給定分量下單一結構性改變檢定

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3 分量迴歸下結構性改變檢定

3.1 單一結構性改變檢定

3.1.1 給定分量下單一結構性改變檢定

將分量迴歸模型寫入結構性改變如下_, 並且假設接下來的模型設定都為下述形式_: 令 _yt 為一隨機變數_{, xt} 為_{p × 1} 的隨機向量_{, Qyt(τ |xt)} 為給定_xt 下_yt的條件分量_{, t} 代表時 間並且令_T 為樣本大小_,令 _yt 的第 _τ 個條件分量 _{Qyt(τ |xt)} 是線性的。 假設條件分量是 線性的並且假定有_m 個結構性改變_,模型寫為_:

Q_yt(τ |x_t) =















x⁰_tβ₁⁰(τ ), t = 1, . . . , T₁⁰, x⁰_tβ₂⁰(τ ), t = T₁⁰+ 1, . . . , T₂⁰, ... ...

x⁰_tβ_m+1⁰ (τ ), t = T_m⁰ + 1, . . . , T,

(1)

其中 _τ 代表感興趣的分量_{, βj}⁰_{(τ )} 表在某特定分量 (pre-specified quantile) 下的未知參 數_{, Tj}⁰ 表未知的結構性變動時間點_, 不同期數下的參數_{βt(τ )} 代表於各個時間點下_,解釋 變數對於被解釋變數在特定分量_{τ ∈ [0, 1]} 的影響。 假使兩個不同期數下的參數_{βt(τ )} 與 β_j(τ ) 在統計檢定上沒辦法拒絕兩者是相同的話_, 也就等同於 _{βt(τ ) 6= βj(τ )} 代表係數已 經發生改變_, 因此符合結構性改變的定義。

假設模型為式 _(1), 若想檢驗在特定分量以及橫跨多個分量 (across multiple

quan-tiles) 下單一結構性改變的檢定, 則虛無假設與對立假設分別說明如下。 假設變動點數量

只有1個,也就是 m = 1,則給定特定分量 τ ∈ (0, 1) 下虛無假設及對立假設為: H₀ : β_t(τ ) = β₀(τ ) ∀ t,

H₁ : β_t(τ ) =







β1(τ ) f or t = 1, 2, . . . , T1

β₂(τ ) f or t = T₁+ 1, . . . , T 橫跨多個分量下虛無假設及對立假設為_:

H₀^∗ : β_t(τ ) = β₀(τ ) ∀ t and ∀ τ ∈ T_ω H₁^∗ : β_t(τ ) =







β₁(τ ) f or t = 1, 2, . . . , T₁

β₂(τ ) f or t = T₁+ 1, . . . , T f or some τ ∈ T_ω.

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其中 _{Tω ∈ (0, 1)} 為一個 _{(0, 1)} 區間的子集合。 前者將焦點放在某特別感興趣的分量去找 尋結構性變動點_;後者則是考慮所有分量去找尋結構性變動點。

Qu(2008) 提出兩種不同形式的檢定統計量均可用於給定分量 _{τ ∈ (0, 1)}下結構性變

動的檢定_, 分別為 Subgradient based 檢定以及_Wald 檢定。 為求得極限分配_, 在虛無假 設之下給出假設 (assumption), 並且為了簡化符號_, 將 _ft(·|xt) 縮寫為 _{ft(·),Ft(·|xt)} 縮 寫為 _{Ft(·), Ft}⁻¹_(·|xt)縮寫為 _Ft⁻¹_(v),假設詳見附錄當中。

假設 _A.1. 為分量迴歸的基本假設。 假設 _A.2. 隱含條件密度函數在 _Ft⁻¹_{(τ )} 的鄰域 (neighborhood)是平滑_(smooth)的對於所有的t = 1, 2, . . . , T。 對於解釋變數的假設則 放在假設_3, 假設 _A.3.(a) 說明解釋變數含有截距項_; 假設 _A.3.(b)(e)描述在樣本子期從 1一直到 [λT ]的極限收斂情形; 假設 A.3.(c) 則被用來得到 weighted empiricalprocess T⁻¹² P[λT ]

t=1 x_t(1_{{Ft(yt)≤τ }}− τ ) 的收斂性; 假設 _A.3.(d) 是被用來建構文中所提出的兩個 檢定統計量的弱收斂性_, 它也隱含 _max

1≤t≤Tkx_tk = o_p(T¹²),因為_: p( max

1≤t≤Tkx_tk > T¹²) ≤

T

X

t=1

p(kx_tk > T¹²)

=

T

X

t=1

p(kx_tk^3(1+δ)> T^3(1+δ)2 ).

根據馬可夫不等式p(X > C) ≤ ^E(X)_C ,得到_:

T

X

t=1

p(kx_tk^3(1+δ)> T^3(1+δ)2 ) ≤

T

X

t=1

E(kx_tk^3(1+δ)/T^3(1+δ)2 )

則原式可寫為:

p( max

1≤t≤Tkx_tk > T¹²) ≤

T

X

t=1

E(kx_tk^3(1+δ)/T^3(1+δ)2 ) → 0.

假設 _A.1.-A.3. 使用線性 location-scale 模型做個簡單的例子說明_, 首先假設模型為_: y_t = x⁰_tδ + (x⁰_tγ)_t,

並且令_{f(·), F}⁻¹_{(τ )}為_的密度函數以及_的第_τ個分量。 則假設_A.1. 說明f_(F_⁻¹(τ )) 是均勻有界(uniformly bounded)的連續函數。 假設_A.2. 給出當對於所有的t = 1, 2, . . . , T ,

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kx⁰_tγk 其值在 ₀ 到 _∞ 間機率為_1, 並且 _ft(Ft⁻¹_{(τ )) = f(Fu}⁻¹_{(τ ))/(x}⁰_tγ)。 假設 _A.3.(b) 則等同於 _{p limT →∞T}^{−1P[λT ]}_{t=1 f F}⁻¹_{(τ )
xtx}⁰_t/(x⁰_{tγ)→ λH}^p ₀ uniformly in λ ∈ [0, 1]。

接下來分別說明如何建造 subgradient based檢定以及_Wald檢定的檢定統計量及其 極限分配。

建構subgradient based檢定先令_[x]為高斯符號_,表示小於或等於_x的最大整數_,並 且假設一個 λ ∈ [0, 1], 表示子樣本期數由₁一直到 _{λT ,} 則使用子樣本計算 subgradient 得到_:

S_T(λ, τ, b) = T⁻¹²

[λT ]

X

t=1

x_tψ_τ(y_t− x⁰_tb) 其中 _b 為β(τ ) 的某些估計值,並且

ψ_τ(u) = 1(u ≤ 0) − τ.

在虛無假設 ₍無結構性改變₎ 之下_{, ψτ yt− x}⁰_{tβ0(τ )}
是個二元 _(binary) 隨機變數_, 平均 數為_0, 變異數為 τ (1 − τ ), 再令 _{X = (x}⁰₁, . . . , x⁰_T)⁰, 且令

H_λ,T β₀(τ )
= (T⁻¹X⁰X)⁻¹²S_T λ, τ, β₀(τ )
.

根據先前的假設推出 _{Hλ,T β0(τ )}
的極限分配_, 且為一 nuisance parameter free, 如下 式所示_:

Hλ,T β0(τ )
d

→ N 0, λτ (1 − τ )
.

虛無假設下對全樣本做分量迴歸所得到的分量迴歸參數向量 _{β(τ )}^ˆ 取代未知參數向量 β₀(τ ) 可得_:

H_λ,T β(τ )
= (Xˆ ⁰X)⁻¹²

[λT ]

X

t=1

x_tψ_τ y_t− x⁰_tβ(τ )
.ˆ

假設真正的變動點是未知的,必須找尋所有可能的變動時間點,並且將H_λ,T( ˆβ(τ )) re-centering成λH_1,T( ˆβ(τ )),在有限樣本會有較佳的表現。 考慮以上所述,則檢定統計量如 下_:

SQ_τ = sup

λ∈[0,1]

τ (1 − τ )
−¹

2H_λ,T β(τ )
− λHˆ _1,T β(τ )ˆ


∞

,

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其中_k.k為supremum norm⁷,此檢定統計量可理解成在假使有變動點(λ ∈ (0, 1))發生 的情況下統計量_{Hλ,T( ˆβ(τ ))}與沒有發生變動點 _{(λ = 1)} 的情況下統計量 _{H1,T( ˆβ(τ ))} 乘 上變動比例的差距_, 也就是觀察使用樣本期數從₁到 _{[λT ]} 與使用全部樣本期數兩者統計 量差距大小_, 如果兩者的差異越接近_, 就表示在不同的兩個子期下估計係數並沒有發生改 變_; 反之如果兩者差異越大_, 則認為在不同的兩個子期下估計係數係數有發生改變。 上述 subgradient based 統計量的形式與 _CUSUM 檢定統計量形式相當類似_, 其中 _CUSUM 檢定統計量形式如下_:

CU SU M = sup

λ∈[0,1]

1 ˆ σ    

T⁻¹²

[λT ]

X

t=1

ˆ

t

    ,

其中_ˆt為在虛無假設之下_,使用最小平方估計法估計出的殘差_,而_σˆ²由_{plimT→∞Var(T}^{−12 PT}_t=1ˆt) 估計而來。

Wald形式檢定統計量的建構於對立假設下, 令 β^ˆ₁(λ, τ ) 為使用子樣本的子期 1 到 [λT ] 求解目標函數所得到的估計值用來估計未知參數 β₀(τ ), 而 β^ˆ₂(λ, τ ) 為子樣本剩餘 子期求解目標函數所得到的估計值用來估計未知參數 _{β0(τ ),} 並令 _ft(.|xt) 以及 _Ft(.|xt) 為_yt 的條件密度函數以及分配函數。

Wald檢定精神在於在對立假設之下_,利用兩個不同樣本子期所估計出的參數_β^ˆ_{1(λ, τ ),} βˆ₂(λ, τ ),檢定參數是否發生改變亦即檢定_β^ˆ_{1(λ, τ )}是否等於_β^ˆ_{2(λ, τ ),}故虛無假設為_{H0 :} βˆ₁(λ, τ ) − ˆβ₂(λ, τ ) = 0,對立假設則為 _{H1 : ˆβ1}(λ, τ ) − ˆβ₂(λ, τ ) 6= 0, 使用此觀念來建構 整個 _Wald 檢定統計量。 定義符號 _{∆ ˆ}β(λ, τ ) = ˆβ₂(λ, τ ) − ˆβ₁(λ, τ ), 則變動點在 _{[λT ]} 之 下的結構性改變_Wald 檢定統計量為_:

T ∆ ˆβ(λ, τ )⁰V (λ, τ )ˆ ⁻¹∆ ˆβ(λ, τ ),

7其定義為_{kf (x)k∞= kf (x)k∞,S} = sup { |f (x)| : x ∈ S },其中_S 為x定義域所在的集合。

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其中 _{V (λ, τ )}^ˆ 為^√_{T ∆ ˆβ(λ, τ )} 的變異數一致性估計式_, p lim

T →∞

V (λ, τ ) = τ (1 − τ )
{ˆ 1

λ + 1

1 − λ}Ω₀, (2)

Ω₀ = H₀⁻¹J₀H₀⁻¹, H₀ = p lim

T →∞T⁻¹

T

X

t=1

f_t(y_t|x_t)x_ix⁰_t,

J₀ = p lim

T →∞T⁻¹

n

X

t=1

x_ix⁰_t,

其中上式證明請見附錄。

一般變動點是未知的_, 故透過樣本修整找出變動點可能發生的期間_, 定義一個集合如 下_:

Λ_ = [, 1 − ].

並且 Λ_ 為 [0, 1] 之間的子集, Λ_ 亦即經過樣本修整後所欲找出變動點的期間, 並且變動 點λ ∈ Λ_, 所以_Wald 檢定統計量可改寫為_:

SW_τ = sup

λ∈Λ

T ∆ ˆβ(λ, τ )⁰V (λ, τ )ˆ ⁻¹∆ ˆβ(λ, τ ).

接下來給出一些引理 _(lemma) 於附錄當中_, 主要是藉由先前假設推導而來_, 並且再由 先前假設及應用引理_, 可推導出兩種檢定統計量 _SQτ 以及 _SWτ 的極限分配分別標示如 下₍證明請見附錄命題_1):

SQ_τ ⇒ sup

λ∈[0,1]

kB_p(λ)k∞,

SW_τ ⇒ sup

λ∈Λ

kB_p(λ)k² λ(1 − λ),

其中 _Bp 為一個維度為 _p 定義在_{[0, 1]} 上彼此相互獨立的布朗橋過程。

SQ_τ檢定的臨界值(critical value)的獲得則經由模擬(simulation)的方式_{, kBp(λ)k∞} 則由 _kT⁻¹²₍^{P[λT ]}_{t=1 t− λ}^PT_t=1t)k∞ 近似_, 其中 _t ^t.t.d._{∼ N (0, Ip)}。 而 _supremum 的近似 值則是在 _λ 的定義域下去尋找_, 其臨界值表則參照 _Qu(2008) 頁₁₇₄。 _SWτ 檢定的臨界 值表則可參照 Bai and Perron(2003) 來做檢定。

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在文檔中 高所得份額趨勢探討-分量迴歸下結構性改變之應用 - 政大學術集成 (頁 20-25)