高中數學數列與級數試題的開發

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 高中數學數列與級數試題的開發. 研究生：林志銘. 中華民國一零三年六月.

(2) 摘要本研究的主要目的在開發高中數學 99 課程綱要之第二冊第一章「數列與級數」的試題，本研究聚焦於單元內的「數列的概念」、「發現數列的規律」、「級數的概念」、「級數求和」等主題，依據大考中心在命題上的理論基礎與目的，發展了四份預試試卷，經所任教學校數學專業社群協助審題後，整理為三份試卷並對學生進行施測。受測對象為新北市某公立高中學生，人數共 383 人次，高中入學時的基測成績分布在 PR82~PR91 之間，施測實施時間為 45 分鐘。將施測結果進行分析，在分析中提供試題開發的來源與想法，依大考中心測驗目標來分析該試題符合了哪些項目的測驗目標。此研究過程可提供教師在開發評量試題時的參考，編製而成的試卷可作為教學上的補充例題或評量數列與級數時之參考試題，測驗結果也可作為檢視教學成效並修改教學策略的依據。. 關鍵詞：數列與級數、試題開發. I.

(3) 謝誌. 總算順利完成論文了，在這段日子裡，感謝許志農老師適時的叮嚀與指點，讓我在寫作論文與工作上的步調得以分配適宜。另外也感謝學校同事志益學長與佳霖學妹，在我工作繁忙的時候幫忙分擔數學實驗班的專題工作。當然最感謝的是老婆大人芳綺，寫論文過程中的陪伴與分享，並且在我壓力大時給予無條件支持的力量，如今總算論文完成，辛苦卻很值得！. II.

(4) 目. 次. 第壹章緒論第一節研究背景與動機…………………………..…………………1 第二節名詞解釋……………………………………………..………3 第三節研究限制……………………………………………..………5. 第貳章文獻探討第一節高中課程數列與級數的簡介………………………..………6 第二節命題原則…………………………………………….….……8 第三節教學評量……………………………………………………11 第四節優良試題舉例………………………………………………14. 第参章數列與級數試題的開發第一節研究方法與程序……………………………………………19 第二節正式施測結果………………………………………………19 第三節整卷測驗結果………………………………………………46. 第肆章總結與建議第一節總結………………………………………………………....48 第二節建議……………………………………………………...….50. 參考文獻……………………………………………………………....52. III.

(5) 附錄附錄一 (預試) 數列的概念………………………………………54 附錄二 (預試) 發現數列的規律…………………………………56 附錄三 (預試) 級數的概念………………………………………59 附錄四 (預試) Σ 的表示方法與級數求和…………………….…61 附錄五. 1-1 數列的試卷…………………………………………...64. 附錄六. 1-2 級數的試卷…………………………………………...67. 附錄七第一章. 數列與級數的試卷……………………………..70. IV.

(6) 第壹章緒論第一節研究背景與動機我國於八十年代教育改革風潮興起，加上九年一貫課程的實行，衝擊了高中教育的發展。自從民國八十六年三月開始，我國高中教材不再是只有國立編譯館主編的單一版本教科書，自此跳脫原本「一綱一本」的舊制，而改採「一綱多本」的方式，開放給坊間出版社出版編輯，而國立編譯館僅負責教科書出版品的審查。教師的授課教材再也不限於以往部編版的課本，教材的選擇上增添了更多的靈活度。教育部於民國 95 年實施「普通高級中學課程暫行綱要」，乃是銜接九年一貫課程而設。之後於民國 97 年 1 月 24 日發布了「普通高級中學課程綱要」，簡稱為「99 課綱」，並在 98 學年度的高中一年級開始逐年施行。「99 課綱」修訂理念乃彰顯數學為基礎學科的重要性，釐清高中數學核心內容的定位，以及提出導正高中數學學習文化的理想。高中時期的數學內容，應符合在生活上的需要或其他學科上的需要所構成的內容，也就是大部分學生在循序漸進中能夠學會的基礎數學。數學的學習應著重於訓練邏輯思考，避免只是記憶片段的解題技巧，以及只求迅速解題的不良習慣。解題固然是學習數學中的一環，但應著重於意義與方法(101，教育部)。因此，在普通高級中學必修科目「數學」課程，欲達成的目標如下： (一). 培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。. (二). 培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。. (三). 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。教育部課程綱要的編寫多會參照知識、情意、技能三大向度，此乃依據 Bloom. 在 1956 年所提出的理論而採用的教育目標，他將認知領域教育目標分為知識、理解、應用、分析、綜合、評鑑，形成一個由低至高階的層次(Bloom, 1956)。由於近來對於學習的研究重心放在有意義學習上，故新版的教育目標的分類，分成知識向度與認知歷程向度二部份(Anderson & Krathwohl, 2001)，前者在協助教師 1.

(7) 區分要教什麼，後者主要在促進學生學習保留和遷移所習得的知識。在知識向度而言，在新近認知心理學的研究成果，又可區分成事實、概念、程序、後設認知四類知識(葉連祺、林淑萍，2003)。教師們在從事教學活動時為了使學生達成有意義的學習，更應注意將知識的四個向度融入於教學活動中，幫助學生建立充足的數學能力。自從實施「一綱多本」開始，坊間各出版社紛紛邀請了學有專精的教授擔任教科書主編，而且隨著電腦的普及與數位化時代的來臨，各出版社編製的題庫光碟應需求而生。各出版社為了市場競爭力，盡可能提供題庫光碟試題數量的充足，因此試題的數量大增，惟生活化試題情境的設計應合於常理，盡量避免出現刁鑽的人工化難題。統籌全國大學生入學考試的大考中心在經過多年研究之後，針對學科能力測驗數學考科，提出了三個層面的測驗目標：概念性、程序性、解題能力(林福來等，1999)，藉由這三個層面的測驗目的來了解學生的數學能力。由於這樣的目標，教師在教學上應著重於培養學生具備創造思考的能力，能夠「帶著走」的能力。提出集合論的康托爾(G.Cantor)的精采名言：「在數學中，提出問題的藝術比解決問題的藝術還重要。」而二十世紀初重要的數學家波利亞(G.Polya)認為：數學教師能夠掌握良機，刺激學生的好奇心，能夠因材出題，刺激學生思考，協助他們解決問題，如此一來，也許就能夠讓學生培養出獨立思考的愛好，也學會獨立思考的方法(Polya，1944)。美國數學教師協會(NCTM)在 2009 年發表的報告指出，數學能力的學習重心在於日常生活與工作領域的運用，NCTM 也認為推理、理解力與問題解決能讓高中生對於數學更感興趣，進而提高他們從事數學或科學相關職業的興趣。學習數學最好的方法，莫過於培養解題能力，而學會如何在題目中找尋規律，就是培養解題能力的良好策略(黃敏晃，2000)。探索數學問題的初步，就是要從中抽絲剝繭以得到有意義的數據，或是能反應問題本身的資料。而最簡單的數據或資料的呈現方式當然是使用數列來呈現。因此，培養對數列的敏銳觀察、高度透視與歸納的能力是解題重要的訓練課題(黃文達等，1999)。 2.

(8) 在現階段高中課程裡，「數列與級數」單元不只著重在解題的過程，更重視學生在題目的已知條件中尋求規律，在規律中猜想並形成臆測，最後再將臆測歸納證明。綜合以上，研究者認為此一單元十分適合訓練學生觀察與推理、歸納的能力，研究者身為數學教育工作第一線的教師，希望藉由本研究，開發高中數學「數列與級數」單元裡的試題，以期能融入於教學活動中，作為教學示範的範例試題或評量學生的參考試題。. 第二節名詞解釋一、數列與級數本論文提及之「數列與級數」是指依據「99 課綱」準則之高中數學第二冊第一章的內容為主。高中數學第二冊主要是介紹與離散量相關的有限數學，其中的第一章便是「數列與級數」，作為有限數學的先備知識，主要是讓學生發現數列的規律性，並能表示成一般化的形式，核心的公式是一階的線性遞迴關係。級數的部分是等差級數與等比級數的求和公式，還有Σ 符號的性質理解與運算操作。再將內容細分為「數列的概念」、「發現數列的規律」、「級數的概念」、「級數求和」等四個主題。. 二、數學試題學生學習數學的三個層面是概念性知識、程序性知識與解題能力，大學入學考試在評量高中階段學生的數學能力即是依上述三種層面制訂測驗目標，三種層面的目標如下： (1)概念性 A1.辨識某概念的正、反例 A2.利用模型、圖形和符號表達某概念 A3.確認概念中基本的數學原理(如：對稱原理、等量公理) A4.知道定義的條件或性質 3.

(9) A5.聯結某概念不同的表現形式 A6.整合各種概念間的關係 A7.從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 A8.解釋問題中的條件所涉及的概念 A9.能診斷概念的錯誤 (2)程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 B3.能讀圖、查表、製作圖表 B4.能檢驗所用的程序無誤 (3)解題能力 C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題 C2.能瞭解條件的充分性與一致性 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C5.能使用或修改或推廣程序 C6.能運用推理能力 C7.能檢驗結果的合理性與正確性 C8.能使用數學語言表達解題過程. 三、答對率針對每一道試題作答對率或得分率之分析，主要在確認該試題的難易程度。在分析單選題或多選題時，是以該題的得分率評估，得分率的計算方式為：. 得分率=. 受測學生於該題總得分 100% 受測學生總人數  該試題的配分. 而在分析填充題時，則以該題答對率來做評估，答對率的計算方式為：. 4.

(10) 答對率 . 該題受測學生答對人數 100% 受測學生總人數. 而上述得分率或答對率越高，則表示該試題越簡單；反之越低則表示該試題越難。本研究依據大考中心命題手冊的難易度的大考數學學測設定原則判定難易度，其原則如下表所示：難易度. 答對率(得分率). 難. 35%以下. 中偏難. 30%~45%. 中偏易. 35%~60%. 易. 55%以上. 第三節研究限制本研究的試題施測對象為研究者所任教學校內的高一學生，高中入學時的基測成績表現落在 PR82~PR91 之間，受測學生共 383 人，以此施測結果來探討所開發試題的狀況並進行修題，所開發出的試題僅提供給教師作為教學示範例題或評量使用上的參考。因此研究施測對象的多樣性有所侷限，在不同情境與對象之下，研究的成果不宜過度推論。本研究聚焦於透過對學生施測，分析開發出來的試題難易度是否符合大考中心學測試題標準，所以並未進一步去蒐集學生之後學習成就的結果，因此在本研究無法推估所開發之試題與學生學習成就的關聯性。. 5.

(11) 第貳章文獻探討第一節高中課程數列與級數的簡介一、教學目標高中數學裡，數列與級數是作為有限數學的先備知識，主要是讓學生發現數列的規律性，歸納成公式，並用數學歸納法加以證明。而級數的部分包括基本的求和公式與Σ 符號的操作(教育部，2008)。詳細的教學目標如下所示：節名. 教學目標 1.. 數列的定義： (1)能了解數列的意義。 (2)能了解有限數列的一些慣用語，如首項、末項、第 n 項及一般項公式。 (3)能利用數列的一般項公式寫出數列的前幾項。 (4)複習國中學過的等差數列與第一冊學過的等比數列。. 2.. 遞迴數列： (1)能了解遞迴數列的定義及表示方式. 1-1 數列. (2)能寫出等差數列與等比數列的遞迴定義式。 (3)能由遞迴定義式寫出數列的前幾項。 (4)能體會只要給定初始值和遞迴規則，就可造出一個數列 (5)能從等差數列與等比數列的遞迴式求一般項公式。 3.. 發現數列的規律性： (1)能體會科學的發現常由觀察規律開始。 (2)能由圖形觀察到數列的首項及前後項變化的規則，並求出其變化量或變化模式，進而寫出遞迴定義式。. 4.. 數學歸納法：. 6.

(12) (1)能由圖形或數值觀察猜測出數列的可能規律，並利用數學歸納法原理證明之。 (2)能利用數學歸納法原理證明有關自然數的恆等式。 1. 級數： (1)能了解級數的意義及前 n 項和的定義。 (2)能利用等差級數的求和公式求出等差級數的和。 (3)能利用等比級數的求和公式求出等比級數的和。 (4)能由前 n 項和公式反求數列的第 n 項。 1-2 級數. 2. Σ 的意義與性質： (1)能了解符號的意義。 (2)能展開以符號 Σ 表示的級數並求其值。 (3)能利用數列的一般項公式寫出級數的 Σ 型式。 (4)能證明前 n 個連續正整數的和、平方和與立方和的求和公式，並能利用這些性質求一般 Σ 型式級數的和。. 二、教材地位分析已習教材. 本章教材. 未習教材. 等差數列. 數列的概念. 極限. 等比數列. 遞迴關係式. 自然數. 數學歸納法. 棣美弗定理不等式. 特殊級數和等差級數. Σ 與級數求和. 等比級數. 級數的概念 7. 無窮等比級數.

(13) 第二節命題原則教師自編試題的過程中，除要能把握教學目標及教材內容外，還要有命題的概念與技巧。尤其是學校的段考、大考皆是教師與學生關注的主題，其成敗也會影響學生的學習態度與心情。若是考試成績長期偏低，也會促使學生在數學學習上產生挫折感及降低學習的興趣(陳昭地，2009)。因此，如何編擬品質優良的試題以達到評量的目的，是一件甚為重要的工作。而無論編擬何種類型的題目，均須考慮下列幾項重要的命題原則，如此才能提升題目的品質。. 1.試題須符合教學目標與教材內容在命題時，首先應根據教學內容所欲達成的目標編擬題目，並能確保取材的內容能均勻分布於各教材的主題中，使試題的內容具有取樣的代表性。同時，各個試題必須是教材內容中的重要概念和原則，而非無關緊要的字詞或枝微末節。. 2.試題的文字需力求簡明扼要，但題意要清楚明確試題的用字應避免艱深難懂，句子結構亦力求簡單，以免閱讀能力影響答題的正確性。. 3.試題必須有公認的正確答案，避免有爭論的答案存在 4.試題必須以概念為中心命題，避免直抄課文或原來材料照本宣科的試題只能測量學生的記憶，鼓勵學生養成死背課本的不良讀書習慣，為了使試題能真正測量到學生的理解能力，命題應以概念為中心，重新組織文句，或以課本不同的事例為題材。. 5.試題中宜避免含有暗示答案的線索 6.每個試題必須獨立，不宜相互牽涉 7.試題必須是測量重要概念，而非零碎片斷的無用知識有時教師為了提高試題的難度，常以生僻或鑽牛角尖的知識為命題內容，這 8.

(14) 樣不但浪費學生的學習時間，而且這些零碎無用的知識很快就遺忘。. 8.試題宜注重概念或原理原則的理解與應用，避免純粹的記憶一些概念、公式和原理原則的記憶，固然是理解與應用能力所必須，但若是太偏重純粹記憶的命題，易養成學生不良的學習習慣與態度，可能會導致學生善於記憶而拙於推理，甚至所記憶概念未必了解其意義。. 9.如為運算試題，宜注重原理的應用，避免繁雜的計算在計算機發達的今日，應用問題宜強調觀念或原理原則的應用，而非繁複的計算數字或過程。. 10.整合教材前後相關聯的內容命題，以測量融會貫通的能力為提供試題的思考層次，可以打破章節、單元、冊數的限制，將相關的概念整合在一起命題，以鼓勵學生念書力求前後融會貫通，或比較分析的能力(郭生玉，2004)。. 在教育部高中數學學科中心電子報第 41 期中，成功高中的游經祥老師分享了命題的基本原則： 1. 配合學生學習背景與程度來命題。 2. 配合教材的重要數學概念為主軸來命題。 3. 掌握與確定試題的難易度，並對難中易題數作適當的分配。 4. 確定每一道題的測驗目標、難易度、鑑別度，以貼近課程精神。 5. 試題當依題型種類，由易而難的難易程度排列。 6. 試題當能診斷學生該段考試範圍數學概念是否瞭解，避免無法診斷學生是錯誤在那一個環節。 7. 設計澄清重要數學觀念、強化教學目標的試題。 8. 試題的呈現要清楚明白，勿讓考生因不清楚題意或敘述上的問題，造成無法下手思考，影響學生權益。 9. 多選題的 5 個或 4 個選項雖然獨立，但其複雜度不宜過高，每個選項的難度 9.

(15) 勿太難或偏離要考的主要概念太遠或分散於不同的主題概念。 10. 針對易錯或模糊不清的觀念來設計試題，以澄清易錯或模糊不清之數學概念。 11. 提供部份讓學生安心、穩定、熟悉的基礎試題，以安定學生的答題情緒。並且讓用功的學生得到該有的分數，以增強學生數學學習的信心與興趣。 12. 選擇題之選項設計要精巧、誘答力高、具合理性、似真性，以達到測驗目標。 13. 能準確評量考生對某重要數學概念、性質、定理等是否正確理解或應用。 14. 試題中之計算勿太過煩雜；以免學生數學概念清楚，但因計算太過煩雜而計算錯誤。 15. 在同一道題中，同一觀念勿重複使用太多次，形成機械式計算的試題。. 於「MTS2008 高中數學教學研討會」中，師大附中陳材河老師表示一份好的試題評量準則，應從「評量目標面向」、「教育與教學面向」、「評量技術面向」等多元客觀的角度切入： A、評量目標面向 A1. 強調評量數學能力 A2. 強調評量重要而基礎之數學概念且題目新穎 B、教育與教學面向 B1. 有助於澄清數學觀念 B2. 有助於指出教學盲點 B3. 有助於活化教學內容 B4. 能貼近課程精神 B5. 能強化教學目標 C、評量技術面向 C1. 鑑別度高 C2. 誘答力高（選項設計精巧、具合理性、似真性） C3. 能準確評量考生對某重要數學性質（概念、程序）是否正確理解或應用. 10.

(16) 第三節教學評量一、教學評量的意義及重要性所謂評量，就是指收集、綜合和解釋學生學習資料，做各種教學決定的歷程。例如一位教師可利用測量(或非測量)的方法所獲得的資料，了解學生數學學習進步和學習困難的情形，並據之做出安排教學計畫或補救教學計畫的決定，這個歷程就稱為評量(郭生玉，2004)。在圖 2-1 的教學模式雛型中(Glaser,1962)，可以看出教學評量的重要性。教學模式雛型包括四大部分。第一部分是教學目標，也就是預期教學結束時學生須達成的終點行為，第二部份是起點行為，也就是教師在未進入單元教學之前，學生已經具有學習本單元所需的基本起點行為，第三部分是教學活動，也就是教師為了進行教學所採用的各種教學方法，和學生為了學習所參與的各項學習活動等。第四部分是教學評量，也就是針對學習結果是否達成預期的終點行為，所實施的評量活動。藉由教學評量，教師才能得知預期的教學目標是否達成、學生是否具備學習的起點行為或基本能力，以及教學活動的進展是否適當等訊息。由此可見，教學評量度不僅可以提供回饋訊息給教師，更能使整個教學歷程統整在一起，發揮最大的教學與學習效果(余民寧，2012)。. 教學目標. 起點行為. 教學活動. 教學評量. 提供回饋圖 2-1 教學模式雛型. 所以經由教學評量的活動了解學生的學習情形，以做為調整教材教法和補救教學的依據，這是教師的重要教學任務之ㄧ(郭生玉，2004)。欲達成此項任務，教師須具自編學科成就測驗的能力。雖然目前多有坊間的試卷及題庫光碟，但若 11.

(17) 能依據教學目標、教學內容及學生學習程度而設計，所得的結果對教學的改進較有助益。. 二、教學評量的種類教學評量的種類很多，若根據教學歷程的來區分，可分成:安置性評量、形成性評量、診斷性評量和總結性評量。以圖 2-2 表示。教學前. 安置性評量. 教學中. 形成性評量. 教學後. 診斷性評量. 總結性評量. 圖 2-2 教學評量的基本類型 (一)教學前的評量教學前的評量稱為安置性評量(placement assessment)，評量目的是想確定學生在未學習本單元之前已經具備的背景知識或起點行為為何?以決定是否先行復習舊教材內容、選擇何種適當的教材和教法，在確定學生的精熟程度後，再調整教學計畫、進行分組教學，或安排某些學生在特殊班級中學習。 (二)教學中的評量教師在教學進行中，往往會想了解學生的學習是否有困難或障礙之處，以便做為進行補救措施的依據。以此這時候所進行的教學評量，可以分成形成性評量 (formative assessment)和診斷性評量(diagnostic assessment) 形成性評量它的目的是在教學進行過程中每個一段落時實施，以蒐集學生學習進展的記錄資料，用來提供教師和學生雙方有用的訊息，以作為改進教學和學習之用。形 12.

(18) 成性評量應被視為教學歷程中，針對教學活動進行品質管制的一項重要活動(余民寧，2012)。本研究所開發之「1-1 數列的試卷」與「1-2 級數的試卷」即為此類型的評量試題。診斷性評量它的目的是在針對形成性評量所無法矯正的嚴重障礙處，提出更精密的診斷訊息。簡單來說，形成性評量是屬於急救性的處理，對簡單的困難問題可以立即找出並加以解決，而對嚴重的困難問題則留待診斷性評量的分析和處理。 (三)教學後的評量教師在教學結束後，會想了解學生的學習成果是否達到預期的教學目標，以便做為評定成績等第或學習成就的依據。此時所進行的教學評量，即為總結性評量(summative assessment)。例如，學校定期舉行的週考、段考，均可視為此種評量。而本研究中研究者自編試題的「第一章數列與級數的試卷」也是總結性評量，主要目的偏重於評定學生的成績等級，與認定學生精熟的程度。. 三、大學入學測驗大學入學測驗主要有「學科能力測驗數學考科」(以下簡稱學測)與「指定科目考試數學考科」(以下簡稱指考)。大考中心指出(大考中心，2011)，學測主要是測驗高中階段學生的數學基本概念，以及使用這些概念解題的能力。因此測驗目標主要涵蓋三個層面，分別涉及的內涵如下: 一、測驗概念性知識例如：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。二、測驗程序性知識例如：能讀圖、查表、或運用適當的公式與步驟解題。三、測驗解決問題的能力例如：能應用數學知識、選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合 13.

(19) 理性與正確性。而指考所評量的面向，則以進階的閱讀、表達、推理以及連結能力為主。其測驗目標，除包含學測的三項測驗目標之外，也著重測驗解題過程中閱讀、表達、連結以及推理與論證的能力。一、測驗概念性知識例如：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。二、測驗程序性知識例如：能讀圖、查表、或運用適當的公式與步驟解題。三、測驗閱讀與表達的能力例如：能讀懂題目，並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程。四、測驗連結能力例如：能融會貫通數學中不同領域的概念，或連結數學以外其他學科知識或生活經驗。五、測驗論證推理的能力例如：能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明。六、測驗解決問題的能力例如：能應用數學知識、選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合理性與正確性。. 第四節優良試題舉例在台灣教育在升大學的制度之下，考試領導教學是無可避免的現象，大考中心所主辦的學測與指考是對所有台灣高中生進行的數學成就評量，因此歷屆大考試題成了所有高中教師一個資源豐富的資料庫。檢視歷屆學測與指考試題，衡量實際需求，只要經適當修題後，均可作為教師在教學或評量上的參考。以下就分別對於 91~102 年度的學測及指考歷屆試題中，整理出數列與級數的優良試題： 14.

(20) 一、學科能力測驗 1.. 已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則下列哪一選項為此數列之公差？ (1) 1. (2) 2. (3) 3. (4) 4. (5). 【93 年】. 5. 答案：(1) 2.. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：. 第1個. 第2個. 拼成第 95 個圖需要用. 第3個塊白色地磚。. 【95 年】答案：478. 3.. 假設實數 a1 , a2 , a3 , a4 是一個等差數列，且滿足 0  a1  2 及 a3  4 。若定義 bn  2 an ，則以下哪此選項是對的？. (1) b1 , b2 , b3 , b4 是一個等比數列 (2) b1  b2 (3) b2  4 (4) b4  32 (5) b2  b4  256. 【95 年】答案：(1)(2)(3)(4)(5). 4.. 某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一排 ( 即 13 排 )，發現此排共有 64 個座位，則此球場 E 區共有. 個座位。. 【96 年】答案：1600. 5.. 已知 a1 , a2 , a3 為一等差數列，而 b1 , b2 , b3 為一等比數列，且此六數皆為實數，試問下列哪些選項是正確的？ (1) a1  a2 與 a2  a3 可能同時成立 15.

(21) (2) b1  b2 與 b2  b3 可能同時成立 (3)若 a1  a2  0 ，則 a2  a3  0 (4)若 b1b2  0 ，則 b2b3  0 (5)若 b1 , b2 , b3 皆為正整數且 b1  b2 ，則 b1 整除 b2. 【97 年】答案：(2)(4). 6.. 數列 a1  2 , a1 . , ak  2k ,.  ak . (1) 31. , a10  20 共有十項，且其和為 240，則.  a10 之值為. (2) 120. (3) 130. (4) 185. (5) 218. 【98 年】答案：(3). 7.. 設 a1 , a2 , an 1 . 為一實數數列，且對所有的正整數 n 滿足. , an ,. n(n  1)  an 。請問下列哪些選項是正確的？ 2. (1)如果 a1  1 ，則 a2  1 (2)如果 a1 是整數，則此數列的每一項都是整數 (3)如果 a1 是無理數，則此數列的每一項都是無理數 (4) a2  a4 .  a2n . ( n 為正整數). (5)如果 a k 是奇數，則 ak  2 , ak  4 ,. , ak  2 n ,. 都是奇數(n 為正整數) 【99 年】答案：(2)(3)(4). 8.. 將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如右圖所示，其中第 1 層(最下層)有 10 塊，第 2 層有 9 塊，…，依此類推。當堆疊完 10 層時，該階梯形立體的表面積 ( 即該立體的前、後、上、下、左、右各表面積的面積總和 ) 為多少？ (1) 75 平方公分. (2) 90 平方公分. (3) 110 平方公分. (4) 130 平方公分. (5) 150 平方公分. 【101 年】答案：(5) 16.

(22) 9.. 設實數組成的數列〈 a n 〉是公比為－0.8 的等比數列，實數組成的數列〈 bn 〉是首項為 10 的等差數列。已知 a9  b9 且 a10  b10 。請選出正確的選項。 (1) a9  a10  0. (2) b10  0. (3) b9  b10. (4) a9  a10. (5) a8  b8 【102 年】答案：(1)(3). 二、指定科目考試 1.. 利用公式 13  23  (1) 41075.  n3  (. (2) 41095. n(n  1) 2 ) ，可計算出 113  123  2. (3) 41115. (4) 41135.  203 之值為. (5) 41155 【91 年數甲】答案：(1). 2.. 用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的小圈圈「。」表示焊接點，圖(一)有兩層共 4 個焊接點，圖(二)有三層共 10 個焊接點，圖(三) 有四層共 20 個焊接點。試問依此規律，推算圖(五)有六層共多少個焊接點？. 圖(一). 圖(二). 圖(三) 【91 年數乙】答案：56. 3.. 若數列〈 a n 〉滿足 a1 . 1 3 7 ， a2  ，及 an1  an (1  an ) n  1 7 7 2. 則 a101  a100  【92 年數乙】答案：. 17. 3 7.

(23) 4.. 右圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇行模型，數字 1 出現在第 1 列；數字 2，3 出現在第 2 列；數字 6，5，4 ( 由左至右 ) 出現在第 3 列；數字 7，8，9，10 出現在第 4 列；依此類推。試問第 99 列，從左至右算，第 67 個數字為. 。【94 年數乙】答案：4884. 5.. 平面上坐標皆為整數的點稱為格子點。我們將原點以外的格子點分層，方法如下：若 ( a , b ) 是原點 ( 0, 0) 以外的格子點，且 | a | 和 | b | 中最大值為 n，則稱 ( a , b ) 是在第 n 層的格子點( 例如 (3,  4) 是在第 4 層； (8, 8) 是在第 8 層 )。則在第 15 層的格子點個數為. 。【96 年數乙】答案：120. 6.. 用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列，其排列的規律如下圖所示：正三角形陣列. 正方形陣列. 正五邊形陣列. 每邊 1 個鋼珠每邊 2 個鋼珠每邊 3 個鋼珠. 每邊 4 個鋼珠己知 m 個鋼珠恰好可以排成每邊 n 個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個。且知若用這 m 個鋼珠去排成每邊 n 個鋼珠的正五邊形陣列時，就會多出 9 個鋼珠。則 n＝. ，m＝. 。. 【97 年數甲】答案： n  9 , m  126. 18.

(24) 第参章數列與級數試題的開發第一節研究方法與程序本研究目的希望發展適合高中生評量的試題，命題時依照「99 課綱」的學習評量實施通則進行開發，開發試題的整個過程可細分為以下幾個步驟：一、資料蒐集與試題開發研究者先參考一綱多本之下的各版本高中教材，包括教科書、講義、自修等常見試題，再廣泛地閱讀數學科普叢書，從中擷取生活化的素材與相關數學史料記載，結合研究者的生活經驗，開發而成四份預試試卷，其主題分別是「數列的概念」、「發現數列的規律」、「級數的概念」、「級數求和」。內容中的數學歸納法，由於題目類型較為固定，所以並無納入試題的開發。二、預試試題的審題與討論研究者邀請同校數學專業社群之高中現任教師幫忙審題，並參酌大學入學考試之學測與指考試題的題目說明，檢視預試試題的文句描述是否清楚，測驗範圍是否符合課綱目標，初步修正後對學生進行預試，並對預試結果進行檢討修正。三、正式施測將預試修正後試題，按高中數學數列與級數的章節重新整理為三份試卷，其中一份範圍是第一章第一節：數列(不含數學歸納法)，第二份是第一章第二節：級數，第三份是第一章全。範圍界定後並調整每份試卷的試題數量，讓受測學生大約在 45 分鐘內可作答完畢。. 第二節正式施測結果施測後對每一題所有學生的答題情形進行答對率(得分率)分析，並與命題說明及測驗目標合併整理，以表格方式呈現，如下所示：. 19.

(25) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：「班傑明富蘭克林」Benjamin Franklin 是美金百元鈔上的人物，美國開國時期著名的政治家，他過世時留下的遺囑說道「…一千英鎊贈送給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那麼這筆錢應該託付給一些挑選出來的公民，他們要按年利率 5%借給一些年輕的手工業者去生息，這筆錢過了 100 年增加到 131000 英鎊，我希望那時候用 100000 英鎊來建立一所公共建築物，剩下的 31000 英鎊拿去繼續生利息…」，若過了第 n 年年底遺產的本利和以 a n 表示，則下列哪些選項正確？ (A) a1  1050. (B) a2  1102.5. (D) an 1  1.05  an. (E) an  1000 1.05n 1. 答案：ABCD. (C) 數列 an 是等比數列. 得分率：34.2% (中偏難). 說明：本題目是藉由 Benjamin Franklin 的遺囑文，配合等比數列的概念發展而成的多選題，旨在測試學生是否能在情境描述中辨識出數學元素，並且能使用數學符號來表達題意所涉及的數學物件。由於題目的原文翻譯而來的敘述文句，讀起來有些文意模糊不清，增加學生誤解題意的機會，因此得分率受到影響而稍低。測驗目標： A.概念性 A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念 A4.能知道定義的條件或性質 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題 C3.能應用適當的定義、定理或性質來源：▉科普. □坊間試題. □自創 20.

(26) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：已知數列 an 、 bn 是等差數列，下列何者正確？ (A)設 k  N ，數列 a1 , a3 , a5 ,. , a2 k 1 是等差數列. (B)設 r  0 ，數列 ra1 , ra2 , ra3 ,. , ran 是等差數列. (C)設 k  N ，數列 a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 ,. , ak  ak 1 是等差數列. (D)設 k  N ，數列 a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,. , ak  bk 是等差數列. (E)設 k  N ，數列 a1b1 , a2b2 , a3b3 ,. , ak bk 是等差數列. 答案：ABCD. 得分率：75.5% (易). 說明：本題旨在測試學生能否理解等差數列的概念，並且能夠辨識數學語言的陳述，從受測學生的得分率來看，大多數學生都能夠獲得分數，算是平易近人的試題。. 測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A4.能知道定義的條件或性質 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. 來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 21.

(27) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：已知數列 an 、 bn 是等比數列，下列何者正確？ (A)設 k  N ，數列 a1 , a3 , a5 ,. , a2 k 1 是等比數列. (B)設 r  0 ，數列 ra1 , ra2 , ra3 ,. , ran 是等比數列. (C)設 k  N ，數列 a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 ,. , ak  ak 1 是等比數列. (D)設 k  N ，數列 a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,. , ak  bk 是等比數列. (E)設 k  N ，數列 a1b1 , a2b2 , a3b3 ,. , ak bk 是等比數列. 答案：ABCE. 得分率：61.5% (易). 說明：本題旨在測試學生能否理解等比數列的概念，並且能夠辨識數學語言的陳述，乍看之下有許多數學符號，似乎不是很容易瞭解，許多學生會用代數字的方式去檢驗，所以多數學生還是都能夠獲得分數。測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A4.能知道定義的條件或性質 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. 來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 22.

(28) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：依據前五項，試求下列各數列的一個可能的一般項通式 an (1) 4 、. 9 16 25 36 、、、、…，則 an  2 3 4 5. (2) 16、24、36、54、81、…，則 an . 答案：(1). (n  1) 2 n. 3 (2) 16  ( ) n1 2. 答對率：(1)73.3% (易). (2)42.5% (中偏難). 說明：此題含兩個小題，各小題是獨立的問題，皆為坊間常見的試題，第(1)題雖然不是常見的等差或等比數列，不過因為數字出現的規律性明顯，所以學生答題情形良好；第(2)題雖然是 3 等比數列，不過因為命題時將公比設為，反而學生沒有察覺是等比數列，所以放棄作答或 2. 答錯的比例有比第(1)題高。因為只有數列前五項要寫出一般項，前五項皆符合的數列仍有很多可能，因此題幹敘述有特別留意，僅要求寫出一個可能的一般項通式。測驗目標： A.概念性 A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C6.能運用推理能力 C7.能檢驗結果的合理性與正確性來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 23.

(29) 題型：□多選. ▉填充. 形式：▉單一. □題組. 題目： 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 有一個數列： , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5. 答案：. ，則此數列的第 206 項為. 5 21. 答對率：57.1% (中偏易). 說明：本題目是有某種規律的數列，目的是測試學生能否看出規律後，將數列中的項分為小組，再依每小組累積的項數加總，推算出第 206 項的數。本題目命題時是從坊間參考書的試題改編而成，選用此題的原因在於：此題目可採取不同的解題策略求出答案，讓學生能有多樣化思考的機會，避免機械式的計算求解。. 測驗目標： A.概念性 A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C6.能運用推理能力 C7.能檢驗結果的合理性與正確性. 來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 24.

(30) 題型：□多選. ▉填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：有一個數列： 2,3, 4,6,8,9,10,12,. ，此數列是將正整數中 2 或 3 的倍數由小到大依序列. 出而成，則此數列的第 100 項為. 答案：150. 答對率：65.3% (易). 說明：本題目看似是一道數列的試題，事實上也應用到整數論中的倍數概念，也有部分學生使用了排列組合中的取捨原理(排容原理)來求解，所以算是一道聯結不同數學概念的試題。部分學生採取依序列出的方式求解，乃因所求的項數只問第 100 項，仍可在一定時間內完成。本題目亦可增列第二小題：「2014 是此數列的第小題可以讓學生作逆向思考，反推項數。. 測驗目標： A.概念性 A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C6.能運用推理能力 C7.能檢驗結果的合理性與正確性. 來源：□科普. □坊間試題. ▉自創. 25. 項。」與原題目相應，第二.

(31) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：設 n  N ，滿足下列各條件的數列 an 中，哪些是等差數列？ (A) a1  a2  a3 .  an  2n 2. a1  5  (C) a2  10  2a  a  a n2 n  n 1. (B) a1  a2  a3 .  an  n 2  3n  1. a1  5 (D)  an 1  an  n. 答案：ACE. (E) an . 103n  99 2014. 得分率：44.7% (中偏難). 說明：本題目是測試學生是否能夠在不同表徵的數列中，辨別出何者為等差數列。選項(A)與 (B)都是由前 n 項和推第 n 項，兩者的差別在於前 n 項和若常數項不為 0 將導致第一項會不符合。選項(C)雖然是二階遞迴式，不過 2an 1  an  2  an 適用於等差中項的概念，有注意到此概念的學生不難判斷。測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A4.能知道定義的條件或性質 A7.能從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 A8.能解釋問題中的條件所涉及的概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C7.能檢驗結果的合理性與正確性來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 26.

(32) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：如圖所示為一系列的圖形，由正立方體堆疊而成。已知【圖 1】是由 1 個正立方體構成，【圖 2】是由 4 個正立方體構成，【圖 3】是由 10 個正立方體構成，依此規則堆疊下去，若以 a n 表示【圖 n】的正立方體個數，則：. 【圖 2】. 【圖 1】. (1) a6 . 答案：(1)56. 【圖 3】. 【圖 4】. (2)數列 an 的遞迴關係式為. a1  1  (2)  n(n  1) an  an 1  ,n  2  2 . 答對率：(1)60.1% (易). (2)21.9% (難). 說明：本題目將正立方體規律的層層堆疊，除了測試學生尋求規律的能力之外，也考驗著學生立體空間能力，再把每個圖的正立方體數量以數列呈現，並探究每個圖的正立方體數量與下一個圖之間的關係，以遞迴關係式來表示。測驗目標：. B2.能正確選擇適當的程序. A.概念性. C.解題能力. A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念. C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題. A7.能從不同情境中，辨識與解釋符號所. C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. 表達的概念. C6.能運用推理能力. B.程序性. C7.能檢驗結果的合理性與正確性. B1.能操作數與符號的運算及估算來源：(1)□科普. ▉坊間試題. □自創. (2)□科普 27. □坊間試題. ▉自創.

(33) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：右圖是高鐵座位配置圖的一部份，某日電腦訂位系統異常，旅客訂位時，編號順序變為 1A→1B→1C→1D→1E→2E→2D→2C→2B→2A→3A→3B…依此類推，例如第 16 個訂位者，座位編號為 4E。則： (1)若阿志是第 68 個訂位者，則他的座位編號為. 個訂位者。. (2)若小芳的座位編號是 19E，則她是第. 答案：(1)14C. 。. 答對率：(1)64.4% (易). (2)95. (2)64.4% (易). 說明：本題目是搭高鐵返鄉時的創作，試題的文字描述雖然字數較多，但是從學生施測的反應來看，題意並無不清楚的情形。在解題策略方面，因為題目數字不大，有些學生直接一個一個去數就能獲得答案，也有部分同學採用等差數列的觀念或尋找規律的方式求解，所以本題可供學生多樣性的思考求解。測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A5.能聯結某概念不同的表現形式 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 C.解題能力 C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 28.

(34) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：. a1  2  設 n  N ，數列 an 滿足 a2  3 ，則： a  a  a n 1 n  n 2 (1) a5 . 答案：(1) 3. (2) a2014 . (2) 2. 答對率：(1)84.2% (易). (2) 50.7% (中偏易). 說明：本題目主要是測試學生是否能夠了解遞迴定義式的運用，雖然試題是二階的遞迴式，但是只要迭代幾項後就會發現循環，就可以去推測其他項的結果。這道題目只要是有耐心的學生就能夠算對，對於學習成就低落的學生來說，是一個看似不簡單，其實很簡單的試題，也能帶給他們不要輕易放棄數學的態度。測驗目標： A.概念性 A4.能知道定義的條件或性質 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創. 29.

(35) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：石墨烯(graphene)是一種由碳原子組成六角形蜂巢晶格的結構，是只有一個碳原子厚度的二維材料，它是已知材料中最薄的一種，也是目前世界上電阻率最小的材料。若建構一個由石墨烯構成的帶狀材料，如下圖所示，【圖 1】有 6 個碳原子與 6 個連接碳原子的碳碳鍵；【圖 2】有 10 個碳原子與 11 個碳碳鍵，…，依此類推。則：. 【圖 2】. 【圖 1】. 【圖 4】. 個碳原子. (1)【圖 10】將會有. 】恰有 103 個碳碳鍵。. (2)【圖答案：(1)34. 【圖 3】. 答對率：(1)80.1% (易). (2)25. (2)55.5% (易). 說明：此題目的創作靈感來自於電視，某日在 discovery 頻道看到關於科技新知的節目，提及了石墨烯的結構，於是有了這樣的一道試題。因為圖形是以有規律的方式在延伸，學生在解決問題時找到了規律，便能以此規律以少推多，求得其解。本試題亦可延伸：(3)求【圖 n】將會有. 個碳原子；. 個碳碳鍵。. 測驗目標：. B2.能正確選擇適當的程序. A.概念性. C.解題能力. A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念. C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題. A3.能確認概念中基本的數學原理. C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. B.程序性. C6.能運用推理能力. B1.能操作數與符號的運算及估算. C7.能檢驗結果的合理性與正確性. 來源：▉科普. □坊間試題. □自創 30.

(36) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：將第一象限中坐標都是整數的點(即格子點)依序編號，如右圖所示，將點 (1,1) 編號為 1，將點 (1, 2 ) 編號為 2，將點. ( 2,1) 編號為 3，將點 (1,3) 編號為 4，…，依此規則編號，則： (1)編號 103 的格子點坐標為 (2)將 a n 表示為坐標 (n, n) 的編號，如此 a1  1 、 a2  5 ， a3  13 ，則 a19  答案：(1) (12,3). 答對率：(1)36.5% (中偏難). (2)685. (2) 28.6% (難). 說明：本試題乃是將尋求規律與坐標平面結合而成，第(1)小題尚有學生能以依序列出的方式，土法煉鋼的將格子點編號至 103 而找出答案，然而第(2)小題就束手無策了。本題是希望學生能依編號規則，找出將格子點分組的方式，如此能知道坐標 (19,19) 是在哪一組的第幾個，再推算其編號。測驗目標： A.概念性 A7.能從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 31.

(37) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：已知等差數列 an 一共有 2014 項，其總和小於 0，且 a777  1000 ，則下列哪些選項正確？ (A) a888  1000. (B) a15  a2001  0. (D)奇數項和小於偶數項和. (C) a1008  0. (E)至少有 1007 項小於 0. 答案：BCE. 得分率：65.3% (易). 說明：本試題改編自坊間試題，將等差數列 a1  an  a2  an 1 . 的性質與等差級數求和公式搭. 配，並給予特定項之值，讓學生得到足夠線索判斷公差的正或負，也能判定特定項之正負。並對於此等差數列負項至少幾項做出估計。因為今年是西元 2014 年，也特地將 2014 納入試題之中。測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A4.能知道定義的條件或性質 A6.能整合各種概念間的關係 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 32.

(38) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：設等比數列 an 共有 2014 項，且每一項都是不為 0 的實數，若公比為 r， S n 表示此數列的前 n 項和，則下列哪些選項正確？ (C)若 S 2014  0 ，則 r  0. (A)若 a99  a100 ，則 r  1. (B) a999 2  a998  a1000. (D)若 S 2014  0 ，則 r  0. (E) S100 、 S 200 、 S 300 成等比. 答案：BD. 得分率：38.7% (中偏難). 說明：本題目是仿前頁等差的試題設計，此題是針對等比數列設計出一些概念性的選項，讓學生判斷是否正確。選項(A)須考慮公比為負的情形；選項(C)與(D)是讓學生比較思考用，而選項(E)的安排是試探學生是否因此混淆等比級數的性質。從學生得分率來看並與前一題相較，學生對於等差級數性質的了解較高於等比級數。測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A4.能知道定義的條件或性質 A6.能整合各種概念間的關係 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 33.

(39) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：《九章算術》卷三的衰分術第一問：「今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？」，書上答曰：「大夫得一鹿、三分鹿之二；不更得一鹿、三分鹿之一；簪褭得一鹿；上造得三分鹿之二；公士得…」，依上述訊息，下列敘述哪些正確？ (A)公士得六分之一頭鹿. (B)公士得到超過半隻的鹿. (D)依爵次高低所分得的數量恰為等差數列. (C)不更的爵位高於上造的爵位. (E)若今日大夫、不更、簪褭、上造、公士一共. 獵得 12 頭鹿，則簪褭可分得超過 2 隻的鹿答案：CDE. 得分率： 82.6% (易). 說明：本試題是藉由《九章算術》卷三的衰分術問題來延伸，形成一道多選題。題意中應用的數學概念並不難，選項的設計也有引導思考的效果。社群小組建議選項(E)應說明清楚是依相同比例原則分配獵得的鹿，所謂“以爵次分之”，即大夫五、不更四、簪褭三、上造二、公士一的比率分配。. 測驗目標：. C.解題能力. A.概念性. C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題. A4.能知道定義的條件或性質. C3.能應用適當的定義、定理或性質. A8.能解釋問題中的條件所涉及的概念. C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. B.程序性. C6.能運用推理能力. B1.能操作數與符號的運算及估算來源：▉科普. □坊間試題. □自創. 34.

(40) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：設 S n  a1  a2  a3 .  an ，數列 an 滿足 S n  2  S n  3  2n  2 ，且 S1  4 、 S 2  12 ，下列哪些. 正確？ (A) a2  8 (D). (B) S3  36. an 是等比數列. (C) a3  16. (E) an  2 n 1. 答案： ACDE. 得分率：78.7% (易). 說明：本題目是將前 n 項和 S n 與遞迴式結合而成的一道試題，目的是測試學生能否整合這兩種概念並運用，進而解決問題。題幹中符號的出現使得題目有些抽象，然而選項(A)~(E)的安排有引導思考的效果，認清題意的學生能按部就班的依各選項進行作答，因此在得分率表現上還不差。測驗目標： A.概念性 A4.能知道定義的條件或性質 A6.能整合各種概念間的關係 A7.能從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 35.

(41) 題型：□多選. ▉填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：《九章算術》卷三的衰分術中有一道題：「今有女子善織，日自倍，五日織五尺，…」意思是：有個擅長織布的女子，每天織布的成果是前一天的 2 倍，5 天下來一共織了 5 尺。則依此規則，第 7 天織了答案：. 尺. 320 31. 答對率：42.0% (中偏難). 說明：本題目也是藉由《九章算術》中衰分術的試題加以發揮，考量古文在閱讀理解上會有所困難，於是加以說明讓題意更清楚。所以此題目是等比級數的試題，已知條件中確定項數、公比、級數和，只要列出等比級數求和公式即可推出首項，再利用等比數列概念計算第 7 項即為所求。測驗目標： A.概念性 A4.能知道定義的條件或性質 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：▉科普. □坊間試題. □自創. 36.

(42) 題型：□多選. ▉填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：江湖神功「乾坤大挪移」，據說功力一共有十三層，修練時必須一層一層練上去。練滿第一層功力需要 1 個月，練滿第二層需要 2 個月，練滿第三層需要 4 個月，其餘以此類推，練滿下一層所需時間為前一層的 2 倍，若二十歲青年阿志下定決心開始修練，則在他七十歲時最多可練滿第. 層. 答案：9. 答對率：38.8% (中偏難). 說明：本題目要評量的概念並不難，就是在等比級數總和不大於某個定值的條件下，去估計項數的最大值，藉由金庸小說中的修練神功作為包裝，增加題目的趣味性。然而從學生的答對率來看，等比級數對於學生而言是比較不拿手的觀念，社群小組建議未來在教學等比數列與等比級數觀念時宜多增加一些例子說明，讓學生能夠更加明白。測驗目標： A.概念性 A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念 A3.能確認概念中基本的數學原理 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 C.解題能力 C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 37.

(43) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：用等長的不鏽鋼架焊接而成一系列的鋼架，圖中的「‧」表示焊接點，設【圖 n】有 a n 個焊接點，則 a1  8 ， a2  20 ，…，依此類推，則：. 【圖 1】. 【圖 2】. 【圖 3】. 【圖 4】. (1) a5  (2)寫出數列 an 的遞迴關係式. 答案：(1)80. a1  8 (2)  an  an 1  4n  4 , n  2. 答對率：(1)39.1% (中偏難). (2)16.3%(難). 說明：此題目是仿 91 年指考數乙的題目而出，立體圖形的堆疊情形對於學生來說較不容易，尤其是第(2)小題要求學生找出遞迴關係式，學生大多能看出圖形堆疊的規則，但是仍無法寫出與規則相對應的遞迴關係式。可見學生以數學語言表達規律情形的能力仍有待加強，教師在教學上也需要多留意。測驗目標：. B1.能操作數與符號的運算及估算. A.概念性. C.解題能力. A3.能確認概念中基本的數學原理. C3.能應用適當的定義、定理或性質. A4.能知道定義的條件或性質. C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. B.程序性來源：□科普. C6.能運用推理能力 □坊間試題. ▉自創. 38.

(44) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：關於 Σ 符號的使用，下列哪些選項正確？ 100. n. (A). n  n. 2. k 1. (D). (B).  (2k k 1. 100. 2.  1)  2 k 2  1. (C). k 1. n n (n  1)(2n  1)  n 2  (n  1)(2n  1) 6 6. n. n. n. k 1. k 1. k 1.  k (k  3)  ( k )   (k  3). n. 1 1  n k 1 k. (E) . k k 1. 答案：AD. 得分率：48.5% (中偏易). 說明：本題目改編自坊間常見的試題，主要是測試學生能否明瞭 Σ 符號的涵義與操作時的原則。其中選項(D)有學生是左右兩式乘開作比較來判斷，實際上命題目的是希望學生能觀察 n 1. n. 出選項(D)表示的是恆等式  k  n   k 2 ，至於選項(E)是設計用來測試學生對於 Σ 符號運 2. 2. k 1. k 1. 算性質是否清楚。測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A4.能知道定義的條件或性質 A5.能聯結某概念不同的表現形式 A9.概念診斷 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C7.能檢驗結果的合理性與正確性來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 39.

(45) 題型：▉多選. □填充. 形式：▉單一. □題組. 題目：設等比數列 an 共有 n 項，公比為非零實數 r，則下列哪些正確？ n. (A)若  ai  0 ，則 r  0 i 1 n. (D)若  ai  0 ，則 r  0 i 1. n. (B)若  ai  0 ，則 r  0 i 1. n. (C)若 r  1 ，則  ai  na1 i 1. 2. n  n  (E)若   ai    ai 2 ，則 r  0 i 1  i 1 . 答案：CDE. 得分率：33.9%. 說明：本題目是研究者自創命題，主要測驗學生對於等比級數中，公比的正負值對於級數和之影響。選項(A)與(B)旨在說明等比級數中，級數和為正，公比有可能為負；級數和為負，公比有可能為正。至於選項(E)，須搭配「和的平方」之乘法公式，左式展開後除了每一項的平方和，還有此 n 項之兩兩乘積和，由不等式條件可得兩兩乘積和為負，則表示任兩項之間必不可能為同號，進而推得公比必為負。. 測驗目標： A.概念性 A3.能確認概念中基本的數學原理 A8.能解釋問題中的條件所涉及的概念 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C6.能運用推理能力來源：□科普. □坊間試題. ▉自創. 40.

(46) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：下列各題皆為符合某種規律的級數，試以 Σ 符號表示： (1) (1  1)  (2  4)  (3  9)  (4  16)  (2). 1 3 9 27 81      4 7 10 13 16 20. 答案：(1)  (k  k ) 2. k 1.  (20  400) . (共 100 項) . 3k 1 (2)  k 1 3k  1 100. 答對率：(1)66.5% (易). (2)52.1% (中偏易). 說明：本題目也是常見的試題，主要是測試學生能否熟悉 Σ 符號的使用，能將一般級數的形式寫成 Σ 符號形式，以便於計算級數的和。. 測驗目標： A.概念性 A4.能知道定義的條件或性質 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C6.能運用推理能力 C7.能檢驗結果的合理性與正確性來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 41.

(47) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：「天壇陣列」是包含台、日、歐、美的大型合作計畫，該計畫於南極冰層建立觀測站，目的是用來觀測宇宙中的微中子，觀測站間距大約兩公里，下【圖 3】是目前在南極觀測站的模型。若建立時由【圖 1】→【圖 2】→【圖 3】→…的方式建造，設【圖 n】有 a n 個觀測站，則：. 【圖 1】【圖 2】. (1) a5  (2) an  答案：(1)91. 【圖 3】 (以 n 表示) (2) 3n2  3n  1. 答對率：(1)40.8% (中偏難). (2)17.7% (難). 說明：本題目也是在科技新知的電視節目中引發創造靈感，讓數列與級數單元中「尋找規律」的問題聯結至科技運用，藉由生活化的試題提升學習動機。第(1)小題求 a5 ，多數學生尚能依規律繼續作圖而數出答案，但是第(2)小題要求學生以一般化方式作答，算是難度較高的問題，因此在試卷題序的安排上，安排此題組在整份試卷的最後一題。測驗目標：. C.解題能力. A.概念性. C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題. A4.能知道定義的條件或性質. C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. B.程序性. C6.能運用推理能力. B1.能操作數與符號的運算及估算來源：▉科普. □坊間試題. C7.能檢驗結果的合理性與正確性 □自創. 42.

(48) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：有一個等差數列 an 滿足 a4  8 、 a11  22 ，設 S n 表示此數列的前 n 項和，則： 35. (1) S n . 答案：(1) n2  n. 1  n 1 S n. (2) . (以 n 表示). (2). 35 36. 答對率：(1)69.1% (易). (2)29.8% (難). 說明：本題目兩小題都是坊間常見的題目類型，命題時將兩種題目結合成題組，第(2)小題要先正確求得 S n ，再利用. 1 1 1 ，如此在連加時對消才能算出答案，即第(1)小題會寫，   n  n n n 1 2. 才有機會把第(2)小題算對，所以這樣的題組安排反應也在答對率上呈現，第(2)小題答對率就低上許多。測驗目標： A.概念性 A4.能知道定義的條件或性質 A6.能整合各種概念間的關係 B.程序性 B1.能操作數與符號的運算及估算 B2.能正確選擇適當的程序 C.解題能力 C3.能應用適當的定義、定理或性質 C6.能運用推理能力來源：□科普. ▉坊間試題. □自創. 43.

(49) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：中國水墨畫的技法中，畫樹葉常用的技法之一便是「介字點」，古人對水墨點葉有一些原則：點葉要隨濃隨淡，有勻整處，有灑落處，用筆時收放得宜。如下圖所示，【圖 1】有 3 片葉子，【圖 2】有 9 片葉子，【圖 3】有 18 片葉子，…，依此規律，則：. 【圖 1】. 【圖 2】. 【圖 3】. 【圖 4】. 片葉子. (1)【圖 10】有. (2)若阿志練習時，每畫一片葉子需花費 2 秒，則他從【圖 1】畫到【圖 10】，共需花費至少答案：(1)165. 分鐘答對率：(1)84.0% (易). (2)22. (2)43.6% (中偏難). 說明：本題目是從水墨畫課得到的構想，然而水墨畫是自然寫意，如此規律的畫法僅只於此試題，在此規律下，第(1)小題對學生而言還算容易推得。第(2)小題是先推得一般化的規則後，再以級數求和方式計算共有幾片葉子，之後求得答案。然而有部分同學將題意誤解為只有畫【圖 10】，經社群小組討論後建議將敘述修改為「則他畫下【圖 1】、【圖 2】、…、【圖 10】，共需花費至少. 分鐘」可能較原題意清楚。. 測驗目標：. B1.能操作數與符號的運算及估算. A.概念性. C.解題能力. A2.能利用模型、圖形和符號表達某概念. C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題. A3.能確認概念中基本的數學原理. C3.能應用適當的定義、定理或性質. B.程序性來源：□科普. C6.能運用推理能力 □坊間試題. ▉自創 44.

(50) 題型：□多選. ▉填充. 形式：□單一. ▉題組. 題目：將邊長為 1 的白色正立方塊如下【圖 1】、【圖 2】、【圖 3】、…依規律進行堆疊，將堆疊後的立體圖形外側塗上紅色油漆，設【圖 n】中未塗上紅色油漆的白色區域面積為 a n 平方單位，如此可得 a1  0 、 a2  6 、 a3  24 、…，則：. 【圖 1】. 【圖 2】. 【圖 3】. 【圖 4】. 平方單位. (1)【圖 5】中塗上紅色油漆區域的面積為 (2) a10  答案：(1)90. 答對率：(1)39.9% (中偏難). (2)990. (2)15.4% (難). 說明：本題目正立方塊堆疊規則與另一道試題一樣，改變試題的題幹成為新的題組，與先前的分析相近，學生對於空間圖形的概念較弱，所以兩小題的答對率都不高，尤其第(2)小題，問的是未塗上紅色油漆的白色區域面積，意即要學生計算出交疊部分的所有面積。此小題宜先求得塗上紅色油漆區域的面積，再用所有方塊的表面積去減，即可得解。測驗目標：. C.解題能力. A.概念性. C1.能從情境中辨識數學元素並形成問題. A4.能知道定義的條件或性質. C3.能應用適當的定義、定理或性質. A5.能聯結某概念不同的表現形式. C4.能使用相關的數學知識或策略轉換問題. B.程序性. C6.能運用推理能力. B1.能操作數與符號的運算及估算來源：□科普. □坊間試題. ▉自創 45.

(51) 第三節整卷測驗結果本研究發展之數列與級數試卷共有三份，其中 1-1 數列與 1-2 級數，因為測驗範圍聚焦於一個小節，可在教學進行完成一小段落時施行，將結果以便提供給教師改進教學，也可供學生檢驗學習狀況，故可將這兩份試卷定位為「形成性評量」。而第三份試卷，其測驗範圍涵蓋了數列與級數，可適用於整章教學完成時實施，檢視學生的學習成果是否達到預期的教學目標，作為評定學生在數列與級數單元的學習成效或成績等第的依據，故可定位為「總結性評量」。依大考中心之學科能力測驗設定的答對率分析，在下列表格的橫軸上分成易 (55%以上)、中偏易(35%~60%)、中偏難(30%~45%)、難(35%以下)。因本研究著重於試題的開發，因此縱軸依命題來源分成科普書籍、坊間試題、自創等。在此將三份考卷施測結果，分別呈現如下：. 卷 1-1 數列難易度來源. 易. 中偏易. 中偏難. 難. (55%以上). (35%~60%). (30%~45%). (35%以下). 填充 5.(1)、(2) 科普. 多選 1.、多選 2. 坊間試題. 填充 1.(2). 填充 1.(1) 填充 2.(1) 填充 3.(1)、(2). 自創. 填充 4.(2). 填充 4.(1). 46. 多選 3.. 填充 2.(2).

(52) 卷 1-2 級數難易度來源. 易. 中偏易. 中偏難. 難. (55%以上). (35%~60%). (30%~45%). (35%以下). 多選 3.. 填充 3.. 科普. 坊間試題. 填充 1.(1). 多選 1.. 填充 2.. 填充 1.(2). 填充 4.(2). 填充 4.(1) 填充 5.(1) 自創. 填充 5.(2). 多選 2.. 填充 6.(1). 填充 6.(2). 卷第一章數列與級數難易度來源. 易. 中偏易. 中偏難. 難. (55%以上). (35%~60%). (30%~45%). (35%以下). 填充 6.(1) 科普. 多選 1. 填充 6.(2). 多選 2.、填充 1. 多 5. 坊間試題. 多選 4.、填充 2.. 多選 3.、填充 3. 填充 4.(1). 自創. 填充 5.(1). 填充 4.(2) 填充 5.(2). 47.

(53) 第肆章總結與建議. 本研究是在開發高中數學數列與級數的試題，在「99 課綱」的規定下，第二冊第一章數列與級數的課程架構如下表所示：主題. 子題. 一、 1.數列. 內容. 備註. 1.1 發現數列的規律性. 數列. 1.1 只談實數數列，不談二階遞迴關係. 與級. 1.2 數學歸納法. 1.2 不等式型式的數學歸納. 數. 法置於數學甲∕乙Ⅰ數列與極限中討論 2.級數. 2.1 介紹Σ 符號及其操作. 在子題 1.數列的內容安排上，細分為「數列的概念」與「發現數列的規律」兩個主題，在兩個主題下發展試題並合併為 1-1 數列的試卷。在子題 2.級數的內容安排上，細分為「級數的概念」與「級數求和」兩個主題，在兩個主題下發展試題並合併為 1-2 級數的試卷。再將四個主題部分試題合編為第一章數列與級數的試卷。將本研究的總結與建議分別論述如下：. 第一節總結一、處處留心皆學問─參考多元化資料有助找尋試題開發的靈感研究者在確定研究方向後，先充分了解高中數學「數列與級數」單元的教學目標和教材要點，而後廣泛地閱讀坊間數學相關的科普叢書，內容是關於生活化的數學、推廣給大眾的數學常識、歷史上的數學趣聞、數學在科技上的使用、數學欣賞、數學思考方法等等，書本中引用的例子或史料就可以成為命題時靈感的來源。另外，除了生活上的素材，數學與不同領域之間的 48.

(54) 連結如物理、化學、生物、天文、藝術、建築等，也都是開發試題時可以發揮的方向。二、向陽花木早逢春─好的試題使教與學更有效率研究者在進行施測後，有學生對於所開發之試題展現出興趣，因為有別於坊間參考書上常見的制式問題，學生普遍認為這樣的試題比較有意思。有意思的試題應以「靈活而不難、巧妙而不偏、美麗而不怪」為準繩(許志農， 2009)。也就是要以靈活、巧妙、美麗來取代難、偏、怪的試題。在教學過程中，當學生見到新鮮有趣的試題時，比較能夠提升學習動機，引發主動思考與討論的熱忱，並且在大家都沒有見過該試題的前提下進行數學思維，也可以避免某些同學因為在補習班先學過而很快說出解答。因此，在教師的教學活動中若是能夠有許多生動靈活的原創性試題輔助，必能有效提升學生的數學學習興趣與效率。三、如履薄冰─試題開發與命題時須注意的原則與技術承上述所示，開發出好試題用於評量或教學示範，能夠提升教與學的效率。因此在建構一道新的試題時須注意試題是否有符合教學目標，試題的文句是否清楚表達題意，沒有遺漏條件而且避免牽涉到太多數學概念而模糊了測驗目標。若為情境式試題，則必須注意情境脈絡的安排是否合情合理，營造情境的文字不宜太過冗長，而且取材時盡量符合學生的生活經驗，題目條件的數據不宜太複雜，避免因繁雜的計算而增加了解題的困難。特別地，在選擇題的命題上，選項應針對學生學習的錯誤類型來安排，以便增加選項的誘答力，並且能診斷學生的學習困難所在。每個選項之間，文句描述的文法構造力求相似，以免每個選項之間的結構差異太大而影響作答。在選項中避免使用「以上皆非」或「以上皆是」，也避免使用否定式的語詞，比方說：「下列何者錯誤？」，「下列何者不是Σ 符號的性質？」至於整份試卷的安排上，預計一份試卷是在一節課 50 分鐘內完成測驗， 49.

(55) 因此題數大約在 12 題上下，這樣平均一題可以有 4 分鐘以上的思考時間，避免學生傾向於記憶式快速答題，養成不求甚解的惡習。而同題型中的各題盡量由易而難的順序排列，避免學生因為前面的難題卡住太久，耽誤了其他題的作答時間。另外整份試卷中的試題中，每道試題的條件裡應避免提供暗示其他題的解題線索，也不要出現測驗相同觀念的重複題型。四、回首向來蕭瑟處─試題開發心路歷程綜合以上，開發出有意思的優良試題著實不易，研究者開發出試題後，試圖仿先前他人的研究，將其分類為概念性試題、程序性試題與解題能力試題。然而許多試題就能測驗出一項以上的能力，造就此三種類型的試題皆有某種程度的交集，不易強加分類，所以撰寫第三章時僅分別列出每道試題在三類項目之下的測驗目標。一般數學老師重視邏輯推理能力，習慣於左腦思考，而開發試題所需想像力、創意能力來自我們的右腦，因此研究者在命題時的確有種窮盡腦力的感受。但是只要是以訓練學生數學思維為主軸，訂定測驗目標，引入生活化例子，遵循命題原則，投入時間與心力，必能開發出具思考性的優良試題。在這試題開發與試後分析的過程中，研究者數學思維與命題技術都有很大的成長。. 第二節建議由本研究結論來看，試題的開發是不容易的工作，若是由一個人孤軍奮戰獨力完成，除了工作負荷較大，在試題的視野與思維上也易於受限自己的盲點，以致於所開發的試題有所缺陷。建議未來在試題的開發上，可以成立教師專業社群的同儕團體，每位成員能結合自己的教學經驗，大家集思廣益，多方蒐集資料與意見，定期進行討論與審題，必能使試題的開發更有全面性與周延性。基於第一章第三節的研究限制，本研究僅以任教的學校內的 383 名學生為對象進行施測，研究僅以特定教學情境下特定學生的表現作為依據，若是未來研究 50.

(56) 可擴大施測學生的人數與多元差異性，所取得的研究結果更具有參考價值。隨著課綱的修改及微調，高中數學課程內容也隨之改變，影響了全國高中師生在數學上的教與學。高中數學課程裡除了數列與級數外，其他單元新的試題尚待未來的研究者開發，當然本研究單元也可待後續研究者繼續開發更多具備深度、廣度的試題，以供參考使用。. 51.