優良試題舉例

在台灣教育在升大學的制度之下，考試領導教學是無可避免的現象，大考中 心所主辦的學測與指考是對所有台灣高中生進行的數學成就評量，因此歷屆大考 試題成了所有高中教師一個資源豐富的資料庫。檢視歷屆學測與指考試題，衡量 實際需求，只要經適當修題後，均可作為教師在教學或評量上的參考。

以下就分別對於 91~102 年度的學測及指考歷屆試題中，整理出數列與級數 的優良試題：

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一、學科能力測驗

1. 已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則 下列哪一選項為此數列之公差？

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 【93 年】

答案：(1) 2. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：

第 1 個 第 2 個 第 3 個

拼成第 95 個圖需要用 塊白色地磚。 【95 年】

答案：478 3. 假設實數a₁,a₂ ,a₃ ,a 是一個等差數列，且滿足₄ 0a₁2及a₃ 4。若定義

2^an

bn  ，則以下哪此選項是對的？

(1) b b₁, ₂ ,b₃ ,b 是一個等比數列 ₄ (2) b₁b₂

(3) b₂ 4 (4) b₄ 32

(5) b₂ b₄ 256 【95 年】

答案：(1)(2)(3)(4)(5) 4. 某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小

明坐在正中間那一排 ( 即 13 排 )，發現此排共有 64 個座位，則此球場 E 區共有 個座位。 【96 年】

答案：1600 5. 已知a₁,a₂,a 為一等差數列，而₃ b b₁, ₂ ,b 為一等比數列，且此六數皆為實數，₃

試問下列哪些選項是正確的？

(1)a₁a₂與a₂ a₃可能同時成立

16 (2)b₁b₂與b₂ b₃可能同時成立 (3)若a₁a₂ 0，則a₂a₃ 0 (4)若b b_{1 2} 0，則b b_{2 3} 0

(5)若b b₁, ₂ ,b 皆為正整數且₃ b₁b₂，則b 整除₁ b₂ 【97 年】

答案：(2)(4) 6. 數列a₁2 , ,a_k2 ,k ,a₁₀20共有十項，且其和為 240，則

1 k 10

a  a  a 之值為

(1) 31 (2) 120 (3) 130 (4) 185 (5) 218 【98 年】

答案：(3) 7. 設a a₁, ₂, ,a_n, 為一實數數列，且對所有的正整數 n 滿足

1

( 1)

n 2 n

a _ n n a 。請問下列哪些選項是正確的？

(1)如果a₁ 1，則a₂ 1

(2)如果a 是整數，則此數列的每一項都是整數 ₁ (3)如果a 是無理數，則此數列的每一項都是無理數 ₁ (4)a₂ a₄  a_2n  ( n 為正整數)

(5)如果a 是奇數，則_k a_k2 ,a_k4 , ,a_k2n , 都是奇數(n 為正整數) 【99 年】

答案：(2)(3)(4) 8. 將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，

如右圖所示，其中第 1 層(最下層)有 10 塊，第 2 層有 9 塊，…，依此類推。當堆疊完 10 層時，該 階梯形立體的表面積 ( 即該立體的前、後、上、

下、左、右各表面積的面積總和 ) 為多少？

(1) 75 平方公分 (2) 90 平方公分 (3) 110 平方公分 (4) 130 平方公分

(5) 150 平方公分 【101 年】

答案：(5)

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9. 設實數組成的數列〈a 〉是公比為－0.8 的等比數列，實數組成的數列〈_n b 〉_n 是首項為 10 的等差數列。已知a₉ b₉且a₁₀b₁₀。請選出正確的選項。

(1)a₉a₁₀ 0 (2) b₁₀ 0 (3)b₉ b₁₀ (4)a₉ a₁₀ (5)a₈ b₈

【102 年】

答案：(1)(3)

二、指定科目考試

1. 利用公式 ^{3 3 3} ( 1) ²

1 2 ( )

2 n n n

    ，可計算出11³12³ 20³之值為

(1) 41075 (2) 41095 (3) 41115 (4) 41135 (5) 41155

【91 年數甲】

答案：(1) 2. 用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的小圈圈「。」表

示焊接點，圖(一)有兩層共 4 個焊接點，圖(二)有三層共 10 個焊接點，圖(三) 有四層共 20 個焊接點。試問依此規律，推算圖(五)有六層共多少個焊接點？

圖(一) 圖(二) 圖(三)

【91 年數乙】

答案：56 3. 若數列〈a 〉滿足_{n 1} 1

a  7， ₂ 3

a 7 ，及 ₁ 7

(1 )

n 2 n n

a _  a a n1

則a₁₀₁a₁₀₀ 

【92 年數乙】

答案：3 7

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4. 右圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇 行模型，數字 1 出現在第 1 列；數字 2，3 出現在第 2 列；數字 6，5，4 ( 由左至右 ) 出現在第 3 列；數 字 7，8，9，10 出現在第 4 列；依此類推。試問第 99 列，從左至右算，第 67 個數字為 。

【94 年數乙】

答案：4884 5. 平面上坐標皆為整數的點稱為格子點。我們將原點以外的格子點分層，方法

如下：若 ( , )a b 是原點 ( 0, 0 ) 以外的格子點，且 | a | 和 | b | 中最大值為 n，

則稱 ( , )a b 是在第 n 層的格子點( 例如 ( 3, 4 ) 是在第 4 層；(8, 8) 是在第 8 層 )。則在第 15 層的格子點個數為 。

【96 年數乙】

答案：120 6. 用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列，其排列的規

律如下圖所示：

己知 m 個鋼珠恰好可以排成每邊 n 個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各 一個。且知若用這 m 個鋼珠去排成每邊 n 個鋼珠的正五邊形陣列時，就會 多出 9 個鋼珠。則 n＝ ，m＝ 。 【97 年數甲】

答案：n9 ,m126 正三角形陣列 正方形陣列 正五邊形陣列 每邊 1 個鋼珠

每邊 2 個鋼珠

每邊 3 個鋼珠

每邊 4 個鋼珠

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第参章 數列與級數試題的開發

第一節 研究方法與程序

本研究目的希望發展適合高中生評量的試題，命題時依照「99 課綱」的學 習評量實施通則進行開發，開發試題的整個過程可細分為以下幾個步驟：

一、

資料蒐集與試題開發

研究者先參考一綱多本之下的各版本高中教材，包括教科書、講義、自 修等常見試題，再廣泛地閱讀數學科普叢書，從中擷取生活化的素材與相關 數學史料記載，結合研究者的生活經驗，開發而成四份預試試卷，其主題分 別是「數列的概念」、「發現數列的規律」、「級數的概念」、「級數求和」。內 容中的數學歸納法，由於題目類型較為固定，所以並無納入試題的開發。

二、

預試試題的審題與討論

研究者邀請同校數學專業社群之高中現任教師幫忙審題，並參酌大學入 學考試之學測與指考試題的題目說明，檢視預試試題的文句描述是否清楚，

測驗範圍是否符合課綱目標，初步修正後對學生進行預試，並對預試結果進 行檢討修正。

三、

正式施測

將預試修正後試題，按高中數學數列與級數的章節重新整理為三份試卷，

其中一份範圍是第一章第一節：數列(不含數學歸納法)，第二份是第一章第 二節：級數，第三份是第一章全。範圍界定後並調整每份試卷的試題數量，

讓受測學生大約在 45 分鐘內可作答完畢。