2-1 飛秒光梳頻的基本原理及應用
鎖模雷射(mode-locked laser)在超短脈衝的應用上扮演相當重要的角色，鎖 模雷射在頻域上具有許多等距同調的光梳(optical frequency comb)可以做為光頻 率的標準源。我們所使用的飛秒鎖模雷射是由工業研究院量測中心所提供[18]，他 藉由光纖的非線性效應將鎖模光纖雷射的光梳展開到涵蓋可見光及近紅外光，擴 大了可應用範圍。並且利用“f-2f self-referencing＂技術穩定了光梳頻的頻率，成 為良好的標準源。
2-1.1 被動鎖模摻鉺光纖雷射的鎖模原理
一般鎖模雷射可分為主動鎖模與被動鎖模兩大類。主動鎖模雷射是指利用電 光、聲光調變等主動元件來做相位或振幅調變來產生脈衝輸出的方式[19]，被動鎖 模雷射則是利用共振腔中的非線性效應來達到鎖模狀態並得到脈衝輸出。一般來 說，被動鎖模雷射能達到比主動鎖模雷射更短的脈衝輸出。製作被動鎖模光纖雷 射的方式有許多，包括有半導體飽和吸收體被動鎖模、疊加波鎖模、非線性光纖 環被動鎖模、非線性偏振旋轉鎖模、展波鎖模……等等。以下我們簡介半導體飽 和吸收體被動鎖模雷射、疊加波鎖模雷射以及偏振加波鎖模雷射。
半導體飽和吸收體被動鎖模雷射
半導體飽和吸收體被動鎖模雷射所使用之半導體飽和吸收體主要可分為快 速飽和吸收體與慢速飽和吸收體兩大類。快速或慢速是以飽和吸收體的回復時間 相較於脈衝寬度的關係而定的，若飽和吸收體回復時間大於脈衝寬度則為慢速飽 和吸收體，反之為快速飽和吸收體。半導體飽和吸收體被動鎖模雷射是利用半導
體飽和吸收體的非線性來達成鎖模機制的，當光脈衝通過飽和吸收體時，因脈衝 中心的功率大於吸收體的飽和功率，所以脈衝中心看到較小的損耗。相反地，脈 衝兩翼則會有較大的損耗，因此可以使脈衝變短進而達到鎖模，在飛秒級的鎖模 雷射中，鎖模作用可以由快速飽和吸收體單獨達成，若是利用慢速飽和吸收體則 需配合適當的雷射增益介質回復時間才能達成。
疊加波鎖模雷射
一般而言，除了以實際的飽和吸收體達到被動鎖模外，也能夠利用所謂的 KLM(Kerr lens mode locking)[20]與疊加波鎖模(Additive Pulse Mode-locking；
APM)[20]的方式實現被動鎖模，不過在光纖中無法利用KLM的效應，僅能使用疊 加波鎖模。
疊加波鎖模的原理是利用由脈衝的同調相加而產生的脈衝壓縮的效果，在功 能上我們可以將疊加波鎖模視為一種快速飽和吸收體被動鎖模機制，如【圖 2-1】
所示。詳細言之，疊加波鎖模是利用克爾效應(Kerr Effect)使共振腔中的脈衝產 生非線性的干涉，從而可使共振腔內的損耗與脈衝強度成反比，因為 gain 的不 對稱，逆時針旋轉光先被放大，產生的克爾效應的量跟順時針的不一樣，所以高 脈衝強度的會通過，而低脈衝強度的會衰減掉，因此可達到脈衝壓縮。因為不是 利用實際的飽和吸收體，疊加波鎖模可以應用於很大的波長範圍。
疊加波鎖模架構可以是線性共振腔或環形共振腔，兩種架構可能是具有主、
副兩共振腔的架構或是單一共振腔的架構。前者在副共振腔中存在具克爾非線性 效應的介質，能夠產生自相位調變而達到上述的非線性干涉形成鎖模，後者則是 利用單一共振腔內的非線性干涉效應來達成鎖模。所謂的八字形(Figure 8)架構 非線性光纖環鎖模機制以及本論文中使用的鎖模光纖雷射---單一環形共振腔結 構的非線性偏振旋轉鎖模機制是最常見的兩種疊加波鎖模方式[21]。一般疊加波鎖 模雷射可達到百飛秒級脈衝。
【圖 2-1】疊加波鎖模機制
偏振加波鎖模雷射
因為光纖中的Kerr效應，橢圓偏振光在光纖中傳播時會產生偏振旋轉的現 象，此即“非線性偏振旋轉＂(Nonlinear Polarization Rotation；NPR) [22]。此現象 乃因在isotropic Kerr介質中CW圓形偏振光分量的傳播方程式為：
∂∂EzL = −iK E
(
L2+2ER 2)
EL∂∂EzR = −iK
(
2 EL2+ ER 2)
ER其解為：
( ) iK E
(
L(0)2 2ER(0)2)
z (0)L L
E z =e− + E ( ) iK
(
2EL(0)2 ER(0)2)
z (0)R R
E z =e− + E 其中
EL為左旋圓偏振光強度，
ER為右旋圓偏振光強度，
橢圓偏振光可分解成兩個強度不同的左旋及右旋圓偏振光，這兩個強度不同 的圓偏振光會因為非線性Kerr 效應造成自相位調變(Self Phase Modulation)及交 互相位調變(Cross Phase Modulation)而分別得到非線性相位偏移(Nonlinear
Phase Shift)，因此橢圓偏振光( EL(0)2 ≠ ER(0)2）之偏振態軸向會旋轉，如【圖 2-2】所示。此一偏振旋轉角度的大小與光強度及傳播距離成正比。
利用非線性偏振旋轉加上偏振控制器(polarization controller)與線偏振片 (Linear Polarizer)，我們能夠得到與在共振腔中加入快速飽和吸收體相同的效果
[20]。偏振加波鎖模(Polarization Additive Pulse Mode-locking；P-APM)可以看成是 由二自相位調變光干涉而產生的非線性的振幅調變，如【圖 2-2】所示，使用適 當調整後的偏振控制器將通過第一個線偏振片的脈衝轉為橢圓偏振[22]，此橢圓偏 振光在光纖中傳播後將產生非線性偏振旋轉，且旋轉角度與光強度成正比。因此 我們可以控制偏振控制器使旋轉後的脈衝中心大部分通過第二個線偏振片，脈衝 兩側與連續波的部分因振幅較小，產生的偏振旋轉亦較小，因此大部分不能通過 第二個線偏振片，這可使得脈衝被壓縮而達到鎖模的效果，此現象可以看成是由 第二個線偏振片將偏振方向的旋轉轉化為振幅上的調變。
【圖 2-2】非線性偏振旋轉示意圖
2-1.2 鎖模雷射的頻譜
要瞭解鎖模雷射如何應用在光頻計量，我們必須先對鎖模雷射的頻譜有所瞭 解，飛秒脈衝雷射是藉由鎖定所有起振的雷射縱向模的相位而產生週期性的脈 衝，由雷射腔輸出的脈衝雷射的電場強度可表為：
E t( )= A t e( ) −i2πf tc +c c. (2.1) 其中A t 為週期性的波封方程式，( ) f 為載波頻率。 c
而週期性的波封方程式用富立葉級數可展開成：
A t ( ) = ∑ A e n − i 2 π nf t
r (2.2) 其中 frep =Vg / 2L 為脈衝的重複頻率，V 為群速度，L 為雷射腔長。因此該g 脈衝雷射的電場可以寫成：2 ( )
( ) n i f
cnf
rept . .
n
E t A e π
∞ − +
= −∞
= ∑ + c c
(2.3)在頻譜上來看，這個電場是由相等頻率間距 f 的光梳所構成，而第 n 根光梳r 的頻率為脈衝重複頻率的整數倍，亦即 fn = ⋅n frep。以上的敘述並沒有考慮到載 波相位和波封相位的問題，但是在雷射腔內的介質都有色散現象，因此會是造成 波封以群速度而載波以相速度前進，由於這兩個速度不一樣，雷射脈衝每繞行雷 射腔一週，載波相位和波封相位就會有Δ 的相位差 (
ϕ 2 π ≥ Δ ≥ ϕ 0
)，如【圖 2-3】所示，由於雷射在共振腔每繞一次，就要重複原來的狀態，因此雷射載波 相位必須滿足2 π f T
c+ Δ = ⋅ ϕ n 2 π
o
，其中 T 為脈衝繞雷射腔一次所需時間、n 為 正整數，所以實際上滿足這樣條件的載波頻率為 fn = ⋅n frep+ ，其中f
( / 2 ) /
fo = Δ
ϕ π
T，也可以表為f
o= Δ (
ϕ π/ 2 ) f
rep，這個載波波封相位差使得各梳子 的頻率並不等於雷射脈衝頻率的整數倍，而是有一個偏差頻率 f ，其中脈衝重o 複頻率 f 和偏差頻率 f 都是在微波範圍，因此利用一個鎖模雷射就可以將微波頻率和光波頻率連結起來。如果 frep和 f 都是穩定的，那麼每一支光梳的頻率就o 穩定，一般飛秒雷射的頻譜寬度約在幾個 THz 以上，如果脈衝重複頻率是 1 GHz，那麼一個穩頻的飛秒雷射就含有數千個穩頻的雷射，這是傳統建議輻射所 無法比擬的。
Τ.= 1/frep
t E(t)
Δϕ
I(f)
f frep
0
f
n= nf
re p+ f
of
oTime domain
Frequency domain
【圖 2-3】鎖模雷射輸出在時域和頻域的關係
2-1.3 飛秒雷射和光纖展頻
要讓飛秒雷射能夠成為傳遞頻率標準的工具，必須要先穩定其脈衝重複頻率
frep(repetition frequency)和偏差頻率 f (offset frequency)。脈衝重複頻率用快速o 的光二極體可以很容易偵測，藉由控制雷射的腔長即可控制重複頻率，至於 f 的o 量測方法，可以利用“f-2f self-referencing＂的技術得知，其原理如【圖 2-4】所 示。將光頻展開後，將較低頻的部分為 fn =nfrep+ ，將其利用倍頻晶體產生倍fo 頻後為2fn =2(nfrep+ fo)，再與原本的高頻部分 f2n =2nfrep+ 產生拍頻以量取fo
f ，即為o 2fn − f2n =2(nfrep+ fo) (2− nfrep+ fo)= f ，因此必須要脈衝雷射的頻譜o 寬度夠寬，以致於涵蓋 f 及 2n f 的頻率範圍。在鈦藍寶石雷射延展頻譜的技術n
上，目前僅有少數研究群可以直接由脈衝雷射產生兩倍頻寬，較為普及的方法是 利用特殊的微結構光纖（microstructure fiber）或者稱為光子晶體光纖（photonic crystal fiber）來延展飛秒雷射的頻譜。這種光纖的波導色散（waveguide dispersion）
比傳統光纖容易操控，因此可用來平衡物質色散使得零色散的波長不同於一般的 通訊光纖，零色散已經可以移轉到可見光範圍，雷射光在這種光纖中可以傳遞較 長的距離而其脈衝寬度不至於迅速變寬，因此非線性效應的作用距離較一般通訊 光纖長，藉由光纖的非線性效應可以把飛秒雷射的頻譜寬度擴展到兩倍頻寬以 上。參與的非線性效應機制包括自相位調制（self phase modulation）、四波混合 (four wave mixing)、拉曼效應、孤粒子分裂 (soliton fission)等等[23][24] 。其“f-2f self-referencing＂的實驗架構如圖【圖 2-5】所示，由於 2f 及n f 產生的時間不2n 一定相同，所以必須將低頻部分跟高頻部分分開，靠著調時間延遲(time delay) 使2f 及n f 在時域上可以產生重疊(overlap)，才能測得2n f 。 o
Frequency domain
I(f)
0 f
f
n= n f
rep+ δ f
repx2 f
2n= 2n f
rep+ δ
I(f)
0 f
f
n= n f
rep+ f
repx2 f
2n= 2n f
rep+
f
of
of
of
o【圖 2-4】“f-2f self-referencing＂實驗原理
Microstructure fiber
IR filter
polarizer PBS LBO
λ/2@1100
λ/2@550 Filter
@550
2f
n=2n f
rep+2f
0f
2n=2n f
rep+f
0Broad band λ/2
Metal film mirror
Dichroic BS
【圖 2-5】鈦藍寶石雷射利用之“f-2f self-referencing＂實驗架構
而本實驗中，鎖模光纖雷射的延展頻譜則是利用高非線性光纖(Highly Nonlinear Fiber；HNLF)，再接上單模光纖(SMF)，將鎖模光纖雷射輸出光的頻 譜展寬，其“f-2f self-referencing＂的實驗架構如圖【圖 2-6】所示，我們稱之為
“Single-Beam f-2f ＂[18]，頻譜展寬後其光梳頻的分布從 1050 nm到 2100 nm，
如【圖 2-7】所示[25]。
SMF
MgO:PPLN filter
f
oHNLF PC
4 λ 2 λ
SMF
Single-Beam f-2f Amplified
laser pulse
【圖 2-6】飛秒光纖雷射利用之“Single-Beam f-2f ＂實驗架構
8
fs fiber laser oscillator
After Er:amplifier
性輻射的雜訊所造成，很多鎖模雷射中，自發性輻射的雜訊相對於腔長的調變是 葉 轉 換 (Fourier transform)，所以從雷射光脈衝串列的能量頻譜密度(power spectral density)我們可以精確的得到一些有關雷射雜訊的訊息，如脈衝能量的變 其中 為每個脈衝時間上的光強度形狀(temporal intensity profile)，T 為光 脈衝的重複週期，n 為- 到+ 的整數。換言之，一個不完美的鎖模雷射，光脈
一般而言我們喜歡用方均根誤差(root-mean-square deviation) ，來表示實 利用Parsevals theorem，可以得到：
( P )
2 +∞S
δP( )
ω ω( ) 固定的時間偏移量(timing offset)，T 為光脈衝的重複週期。
( )
(2.19) 其中
σ
J為方均根時序紊亂度(r.m.s. timing jitter)，如果σ
J很小，則上式可再(2.19) 其中