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構性變動點的個數, 便可將模型設定為允許 ˆl 個結構性變動點, 來估計結構性變動時間點 及迴歸係數, 有個別的極限分配, 也可以估計信賴區間。 另外 SQτ 及 SQτ(l + 1|l) 的檢 定流程同 DQ 及DQ(l + 1|l) 檢定不再贅述。
為了寫出SQτ(l + 1|l)及DQ(l + 1|l)的極限分配,先給出一些符號,令Bp(s)是一個
維度為p的向量且獨立的布朗橋過程並且定義在[0, 1]上,也令Bp(u, v) = B(1)(u, v), . . . , B(p)(u, v)0
是一個維度為 p的向量且獨立的布朗橋過程並且每個元素都定義在在[0, 1]2 上其期望值 為0共變異方程式為 E B(i)(r, u)B(i)(s, v) = (r ∧ s − rs)(u ∧ v − uv), 而B(i)(r, u) 也 稱作 Brownian Pillow。
下面給出 SQτ(l + 1|l) 及DQ(l + 1|l) 的極限分配如下: 假設 m = l 並且假設模型 為(1) 或 (7) 式以及假設 A.7. 到 A.12. 或者假設 B.1. 到B.7. 成立, 則
P SQτ(l + 1|l) ≤ x → Gp(x)l+1, P DQ(l + 1|l)) ≤ x → ¯Gp(x)l+1, 其中 Gp(x)及 G¯p(x)分別為 sup
s∈[0,1]
kBp(s)k∞ 及 sup
τ ∈Tω
sup
s∈[0,1]
kBp(λ, τ )k∞ 的分配函數。 發 現上述的極限分配則是取決於模型參數個數p以及結構性變動點個數l以及修整比例(ω) 的大小。 有檢定統計量的極限分配, 便可透過模擬的方式取得漸進臨界值, 有臨界值便能 夠作檢定,然而在 SQτ(l + 1|l) 及DQ(l + 1|l)臨界值的計算上, 透過建構一個反映曲面 迴歸取得, 藉由不同參數 p, ω, l 數值的選擇, 提供臨界值快速的計算。 經過實驗, 在許多 不同模型設定之下, 選擇下面所呈現的非線性迴歸式:
CVi(α) = (z1i0 β1)exp(z2i0 β2) + ei,
其中 CVi(α) 為模擬的臨界值, α 為 nominal size。 這邊也要求 R2 的值不能小於0.999 的條件, 對於各個檢定統計量所包含的解釋變數如下所示:
1. SQτ(l + 1|l): z1i = {1, p, l + 1,1p, (l + 1)p}, z2i= {l+11 };
2. DQ(l + 1|l): z1i= {1, p, l + 1,1p, (l + 1)p, (l + 1)ω}, z2i = {(l+1)1 ,(l+1)ω1 , ω}.
迴歸係數則可參閱 Oka and Qu(2011) 表1, 其中解釋變數內各個參數數值的範圍如下: 1 ≤ p ≤ 20, 0 ≤ l ≤ 4, 0.05 ≤ ω ≤ 0.3 其中各個分量的間距為0.01。
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4 實證
4.1 資料與模型
本文研究的國家共有18國, 分別為澳洲、 加拿大、 芬蘭、 法國、 德國、 印度、 愛爾蘭、 日 本、 荷蘭、 紐西蘭、 挪威、 波蘭、 新加坡、 西班牙、 瑞典、 瑞士、 英國、 美國。 資料期間 各個國家稍有不同, 表2依照不同時期分別列出各國資料期間, 資料來源來自 Roine and Waldenstrom(2011) 作者所提供各個國家之高所得份額。9
表2列出所有個別國家20世紀與二次世界大戰戰後時期的敘述統計, 就20世紀而言各 個國家高所得份額的平均數與中位數落於6-12之間,其中北歐地區國家所得現出來的平均 數與中位數明顯小於其他地區國家,顯示北歐地區社會較為均等。 標準誤方面荷蘭的5.565 最高,其次是日本的4.667,代表其波動相對較大,其他國家標準誤落於2-4之間。 最大最小 值差異各個國家約10-14個百分比左右,僅荷蘭的差異高達22.68個百分比,看第一第三分 位數的差異相對於其他國家來的大。 就戰後時期而言情形與20世紀其間相差不大,但前後 比較發現各個國家高所得份額的平均數與中位數明顯比20世紀來的小, 也隱含戰前時期 較高的高所得份額,平均數與中位數較高的國家有美國、 德國、 新加坡高達雙位數水準,同 樣的北歐地區國家展現較為均等的社會。 標準誤方面任何國家都出現下降的情形, 意味著 戰後時期波動相對於20世紀較小。 從最大最小值得差異來看同樣比起20世紀小的多, 都 意味著戰後時期相對於戰前時期較為穩定。
表3列出不同區域20世紀與戰後時期的敘述統計, 就20世紀而言, 北歐國家高所得份 額之平均數是全部區域最小的, 顯示其他區域所得不均程度比北歐國家還要惡化。 就標準 誤方面北歐國家是所有區域最小的3.254, 顯示其波動相對較小, 相反的歐洲大陸則高達
4.817為所有區域之冠, 其波動最大。 最大最小值差異來看, 雖然歐洲大陸地區最大最小
值的差異很大, 但以第一第三分位數的差異來看與其他國家無太大差異, 顯示具有極端值 的情形。 就戰後時期而言情形與20世紀相差不大,但前後比較發現不同區域高所得份額的 平均數與中位數明顯比20世紀來的小,標準誤也有相同的情形,波動方面盎格魯薩克遜最 大, 另外, 值得注意的是歐洲大陸的標準誤從20世紀的最高的4.817 轉變為戰後時期最小
的1.843, 代表歐洲大陸歷經很大的轉變。
9資料取自Daniel Waldenstrom個人網頁http://www.anst.uu.se/danwa175/Data.htm。
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表 2: 20世紀與戰後時期個別國家之敘述統計
20世紀 平均數 第一分位數 中位數 第三分位數 標準誤 最小值 最大值 資料期間 澳洲 8.140 6.413 7.822 10.358 2.290 4.615 14.130 1921-2002 加拿大 11.236 9.003 9.964 13.430 3.103 7.602 18.405 1921-2000 紐西蘭 9.426 7.080 8.910 10.680 3.113 4.880 15.620 1921-2005 美國 12.088 8.390 11.422 15.393 3.582 7.742 19.599 1921-2005 印度 10.886 8.240 11.180 13.070 3.325 4.390 17.820 1922-1999 日本 10.389 7.290 7.898 14.368 4.667 6.427 19.922 1922-2005 法國 10.851 7.825 9.010 14.460 3.970 6.994 20.650 1915-2005 荷蘭 11.811 5.775 11.210 15.716 5.565 5.200 27.880 1915-1999 芬蘭 8.482 5.660 8.512 10.693 3.455 3.310 15.266 1920-2004 挪威 8.469 5.920 7.760 11.996 3.065 4.240 16.780 1920-2006 瑞典 7.802 5.518 6.640 10.438 3.225 3.968 13.742 1920-2006 戰後時期 平均數 第一分位數 中位數 第三分位數 標準誤 最小值 最大值 資料期間
澳洲 6.825 5.672 6.694 7.542 1.665 4.615 14.130 1950-2002
加拿大 9.403 8.741 9.335 9.889 1.205 7.602 13.562 1950-2000 紐西蘭 7.615 6.559 7.452 8.771 1.625 4.881 13.768 1950-2005 美國 10.594 8.164 9.081 12.982 3.061 7.742 17.980 1950-2006 印度 9.229 7.240 8.695 11.580 2.609 4.390 14.410 1950-1999
日本 7.672 7.179 7.617 8.078 0.599 6.769 9.202 1950-2005
法國 8.339 7.702 8.218 9.074 0.817 6.994 9.876 1950-2005
荷蘭 7.865 5.810 6.315 10.390 2.474 5.240 12.610 1950-1999
芬蘭 6.736 4.130 7.010 9.197 2.420 3.310 10.164 1950-2004
挪威 6.733 5.390 6.280 7.540 2.194 4.240 16.780 1950-2006
瑞士 9.575 8.490 9.770 10.670 0.991 8.030 11.000 1950-1996
瑞典 5.695 4.954 5.724 6.611 1.023 3.968 7.586 1950-2006
新加坡 11.456 10.452 10.924 12.410 1.389 9.836 15.067 1950-2005 英國 8.990 7.105 8.640 10.480 2.195 5.720 14.250 1950-2005 德國 10.857 10.233 10.900 11.343 0.798 9.200 12.200 1950-1998
西班牙 1.780 1.431 1.851 2.104 0.447 0.972 2.622 1954-2005
愛爾蘭 2.033 1.470 1.871 2.476 0.665 1.240 4.210 1950-2000
葡萄牙 2.276 1.450 2.165 3.250 0.973 0.730 3.690 1950-2003
註1: 資料來源取自Roine and Waldenstrom(2011)請見網頁http://www.anst.uu.se/danwa175/Data.htm。 註2:西班牙、 愛爾蘭、 葡萄牙均為所得前0.1%群體之高所得份額(由於資料取得的限制),其餘國家均為所得前1%群體之高所 得份額。
註3: 資料期間單位為年。
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表 3: 20世紀與戰後時期不同區域之敘述統計
20世紀 平均數 第一分位數 中位數 第三分位數 標準誤 最小值 最大值 盎格魯薩克遜 10.232 7.899 9.371 11.880 3.419 4.615 19.599
亞洲 10.628 7.420 8.659 13.320 4.072 4.390 19.922
北歐 8.249 5.590 7.480 11.272 3.254 3.310 16.780
歐洲大陸 11.315 7.737 9.511 14.815 4.817 5.200 27.880
戰後時期 平均數 第一分位數 中位數 第三分位數 標準誤 最小值 最大值 盎格魯薩克遜 8.699 7.130 8.397 9.592 2.454 4.615 17.980
亞洲 9.461 7.558 8.950 10.935 2.317 4.390 15.067
北歐 6.384 4.740 6.012 7.480 2.020 3.310 16.780
歐洲大陸 9.120 7.891 9.343 10.580 1.843 5.240 12.610
註1: 資料來源取自Roine and Waldenstrom(2011)文章作者個人網頁http://www.anst.uu.se/danwa175/Data.htm。 註2: 二十世紀期間,盎格魯薩克遜國家包含:澳洲、 加拿大、 紐西蘭、 美國。 亞洲國家包含:印度、 日本。 北歐國家包含:芬蘭、 挪 威、 瑞典。 歐洲大陸國家包含:荷蘭、 法國。
註3: 戰後時期,盎格魯薩克遜國家包含:澳洲、 加拿大、 紐西蘭、 美國、 英國。 亞洲國家包含:印度、 日本、 新加坡。 北歐國家包 含:芬蘭、 挪威、 瑞典。 歐洲大陸國家包含:荷蘭、 法國、 德國、 瑞士。 西班牙、 愛爾蘭、 葡萄牙均不考慮,主要原因是三者均為所 得前0.1%群體之高所得份額,與其他所有國家的所得前1%群體之高所得份額定義不相同。
本篇實證模型設定分成一般時間序列分量迴歸下結構性改變模型以及重複橫斷面分量 迴歸下結構性改變模型, 前者用於個別國家高所得份額時間趨勢的探討, 而後者用於不同 區域高所得份額時間趨勢的探討。 以下分別依序介紹2個不同模型如下, 時間序列模型設 定為:
Qyt(τ |xt) = µj(τ ) + tjγj(τ ) (t = Tj−10 + 1, . . . , Tj0),
其中被解釋變數yt於本實證模型代表個別國家之高所得份額,µ 代表常數項, 解釋變數tj 代表時間趨勢,t 代表時間,τ 代表分量, 下標 j 代表不同的子區塊,γ 為參數。 而重複橫斷 面模型設定為:
Qyit(τ |xit) = µj(τ ) + tijγj(τ ) (t = Tj−10 + 1, . . . , Tj0),
其中被解釋變數 yit 於本實證模型代表不同國家之高所得份額,µ 代表常數項, 解釋變數 tij 代表時間趨勢,t 代表時間,τ 代表分量, 下標 j 代表不同的子區塊, 下標 i 代表不同國 家,γ 為參數。 估計及檢定則依照 Qu(2008) 及 Oka and Qu(2011) 為基礎。10 本文實證
10模型的估計使用根基於Oka and Qu(2011) 所提供的 R 軟體編碼(code) 取自作者Qu 的個人網頁 http://people.bu.edu/qu/code.htm。
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表4: 20世紀全世界國家高所得份額之結構改變
全世界
變動時間點 高所得份額年變化率
分量 變動點個數 [95%信賴區間] t1 t2 t3
0.1 0
0.2 1 1980[1979,1988] −0.015650∗∗∗ 0.024266∗∗∗
0.3 1 1980[1979,1983] −0.016878∗∗∗ 0.033669∗∗∗
0.4 1 1986[1985,1988] −0.017420∗∗∗ 0.025155∗∗
0.5 1 1986[1985,1988] −0.015922∗∗∗ 0.016061∗
0.6 2 1941[1937,1943] 1986[1985,1991] −0.006932 −0.009323∗∗∗ 0.0080449 0.7 2 1941[1938,1942] 1981[1980,1989] −0.006492 −0.008638∗∗∗ 0.018917∗∗∗
0.8 2 1941[1939,1942] 1984[1983,1990] −0.007081∗∗∗ −0.009143∗∗∗ 0.029204∗∗
0.9 2 1942[1941,1943] 1980[1979,1982] −0.006460∗∗∗ −0.008968∗∗∗ 0.036898∗∗∗
Multi 2 1942[1940,1943] 1980[1979,1982]
註1:20世紀全世界國家包含:澳洲、 加拿大、 紐西蘭、 美國、 日本、 芬蘭、 挪威、 瑞典、 法國,樣本期間為1921-2000年。
註2:∗、∗∗、∗∗∗分別表示該係數在顯著水準0.1、0.05、0.01下顯著異於零。
研究所使用的被解釋變數均經過自然對數的轉換, 主要原因是經過此轉換, 估計係數的意 義將會變為年變化率的概念。
接下來將依序介紹不同區域以及個別國家之高所得份額結構改變的情形, 依序由20世 紀不同區域、 戰後時期不同區域、 戰後時期個別國家三個小節來討論。
4.2 20 世紀高所得份額之結構改變
表4列出20世紀全世界國家高所得份額結構改變情形, 考慮多個分量下偵測出來結構變動 點有兩個分別位於1942年及1980年, 細看個別分量下, 僅第0.1個分量沒有偵測到結構 性改變, 其餘分量都有發現結構變動點, 位於中低分量都只發現一個結構性變動點, 落於 1980年代, 然而較高分量 (第0.6-0.9分量) 都發現兩個結構變動點, 變動時間點分別位於 1941-42年以及1980年代初。 另外, 發現第0.9分量與考慮多個分量下偵測出來的結構變 動時間點完全相同, 說明於高所得群體內, 位於高分位數之群體支配整個高所得份額的結 構改變, 也就是相對於中低分量而言,高分量的影響力相對較大。11 時間趨勢方面, 於高分
11此解釋動機源自考慮多個分量下, 結構性變動點如何決定? 考慮多個分量的情形代表對於所感興趣的 分量範圍內,去尋找斷裂程度最大的結構變動點。 假使某單一分量與考慮多個分量下所偵測出來的變動時間 點相同,則代表在該分量下的結構變動點其斷裂程度最大並且支配其他分量所偵測出來的結構變動點,可以
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量(第0.6-0.9分量) 下才偵測出來的變動時間點為1941-42年, 早於此變動時間點呈現趨 勢向下的情形, 而於1941-42年後依舊呈現趨勢向下,但趨勢向下的幅度更大,12 而後約略 於1980年代, 發現趨勢由負向顯著關係轉為正向顯著關係, 並且其正向趨勢幅度強過負向 趨勢幅度。 中低分量趨勢都呈現由負項顯著關係轉為正向顯著關係。
20世紀不同區域高所得份額結構改變的情形可見表5以及表6。 表5列出盎格魯薩克遜 地區與亞洲地區高所得份額結構改變的情形, 表格上半部盎格魯薩克遜地區考慮多個分量 下偵測出來結構變動點個數為一個,位於1978年。 細看個別分量下,除了第0.1個分量外其 餘分量都至少出現一個結構改變, 變動時間點位於1970年代末及1980年代初中間 (亦有 出現差距相對較遠的年份諸如第0.3,0.4分量的1986年及第0.6分量的1971年)。 僅第0.8 分量偵測出兩個結構變動點分別為戰前時期的1941年以及1981年。 另外,發現第0.9分量 與考慮多個分量下偵測出來的結構變動時間點完全相同, 說明高所得群體內, 位於高分位 數之群體支配整個高所得份額的結構改變。 時間趨勢方面大多數都呈現由負向顯著關係轉
20世紀不同區域高所得份額結構改變的情形可見表5以及表6。 表5列出盎格魯薩克遜 地區與亞洲地區高所得份額結構改變的情形, 表格上半部盎格魯薩克遜地區考慮多個分量 下偵測出來結構變動點個數為一個,位於1978年。 細看個別分量下,除了第0.1個分量外其 餘分量都至少出現一個結構改變, 變動時間點位於1970年代末及1980年代初中間 (亦有 出現差距相對較遠的年份諸如第0.3,0.4分量的1986年及第0.6分量的1971年)。 僅第0.8 分量偵測出兩個結構變動點分別為戰前時期的1941年以及1981年。 另外,發現第0.9分量 與考慮多個分量下偵測出來的結構變動時間點完全相同, 說明高所得群體內, 位於高分位 數之群體支配整個高所得份額的結構改變。 時間趨勢方面大多數都呈現由負向顯著關係轉