第四章 研究結果與討論
第二節 個案於繪本融入乘法教學之學習歷程
本節首先歸納個案在繪本融入乘法教學前之學習經驗與乘法錯誤 類型，之後指出都市原住民學童對繪本融入乘法教學之態度及乘法概 念改善之情形。
一、個案之數學學習經驗及乘法錯誤類型
（一）柏祐之數學學習經驗
根據校長、老師及柏祐為訪談對象之半結構式訪談，研究者歸納 出柏祐之數學學習經驗。
1、學習數學很痛苦
柏祐目前就讀國小三年級。在家庭情況方面，柏祐的父母親離異，
目前與母親同住，母親平常會指導柏祐課業，但常力不從心，因此柏 祐的作業常常沒寫完（訪師1971215、訪生1971229）。在學校課業方 面，根據導師表示，柏祐的各科成績都不好，其中又以數學最差，數 學成績都是倒數的，且導師覺得柏祐的學習態度散漫（訪師1971222
）。柏祐也表示，所有的科目當中，他最討厭數學，上數學對他來說 很痛苦，也讓他覺得自己很笨（訪生1971225），一遇到不會的問題，
他也會馬上跳過，不想寫。
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柏祐：每次考不好，我就會被老師打又會罵人，可是我會發瘋呢。
（訪生1971225）
柏祐：我以前錯一個九九乘法，我媽媽會巴下去。 （訪生1971225）
柏祐：我以前沒有寫數學，老師會借別人的數學習作給我抄，我 就寫完了。 （訪生1971229）
2、學不好數學是因為不夠努力
柏祐覺得自己現在不能把數學學好，其歸因為努力不夠。但是他 相信未來他可以學得很好。研究者進一步詢問柏祐為什麼相信自己未 來可以學好數學？柏祐表示：因為我現在會努力（訪生1971225）。但 就算柏祐覺得自己在未來可以學好數學，但未來他並不想從事跟數學 有關的工作，就算他未來可以把數學學好，但他覺得並不會因此而喜 歡上數學（札 971225）。
柏祐：我現在完全不相信我會把數學學得很好。等我國一的 時候我就會很相信自己了（把數學學好）。可是我以 後不想要做跟數學有關的工作，因為我不喜歡數學。
（訪生1971225）
（二）柏祐之乘法錯誤類型
根據柏祐在乘法前測的表現，研究者歸納出柏祐之乘法錯誤類
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型。（前測答題情形見表 4-5）
1、認為乘法的意義就是連加
在乘法學習概念方面，柏祐對 4、7、8、9 的倍數的乘法基本事 實概念不足，即對九九乘法不熟練，例如：7×6=37。且不瞭解乘法的 意義，例如：指定用乘法解每疊積木有兩塊，現在堆了 8 疊積木，共 用去了多少塊積木？柏祐會使用連加法來計算（2+2+2+2+2+2+2+2）
，當研究者提示柏祐需用乘法來算時，柏祐還是不知道怎麼用指定的 乘法來表示（觀生1980216）。
2、位值概念錯誤
柏祐的位值概念出現兩種錯誤。以「某數乘以幾十、幾百」計算 題為例：乘數之末幾位為 0 時，被乘數每乘 0 一次，即在答案多加一 個 0 。兩位數乘以 10，補兩個 0；兩位數乘以 100，補四個 0。
0 0 3 2
0 1
3 2
×
0 0 0 0 6 8
0 0 1
6 8
×
在「兩位數以上乘法」計算題之錯誤類型方面，柏祐只是機械式 地記下乘法直式計算的規則：被乘數乘以乘數之十位，答案不能跟被 乘數乘完乘數之個位的答案對齊（觀生1980216）。至於要對齊哪裡，
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以及為什麼不能跟被乘數乘完乘數之個位的答案對齊，柏祐並不知道 其中所隱含的位值意義（札 980216）。例如：213×142，柏祐不瞭解 位值的意義，所以 213 乘以乘數的 4 時，柏祐並未想到意義等同於 213×40，導致對齊錯誤。
6 5 9 6 0 1
3 1 2
2 5 8
6 2 4
2 4 1
3 1 2
×
3、進位數忘記加
柏祐在乘法直式計算時，常忽略進位。例如：計算 285×6 時，有 以下表現：柏祐先算 6×5=30，寫 0 進 3。6×8=48，忽略個位所進的 3，
直接寫 8。之後忽略 6×2，直接以從十位進位過來的 4 為答案的百位。
計算 1375×23 時，有以下表現：被乘數乘以乘數的個位時，計算正確。
但被乘數乘以乘數的十位時，忽略 2×5=10，所進的 1。也忽略 2×7=14，
所進的 1。
0 8 4
6 5 8 2
3 4
×
5 2 5 0 3
0 4 6 2
5 2 1 4
3 2
5 7 3 1
1 2 1
×
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根據研究者針對國小乘法單元所進行之課程分析（圖 2-1 乘法課 程單元流程分析圖），以及九年一貫數學領域課程綱要之內容指出，
學童在國小二年級時需理解乘法的意義及九九乘法，並且在三上學習 兩位數乘以一位數時，學童應瞭解位值的概念。透過柏祐在乘法前測 的表現，可以發現柏祐的乘法概念不足，亦即在柏祐在低年級時，未 建立好學習整數乘法之先備知識（如進位、位值）。因此研究者需先 協助柏祐瞭解乘法的意義、熟悉乘法事實以及建立位值概念，才能進 行中年級整數乘法的教學。
（三）馬耀之數學學習經驗
根據校長、老師及馬耀為訪談對象之半結構式訪談，研究者歸納 出馬耀之數學學習經驗。
1、低年級時沒上過數學課
馬耀目前就讀國小四年級，在家庭情況方面，馬耀與祖父母同 住，平常由祖父叮嚀課業，但祖父無法指導其課業（訪生2971229）。 在課業表現方面，導師表示馬耀在國語、自然、社會等科目成績可達 及格，但數學表現最不好（訪師2971222）。馬耀三年級才轉學來本校，
導師發現其數學程度非常差，經調查後發現，馬耀在低年級時完全沒 上過數學課，不管是課本或習作，都一片空白，馬耀自己也表示低年
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級時，他完全沒上過數學課，他可以在數學課做自己的事，不用聽課
（訪師2971225、訪生2971229）。
2、學不好數學是因為不夠聰明
馬耀表示他想要學數學的原因是因為想得到別人的讚美，其將數 學學不好歸因為自己不夠聰明，因此考不到 100 分，使他常因數學成 績不佳受到長輩的責罵，再加上學校的數學課無法引起他的學習興 趣，所以使他很討厭數學（訪生2971218、札 971218）。馬耀以圖畫 表示自己上數學課的心情：很想哭，淚水都要把老師淹沒（圖 4-2）。
圖 4-2 馬耀描繪上數學課的心情
馬耀完全不相信有一天會自己解數學題，他也不希望以後做跟數 學有關的工作（訪生2971229）。馬耀不喜歡數學，但他很喜歡閱讀，
每天都會到圖書館借 1~2 本書回家看，他喜歡動物萬花筒之類，跟大 自然有關的書（觀生2971211）。
（四）馬耀之乘法錯誤類型
根據馬耀在乘法前測的表現，研究者歸納出馬耀之乘法錯誤類
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型。（前測答題情形見表 4-5）
1、以圖畫式直接表徵表示乘法的意義
在乘法學習概念方面，馬耀對 4、5、6、7、8、9 的倍數的乘法基 本事實概念不足，即九九乘法不熟練，且不瞭解乘法的意義，例如：
指定用乘法解每疊積木有兩塊，現在堆了 8 疊積木，共用去了多少塊 積木？馬耀會使用「圖畫式直接表徵」來解題（見圖 4-3），當研究者 提示馬耀需用乘法來算時，馬耀還是不知道怎麼用乘法來表示（觀生
2980216）。
圖 4-3 馬耀使用「圖畫式直接表徵」來解題
2、欠缺進位概念
在「四位數乘以兩位數」、「三位數乘以三位數」計算題之錯誤類 型方面，可看出馬耀未考慮進位，例如：計算 1375×23，馬耀在被乘 數乘以乘數的個位數時，計算正確。但被乘數乘以乘數的十位時，馬 耀未考慮進位，直接寫下答案。
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5 2 2 8 1 6 2
0 1 4 1 6 2
5 2 1 4
3 2
5 7 3 1
×
3、不瞭解對齊的意義
馬耀除了欠缺進位概念之外，亦不瞭解位值的意義，所以 213 乘 以乘數的十位數 4 時，馬耀並未想到意義等同於 213×40，導致對齊 錯誤。且因未考慮進位，所以計算被乘數的個位數 3 乘以乘數的十位 數 4 時，得到 3×4=12，就馬上寫下 12。接下來計算被乘數的十位數 1 乘以乘數的十位數 4 時，得到 1×4=4，就馬上在 12 的左邊寫下 4。
計算被乘數的百位數作法亦同。
8 6 9 0 1
3 1 2
2 1 4 8
6 2 4
2 4 1
3 1 2
×
根據研究者針對國小乘法單元所進行之課程分析（圖 2-1 乘法課 程單元流程分析圖），以及九年一貫數學領域課程綱要之內容指出，
學童在國小二年級時需理解乘法的意義及九九乘法，並且在三年級 時，學童應從學習三位數乘以一位數及二位數乘以二位數的直式計算 中瞭解位值的概念。透過馬耀在乘法前測的表現，可以發現馬耀未建
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立好學習整數乘法之先備知識。馬耀目前就讀四年級，根據四年級下 學期部編版數學之教學安排，馬耀馬上就需學習除法、分數及小數。
除法、分數及小數的學習，需仰賴乘法概念的熟練。因此馬耀和柏祐 一樣，都極需補救乘法基本概念，才得以跟上中年級學童的學習進度。
比較柏祐及馬耀之數學學習經驗。柏祐一直覺得學習數學很痛 苦，壓力源自於家長及老師在學習上的要求，所以他覺得只要努力就 可以在未來學好數學。而馬耀在低年級時，老師並不在意他聽不聽 課，對於馬耀的作業是否完成，老師也都無所謂。馬耀對於數學的壓 力來自於他想得到別人的讚美，當他想得到卻得不到時，他覺得是因 為自己不夠聰明。
比較柏祐及馬耀之乘法錯誤類型。柏祐與馬耀都認為乘法的意義 就是連加，但柏祐不需圖畫表徵就可以寫出連加式，馬耀需要圖畫表 徵幫助其列式。在位值概念方面，柏祐與馬耀皆不瞭解對齊所隱涵的 位值意義，他們只記得「答案不能對齊」，但要對齊哪裡？為什麼不 能對齊？兩人都不瞭解。另外柏祐在位值概念方面還犯了多補 0 的錯 誤，例如：兩位數乘以 10，補兩個 0；兩位數乘以 100，補四個 0。
在進位方面，柏祐常忘記加進位數，而馬耀則欠缺進位概念。
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表 4-5 乘法前測答題分析（答錯之處以灰色表示）
一、九九乘法
化名 柏祐（Voyu） 馬耀（Mayaw）
題
號 年級 3 4
1 7×6 從 7×1 背起，答對 從 7×1 背起，答對 2 8×9 從 8×1 背起，答對 從 8×1 背起，答對
3 4×3 馬上答對 從 4×1 背起，答對
4 8×0 馬上答對 馬上答對
5 5×7 從 5×1 背起，答對 從 5×1 背起，答對
6 2×8 從 2×1 背起，答對 馬上答對
備註 看到 7×6 時，以為是除
法，經提醒後答對。
二、幾十乘以個位數
化名 柏祐（Voyu） 馬耀（Mayaw）
題
號 年級 3 4
1 10×7 以直式計算後答對 心算答對
2 20×5 以直式計算後答對 以直式計算後答對
備註
三、乘以幾十、幾百
化名 柏祐（Voyu） 馬耀（Mayaw）
題
號 年級 3 4
1 23×10
0 0 3 2
0 1
3 2
× 以直式計算後答對
2 86×100
0 0 0 0 6 8
0 0 1
6 8
× 以直式計算後答對
備註
對位值關係存在迷思概 念。乘數之末幾位為 0 時，每次乘被乘數一位 時，即在答案多加一個 0 。兩位數乘以 10，補 兩 個 0 ； 兩 位 數 乘 以 100，補四個 0。