建議

由本研究結論來看，試題的開發是不容易的工作，若是由一個人孤軍奮戰獨 力完成，除了工作負荷較大，在試題的視野與思維上也易於受限自己的盲點，以 致於所開發的試題有所缺陷。建議未來在試題的開發上，可以成立教師專業社群 的同儕團體，每位成員能結合自己的教學經驗，大家集思廣益，多方蒐集資料與 意見，定期進行討論與審題，必能使試題的開發更有全面性與周延性。

基於第一章第三節的研究限制，本研究僅以任教的學校內的 383 名學生為對 象進行施測，研究僅以特定教學情境下特定學生的表現作為依據，若是未來研究

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可擴大施測學生的人數與多元差異性，所取得的研究結果更具有參考價值。

隨著課綱的修改及微調，高中數學課程內容也隨之改變，影響了全國高中師 生在數學上的教與學。高中數學課程裡除了數列與級數外，其他單元新的試題尚 待未來的研究者開發，當然本研究單元也可待後續研究者繼續開發更多具備深度、

廣度的試題，以供參考使用。

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參考文獻

中文部分

1. 大考中心 (2011)：學科能力測驗數學考科考試說明 (適用於 99 課綱)。

2. 大考中心 (2011)：指定科目考試數學考科考試說明 (適用於 99 課綱)。

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6. 許志農 (主編) (2012)。普通高級中學數學 2 教師手冊。台北：龍騰文化。

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英文部分

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4. Glaser, R. (1962). Psychology and instructional technology. In R. Glaser (Ed.), Training, research and education (pp. 1-26). Pittsburgh: University of Pittsburgh Press.

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附錄

附錄一 (預試) 數列的概念

1. 「班傑明富蘭克林」Benjamin Franklin 是美金百元鈔上的人物，美國開國時 期著名的政治家，他過世時留下的遺囑說道「…一千英鎊贈送給波士頓的居 民，如果他們接受了這一千英鎊，那麼這筆錢應該託付給一些挑選出來的公 民，他們要按年利率 5%借給一些年輕的手工業者去生息，這筆錢過了 100 年 增加到 131000 英鎊，我希望那時候用 100000 英鎊來建立一所公共建築物，

剩下的 31000 英鎊拿去繼續生利息…」，若過了第 n 年年底遺產的本利和以a_n 表示，則下列哪些選項正確？

(A) a₁1050 (B) a₂ 1102.5

(C) 數列 a_n 是等比數列 (D) a_n1 1.05a_n

(E) a_n 1000 1.05 ^n1

2. 已知數列 a_n 、 b_n 是等差數列，下列何者正確？

(A)設kN，數列a₁,a₃,a₅, ,a_2k1是等差數列 (B)設r0，數列ra₁,ra₂ ,ra₃, ,ra 是等差數列 _n

(C)設kN，數列a₁a₂ ,a₂a₃ ,a₃a₄, ,a_k a_k1是等差數列 (D)設kN，數列a₁b₁,a₂b₂ ,a₃b₃, ,a_kb_k是等差數列 (E)設kN，數列a b_{1 1},a b_{2 2},a b_{3 3}, ,a b 是等差數列 _{k k}

3. 已知數列 a_n 、 b_n 是等比數列，下列何者正確？

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(A)設kN，數列a₁,a₃,a₅, ,a_2k1是等比數列 (B)設r0，數列ra₁,ra₂ ,ra₃, ,ra 是等比數列 _n

(C)設kN，數列a₁a₂ ,a₂a₃ ,a₃a₄, ,a_k a_k1是等比數列 (D)設kN，數列a₁b₁,a₂b₂ ,a₃b₃, ,a_kb_k是等比數列 (E)設kN，數列a b_{1 1},a b_{2 2},a b_{3 3}, ,a b 是等比數列 _{k k}

4. 依據前六項，試求下列各數列的一個可能的一般項通式 a_n

(1) 4 、9 2 、16

3 、25 4 、36

5 、…，則a_n  (2) 16、24、36、54、81、…，則a_n 

5. 有一個數列：1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , , ,

2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 ，則此數列的第 206 項為

6. 有一個數列： 2,3, 4, 6,8,9,10,12, ，此數列是將正整數中 2 或 3 的倍數由小 到大依序列出而成，則此數列的第 100 項為

56

57

58

6. 將第一象限中坐標都是整數的點 (即格子點)依

序編號，如右圖所示，將點

(1,1)

編號為 1，將

點

(1, 2 )

編號為 2，將點

( 2 ,1)

編號為 3，將點

(1, 3)

編號為 4，…，依此規則編號，則：

(1)編號 103 的格子點坐標為

(2)將a 表示為坐標 ( , )_n n n 的編號，如此a₁ 1、a₂ 5，a₃ 13，

則a₁₉ 

7. 用等長的不鏽鋼架焊接而成一系列的鋼架，圖中的「‧」表示焊接點，

設【圖 n】有a 個焊接點，則_n a₁8，a₂ 20，…，依此類推，則：

(1)a₅ 

(2)寫出數列 a_n 的遞迴關係式

【圖 1】 【圖 2】 【圖 3】 【圖 4】

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附錄三 (預試) 級數的概念

1. 已知等差數列 a_n 一共有 2014 項，其總和小於 0，且a₇₇₇ 1000，則下列哪 些選項正確？

(A)a₈₈₈1000 (B)a₁₅a₂₀₀₁0

(C)a₁₀₀₈ 0 (D)奇數項和小於偶數項和 (E)至少有 1007 項小於 0

2. 設等比數列 a_n 共有 2014 項，且每一項都是不為 0 的實數，若公比為 r，S_n 表示此數列的前 n 項和，則下列哪些選項正確？

(A)若a₉₉ a₁₀₀，則r1 (B)a₉₉₉² a₉₉₈a₁₀₀₀ (C)若S₂₀₁₄ 0，則r0 (D)若S₂₀₁₄ 0，則r0 (E)S₁₀₀、S₂₀₀、S₃₀₀成等比

3. 《九章算術》卷三的衰分術第一問：「今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，

凡五人，共得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？」，書上答曰：「大夫得一 鹿、三分鹿之二；不更得一鹿、三分鹿之一；簪褭得一鹿；上造得三分鹿之 二；公士得…」，依上述訊息，下列敘述哪些正確？

(A)公士得六分之一頭鹿 (B)公士得到超過半隻的鹿 (C)不更的爵位高於上造的爵位

(D)依爵次高低所分得的數量恰為等差數列

(E)若今日大夫、不更、簪褭、上造、公士一共獵得 12 頭鹿，則簪褭可分得 超過 2 隻的鹿

60

【圖 1】 【圖 3】 【圖 4】

4. 設S_n  a₁ a₂a₃ a_n，數列 a_n 滿足S_n2 S_n 3 2^n2，且S₁ 4、S₂ 12， 下列哪些正確？

(A) a₂ 8 (B) S₃ 36 (C) a₃ 16 (D) a_n 是等比數列 (E) a_n 2^n1

5. 《九章算術》卷三的衰分術中有一道題：「今有女子善織，日自倍，五日織五 尺，…」意思是：有個擅長織布的女子，每天織布的成果是前一天的 2 倍，5 天下來一共織了 5 尺。則依此規則，第 7 天織了 尺

6. 江湖神功「乾坤大挪移」，據說功力一共有十三層，修練時必須一層一層練上 去。練滿第一層功力需要 1 個月，練滿第二層需要 2 個月，練滿第三層需要 4 個月，其餘以此類推，練滿下一層所需時間為前一層的 2 倍，若二十歲青 年阿志下定決心開始修練，則在他七十歲時最多可練滿第 層

7. 如圖所示為一系列的圖形，由正立方體堆疊而成。已知【圖 1】是由 1 個正 立方體構成，【圖 2】是由 4 個正立方體構成，【圖 3】是由 10 個正立方體構 成，依此規則堆疊下去，若以a 表示【圖 n】的正立方體個數，則： _n

(1)a₆ 

(2)數列 a_n 的遞迴關係式為

【圖 2】

61

62

立觀測站，目的是用來觀測宇宙中的微中子，觀測站間距大約兩公里，下【圖 3】是目前在南極觀測站的模型。若建立時由【圖 1】→【圖 2】→【圖 3】

→…的方式建造，設【圖 n】有

a

_n 個觀測站，則：

(1)a₅ 

(2)a_n  (以 n 表示)

5. 有一個等差數列 a_n 滿足a₄ 8、a₁₁22，設S 表示此數列的前 n 項和，則： _n

(1) S_n  (以 n 表示) (2)

35

1

1

n_ Sn 



6. 中國水墨畫的技法中，畫樹葉常用的技法之一便是「介字點」，古人對水墨點 葉有一些原則：點葉要隨濃隨淡，有勻整處，有灑落處，用筆時收放得宜。

如下圖所示，【圖 1】有 3 片葉子，【圖 2】有 9 片葉子，【圖 3】有 18 片葉子，…，

依此規律，則：

(1)【圖 10】有 片葉子

(2)若阿志練習時，每畫一片葉子需花費 2 秒，則他從【圖 1】畫到【圖 10】，

【圖 1】 【圖 2】 【圖 3】

【圖 1】 【圖 2】 【圖 3】 【圖 4】

63 共需花費至少 分鐘

7. 將邊長為 1 的白色正立方塊如下【圖 1】、【圖 2】、【圖 3】、…依規律進行堆 疊，將堆疊後的立體圖形外側塗上紅色油漆，設【圖 n】中未塗上紅色油漆 的白色區域面積為a 平方單位，如此可得_n a₁ 0、a₂ 6、a₃ 24、…，則：

(1)【圖 5】中塗上紅色油漆區域的面積為 平方單位 (2) a₁₀ 

【圖 1】 【圖 2】 【圖 3】 【圖 4】

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在文檔中 高中數學數列與級數試題的開發 (頁 55-69)