高所得份額趨勢探討-分量迴歸下結構性改變之應用 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學經濟學系碩士論文指導教授: 林馨怡博士. 治. 政高所得份額趨勢探討大:. 立. 分量迴歸下結構性改變之應用. ‧ 國. 學 Trends in Top Incomes:. ‧. Structural Changes in Regression Quantiles. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. 研究生: 賴沂良中華民國一百零一年六月. v.

(2) 摘. 要. 本文使用 Qu(2008) 以及 Oka and Qu(2011) 分量迴歸下結構性改變檢定分析 20 世紀與二次世界大戰戰後不同區域與國家之高所得份額趨勢變化。不同以往一般結構性改變檢定, 加入分量迴歸的概念研究一國家之高所得份額趨勢改變是否來自中高分量。不同區域的實證扣除考慮多個分量下沒有偵測出結構性改變的區域外, 有一半支持高所得份額趨勢改變來自中高分量; 戰後不同國家扣除考慮多個分量下沒有偵測出結構性改變的國家外, 除了美國其餘國家都支持高所得份額趨勢改變來自中高分量。關鍵字: 高所得份額; 分量迴歸; 結構性改變. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(3) 目錄 1 緒論. 1. 2 文獻回顧. 3. 2.1. 盎格魯薩克遜地區(澳洲、紐西蘭、愛爾蘭、加拿大、英國、美國) . . . . . .. 5. 2.2. 斯堪地那維亞地區(挪威、瑞典、芬蘭) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.3. 歐洲大陸地區(法國、德國、荷蘭、西班牙、瑞士、葡萄牙) . . . . . . . . .. 8. 2.4. 亞洲地區(印度、日本、新加坡) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 3 分量迴歸下結構性改變檢定. 3.1.1 3.1.2. 19. 多個結構性改變檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.1. 給定分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論 . . 23. 3.2.2. 多個分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論 . . 24. ‧. 重複橫斷面之給定分量及多個分量下多個結構性改變檢定之係數與變動時. Nat. y. 3.3. 14. 學. 3.2. 政治大給定分量下單一結構性改變檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 立多個分量下單一結構性改變檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 單一結構性改變檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. ‧ 國. 3.1. 14. n. al. er. 給定分量及多個分量下結構性改變檢定之變動時間點數量決定 . . . . . . 28. io. 3.4. sit. 間點的估計與推論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 4 實證. Ch. engchi. i n U. v. 31. 4.1. 資料與模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 4.2. 20 世紀高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 4.3. 二次世界大戰戰後高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 4.4. 4.3.1. 四大區域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 4.3.2. 個別國家 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 個別區域與國家各個分量支配整個結構性變動點討論 . . . . . . . . . . . 55. 5 結論. 58. I.

(4) 附錄. 59. 參考文獻. 79. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. II. i n U. v.

(5) 表目錄 1. 四大區域分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 20 世紀與戰後時期個別國家之敘述統計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 3. 20 世紀與戰後時期不同區域之敘述統計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 4. 20 世紀全世界國家高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 5. 20 世紀不同區域高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 6. 20 世紀不同區域高所得份額之結構改變 (續) . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 7. 戰後時期全世界國家高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 8. 戰後時期不同區域高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 9. 戰後時期不同區域高所得份額之結構改變(續) . . . . . . . . . . . . . . . 42. 4. 11. 政治大戰後時期個別國家高所得份額之結構改變 . . . . . . . . . . . . . . . . . 立戰後時期個別國家高所得份額之結構改變(續) . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 戰後時期個別國家高所得份額之結構改變(續) . . . . . . . . . . . . . . . 48. 13. 戰後時期個別國家高所得份額之結構改變(續) . . . . . . . . . . . . . . . 50. 14. 戰後時期個別國家高所得份額之結構改變(續) . . . . . . . . . . . . . . . 52. 15. 戰後時期個別國家高所得份額之結構改變(續) . . . . . . . . . . . . . . . 54. 16. 不同區域各個分量支配整個結構性變動點一覽表 . . . . . . . . . . . . . . 56. 17. 個別國家各個分量支配整個結構性變動點一覽表 . . . . . . . . . . . . . . 57. 44 46. 學. ‧. ‧ 國. io. sit. y. Nat. n. al. er. 10. Ch. engchi. III. i n U. v.

(6) 圖目錄 1. 20 世紀不同區域個別分量高所得份額結構改變時間點 . . . . . . . . . . . 83. 2. 20 世紀全世界個別分量高所得份額結構改變時間點 . . . . . . . . . . . . 84. 3. 戰後時期不同區域個別分量高所得份額結構改變時間點 . . . . . . . . . . 85. 4. 戰後時期全世界個別分量高所得份額結構改變時間點 . . . . . . . . . . . 86. 5. 戰後時期各個分量歐洲大陸國家高所得份額結構改變時間點 . . . . . . . . 87. 6. 戰後時期各個分量北歐與亞洲國家高所得份額結構改變時間點 . . . . . . 88. 7. 戰後時期各個分量盎格魯薩克遜國家高所得份額結構改變時間點 . . . . . 89. 8. 戰後時期所有個別國家不同分量下結構變動時間點總覽 . . . . . . . . . . 90. 9. 戰後時期不同區域下個別國家不同分量下結構變動時間點總覽 . . . . . . 91. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. IV. i n U. v.

(7) 1 緒論高所得份額意旨一國家所得於前面百分位數之群體總所得(e.g., 所得前 10% 群體或所得前 1% 群體等, 視定義而定) 占全體總所得的比重。其背後所代表的經濟意義即所得不均程度. 的概念, 當一國家高所得份額越高, 所佔比重越大時, 代表該國家所得位於前百分位數群體所持有的所得越多, 即少數群體握有大部分的所得, 則認為所得不均情形越嚴重。高所得份額時間趨勢方面, 當時間趨勢為負向時, 隱含所得不均程度情況得到改善, 該國家的發展邁向所得不均程度更均等的方向, 相反的趨勢為正向時, 代表該國家邁向所得不均程度所得不均更惡化的方向, 因此, 高所得份額時間趨勢可以用來衡量一國家所得不均程度的發展。. 政治大額的演變, 諸如研究高所得份額時間序列走勢, 解釋該序列長期走勢是向上或是向下, 亦立討論何種原因才是決定長期所得不均走勢的因素。不同作者分析不同國家之高所得份額序高所得份額一直以來都是熱門的經濟議題, 過去有豐富的文獻探討不同國家高所得份. ‧ 國. 學. 列並不會完全相同, 主要由於時間序列的處理方法不完全相同, 抑或是資料來源的差異例如同一國家但選用不同的資料庫等。造成錯估真實高所得份額的可能原因為某國家於某個. ‧. 年度稅務制度發生改變, 或出現資料沒有辦法提供完整訊息的情形例如越高所得之群體越. y. Nat. 可能發生逃稅或避稅的情形, 使得稅務資料並沒有辦法完整描述真實情況等。跨國分析而. sit. 言, 比較不同國家高所得份額走勢的差異, 容易陷入國與國之間序列沒有同質的問題, 這. al. er. io. 導因於不同國家稅務制度的不同, 不同國家建造高所得份額序列的過程處理方法不完全相. v. n. 同等。本文資料使用選取 Roine and Waldenstrom(2011) 所提供之不同國家高所得份額. Ch. 1. 資料, 該資料包含 18 個國家劃分為 4 大區域。. engchi. i n U. 高所得份額走勢改變的原因文獻上常見的有累進稅, 工資所得及資本所得的改變, 分別說明如下: 累進稅所影響到的所得群體範圍主要針對所得較高的群體, 並發現當所得越高, 稅的比率也會越高, 所得級距與稅率級距並非呈現等比例增加, 而是所得越高, 稅率成長得越快, 因此所得越高的群體越容易受到高稅率的影響, 將對於高所得份額序列產生重大的影響。另外關於資本所得及工資所得部分, 在不同時期資本所得與工資所得的重要性 1. 依不同區域可劃分為四, 分別為: 盎格魯薩克遜地區、北歐地區、歐洲大陸地區、亞洲地區,18 個個別國家為: 澳洲、加拿大、芬蘭、法國、德國、印度、愛爾蘭、日本、荷蘭、紐西蘭、挪威、波蘭、新加坡、西班牙、瑞典、瑞士、英國、美國。. 1.

(8) 不同, 並且資本所得以及工資所得的改變主要源於所得分配中較高分位數的所得群體。就高資本所得而言, 諸如兩次世界大戰以及經濟大蕭條對於高資本所得產生巨大的衝擊, 被認為是高所得份額於戰後出現劇烈下降的主要原因; 就高工資所得而言, 1980 年代後高階主管或執行長工資所得的增加, 被認為是高所得份額於近期出現顯著增加的主要原因。本文研究動機源自 Roine and Waldenstrom(2011) 為第一個使用一般結構性改變檢定探討高所得份額時間趨勢的改變, 於高所得份額文獻中 Roine and Waldenstrom(2008)、 Saez and Veall(2007)、Alvaredo(2010)、Piketty(2007)、Dell(2007)、 Piketty and Saez(2003)、 Banerjee and Piketty (2010) 提及高所得份額走勢改變主要導因於所得分配中較高分位. 數的所得群體, 但 Roine and Waldenstrom 並未探討不同分量的高所得份額趨勢改變, 因此本文將使用 Qu(2008) 以及 Oka and Qu(2011) 分量迴歸下結構性改變檢定用於時. 政治大高所得份額趨勢的結構性改變立, 後者則用來討論不同區域高所得份額趨勢的結構性改變, 間序列模型以及重複橫斷面 (repeated cross sections) 模型當中, 前者用來討論不同國家. 是否高所得份額時間趨勢的結構性改變主要來自中高分量。. 學. ‧ 國. 分析 20 世紀與二次世界大戰戰後不同區域與 18 個國家高所得份額趨勢的結構改變, 探究. 本文實證研究 20 世紀不同區域 (全世界、盎格魯薩克遜、北歐、歐洲大陸、亞洲) 與戰. ‧. 後時期不同區域及個別國家之高所得份額趨勢變動, 研究結果發現五大區域於 20 世紀及. y. Nat. 戰後時期, 扣除多個分量下沒有偵測出結構性改變的 2 個區域 (亞洲戰後時期、歐洲大陸. sit. 戰後時期), 其餘 8 個區域中, 發現中高分量 (第 0.4-0.9 分量) 支配整個結構性改變的區域. er. io. 有 4 個 (全世界 20 世紀、盎格魯薩克遜 20 世紀、亞洲 20 世紀、歐洲大陸 20 世紀); 戰後時. al. n. v i n C h, 發現中高分量支配整個結構性改變的國家多達印度、新加坡), 其餘 13 個個別國家中 12 engchi U 國, 僅美國沒有特定分量支配整個結構性改變。因此, 分量迴歸下結構性改變檢定方法不. 期 18 個國家中, 扣除多個分量下沒有偵測出結構性改變的 5 個國家 (西班牙、法國、德國、. 僅可做一般結構性改變檢定, 亦能夠研究過去高所得份額文獻中認為高所得份額趨勢變動的主因來自所得分配中較高分位數的群體。本論文內容安排如下, 第一節為緒論, 第二節為文獻回顧, 第三節為計量方法之介紹, 第四節為高所得份額趨勢之結構性改變實證分析, 最後一節為本論文結論。. 2.

(9) 2 文獻回顧高所得份額一直以來都是熱門的經濟議題, 高所得份額意旨一國家所得於前面百分位數之群體所得占全體總所得的比重, 當所占全體所得比重越高時, 代表該百分位數群體所擁有的所得越高, 亦即所得越集中在少部分人手中, 則代表該國家所得不均情況越嚴重, 因此高所得份額能去衡量一國家所得不均程度。 Kuznets(1953) 為第一篇使用美國個人所得稅資料分析高所得份額資料的文章, 他的資料年度涵蓋 1913 年至 1948 年, 建造所得前 1% 以及前 10% 群體之高所得份額序列, 而後有豐富的相關文獻討論不同國家高所得份額的演變, 以及比較不同國家之間高所得份額演變的差異。討論長期所得不均程度改變的因素上, 常見的有累進稅、工資所得及資本所得的改變,. 政治大稅制使得高資本持有者無法增加資本所得對高所得份額造成影響, Atkinson and Leigh(2007) 立認為累進稅對於高所得份額於 1930 及 1940 年代的下降有很大的影響, 高所得邊際稅率從累進稅上 Piketty(2005)、Piketty and Saez(2006) 認為 1914 年大部分西方國家累進所得. ‧ 國. 學. 1930 年的 35% 上升至 1940 年的 65%, 於 1980 年代末期高稅率亦為高所得份額上升的原. 因,1985 至 1989 年高所得邊際稅率從 66% 減至 33%; 工資所得上,Piketty(2005) 說明美國. ‧. 1970 年代高所得份額的上升與高工資所得顯著的增加有關, Alvaredo(2010) 說明葡萄牙. y. Nat. 近年來高所得份額穩定的增加主要原因為高工資所得的增加, Piketty and Saez(2003) 認. sit. 為美國 1970 年代後的增加導因於高工資所得的提升; 資本所得方面,Piketty(2005) 認為. er. io. 1914-1945 年高所得份額的下降導因於高資本所得的下降, 諸如法國、德國受到二次世界. al. v i n Ch 蘭 1990 年代中期所得前 1% 群體之高所得份額上升的因素為資本所得比例增加 , Banerjee U i e h n gc and Piketty(2010) 說明印度於 1950-1970 年代這段期間內高所得份額的下降導因於高資 n. 大戰衝擊相對於美國較為劇烈, 其高所得份額下降更為劇烈, Jantti et al.(2010) 認為芬. 本所得的下降。討論不同因素對於不同所得群體的影響上, Roine,Jesper et al(2009) 的實證研究討論所得不均程度與經濟成長、金融發展、貿易開放性 (openness)、高所得邊際稅率、政府支出的長期關係, 該因素對於不同範圍的所得群體 (所得前 1%, 前 2%-10% 群體等) 而言, 其所受到的衝擊並不完全相同。 Roine,Jesper et al 使用追蹤資料考慮不隨時間改變的因素 (time-invariant factors) 例如具國家特色趨勢等, 為了避免誤差項有序列相關, 將線性迴. 歸式採一階差分處理, 並將資料改為五年平均值, 其所建造出來的高所得份額追蹤資料庫 3.

(10) 包含 16 個國家, 年份跨足近整個 20 世紀。當一國家每人 GDP 成長率高於平均值, 所得前 1% 群體之高所得份額會增加, 但所得前 2%-10% 群體之高所得份額並不是增加的, 隱含對. 於美國戰後時期於高生產力及高成長率的情況下, 對於所得越高的群體是越有利的。金融發展方面, 發生金融危機及銀行危機時, 對於較高所得富人之高所得份額產生強烈的負向影響。政府的角色上, 發現政府支出佔 GDP 比例對於所得前 1% 群體之高所得份額並無影響, 但對於中高階級以及剩餘群體之所得份額分別有負向以及正向的影響。越高的邊際稅率對於所得前 1% 群體或所得前 2%-10% 群體之高所得份額都產生負向的影響。全球化上, 常被用來衡量全球化程度的貿易開放性對於所得不均並沒有顯著的影響, 由上述發現對於不同範圍的所得群體, 其所受到的衝擊並不完全相同, 因此推論不同範圍所得群體隨著時間推移其高所得份額走勢也不必然會完全相同, 這樣的觀念也是本文未來所欲探討之. 政治大本節將依序回顧不同國家之高所得份額時間序列走勢 , 更深切了解過去 20 世紀歷經許立. 核心問題。. 多政治或經濟上的衝擊諸如兩次的世界大戰及經濟大蕭條等對一國所得不均程度程度造. ‧ 國. 學. 成的影響。以下所探討的各國家及其所隸屬的區域劃分, 將採 Roine and Waldenstrom(2011) 文中討論的 18 個國家: 澳洲、加拿大、芬蘭、法國、德國、印度、愛爾蘭、日本、荷蘭、紐. ‧. 西蘭、挪威、波蘭、新加坡、西班牙、瑞典、瑞士、英國、美國。依區域可劃分為四個區域:. y. Nat. 盎格魯薩克遜國家、北歐國家、歐洲大陸國家、亞洲國家。不同區域之個別國家分類依照. n. al. er. io. 顧。. sit. Roine and Waldenstrom(2011) 分法列於表1, 接下來將依不同區域對所有國家進行回. 表 1: 四大區域分類. i n U. v. 區域. Ch. 盎格魯薩克遜. 澳洲、紐西蘭、愛爾蘭、加拿大、英國、美國。. 斯堪地那維亞. 芬蘭、挪威、瑞典。. 歐洲大陸. 法國、德國、荷蘭、西班牙、瑞士、葡萄牙。. 亞洲. 印度、日本、新加坡。. engchi. 個別國家. 註 1: 四大區域分類參自 Roine and Waldenstrom(2011) 之分類方法。. 4.

(11) 2.1 盎格魯薩克遜地區(澳洲、紐西蘭、愛爾蘭、加拿大、英國、美國) 首先探討盎格魯薩克遜地區高所得份額的演變。自從1920 年代來, 澳洲的高所得份額有相當大的下降, Atkinson and Leigh(2007) 認為其時間序列走勢與其他四個盎格魯薩克遜國家例如加拿大、紐西蘭、英國、美國等相當類似, 都呈現高所得份額於二次世界大戰後的 30 年間都是下降的, 隨之而來的是 1970 年代中期後劇烈的上升。於 2000 年, 澳洲所得前 1% 群體之高所得份額比起自 1951 年以來任何時點都來的高; 而所得前 10% 群體之高所得份額亦比起自 1949 年以來任何時點都來的高, 所得前 0.1% 群體之高所得份額也仍然比原有 0.1 百分比的比重高 25 倍之多, 這也說明高所得份額在此時間點所反應出來的所得不均程度達到相對高點。. 治政所得份額在序列開始的前六十年期間, 大多呈現下降的趨勢大, 而在 1986 年後出現劇烈反轉立往上的情形, 並且這樣的反轉是階段性的變化而非連續的趨勢。對於所得很高的群體而言,. Atkinson and Leigh(2007) 做 1921 年至 2002 年紐西蘭高所得分配的探討。紐西蘭高. ‧ 國. 學. 推論累進稅對於 1930 及 1940 年代的高所得份額的下降有很大的影響, 高所得邊際稅率從 1930 年的 35 個百分點上升至 1940 年的 65 個百分點。同樣高稅率的下降亦是高所得份額. ‧. 於 1980 年代末期增加的主要原因, 於 1985 至 1989 年, 高所得邊際稅率從 66 個百分點減半至 33 個百分點, 並且認為降低稅率會造成許多影響諸如富有的人更加努力工作, 使得他們. sit. y. Nat. 增加投資報酬等。. io. er. Nolan(2007) 探討愛爾蘭 20 世紀高所得份額的長期趨勢, 研究發現所得前 0.1% 群體. 之高所得份額於 1930 年代有巨大的上升, 相對於 1922 年達到將近一倍的水準, 約略 7% 左. n. al. Ch. i n U. v. 右, 直至 1938 年左右開始劇烈往下到達 1990 年約略 1.3% 的低水準。不同高所得群體如所. engchi. 得前 1% 與 0.5% 之高所得份額從 1980 年代有平緩的上升, 1990 年代不同範圍的高所得份額都是增加的。愛爾蘭在 1920 年代是農業為主導的國家, 到 1960 年代開啟工業化的步伐, 之後其平均所得水準於 1990 年代快速趨向一些更加富裕的國家。在這樣的背景下, 愛爾蘭的高所得份額趨勢為 1930 年代早期快速的上升, 於二次世界大戰前至 1970 年代早期有劇烈的下降, 而後跟隨的是一段時間的穩定, 再於 1990 年代高所得份額呈現劇烈的向上。英國整個 20 世紀高所得演變過程的探討,Atkinson(2005) 認為一次世界大戰前, 英國所得是高度集中的, 所得前 0.1% 群體, 佔總所得超過 10%, 高所得份額在兩次的世界大戰期間都有顯著的下滑, 於戰後和平期間雖然有一些恢復, 但可以看出明顯的均等化過程, 5.

(12) 也就是所得不均程度下降。另外 Atkinson 所述均等化時期包含 1923-1933 年經濟大蕭條期間, 以及 1946-1956 年及 1965-1978 年。綜觀整個 1908 至 1978 年這段期間, 發現英國高所得份額有劇烈的下降, 例如所得前 0.1% 群體之高所得份額從 10 下降至 1.25 個百分點, 此外高所得群體內的集中度也有相同的下降。2 1979 年英國高所得份額趨勢產生反轉, 而後的 20 年間, 高所得份額都是趨勢往上, 恢復部分自從二次世界大戰戰後時期的下降, 雖然英國的所得不均程度於整個樣本期間末期並沒有恢復到二次世界大戰前的水準, 但假使 1990 年代向上的趨勢繼續下去, 往後幾十年有可能會接近戰前 1937 年的高水準。 Piketty and Saez(2003) 探討美國 1913 年至 1998 年高所得與高工資份額序列, 所. 估計的高所得份額序列於整個 20 世紀展現出 U 型的型態, 也就是先下降後上升的情形。 Piketty and Saez 發現高資本所得在 20 世紀前半所歷經的衝擊並遭受嚴重的影響主要導. 政治大亦討論高資本所得無法從受到衝擊後完全恢復亦導因於累進稅的關係。高工資份額方面, 立. 因於一次世界大戰後的蕭條與經濟大蕭條以及戰爭中產生的財政衝擊, Piketty and Saez 於 1920 年代至 1940 年是相當平坦的, 而在戰爭期間則是陡峭的下降, 高工資份額開始恢. ‧ 國. 學. 復始於二次世界大戰戰後衝擊的 1960 年代, 並且於現在高於二次世界大戰前的水準。因此他們推論高所得份額過去 30 年的增加主要是高工資所得上升的結果。. ‧. Saez and Veall(2007) 檢視加拿大 1920 至 2000 年高所得的演變。研究發現加拿大高. y. Nat. 所得份額在二次世界大戰期間有劇烈的下降, 並且於之後的 30 年間並沒有恢復, 而在最近. sit. 的 20 年間, 也就是 1980 年代後, 加拿大的高所得份額出現巨大的增加, 幾乎與美國增加的. er. io. 一樣多。然而這樣的變動經常被忽略, 主要由於它集中在加拿大所得分配中前 10% 的群體. al. n. v i n C h, 自從二次世界大戰後是導因於高工資所得與高薪水的湧起 e n g c h i U , 加拿大高所得群體的所得構成亦發生改變, 認為許多高所得個體主要所得來源來自就業而非資本報酬。. 內, 因此僅僅於非常高之所得群體中才有辦法發現高所得份額的增加。這樣的增加被認為. 盎格魯薩克遜國家的高所得份額趨勢, 總體來看相當類似, 都呈現二次大戰戰後高所得份額趨勢向下的情形, 於 1970 年代諸如美國、澳洲、英國等國趨勢由負向反轉為正向, 而愛爾蘭、紐西蘭、加拿大等國則於相對較晚的 1980 年代後才有反轉往上的情形。 2. 例如所得前0.1% 群體總所得佔所得前 1% 之群體總所得的比例是下降的, 文獻上常寫為比例中的比例 (shares in share), 也代表著所得集中度的大小。. 6.

(13) 2.2 斯堪地那維亞地區(挪威、瑞典、芬蘭) 接著探討斯堪地那維亞地區之高所得份額演變。挪威高所得序列討論可見於Aaberge and Atkinson(2010), 其研究樣本範圍橫跨 100 年之長, 因此此序列能夠追溯至挪威工業化直. 至變為由於石油生產而致富的這段期間內, 高所得分配的演變。此文研究高所得份額比例多達六種,3 研究結果發現高所得份額先下降而後急遽上升,1948 年所得前 0.1% 的高所得占全體總所得高達 2.8%, 而 1980 年代占總所得的比重少於 1%; 所得前 1% 的高所得份額亦從 1948 年的 9% 下降至 1980 年代連 9% 一半都不到的水準, 並且推斷高所得份額的下降可能始於戰爭時期並且持續將近 50 年之久。而於 1992 年開始有反轉向上的情形, 推斷與 1992 年的稅務改革及 1980 年代資本市場自由化有關。綜觀整個時期來看, 發現高所得. 治政析比例中的比例, 發現 19 世紀的所得分配是極度不均的大 , 於 1885 年左右比例中的比例超過 40%, 隨著時間逐漸下降至立 1960 年代的 20% 左右, 於 1980 年代開始出現上升的跡象, 而份額於 1992 年後的上升相對於前面時期呈現的趨勢向下是更為劇烈且陡峭的。另外亦分 4. ‧ 國. 學. 1991 年後則是急遽的上升, 所得集中度呈現 U 型形狀, 也就是先下降而後上升的情形。最. 後結論二次世界大戰戰後時期, 累進所得稅、社會福利的興起與高所得份額穩定的下降有. ‧. 關係, 高所得份額由下降轉為上升, 始於 1990 年代初, 反轉點的出現稍晚於美國與英國。另一個北歐國家瑞典, 一個所得極為均等化的社會, 其高所得演變的探討則見 Roine. Nat. sit. y. and Waldenstrom(2008), 研究高所得分配中較小分位數的群體, 不僅僅討論所得前 10%. io. er. 群體, 討論範圍亦可縮小到所得前 0.01% 群體。研究結果認為瑞典的高所得份額, 如同其他西方國家, 於 20 世紀前 80 年有顯著的下降, 而大部分的下降發生在 1950 年以前, 也就是. n. al. Ch. i n U. v. 瑞典福利狀態擴張之前, 並推論大部分高所得份額的下降導因於所得分配內非常高所得群. engchi. 體之高所得份額的下降, 也就是所得前 10% 群體之所得分配下半部 (前 5% 至前 10%) 異於所得前 1% 群體, 其高所得份額呈現相當穩定的情形。 Roine and Waldenstrom(2008) 亦發現一次世界大戰後高所得份額下降的主因為非常高所得 (所得前 10%) 群體工資所得的增加, 另外二次世界大戰並沒有對瑞典高所得份額造成顯著的影響, 取而代之的是戰後 3. 給出挪威1975-2006 年總共高達 6 種不同比例之高所得份額, 分別為: 所得前 10% 、前 5% 、前 1% 、前 0.5% 、前 0.1% 、前 0.05% 群體之高所得份額。 4 主要是為了控制總所得的不確定性, 來分析特定所得比例群體所占較大範圍所得比例群體的比例, Aaberge and Atkinson(2010) 有研究所得前 1% 群體所得占所得前 10% 群體所得之比例及所得前 0.5% 群體所得占所得前 5% 群體所得之比例及所得前 0.1% 群體所得占所得前 1% 群體所得之比例。. 7.

(14) 時期高所得群體邊際稅率急劇上升, 造成高所得份額相當顯著的下降。研究結果諸如 1950 年前所得不均程度大幅下降以及非常高所得之群體為造成所得不均程度變化的主要原因, 亦推論 1970 年代高所得份額進一步的下降導因於邊際稅率的增加以及工資團結公會的興起。這些新發現與先前研究所強調 1960 年代及 1970 年代福利狀態的提升相互補。 Jantti et al.(2010) 提供芬蘭高所得份額演變的證據, 使用所得稅資料年份為 1920 年. 至 2003 年以及個體資料年份為 1966 年至 2004 年。說明對於非常有錢之所得群體諸如所得前 1% 群體之高所得份額, 如何隨著時間產生變化。研究結果顯示不同百分比之高所得群體其高所得份額於 1960 年代初期至 1990 年代中期都是一致的, 均產生下降的情形, 而後便開始上升, 也說明大部分時間是處於均等化的時期, 也就是高所得份額 1960 年至 1990 年代持續的下降, 而後對於高所得份額如何由下降轉為上升, 逐漸邁向不均等甚至比四十. 政治大得前 1% 群體之高所得份額上升的主要因素為前所未見資本所得比例的增加 , 資料顯示於立. 年前的水準更高這樣的情形亦有說明。 Jantti et al.(2010) 推論主要造成 1990 年代中期所. 2004 年, 對於所得前 1% 群體之資本所得比例高達 63%, 並說明高所得的構成, 於樣本期. ‧ 國. 學. 間末期相對於較早時期是相異的。另外亦討論 1993 年稅務革新, 認為對於高所得份額趨勢向上造成相當重大的影響, 換言之, 說明 1990 年代中期累進所得稅的下降, 作為解釋芬蘭. ‧. 高所得份額增加的主要原因。. y. Nat. 北歐未參戰國家雖然於二次世界大戰戰後都出現高所得份額下降, 但下降的幅度相對. er. io. 幅度相當劇烈。. sit. 於參戰國家來的平緩, 於 1990 年代前後三個國家都發生趨勢由負向反轉為正向且正向的. al. n. v i n C h 荷蘭、西班牙、U 瑞士、葡萄牙) 歐洲大陸地區(法國、德國、 engchi. 2.3. 探討歐洲大陸地區高所得份額的演變, 法國20 世紀所得不均的趨勢探討可見 Piketty(2007), 其研究法國所得分配於 1901-1998 年間是否更為平等、所得不均在什麼時期是增加什麼時期是減少的以及所得分配中什麼樣分位數的所得群體更容易受到趨勢的影響等。研究結果顯示法國所得前 10% 群體之高所得份額趨勢確實於 20 世紀時期經歷顯著的下降, 高所得份額從 20 世紀初期的 45% 下降至 1990 年代的 32% 左右, 更細部的看, 所得前 10% 群體之高所得份額於第一次世界大戰期間是下降的, 而後於 1920 年代以及 1930 年代前半段有恢. 8.

(15) 復的趨勢, 至 1935 年高所得份額達到約略 47% 的高點,5 而後高所得份額於 1936 年後開始出現劇烈的下降, 於二次世界大戰期間更為劇烈。就戰後時期而言, 高所得份額從 1945 年的 29% 左右增加至 1967 年的 36%, 而後開始呈現下降的趨勢直至 1982 年的 31% 附近, 1980 年代初期後則呈現緩慢增加的趨勢。 Piketty(2007) 發現絕大多數的下降都出現在 1945 年之前, 1945 年之後都維持在 32% 左右的平均值, 正好 1914-1945 年的下降正好歷. 經兩次世界大戰以及 1930 年代的經濟大蕭條。對於高所得份額下降主要原因的推論, 認為主要導因於非常高所得群體的影響, 所得前 10% 至所得前 5% 群體之高所得份額於 19001998 年間展現出長期且相當穩定的趨勢, 都在平均值 11%-11.5% 附近波動; 而所得前 5%. 至 1% 群體之高所得份額則出現平緩的下降, 從 20 世紀初的 15% 下降至 1990 年代的 13% 左右; 不同的是, 所得前 1% 群體之高所得份額下降超過一半的水準, 從 20 世紀初的 20%. 政治大. 下降至 1990 年代的 7%。因此可藉由不同高所得份額序列推論越高所得群體之所得份額,. 立. 下降趨勢越明顯。. Dell(2007) 認為德國相對於其他工業化國家, 在 20 世紀經歷更多的外生衝擊。研究結. ‧ 國. 學. 果發現德國的高所得份額於 1914-1945 年是下降的, 這樣的下降主要導因於高所得 (所得前 1% 群體) 分配的下降, 特別是高所得群體內分配前端 (所得前 0.01% 群體) 的下降。雖. ‧. 然第一次世界大戰以及德國納粹政府對於高所得份額有正面的影響, 但一次世界大戰前的. y. Nat. 水準在二次世界大戰戰後時期便從未再被到達過, 高所得份額於 1950 年代 1960 年代再次. sit. 有正向的趨勢。 Dell(2007) 推論高所得份額下降很大的部分導因於 1914 年至 1945 年時期. er. io. 的衝擊, 第一次世界大戰以及隨後的通貨膨脹時期, 造成高所得結構的改變, 第三德意志. al. n. v i n C貨幣改革將高財富分配負擔移轉至較低所得的群體後, 第二次通貨膨脹時期以及 1948 ,重 hengchi U 新統一時期, 則見到兩個完全不同所得分配群體合併、轉變的過渡時期。. 時期 (Third Reich), 納粹政權 (Nazi power) 導致高所得份額急遽上升, 二次世界大戰. Salverda and Atkinson(2007) 描寫荷蘭 20 世紀高所得分配的發展, 認為如同其他歐. 洲國家, 高所得份額考慮兩種不同的計算方法來比較, 分別考慮總所得 (gross incomes) 與可支配所得 (disposable incomes), 探究高所得的組成則分成兩種形式, 分別為資本所得與勞動所得。研究結果顯示使用總所得資料之高所得份額有巨大的下降, 導因於受到兩次世界大戰的影響, 一路下降至 1970 年代中期的低點。 1970 年代後便呈現相對穩定的情 5. Piketty(2007) 所建造出來的序列中, 至此之後就再也沒有回到此高點. 9.

(16) 形, 荷蘭並不像英國、美國及其他盎格魯薩克遜國家發現高所得份額呈現 U 型的形式, 而是發現荷蘭高所得份額將近 25 年來的穩定。可支配所得之高所得份額發展與總所得相似, 自 1970 年代便呈現平坦的情形, 對於可支配所得與總所得而言, 所得前 10% 群體之高所得份額是相當穩定的, 但對於所得分位數更高群體之高所得份額則呈現增加的情形。 Alvaredo and Saez(2009) 研究結果顯示西班牙所得集中度於 1930 年代比今日所得集. 中度還要高, 所得前 0.01% 群體之高所得份額於 1930 年代是近幾十年來的兩倍之多, 所得前 0.01% 群體之高所得份額在 Franco 獨裁政權時期 (1939 年) 的前十年下降的很劇烈,6 自從 1970 年代後開始有緩慢的增加。雖然西班牙直至 1975-1977 年才變為民主國家, 而後開始實施現行社會福利以及重分配之稅務政策, 結果說明異於過去文獻觀點, 西班牙的所得集中度從 1950 年代後就相當的低, 主要導因於穩定且壽命長的獨裁政體, 自 1981 年後,. 政治大這些增加主要集中在所得前立 1% 群體, 尤其是此群體內更高分位數的所得群體, 而低於所. 高所得份額顯著的增加主要導因於高所得群體薪資的增加以及資本增加 (capital gains), 得前 1% 之所得群體並沒有太大的改變。. ‧ 國. 學. Alvaredo(2010) 分析葡萄牙於 1936-2005 年所得與工資集中度的發展, 結果顯示所得. 集中度於 1930 年代及 1940 年代比今日還要高, 高所得份額在二次世界大戰後期至 1960 年. ‧. 代末都是相當穩定的, 但仍然是下降的趨勢, 亦發現由於葡萄牙並未參加二次世界大戰, 因. y. Nat. 此看出其高所得份額下降強度比起其他歐洲國家小得多, 1950-1970 年間發現所得集中度. sit. 的水準與西班牙、法國、英國、美國相比較仍維持在相對高的位置, 而後於 1980 年代開始. n. al. er. io. 產生反轉往上情形。在過去十幾年, 研究發現高於所得前 10% 群體之高所得份額都呈現穩. v. 定的趨勢, 更細部的看, 考慮高所得群體內越高分位數的群體, 其所代表之高所得份額增加的越多。. Ch. engchi. i n U. Dell, Piketty, and Saez(2007) 探討瑞士 20 世紀所得與財富集中度的發展, 目標在. 於檢驗瑞士這個沒有受到兩次世界大戰衝擊並且從未建立累進稅制的國家, 利用瑞士所得及財富稅收統計來建構所得與財富份額長期且同質的所得集中度序列。研究結果發現並無參戰的瑞士其高所得與財富份額經過兩次的世界大戰以及經濟大蕭條的衝擊下都是下降 6. 西班牙自從1930 年代後歷經巨大的政治改變, 西班牙於 1931-1939 年為一個共和政體,1936 年 Franco 將軍的軍隊政變開啟為時三年的內戰, 也開啟西班牙從 1939 年至 Franco 將軍死時 1975 年的獨裁政權, 自此之後西班牙轉變為民主國家並實施重分配政策諸如累進所得稅與財富稅的發展以及全體醫療保險福利。研究西班牙的高所得份額以及財富份額能夠了解政權時期 (political regime) 以及經濟政策對於所得不均以及所得集中度的影響。. 10.

(17) 的, 但不是非常明顯。自從二次世界大戰後, 高所得與財富份額完全恢復, 研究結果亦顯示 1969 年, 高財富份額達到一次世界大戰前的高水準, 高所得份額於 1970 年代早期高於二. 次世界大戰前時期, 這些結果與法國、英國、美國、加拿大相異, 因此, 瑞士比起其他國家於 20 世紀初期有較低的所得與財富集中度, 但於 1960 年代, 瑞士展現出比其他國家還要高的財富與所得集中度, 而於 1970 年代, 推論非稅因素諸如人口年齡、退休金發展, 為影響財富集中度的主要原因。瑞士的經濟發展相似於法國、美國, 也隱含瑞士在二次世界大戰戰後時期的高財富集中度以及低的稅率水準相對於法國、美國等國家, 並沒有提供經濟表現上的提升。歐洲大陸國家國與國間高所得份額的演變並不是很一致, 例如法國、德國、荷蘭在二次世界大戰後高所得份額受到很大的影響, 都有劇烈往下的趨勢, 反觀葡萄牙以及瑞士並未. 政治大年代開始有上升的趨勢, 法國、立葡萄牙、瑞士於 1980 年代開始有顯著反轉往上的趨勢, 荷. 參戰的國家高所得份額並沒有受到太大的影響, 而德國、西班牙分別於 1960 年代及 1970 蘭則呈現長期穩定的情形。. ‧ 國. 學. 2.4 亞洲地區(印度、日本、新加坡). ‧. 最後則探討亞洲地區高所得的演變。印度高所得與高工資序列資料年分為1922-2000 年由. y. Nat. Banerjee and Piketty(2010) 建造, 使用個人稅務報告書資料算出高百分位數所得群體之. io. sit. 高所得份額, 包含所得前 1% 、前 0.5% 、前 0.1% 、前 0.01% 所得群體。研究結果顯示所得. er. 不均程度, 也就是高所得份額於 1922 年至 2000 年間出現 U 型的形式, 此外亦於所得前 1%. al. n. v i n C , 發現經濟大蕭條時期以及二次世界大戰衝擊對於印年代至 1950 年代大約在 2-2.5% 波動h engchi U. 群體之高所得份額發現較為不顯著的 U 型形式。所得前 0.01% 群體之高所得份額於 1920 度的影響比起其他西方國家來的小。對於所得前 0.01% 群體, 其於 1950 年代至 1980 年代. 早期呈現逐漸下降的趨勢, 對於所得前 1% 群體之高所得份額亦是如此, 從 1950 年代的 1213% 下降至 1980 年代早期的 4-5%, 這段期間內印度的累進稅於 1950-1970 年代是非常高. 的, 也因此對於資本集中度產生很大的影響, 也隱含這段期間內, 高所得份額的下降主要導因於高資本所得的下降, 而後兩種不同分位數所得群體之高所得份額都於 1980 年代至 1990 年代開始上升, 所得前 1% 群體甚至還上升至相較於 1980 年代初期兩倍水準, 這段期. 間內印度高所得份額的提升,Banerjee and Piketty(2010) 認為並非導因於高資本所得的. 11.

(18) 復甦, 而是導因於高工資所得的提升。新加坡高所得的演變則見 Atkinson(2010) 的研究, 其資料期間涵蓋短暫屬於馬來西亞的殖民時期, 以及 1965 年後完全的獨立的時期。 1950 年代殖民時期, 高所得份額提升至 1951 年的高點, 而後 1950 年代期間都呈現下降的趨勢, 隨後的獨立時期, 高所得群體伴隨. 的是 25 年相當穩定的情形, 於 1990 年代發現高所得份額有下降的趨勢, 但於 1996 年後上升約略 90 年代所下降一半的水準, 縱使隨後仍有下降的情形, 但依舊保持高於早期時的水準, 高百分位數所得群體直至 1987 年都相對穩定, 而後開始下降直至 1995 年開始有上升的趨勢。 Atkinson(2010) 認為所建造出來的高所得份額序列對於諸如結束殖民時期自我政府的出現, 與馬來西亞聯盟, 離開聯盟這些政治變動, 並沒有顯示出高所得份額因此受到很大的變化, 自從 1990 年代末期的亞洲金融風暴其高所得份額上升將近原先一半的水. 政治大前 0.5% 群體之高所得份額仍有立9.5% 的水準。最後結論新加坡現今的所得分配受到全球的. 準, 於 2002 年後, 高所得份額開始往下, 但於 2005 年依舊維持在高於 1997 年的水準, 所得議題或受到貿易、技術改變的影響或間接受到減少累進所得稅的影響。. ‧ 國. 學. Moriguchi and Saez(2008) 探討日本所得集中度的演變, 主要研究結果發現日本是一. 個離平等主義很遠的國家, 從第一次工業化時期所得不均程度就非常高, 1920 年代末, 當. ‧. 大部分國家都歷經經濟大蕭條期間實質所得集中度的下降, 經濟大蕭條對於日本的衝擊相. y. Nat. 對溫和。日本所得前 1% 群體之所得集中度於二次世界大戰時期是非常高的, 並且有短暫. sit. 的波動。高所得份額於二次世界大戰期間下降的非常劇烈且陡峭, 相較於其他國家, 日本. er. io. 於此時間的下降更為顯著, 並且於剩餘的 20 世紀維持在相當低的水準 (雖然在最後十年有. al. n. v i n Ch 大規模的政府干預以及通貨膨脹以及戰爭的破壞所導致。 e n g c h i U另外利用所得構成資料, 顯示高所得集中度劇烈的下降主要導因於二次世界大戰資本所得的崩塌, 財產稅統計資料有證據. 增加的跡象), 最後推論日本所得集中度的演變是歷史事故, 也就是二次世界大戰, 伴隨著. 顯示高財富持有於二次世界大戰期間是下降的, Moriguchi and Saez(2008) 推論在職業革新下, 資產重分配以及制度結構的轉變使得後續幾十年所得集中度沒有辦法提升, 這樣的重分配政策, 確實影響資本累積過程。最後結論二次世界大戰後, 經濟的結構改變將暫時性影響轉變為半恆常性影響。也認為 1960 年代稅務政策的改變, 公司治理, 人力資源管理, 都可能是在日本於高經濟成長時期使得所得沒有辦法更加集中的主要原因。亞洲國家方面各國差異很大, 日本高所得份額從二次世界大戰戰後急遽下降, 於 1950. 12.

(19) 年後呈現出相對穩定的情形, 印度則是高所得份額急遽下降直至 1980 年後開始有增加的趨勢, 新加坡則於 1950 年代下降而後 1965 年後則伴隨著 25 年的穩定, 直到 1997 年的亞洲金融風暴以後才又快速增加。本文研究動機主要導因於過去文獻中, 探討不同國家之高所得份額僅僅探討其時間序列走勢, 而 Roine and Waldenstrom(2011) 為第一個使用一般結構性改變檢定探討時間趨勢的改變, 在結構性變動時間點的探討上, 研究區域間是否相一致或區域內個別國家間是否相一致。本文將使用 Qu(2008) 所提出的分量迴歸下結構性改變檢定之檢定統計量的建構以及極限分配的推論, 而後 Oka and Qu(2011) 進一步說明結構變動時間點及係數的估計及其極限分配的推論, 應用此計量方法於實證研究當中, 亦即使用分量迴歸下結構性改變檢定於高所得份額時間趨勢的探討, 討論不同高所得份額的高低分量, 其時間趨勢的結構改變。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 13. i n U. v.

(20) 3 分量迴歸下結構性改變檢定 3.1 單一結構性改變檢定 3.1.1 給定分量下單一結構性改變檢定. 將分量迴歸模型寫入結構性改變如下, 並且假設接下來的模型設定都為下述形式: 令 yt 為一隨機變數, xt 為 p × 1 的隨機向量, Qyt (τ |xt ) 為給定 xt 下 yt 的條件分量, t 代表時間並且令 T 為樣本大小, 令 yt 的第 τ 個條件分量 Qyt (τ |xt ) 是線性的。假設條件分量是線性的並且假定有 m 個結構性改變, 模型寫為:   x0t β10 (τ ),      x0 β 0 (τ ), t 2 Qyt (τ |xt ) = .  ..      0 0 xt βm+1 (τ ),. 立. t = 1, . . . , T10 ,. t = T + 1, . . . , T , 政治大 .. . 0 2. 0 1. (1). t = Tm0 + 1, . . . , T,. ‧ 國. 學. 其中 τ 代表感興趣的分量, βj0 (τ ) 表在某特定分量 (pre-specified quantile) 下的未知參數, Tj0 表未知的結構性變動時間點, 不同期數下的參數 βt (τ ) 代表於各個時間點下, 解釋. ‧. 變數對於被解釋變數在特定分量 τ ∈ [0, 1] 的影響。假使兩個不同期數下的參數 βt (τ ) 與. y. Nat. βj (τ ) 在統計檢定上沒辦法拒絕兩者是相同的話, 也就等同於 βt (τ ) 6= βj (τ ) 代表係數已. sit. 經發生改變, 因此符合結構性改變的定義。. er. io. 假設模型為式 (1), 若想檢驗在特定分量以及橫跨多個分量 (across multiple quan-. al. n. v i n C h τ ∈ (0, 1) 下虛無假設及對立假設為只有 1 個, 也就是 m = 1, 則給定特定分量 : engchi U. tiles) 下單一結構性改變的檢定, 則虛無假設與對立假設分別說明如下。假設變動點數量. H0 : βt (τ ) = β0 (τ ) ∀ t,   β (τ ) f or t = 1, 2, . . . , T 1 1 H1 : βt (τ ) =  β2 (τ ) f or t = T1 + 1, . . . , T. 橫跨多個分量下虛無假設及對立假設為: H0∗ : βt (τ ) = β0 (τ ) ∀ t and ∀ τ ∈ Tω   β (τ ) f or t = 1, 2, . . . , T 1 1 H1∗ : βt (τ ) =  β2 (τ ) f or t = T1 + 1, . . . , T 14. f or some τ ∈ Tω ..

(21) 其中 Tω ∈ (0, 1) 為一個 (0, 1) 區間的子集合。前者將焦點放在某特別感興趣的分量去找尋結構性變動點; 後者則是考慮所有分量去找尋結構性變動點。 Qu(2008) 提出兩種不同形式的檢定統計量均可用於給定分量 τ ∈ (0, 1)下結構性變. 動的檢定, 分別為 Subgradient based 檢定以及 Wald 檢定。為求得極限分配, 在虛無假設之下給出假設 (assumption), 並且為了簡化符號, 將 ft (·|xt ) 縮寫為 ft (·),Ft (·|xt ) 縮寫為 Ft (·), Ft−1 (·|xt ) 縮寫為 Ft−1 (v), 假設詳見附錄當中。假設 A.1. 為分量迴歸的基本假設。假設 A.2. 隱含條件密度函數在 Ft−1 (τ ) 的鄰域 (neighborhood) 是平滑 (smooth) 的對於所有的 t = 1, 2, . . . , T 。對於解釋變數的假設則. 放在假設 3, 假設 A.3.(a) 說明解釋變數含有截距項; 假設 A.3.(b)(e) 描述在樣本子期從 1 一直到 [λT ] 的極限收斂情形; 假設 A.3.(c) 則被用來得到 weighted empiricalprocess 1 P ] T − 2 [λT t=1 xt (1{Ft (yt )≤τ } − τ ) 的收斂性; 假設 A.3.(d) 是被用來建構文中所提出的兩個. 政治大檢定統計量的弱收斂性, 它也隱含立 max kx k = o (T ), 因為: t. T X. 1. p( max kxt k > T 2 ) ≤ 1≤t≤T. p(kxt k3(1+δ) > T. 3(1+δ) 2. n. 3(1+δ) 2. Ch. )≤. y T X. E(kxt k3(1+δ) /T. t=1. engchi U. p( max kxt k > T ) ≤. T X. ).. sit. 得到:. er. io. al. E(X) , C. 1 2. 1≤t≤T. 1. p(kxt k > T 2 ). ‧. Nat. 則原式可寫為:. 1 2. t=1. p(kxt k3(1+δ) > T. t=1. t=1 T X. =. 根據馬可夫不等式 p(X > C) ≤ T X. p. 學. ‧ 國. 1≤t≤T. v ni. E(kxt k3(1+δ) /T. 3(1+δ) 2. 3(1+δ) 2. ). ) → 0.. t=1. 假設 A.1.-A.3. 使用線性 location-scale 模型做個簡單的例子說明, 首先假設模型為: yt = x0t δ + (x0t γ)t ,. 並且令 f (·), F−1 (τ ) 為的密度函數以及的第 τ 個分量。則假設 A.1. 說明 f (F−1 (τ )) 是均勻有界 (uniformly bounded) 的連續函數。假設 A.2. 給出當對於所有的 t = 1, 2, . . . , T , 15.

(22) kx0t γk 其值在 0 到 ∞ 間機率為 1, 並且 ft (Ft−1 (τ )) = f (Fu−1 (τ ))/(x0t γ)。假設 A.3.(b) 0 P ] p −1 f F (τ ) xt xt /(x0t γ) → λH0 uniformly in λ ∈ [0, 1]。則等同於 p limT →∞ T −1 [λT t=1. 接下來分別說明如何建造 subgradient based 檢定以及 Wald 檢定的檢定統計量及其極限分配。建構 subgradient based 檢定先令 [x] 為高斯符號, 表示小於或等於 x 的最大整數, 並且假設一個 λ ∈ [0, 1], 表示子樣本期數由 1 一直到 λT , 則使用子樣本計算 subgradient 得到: ST (λ, τ, b) = T. − 12. [λT ] X. xt ψτ (yt − x0t b). t=1. 其中 b 為 β(τ ) 的某些估計值, 並且. 立. 政治大. ψτ (u) = 1(u ≤ 0) − τ.. 在虛無假設 (無結構性改變) 之下, ψτ yt − x0t β0 (τ ) 是個二元 (binary) 隨機變數, 平均. ‧ 國. 學. 數為 0, 變異數為 τ (1 − τ ), 再令 X = (x01 , . . . , x0T )0 , 且令. ‧. 1 Hλ,T β0 (τ ) = (T −1 X 0 X)− 2 ST λ, τ, β0 (τ ) .. y. n. al. sit. io. d Hλ,T β0 (τ ) → N 0, λτ (1 − τ ) .. er. 式所示:. Nat. 根據先前的假設推出 Hλ,T β0 (τ ) 的極限分配, 且為一 nuisance parameter free, 如下. i n U. v. ˆ ) 取代未知參數向量虛無假設下對全樣本做分量迴歸所得到的分量迴歸參數向量 β(τ β0 (τ ) 可得: Hλ,T. Ch. engchi. [λT ] X 0 − 12 ˆ ˆ ) . xt ψτ yt − x0t β(τ β(τ ) = (X X) t=1. ˆ )) re假設真正的變動點是未知的, 必須找尋所有可能的變動時間點, 並且將 Hλ,T (β(τ ˆ )), 在有限樣本會有較佳的表現。考慮以上所述, 則檢定統計量如 centering 成 λH1,T (β(τ. 下:. − 12 ˆ ) − λH1,T β(τ ˆ ) , SQτ = sup Hλ,T β(τ. τ (1 − τ ) λ∈[0,1]. ∞. 16.

(23) 其中 k.k 為 supremum norm7 , 此檢定統計量可理解成在假使有變動點 (λ ∈ (0, 1)) 發生 ˆ )) 與沒有發生變動點 (λ = 1) 的情況下統計量 H1,T (β(τ ˆ )) 乘的情況下統計量 Hλ,T (β(τ 上變動比例的差距, 也就是觀察使用樣本期數從 1 到 [λT ] 與使用全部樣本期數兩者統計量差距大小, 如果兩者的差異越接近, 就表示在不同的兩個子期下估計係數並沒有發生改變; 反之如果兩者差異越大, 則認為在不同的兩個子期下估計係數係數有發生改變。上述 subgradient based 統計量的形式與 CUSUM 檢定統計量形式相當類似, 其中 CUSUM. 檢定統計量形式如下:

(24) [λT ]

(25) 1

(26)

(27) − 1 X

(28)

(29) ˆt

(30) , CU SU M = sup

(31) T 2 ˆ λ∈[0,1] σ t=1 1. 其中 ˆt 為在虛無假設之下, 使用最小平方估計法估計出的殘差, 而 σˆ 2 由 plimT→∞ Var(T− 2. 政治大 Wald形式檢定統計量的建構於對立假設下, 令 βˆ (λ, τ ) 為使用子樣本的子期 1 到立 [λT ] 求解目標函數所得到的估計值用來估計未知參數 β (τ ), 而 βˆ (λ, τ ) 為子樣本剩餘估計而來。. 1. 0. 2. ‧ 國. 學. 子期求解目標函數所得到的估計值用來估計未知參數 β0 (τ ), 並令 ft (.|xt ) 以及 Ft (.|xt ) 為 yt 的條件密度函數以及分配函數。. ‧. Wald檢定精神在於在對立假設之下, 利用兩個不同樣本子期所估計出的參數 βˆ1 (λ, τ ), βˆ2 (λ, τ ), 檢定參數是否發生改變亦即檢定 βˆ1 (λ, τ ) 是否等於 βˆ2 (λ, τ ), 故虛無假設為 H0 :. y. Nat. sit. al. er. io. βˆ1 (λ, τ ) − βˆ2 (λ, τ ) = 0, 對立假設則為 H1 : βˆ1 (λ, τ ) − βˆ2 (λ, τ ) 6= 0, 使用此觀念來建構 ˆ τ ) = βˆ2 (λ, τ ) − βˆ1 (λ, τ ), 則變動點在 [λT ] 之整個 Wald 檢定統計量。定義符號 ∆β(λ,. n. 下的結構性改變 Wald 檢定統計量為:. Ch. engchi. i n U. v. ˆ τ )0 Vˆ (λ, τ )−1 ∆β(λ, ˆ τ ), T ∆β(λ, 7. 其定義為kf (x)k∞ = kf (x)k∞,S = sup { |f (x)| : x ∈ S }, 其中 S 為 x 定義域所在的集合。. 17. PT. t=1 ˆt ).

(32) 其中 Vˆ (λ, τ ) 為. √. ˆ τ ) 的變異數一致性估計式, T ∆β(λ, 1 1 }Ω0 , p limVˆ (λ, τ ) = τ (1 − τ ) { + λ 1−λ T →∞ Ω0 = H0−1 J0 H0−1 , T X H0 = p lim T −1 ft (yt |xt )xi x0t , T →∞. (2). t=1. J0 = p lim T −1 T →∞. n X. xi x0t ,. t=1. 其中上式證明請見附錄。一般變動點是未知的, 故透過樣本修整找出變動點可能發生的期間, 定義一個集合如. 政治大 Λ = [, 1 − ].. 下:. 立. . ‧ 國. 學. 並且 Λ 為 [0, 1] 之間的子集, Λ 亦即經過樣本修整後所欲找出變動點的期間, 並且變動點 λ ∈ Λ , 所以 Wald 檢定統計量可改寫為:. ‧. ˆ τ )0 Vˆ (λ, τ )−1 ∆β(λ, ˆ τ ). SWτ = sup T ∆β(λ, λ∈Λ. Nat. sit. y. 接下來給出一些引理 (lemma) 於附錄當中, 主要是藉由先前假設推導而來, 並且再由. io. al. n. 下 (證明請見附錄命題 1):. er. 先前假設及應用引理, 可推導出兩種檢定統計量 SQτ 以及 SWτ 的極限分配分別標示如. CSQh ⇒ sup kB (λ)kU n, i engchi τ. p. v. ∞. λ∈[0,1]. kBp (λ)k2 , λ∈Λ λ(1 − λ). SWτ ⇒ sup. 其中 Bp 為一個維度為 p 定義在 [0, 1] 上彼此相互獨立的布朗橋過程。 SQτ 檢定的臨界值 (critical value) 的獲得則經由模擬 (simulation) 的方式, kBp (λ)k∞ PT 1 P t.t.d. ] 則由 kT − 2 ( [λT t=1 t − λ t=1 t )k∞ 近似, 其中 t ∼ N (0, Ip )。而 supremum 的近似. 值則是在 λ 的定義域下去尋找, 其臨界值表則參照 Qu(2008) 頁 174。 SWτ 檢定的臨界值表則可參照 Bai and Perron(2003) 來做檢定。. 18.

(33) 3.1.2 多個分量下單一結構性改變檢定. 考慮多個分量下單一結構性改變檢定, 前小節所述之兩種檢定統計量 SQτ 及 SWτ 延伸為 DQ, DW 如下: ˆ )) − λH1,T (β(τ ˆ ))k∞ , DQ = sup sup kHλ,T (β(τ τ ∈Tω λ∈[0,1]. ˆ τ )0 Vˆ (λ, τ )−1 ∆β(λ, ˆ τ ), DW = sup sup T ∆β(λ, τ ∈Tω λ∈Λ. 此檢定又稱作 double supremum 檢定, 並且 Tω 為一個閉集合, 表示所感興趣分量的範圍, 其中: Tω = [ω, 1 − ω], 0 < ω < 21 。接下來為推導其檢定統計量之極限分配所需, 給出 0. 假設及引理於附錄當中, 另外令 B(u, v) = (B1 (u, v), . . . , Bp (u, v)) 為維度(dimension). 政治大. 為 p 的獨立高斯 (Gaussian) 過程, 其中每個組成都定義在 [0, 1] × [0, 1] 上, 並且為平均. 立. 數為 0, 共變異方程式為:. ‧ 國. 學. E Bt (r, u)Bt (s, v) = (r ∧ s − rs)(u ∧ v − uv),. 而 Bt (r, u) 又稱作 Brownian Pillow。則 DQ 及 DW 兩種檢定統計量的極限分配為:. sit. io. kB(λ, τ )k2 . τ ∈Tω λ∈Λ λ(1 − λ)τ (1 − τ ). DW = sup sup. er. Nat. τ ∈Tω λ∈[0,1]. y. ‧. DQ = sup sup kB(λ, τ )k∞ ,. al. n. v i n Ch 臨界值的獲得則是經由模擬的方式令 = e n g c h i, U. 詳細證明請見附錄命題 2。. (e1t , e2t , . . . , epi )0 , 其各 P[λT ] 1 自元素相互獨立並且在 [0, 1] 上均勻分布, Bj (λ, τ ) 則是由 T − 2 t=1 1(eij ≤ τ ) − PT λ t=1 1(eij ≤ τ ) , 而 supremum的近似值則是在 λ 與 τ 各自的定義域下去尋找, DQ DQ 與 DW. t. 與 DW 的臨界值表可參閱 Qu(2008) 頁 175 來做檢定。. 3.2 多個結構性改變檢定檢定統計量 SQτ 及 DQ 根基於 subgradient 的波動上, 並且於多個結構性變動點的情況下仍然具有一定的檢定力。而檢定統計量 SWτ 及 DW 則是根基於將樣本分成兩個子. 19.

(34) 期所建構出來, 在發生多個結構性變動點的情況下, 其檢定力並不高。下面對於 SWτ 及 DW 做進一步的延伸, 允許多個結構性變動點的情形。. 假設對立假設為: 有 m 個結構性變動點。則檢定結構性變動的 SWτ (m) 及 DW (m) 檢定統計量, 在單一分量下以及多個分量下, 檢定統計量分別如下所示: ˆ τ )0 R0 RS(λ, ˆ τ )R0 SWτ (m) = sup T β(λ,. −1. ˆ τ ), Rβ(λ,. λ∈Λ (m). ˆ τ )0 R0 RS(λ, ˆ τ )R0 DW (m) = sup sup T β(λ,. −1. ˆ τ ), Rβ(λ,. τ ∈Tω λ∈Λ (m). 其中 λ = (λ1 , . . . , λm ) 表樣本分割 (partition), Λ (m) 代表所有可能的樣本分割的集合, 對於某些 > 0,. 政治大. Λ (m) = {(λ1 , . . . , λm ); |λ1 ≥ , λm ≤ 1 − , |λj − λj−1 | ≥ },. 立. ˆ τ ) 為使用各個子樣本所用來估計 β0 (τ ) 的分量迴歸估計值, 也就是 β(λ,. ‧ 國. 學. ˆ τ )0 = βˆ1 (λ, τ )0 , . . . , βˆm (λ, τ )0 , βˆm+1 (λ, τ )0 β(λ,. 1×(m+1)p. ,. ‧. 矩陣 R 的決定則是滿足下列的式子. . 1×mp. ,. sit. y. Nat. ˆ τ )0 R0 = βˆ2 (λ, τ )0 − βˆ1 (λ, τ )0 , . . . , βˆm+1 (λ, τ )0 − βˆm (λ, τ )0 β(λ,. n. al.  −1 1 0 ... ...  ..  0 −1 1 . 0   .. R∗ =  . 0 −1 1 0  .. . . . . . . 0 . . . .  0 0 . . . . . . −1. Ch. engchi. er. io. ∗ ⊗ Ip , 而R∗ 矩陣, 其形式如下所示: 其中 Rmp×(m+1)p = Rm×(m+1). i n U  0  0  ..  .   0  1. v. ,. m×(m+1). √. ˆ τ ) 在虛無假設下, 變異數的一致性估計式, 也就是: T β(λ, 1 1 ˆ p lim S(λ, τ ) = τ (1 − τ )Diag ,..., ⊗ Ω0 , n→∞ (λ1 − λ0 ) (λm+1 − λm ). ˆ τ) 為而 S(λ,. 其中 Ω0 = H0−1 J0 H0−1 , 並且 λ0 = 0 及 λm+1 = 1。 20. (3).

(35) 這邊矩陣 R 的使用主要是將原本的參數 βˆ1 (λ, τ ), . . . , βˆm+1 (λ, τ ) 轉換成兩兩相減的模式 βˆ2 (λ, τ )0 − βˆ1 (λ, τ )0 , . . . , βˆm+1 (λ, τ )0 − βˆm (λ, τ )0 , 也就是在各個不同子期下所. 估計出來的參數, 對於所有彼此相鄰的估計參數的差異做比較, 假若差異很大的話, 則認為存在結構性變動, 反之則認為不存在結構性變動, 因此最多可檢定 m 個變動點, 這也是在多個結構變動點下結構性變動 Wald 檢定的精神。假設結構性變動點介於 1 跟某個上界 (upper bound)M 之間, 則根據 Bai and Perron (1998) 所提及的處理方法, 認為當變動點增加時, 檢定統計量的臨界值會下降, 隱含邊際 p-value 亦會下降, 當變動點數量增加, 會導致低檢定力的問題, 為了解決這個問題, 加入. 權數 (weights) 使得在不同變動點間的邊際 p-value 是相同的。令 am 及 bm 為權數, 再令 c(p, α, m) 為 SWτ (m) 在顯著水準 α 及允許 p 個參數變動的臨界值, 定義權數 am ,. 政治大 DW (m) 在顯著水準 α 及允許立p 個參數變動的臨界值下所定義的權數。因此檢定統計量. 對於 m = 1時, a1 = 1, 對於 m > 1時, am = c(p, α, 1)/c(p, α, m); 同樣的 bm 則是採取則變為下列的形式:. ‧ 國. 學. SSWτ (M ) = max am SWτ (m), 1≤m≤M. ‧. SDW (M ) = max bm DW (m), 1≤m≤M. y. io. sit. 性變動的檢定。. Nat. 其中 SSWτ (M ) 為給定單一分量下結構性變動檢定, 而 SDW (M ) 為多個分量下, 結構. er. 下面給出虛無假設下 SWτ (m)、SSWτ (M ) 及 DW (m)、SDW (M ) 檢定統計量的極. n. al. 限分配如下所示 (詳細證明請見附錄命題 3): SWτ (m) ⇒ sup. Ch. engchi. i n U. m X kλj Bp (λj+1 ) − λj+1 Bp (λj )k2. λj λj+1 (λj+1 − λj ). λ∈Λ (m) j=1. SSWτ (M ) ⇒ max am 1≤m≤M. DW (m) ⇒ sup sup τ ∈Tω λ∈Λ (m). sup. 1≤m≤M. ,. m X kλj Bp (λj+1 ) − λj+1 Bp (λj )k2. λj λj+1 (λj+1 − λj ) λ∈Λ (m) j=1 m X kλj Bp (λj+1 , τ ) − λj+1 Bp (λj , τ )k2 j=1. τ (1 − τ )λj λj+1 (λj+1 − λj ). ,. ,. m X kλj Bp (λj+1 , τ ) − λj+1 Bp (λj , τ )k2 sup sup . τ (1 − τ )λ λ (λ − λ ) τ ∈Tω λ∈Λ (m) j j+1 j+1 j j=1. SDW (M ) ⇒ max bm. v. 21.

(36) SWτ (m), SSWτ (M ), DW (m) 及 SDW (M ) 的臨界值表可參照 Qu(2008) 頁 177。. 對於其他的檢定統計量之臨界值則可透過使用反映曲面 (response surface) 迴歸8 簡便的取得, 此迴歸藉由不同的參數 p, ω, , m 的選擇提供臨界值快速的計算。經過實驗, 在許多不同的模型設定之下, 選擇下面非線性迴歸式: CVt (α) = (x01t β1 )exp(x02t β2 ) + t ,. 其中 CVt (α) 為模擬的臨界值, α 為 nominal size。這邊也要求 R2 的值不能小於 0.999 的條件, 對於各個檢定統計量所包含的解釋變數如下所示: 1 1. SWτ (m):x1 = {1, p, m, p1 , mp, m}, x2 = { m1 , m , , p};. 2. SSWτ (M ):x1 = {1, p}, x2 = {, p}, M = 3; 3. DW (m):x1 = {1, p, m,. 政 x =治 { , 大 , , p,. 1 , mp, m}, p. 立. 2. 1 1 m m. 1 , ω}; mω. 4. SDW (M ):x1 = {1, p}, x2 = {, p, ω}, M = 3.. ‧ 國. 學. 估計出來的迴歸係數可參閱 Qu(2008) 頁 177, 其中它所包含的各個參數範圍如下:1 ≤ p ≤ 10, m ≤ 3, 0.1 ≤ ≤ 0.2, 0.1 ≤ ω ≤ 0.2。. ‧. al. er. io. sit. y. Nat. 討論 local power analysis 時考慮對立假設為: ∆(τ ) t βt (τ ) = β0 (τ ) + √ g , (4) T T 其中 ∆(τ ) 為受到分量變動的常數, g( Tt ) 是vector-valued, Riemann-Stieltjes integrable. v. n. function, 其元素可為 step function 或是 slowly varying continuous function。定義 c(s). 為:. CZh s. c(s) =. i n U. Z i g(v)dv. e h n c g g(v)dv − s 1. 0. 0. 則所提及的檢定統計量整理如下: 假設參數型式如 (4) 式, 則: 當假設 A.1.-A.3. 成立時, SQτ , SWτ , SWτ (m), SSWτ (M ) 的極限分配分別如命題 1 及 3 所示, 其中 Bp (λ) 則改為 −1. Bp (λ) + J0 2 H0 ∆(τ )c(λ), 當假設 A.4.-A.6. 成立時, DQ, DW , DW (m), SDW (M ) −1. 的極限分配分別如命題 2 及 3 所示, 其中 Bp (λ, τ ) 則改為 Bp (λ, τ ) + J0 2 H0 ∆(τ )c(λ)。 8. 對於反映曲面模型做最適配適(fitting), 主要源自統計上的實驗設計 (experimental design)、迴歸模型選擇以及最適理論 (optimization methods), 涵蓋以上三種主題統稱作 Response Surface Methodology(RSM), 也就是在反映變數受到數個因子 (factor) 的影響 (上述結果必須為實驗設計所證實), 其最終目的主要是在如何設定因子的水準 (區間) 使得反映變數達到最佳值 (最大值, 最小值以及目標值)。. 22.

(37) 3.2.1 給定分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論. 模型(1) 的估計可藉由求解下列式子而成: min. β∈Rp. T X. ρτ (yt − x0t β),. t=1. 其中 ρτ 為 check function 滿足 ρτ (u) = u(τ − 1(u<0) )。假設 T b = (T1 , . . . , T2 ) 為所有可能的結構變動時間點的集合, 定義下面的目標函數: ST τ, β(τ ), T. b. . =. Tj+1 m X X. ρτ yt − x0t βj+1 (τ ) ,. (5). j=0 t=Tj +1. 政治大間點的估計則是藉由求解下面的方程式: 立. 0 其中 β(τ ) = β1 (τ )0 , . . . , βm+1 (τ )0 , T0 = 0, Tm+1 = T 。參數 β(τ ) 以及結構性變動時. ‧ 國. min. β(τ ),T b ∈Λ. ST τ, β(τ ), T b ,. 學. ˆ ), Tˆb = arg β(τ. ‧. ˆ ) = βˆ1 (τ )0 , . . . , βˆm+1 (τ )0 0 , Tˆb = (Tˆ1 , . . . , Tˆm ), Λ = {(T1 , . . . , Tm ) : Tj − 其中 β(τ Tj−1 ≥ T (j = 2, . . . , m), T1 ≥ T, Tm ≤ (1−)T }, 為很小的正數。亦即於所有可能的. sit. y. Nat. 變動時間點的集合裡面, 對所有的樣本分割做搜尋, 尋找能夠使得目標函數 ST (τ, β(τ ), T b ) 達到全面性的極小化 (global minimum), 而此組變動時間點以及其所對應的分量迴歸參. io. n. al. er. 數 β(τ ) 即為最後所想要的估計值。. i n U. v. 接下來說明估計值的收斂速度以及極限分配如下: 在假設 A.7. 到 A.12.(見附錄) 成 √ 立之下, 對於 j = 1, . . . , m, vT2 (Tˆj − Tj0 ) = Op (1); 對於 j = 1, . . . , m + 1, T βˆj (τ ) − βj0 (τ ) = Op (1)。. Ch. engchi. 令假設 A.7.-A.12. 成立, 則對於 j = 1, . . . , m,   W (s) − |s| s ≤ 0, πj d 2 ( )2 vT2 (Tˆj − Tj0 ) → arg max s  σj (σj+1 /σj )W (s) − (πj+1 /πj )|s|/2 s > 0,. 23.

(38) 其中 πj = ∆j (τ )0 Hj0 (τ )∆j (τ ), 0 πj+1 = ∆j (τ )0 Hj+1 (τ )∆j (τ ),. σj2 = τ (1 − τ )∆j (τ )0 Jj0 ∆j (τ ), 2 0 ∆j (τ ), σj+1 = τ (1 − τ )∆j (τ )0 Jj+1. W(s) 為一個標準雙邊 (two-sided) 布朗運動。此外, √. d T βˆj (τ ) − βj0 (τ ) → N (0, Vj ). −1 −1 其中對於 j = 1, . . . , m+1, Vj = τ (1−τ )Ω0j (τ )/(λ0j −λ0j−1 )2 , Ω0j (τ ) = Hj0 (τ ) Jj0 Hj0 (τ ) 。變動時間點 Tˆj 的極限分配為雙邊布朗運動的形式, 此種變動時間點極限分配的形式,. 政治大. 立. 於 Bai(1997) 便已有相關的研究, 而 Oka and Qu(2011) 所寫對於變動時間點極限分配. ‧ 國. 學. 的長相類似 Bai(1997) 的形式, 有極限分配便可對於變動時間點做區間估計。 3.2.2 多個分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論. ‧. 假設所感興趣分量的範圍在一個區間 Tω = [ω1 , ω2 ], 其中 0 < ω1 < ω2 < 1, 對. n. al. ST Tω , β(Tω ), T. b. . =. Tj+1 q m X X X. Ch. h=1 j=0 t=Tj +1. er. io. sit. y. Nat. 於此區間做分割得到一群分量 τh , h = 1, . . . , q 。令所有可能結構性變動時間點的分割 0 T b (T1 , . . . , Tm ) 及參數 β(Tω ) = β(τ1 )0 , . . . , β(τq )0 , 定義下面的目標函數:. i n U. v. ρτh yt − x0t βj+1 (τh ) ,. engchi. (6). 藉由上述目標函數求解來得到所要的估計值: ˆ ω ), Tˆb = arg β(T. min. β(Tω ),T b ∈Λ. ST Tω , β(Tω ), T b ,. 極小化上述目標函數的過程中包含三個步驟, 首先, 在給定的樣本分割以及給定的特定分量下極小化目標函數 ST τh , β(τh ), T b , 再來於相同的樣本分割作為條件之下, 對於所有感興趣的分量 {τh : h = 1, . . . , q} 重複極小化的步驟得到 ST Tω , β(Tω ), T b , 最後搜尋所有可能的樣本分割 T b ∈ Λ 來達到 ST Tω , β(Tω ), T b 全面性的極小化, 而此組變動時間點以及其所對應的分量迴歸參數 β(Tω ) 即為最後所想要的估計值。 24.

(39) 由於推論上的需要, 加上考慮多個分量 (τ1 , . . . , τq ) 下所需要多一個假設 A.13.(見附錄), 因此假設 A.13. 成立之下, 對於 j = 1, . . . , m, 結構性變動時間點的極限分配:   W (s) − |s| ∗ s ≤ 0, πj 2 2 d 2 0 ˆ ( ∗ ) vT (Tj − Tj ) → arg max ∗ ∗ s  σj /πj∗ )|s|/2 s > 0, /σj∗ )W (s) − (πj+1 (σj+1 其中 q. πj∗. 1X = ∆j (τh )0 Hj0 (τh )∆j (τh ), q h=1 q. ∗ πj+1. σj∗2. 1X 0 = ∆j (τh )0 Hj+1 (τh )∆j (τh ), q h=1. 政治大. q q 1 XX = 2 (τh ∧ τg − τh τg )∆j (τh )0 Jj0 ∆j (τg ), q h=1 g=1. 立. q q 1 XX 0 = 2 (τh ∧ τg − τh τg )∆j (τh )0 Jj+1 ∆j (τg ), q h=1 g=1. 學. ‧ 國. ∗2 σj+1. W(s) 為一個標準雙邊布朗橋運動。. ‧. 結構性變動時間點的極限分配的長相並不難想像, 直觀的來看其形式完全與在特定分. √. er. io. sit. y. Nat. ∗ 量下變動時間點的極限分配相一致, 差異僅在於多個分量 τj (1 ≤ j ≤ q) 下變數 πj∗ , πj+1 P P P ∗2 多了項目 q12 qh=1 qg=1 。多一項平均加總 1q qh=1 而 σj∗2 , σj+1 ˆ h )(h = 1, . . . , q) 的極限分配同附錄定理 1, 形式如下所示: 另外 β(τ. n. aTl βˆ (τ ) − β (τ ) → N (0, V i)v n Ch U 其中對於所有的 τ (h = 1, . . . , q), j = e 1, n . . .g , m+1, c h iV = τ (1−τ )Ω (τ )/(λ −λ j. h. 0 j. h. d. j. h. j. h. h. 0 j. h. 0 j. 2 0 j−1 ) ,. −1 −1 Ω0j (τh ) = Hj0 (τh ) Jj0 Hj0 (τh ) 。. 3.3 重複橫斷面之給定分量及多個分量下多個結構性改變檢定之係數與變. 動時間點的估計與推論假設資料形式為 (x0it , yit ), 其中 i 為個人, t 為時間並且假設 i = 1, . . . , N , t = 1, . . . , T 。考慮單一條件分量函數並假設模型為線性: Qyit (τ |xit ) = x0it βj0 (τ ) 25. 0 t = Tj−1 , . . . , Tj0 ,. (7).

(40) 其中對於每個個人, 結構性變動點 Tj0 (j = 1, . . . , m) 都是相同的, 令所有可能結構性變動時間點的分割 T b (T1 , . . . , Tm ) 並定義目標函數: SN T τ, β(τ ), T. b. . =. Tj+1 m N X X X. ρτ yit − x0it βj+1 (τ ) ,. j=0 t=Tj +1 i=1. 藉由上述目標函數求解來得到所要的估計值: ˆ ), Tˆb = arg β(τ. min. β(τ ),T b ∈Λ. SN T τ, β(τ ), T b .. 加入個人 i 下的假設 B.1.-B.7.(見附錄), 接下來說明估計值的收斂速度以及極限分配: 在假設 B.1.-B.7. 成立之下, 則對於 j = 1, . . . , m, vT2 (Tˆj − Tj0 ) = Op (1); 對於 √ j = 1, . . . , m + 1, N T βˆj (τ ) − βj0 (τ ) = Op (1)。. 政治大在假設 B.1.-B.7. 成立之下立, 對於j = 1, . . . , m,. ‧ 國. ‧. Nat. io. sit. y. ¯ 0 (τ )∆j (τ ), π ¯j = ∆j (τ )0 H j 0 ¯ j+1 π ¯j+1 = ∆j (τ )0 H (τ )∆j (τ ),. er. 其中. 學.  W (s) − |s| s ≤ 0, π ¯j 2 2 ˆ d 2 0 ( ) vT (Tj − Tj ) → arg max s  σ ¯j (¯ σj+1 /¯ σj )W (s) − (¯ πj+1 /¯ πj )|s|/2 s > 0,. n. aσ¯l = τ (1 − τ )∆ (τ ) J¯ ∆ (τ ), i v σ ¯ C=hτ (1 − τ )∆ (τ ) J¯ U∆n(τ ), engchi 2 j. 0. j. 2 j+1. j. 0 j 0. j. 0 j+1. j. W(s) 為一個標準雙邊布朗運動。此外, √ d N T βˆj (τ ) − βj0 (τ ) → N (0, V¯j ) ¯ 0j (τ )/(λ0j −λ0j−1 )2 , Ω ¯ 0j (τ ) = H ¯ j0 (τ ) −1 J¯j0 H ¯ j0 (τ ) −1 。其中對於 j = 1, . . . , m+1, V¯j = τ (1−τ )Ω. 加入個人 i 後結構性變動檢定, 其估計參數的極限分配長相與附錄定理 1 做比對, 其 2 形式完全相同, 僅在符號 π¯j , π¯j+1 , σ¯j2 , σ¯j+1 裡面的項目稍有改變, 其改變的地方可從假設. B.1.-B.7. 的內容發現。 26.

(41) 考慮多個分量 τh (h = 1, . . . , q) 及給定 Tω , T b = (T1 , . . . , Tm ) 之下, 定義目標函數為: SN T Tω , β(Tω ), T. b. . =. Tj+1 q m N X X X X. ρτ yit − x0it βj+1 (τh ) ,. h=1 j=0 t=Tj +1 i=1. 同樣的藉由上述目標函數求解極小化的過程, 來得到所要的估計值: ˆ ω ), Tˆb = arg β(T. min. β(Tω ),T b ∈Λ. SN T Tω , β(Tω ), T b .. 下面給出加入個人 i 以及在多個分量下一些所需要的假設 B.8.(見附錄), 結構性變動時間點的極限分配描述如下: 在假設 B.8. 成立之下, 對於 j = 1, . . . , m,   W (s) − |s| ∗ s ≤ 0, π ¯j d 2 ( ∗ )2 vT2 (Tˆj − Tj0 ) → arg max ∗ ∗ s  σ ¯j /¯ πj∗ )|s|/2 s > 0, πj+1 /¯ σj∗ )W (s) − (¯ (¯ σj+1. 立. 其中. 政治大. q. ∗ π ¯j+1. q. 1X 0 ¯ j+1 = ∆j (τh )0 H (τh )∆j (τh ), q h=1. ‧. ‧ 國. 1X ¯ 0 (τh )∆j (τh ), = ∆j (τh )0 H j q h=1. 學. π ¯j∗. q q 1 XX = 2 (τh ∧ τg − τh τg )∆j (τh )0 J¯j0 ∆j (τg ), q h=1 g=1. sit. n. al. er. q q 1 XX 0 = 2 (τh ∧ τg − τh τg )∆j (τh )0 J¯j+1 ∆j (τg ), q h=1 g=1. io. ∗2 σ ¯j+1. y. Nat. σ ¯j∗2. W(s) 為一個標準雙邊布朗運動。. Ch. engchi. i n U. v. 加入個人 i 的結構性變動時間點的極限分配的長相不難猜想其形式完全與在特定分量 ∗ 下變動時間點的極限分配完全一樣, 差異僅在於多個分量 τj (1 ≤ j ≤ q) 下變數 π¯j∗ , π¯j+1 P P P ∗2 多一項平均加總 ( 1q qh=1 ) 而 σ¯j∗2 , σ¯j+1 多了項目 q12 qh=1 qg=1 。 ˆ h )(h = 1, . . . , q) 的極限分配同附錄定理 2 的形式如下所示: 此外 β(τ. √. d N T βˆj (τh ) − βj0 (τh ) → N (0, V¯j ). ¯ 0j (τh )/(λ0j −λ0j−1 )2 , 其中對於所有的 τh (h = 1, . . . , q), j = 1, . . . , m+1, V¯j = τh (1−τh )Ω ¯ 0 (τh ) = H ¯ 0 (τh ) −1 J¯0 H ¯ 0 (τh ) −1 。 Ω j j j j 27.