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3.1.2 多個分量下單一結構性改變檢定
考慮多個分量下單一結構性改變檢定, 前小節所述之兩種檢定統計量 SQτ 及 SWτ 延伸 為DQ, DW 如下:
DQ = sup
τ ∈Tω
sup
λ∈[0,1]
kHλ,T( ˆβ(τ )) − λH1,T( ˆβ(τ ))k∞, DW = sup
τ ∈Tω
sup
λ∈Λ
T ∆ ˆβ(λ, τ )0V (λ, τ )ˆ −1∆ ˆβ(λ, τ ),
此檢定又稱作 double supremum 檢定, 並且 Tω 為一個閉集合, 表示所感興趣分量的範 圍,其中: Tω = [ω, 1 − ω], 0 < ω < 12。 接下來為推導其檢定統計量之極限分配所需,給出 假設及引理於附錄當中, 另外令 B(u, v) = (B1(u, v), . . . , Bp(u, v))0 為維度(dimension) 為p 的獨立高斯(Gaussian) 過程, 其中每個組成都定義在[0, 1] × [0, 1] 上, 並且為平均 數為0, 共變異方程式為:
E Bt(r, u)Bt(s, v) = (r ∧ s − rs)(u ∧ v − uv),
而Bt(r, u)又稱作 Brownian Pillow。 則 DQ及 DW 兩種檢定統計量的極限分配為: DQ = sup
τ ∈Tω
sup
λ∈[0,1]
kB(λ, τ )k∞,
DW = sup
τ ∈Tω
sup
λ∈Λ
kB(λ, τ )k2 λ(1 − λ)τ (1 − τ ). 詳細證明請見附錄命題2。
DQ 與 DW 臨界值的獲得則是經由模擬的方式, 令 t = (e1t, e2t, . . . , epi)0, 其各 自元素相互獨立並且在 [0, 1] 上均勻分布, Bj(λ, τ ) 則是由 T−12 P[λT ]t=1 1(eij ≤ τ ) − λPT
t=11(eij ≤ τ ), 而supremum的近似值則是在 λ 與τ 各自的定義域下去尋找, DQ 與DW 的臨界值表可參閱Qu(2008) 頁175來做檢定。
3.2 多個結構性改變檢定
檢定統計量 SQτ 及 DQ 根基於 subgradient 的波動上, 並且於多個結構性變動點的情 況下仍然具有一定的檢定力。 而檢定統計量 SWτ 及 DW 則是根基於將樣本分成兩個子
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SWτ(m), SSWτ(M ), DW (m) 及 SDW (M ) 的臨界值表可參照 Qu(2008) 頁177。 對於其他的檢定統計量之臨界值則可透過使用反映曲面(response surface)迴歸8 簡便的 取得,此迴歸藉由不同的參數p, ω, , m 的選擇提供臨界值快速的計算。 經過實驗,在許多 不同的模型設定之下,選擇下面非線性迴歸式:
CVt(α) = (x01tβ1)exp(x02tβ2) + t,
其中 CVt(α) 為模擬的臨界值, α 為 nominal size。 這邊也要求 R2 的值不能小於0.999 的條件, 對於各個檢定統計量所包含的解釋變數如下所示:
1. SWτ(m):x1 = {1, p, m,1p, mp, m}, x2 = {m1,m1 , , p};
2. SSWτ(M ):x1 = {1, p}, x2 = {, p}, M = 3;
3. DW (m):x1 = {1, p, m,1p, mp, m}, x2 = {m1,m1 , , p,mω1 , ω};
4. SDW (M ):x1 = {1, p}, x2 = {, p, ω}, M = 3.
估計出來的迴歸係數可參閱 Qu(2008) 頁177, 其中它所包含的各個參數範圍如下:1 ≤ p ≤ 10, m ≤ 3, 0.1 ≤ ≤ 0.2, 0.1 ≤ ω ≤ 0.2。
討論 local power analysis 時考慮對立假設為: βt(τ ) = β0(τ ) + ∆(τ )
√T g t
T, (4)
其中∆(τ )為受到分量變動的常數, g(t
T)是vector-valued, Riemann-Stieltjes integrable function,其元素可為step function或是slowly varying continuous function。 定義c(s) 為:
c(s) = Z s
0
g(v)dv − s Z 1
0
g(v)dv.
則所提及的檢定統計量整理如下: 假設參數型式如 (4) 式, 則: 當假設 A.1.-A.3. 成立時, SQτ, SWτ, SWτ(m), SSWτ(M )的極限分配分別如命題1及3所示,其中Bp(λ)則改為 Bp(λ) + J−
1 2
0 H0∆(τ )c(λ), 當假設 A.4.-A.6. 成立時, DQ, DW , DW (m), SDW (M ) 的極限分配分別如命題2及3所示,其中 Bp(λ, τ ) 則改為 Bp(λ, τ ) + J−
1 2
0 H0∆(τ )c(λ)。
8對於反映曲面模型做最適配適(fitting), 主要源自統計上的實驗設計(experimental design)、 迴歸模 型選擇以及最適理論(optimization methods),涵蓋以上三種主題統稱作 Response Surface Methodol-ogy(RSM),也就是在反映變數受到數個因子 (factor) 的影響 (上述結果必須為實驗設計所證實), 其最終 目的主要是在如何設定因子的水準(區間)使得反映變數達到最佳值(最大值,最小值以及目標值)。
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3.2.1 給定分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論
模型(1) 的估計可藉由求解下列式子而成:
β∈Rminp
T
X
t=1
ρτ(yt− x0tβ),
其中ρτ 為check function 滿足 ρτ(u) = u(τ − 1(u<0))。 假設 Tb = (T1, . . . , T2) 為所有 可能的結構變動時間點的集合, 定義下面的目標函數:
ST τ, β(τ ), Tb =
m
X
j=0 Tj+1
X
t=Tj+1
ρτ yt− x0tβj+1(τ ), (5)
其中 β(τ ) = β1(τ )0, . . . , βm+1(τ )00
, T0 = 0, Tm+1 = T。 參數β(τ ) 以及結構性變動時 間點的估計則是藉由求解下面的方程式:
β(τ ), ˆˆ Tb = arg min
β(τ ),Tb∈Λ
ST τ, β(τ ), Tb,
其中 β(τ ) =ˆ βˆ1(τ )0, . . . , ˆβm+1(τ )00
, ˆTb = ( ˆT1, . . . , ˆTm), Λ = {(T1, . . . , Tm) : Tj − Tj−1 ≥ T (j = 2, . . . , m), T1 ≥ T, Tm ≤ (1−)T }, 為很小的正數。 亦即於所有可能的 變動時間點的集合裡面,對所有的樣本分割做搜尋,尋找能夠使得目標函數ST(τ, β(τ ), Tb) 達到全面性的極小化 (global minimum), 而此組變動時間點以及其所對應的分量迴歸參
數β(τ ) 即為最後所想要的估計值。
接下來說明估計值的收斂速度以及極限分配如下: 在假設 A.7. 到 A.12.(見附錄) 成 立之下, 對於j = 1, . . . , m, v2T( ˆTj− Tj0) = Op(1); 對於j = 1, . . . , m + 1, √
T ˆβj(τ ) − βj0(τ ) = Op(1)。
令假設A.7.-A.12. 成立, 則對於 j = 1, . . . , m,
(πj
σj)2v2T( ˆTj− Tj0)→ arg maxd
s
W (s) − |s|2 s ≤ 0,
(σj+1/σj)W (s) − (πj+1/πj)|s|/2 s > 0,
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其中
πj = ∆j(τ )0Hj0(τ )∆j(τ ), πj+1 = ∆j(τ )0Hj+10 (τ )∆j(τ ), σj2 = τ (1 − τ )∆j(τ )0Jj0∆j(τ ), σj+12 = τ (1 − τ )∆j(τ )0Jj+10 ∆j(τ ), W(s)為一個標準雙邊 (two-sided) 布朗運動。 此外,
√
T ˆβj(τ ) − βj0(τ ) d
→ N (0, Vj)
其中對於j = 1, . . . , m+1, Vj = τ (1−τ )Ω0j(τ )/(λ0j−λ0j−1)2, Ω0j(τ ) = Hj0(τ )−1
Jj0 Hj0(τ )−1
。 變動時間點 Tˆj 的極限分配為雙邊布朗運動的形式, 此種變動時間點極限分配的形式,
於 Bai(1997) 便已有相關的研究, 而 Oka and Qu(2011) 所寫對於變動時間點極限分配 的長相類似Bai(1997) 的形式,有極限分配便可對於變動時間點做區間估計。
3.2.2 多個分量下多個結構性改變之參數與變動時間點的估計與推論
假設所感興趣分量的範圍在一個區間 Tω = [ω1, ω2], 其中 0 < ω1 < ω2 < 1, 對 於此區間做分割得到一群分量 τh, h = 1, . . . , q。 令所有可能結構性變動時間點的分割 Tb(T1, . . . , Tm) 及參數 β(Tω) = β(τ1)0, . . . , β(τq)00
,定義下面的目標函數:
ST Tω, β(Tω), Tb =
q
X
h=1 m
X
j=0 Tj+1
X
t=Tj+1
ρτh yt− x0tβj+1(τh), (6)
藉由上述目標函數求解來得到所要的估計值: β(Tˆ ω), ˆTb = arg min
β(Tω),Tb∈Λ
ST Tω, β(Tω), Tb,
極小化上述目標函數的過程中包含三個步驟, 首先, 在給定的樣本分割以及給定的特定分 量下極小化目標函數 ST τh, β(τh), Tb, 再來於相同的樣本分割作為條件之下, 對於所有 感興趣的分量{τh : h = 1, . . . , q} 重複極小化的步驟得到 ST Tω, β(Tω), Tb, 最後搜尋 所有可能的樣本分割Tb ∈ Λ 來達到ST Tω, β(Tω), Tb全面性的極小化,而此組變動時 間點以及其所對應的分量迴歸參數β(Tω) 即為最後所想要的估計值。