度函數 _ft(.)並且在定義域內各個點 _Ft⁻¹_{(τ ), t =} 1, 2, . . . , T上_, 其對應的函數值在₀到 _∞ 之間均勻有界。

假設_{A. 2.} 對於任何_{ > 0,}並定存在一個σ() > 0,使得_{|ft Ft}⁻¹_{(τ )+s
−ft Ft}⁻¹(τ )
| <

 對於所有的 |s| < σ() 以及 _{1 ≤ t ≤ T}。

假設 _{A. 3.} 解釋變數滿足下面的假設:

(a) 解釋變數含有截距項; (b) p lim_{T →∞}T⁻¹P[λT ]

t=1 f_t F_t⁻¹(τ )
x_ix⁰_t → λH^p ₀ 對於所有的 λ ∈ [0, 1];

(c) 對於某些 _{ϕ > 0} 及 _{L < ∞,} 在所有的 t = 1, . . . , T 下_{, E(x}⁰_txt)^2+ϕ _{< L}均成立_;

(d) 存在一個_{δ > 0}以及_{M < ∞}使得_T^−1Pn_t=1Ekxtk^3(1+δ) _{< M} 與_E(T^−1PT_t=1kxtk³₎^(1+δ) _<

M 在任意 _T 之下都成立_; (e) p lim_{T →∞}T⁻¹P[λT ]

t=1 x_ix⁰_t→ λJ^p ₀ 對於所有的 λ ∈ [0, 1], 其中 _J0 是一個 _{p × p} 的 非隨機正定矩陣。

推導 _{Hλ,T β0(τ )}
的極限分配且為一nuisance parameter free 如下式所示_: H_λ,T β₀(τ )
d

→ N 0, λτ (1 − τ )
.

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由中央極限定理 (central limit theorem; CLT) 可知_: V ar

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引理 _1. 假設虛無假設為真並且假設₁到₃均成立_, 則_:

1. 對於_{λ ∈ Λ} 並且_n足夠大,則_{ST λ, τ, ˆβ1}(λ, τ )
= S_T λ, τ, β₀(τ )
+λH₀Z_T(λ, τ )+

o_p(1), 其中 _{ZT(λ, τ ) =} ^√_{T ˆβ1}(λ, τ ) − β₀(τ )
, ˆβ₁(λ, τ ) 為使用樣本期間從₁到 [λT ], β₀(τ ) 的估計值_, 並且 _{H0 = p limT →∞T}^−1PT_{t=1ft Ft}⁻¹_{(τ )
xix}⁰_t。

2. 對於_{λ ∈ [0, 1]} 並且_n足夠大,則_{ST λ, τ, ˆβ(τ )
= ST λ, τ, β0(τ )
+λH0ZT(τ )+}

o_p(1), 其中 _{ZT(τ ) =} ^√_{T ˆβ(τ ) − β0(τ )
,} 且_{β(τ )}^ˆ 為使用所有樣本期間_{, β0(τ )} 的 估計值。

Proof. 引理1.1與1.2證明流程相同, 首先證明引理1.1, 根據假設1到_3, 隱含對於所有 λ ∈ Λ_, Z_T(λ, τ ) ≡ √

T ˆβ₁(λ, τ ) − β₀(τ )
= O_p(1), 因此 _{ZT(λ, τ )} 滿足 kZ_T(λ, τ )k ≤ p, 其中 _p 為一有限的常數。 令 _δ 是一個維度為 _p 的向量並且滿足 _{kδk ≤ p,} 在根據 Gutenbrunner and Jureckova(1992)的_(A.1) 得到_:

S_T λ, τ, β₀(τ ) + T⁻¹²δ

= S_T^d λ, τ, β₀(τ ) + T⁻¹²δ
− S_T^d λ, τ, β₀(τ )

(8) + T⁻¹²

[λT ]

X

t=1

x_t{F_t x⁰_tβ₀(τ ) + T⁻¹²x⁰_tδ
− τ } (9) + S_T λ, τ, β₀(τ )
.

式₍₈₎ 由 _Bai(1996)頁_617-618可知其為 _op(1) 對於所有 _{kδk ≤ p} 及 _{λ ∈ [0, 1]}。 而對於 式 ₍₉₎ 而言_{, τ = Ft Ft}⁻¹_{(τ )
= Ft x}⁰_{tβ0(τ )
,} 透過中間值定理 (mean value theorem) 隱含_:

T⁻¹²

[λT ]

X

t=1

x_tF_t x⁰_tβ₀(τ ) + T⁻¹²x⁰_tδ
− τ

= T⁻¹²

[λT ]

X

t=1

x_tF_t x⁰_tβ₀(τ )
+ f_t x⁰_tβ₀(τ ) + T⁻¹²x⁰_tδ^∗
(T⁻¹²x⁰_tδ) − τ

= T⁻¹

[λT ]

X

t=1

f_t x⁰_tβ₀(τ ) + T⁻¹²x⁰_tδ^∗
x_tx⁰_tδ,

其中 _kδ^∗_{k ≤ kδk}。 使用假設 _A.2. 及 _{max1≤t≤T T}⁻¹2kx_tk = o_p(1), 則 f_t x⁰_tβ₀(τ ) + T⁻¹²x⁰_tδ^∗
= f_t x⁰_tβ₀(τ )
+ o_p(1),

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對於所有 _{kδk ≤ p} 及_{1 ≤ t ≤ T}。 因此式 ₍₉₎ 變為_:

T⁻¹

[λT ]

X

t=1

ft x⁰_tβ0(τ )
xtx⁰_tδ + op(1),

使用假設 _A.3.(b) 則上式則寫為 _{λH0δ + op(1)}。 綜觀以上結果推得_: S_T λ, τ, β₀(τ ) + T⁻¹²δ
= ST λ, τ, β₀(τ )
+ λH0δ + o_p(1).

再由

Z_T(λ, τ ) =√

T ˆβ₁(λ, τ ) − β₀(τ )
, 經過移項可得_:

βˆ₁(λ, τ ) = β₀(τ ) + T⁻¹²Z_T(λ, τ ), 將β^ˆ₁(λ, τ ) 取代 β₀(τ ) + T⁻¹²δ, 則推得S_T λ, τ, ˆβ₁(λ, τ )

為:

S_T λ, τ, ˆβ₁(λ, τ )
= ST λ, τ, β₀(τ )
+ λH0Z_T(λ, τ ) + o_p(1), 而引理1.2證明同上, 將_β^ˆ_{1(λ, τ )} 取代成 _{β(τ ),}^ˆ 即可得到_:

S_T λ, τ, ˆβ(τ )
= S_T λ, τ, β₀(τ )
+ λH₀Z_T(τ ) + o_p(1).

檢定統計量 _SQτ 以及 _SWτ 的極限分配如下面命題: 命題 _1. 假設虛無假設為真_, 假設₁到₃成立_, 則_:

1. SQ_τ ⇒ sup

λ∈[0,1]

kB_p(λ)k∞, 其中 _Bp 為一個維度為 _p 定義在 _{[0, 1]} 上彼此相互獨立 的 Brownian bridge processes。

2. SWτ ⇒ sup

λ∈Λ

kB_p(λ)k² λ(1−λ) .

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(c) 對於某些 ϕ > 0, L < ∞, t = 1, . . . , T , Ekx_tk^4+ϕ < L 成立_;

(d) 存在M < ∞, γ > 2使得在_T 很大時_T^−1PT_t=1Ekxtk^2γ+1 < M , E(T⁻¹PT

t=1kx_tk³)^γ<

M 成立_;

(e) 存在 _{j0 > 0} 使得 _j^−1Pl+j_t=lxtx⁰_t 的特徵值為有界的並且上界為 _λmax 下界為 _λmin, 對於所有的 _{j ≥ j0}, 1 ≤ l ≤ T − j, 0 < λmin ≤ λmax < ∞。

假設 _{A. 12.} 令 _{∆T ,j(τ ) = βj+1}⁰ _{(τ ) − βj}⁰(τ ) (j = 1, . . . , m), 假設 _{∆T ,j(τ ) = vT∆j(τ ),} 對於某些 k∆_j(τ )k > 0, 其中 ∆_j(τ ) 為一個與 T 無關的向量, v_T 為一個 scalar 並且對 於某些 ϑ ∈ (0, 1/2) 滿足 v_T → 0且 T^(1/2)−ϑv_T → ∞。

多個分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論_, 為推導估計值得極限 性質所需_, 下面給出假設 _A.13. 如下_:

假設 _{A. 13.} 不同分量 _τh(h = 1, . . . , q) 下都滿足假設 _A.7. 到 _A.11., 至少存在一個分 量_τj(1 ≤ j ≤ q) 滿足假設 _A.12.。

重複橫斷面之給定分量多個結構性改變檢定之係數與變動時間點的估計與推論_, 加入 個人 _i下的假設_,與先前的假設 _A.1. 到 _A.7. 類似_, 標示如下所示_:

假設 _{B. 1.} 對於給定的 _{i, {1}

u⁰_it(τ )<0
− τ } 為一個 martingale difference 序列並且對 於所有的 _{i 6= j, u}⁰_{it(τ )} 與 _u⁰_{jt(τ )} 是相互獨立的。

假設 _{B. 2.} 對於 _{{Fit(·)}, {fit(·)}} 假設 _B.1. 成立。

假設 _{B. 3.} 對於任意  > 0, 存在一個 σ() > 0 使得對於所有 |s| < σ(), 1 ≤ i ≤ N , 1 ≤ t ≤ T , |f_it F_it⁻¹(τ ) + s
− fit F_it⁻¹(τ )
| < 。

假設 _{B. 4. Tj}⁰ _{= [λ}⁰_jT ](j = 1, . . . , m), 其中 _{0 < λ}⁰_{1 < λ}⁰_{m < 1} 並且對於所有的 _i 而言

假設 _{B. 4. Tj}⁰ _{= [λ}⁰_jT ](j = 1, . . . , m), 其中 _{0 < λ}⁰_{1 < λ}⁰_{m < 1} 並且對於所有的 _i 而言

在文檔中 高所得份額趨勢探討-分量迴歸下結構性改變之應用 - 政大學術集成 (頁 61-97)